M10 M - Faire Spiele mit dem Erwartungswert beurteilen

Mini-Beschreibung: In diesem aiMOOC nutzt Du den Erwartungswert, um fiktive Gewinnspiele mathematisch zu beurteilen. Du entwickelst bei Bedarf einen fairen Einsatz und kontrollierst Deine Rechnung mit einer Simulation. Glücksspiel wird ausschließlich als mathematisches Modell behandelt.

Zielgruppe: Klasse 10, Mathematik, Baden-Württemberg, M-Niveau

Bildungsplanbezug: Leitidee Daten und Zufall – Erwartungswerte in konkreten Situationen berechnen und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten.

Einleitung

Nicht der höchste mögliche Gewinn entscheidet über die mathematische Fairness eines Spiels. Entscheidend sind mögliche Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten.

Der Erwartungswert wird berechnet mit:

$E (X) = x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + \dots + x_{n} \cdot p_{n}$

Dabei sind $x_{1}, \dots, x_{n}$ mögliche Werte und $p_{1}, \dots, p_{n}$ die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Wichtig: Bei Gewinnspielen muss klar sein, ob $X$ die Auszahlung oder den Nettogewinn nach Abzug des Einsatzes beschreibt.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

Zufallsgröße: mögliche Nettogewinne eines fiktiven Gewinnspiels festlegen.
Wahrscheinlichkeitsverteilung: Werte und Wahrscheinlichkeiten passend zuordnen.
Erwartungswert: $E (X)$ berechnen und deuten.
Faires Spiel: mathematisch begründen, wann ein Spiel fair ist.
Fairer Einsatz: einen Einsatz so bestimmen, dass der erwartete Nettogewinn null ist.
Simulation: theoretische Ergebnisse durch Wiederholungen kontrollieren.
Modellierung: Rechenweg, Darstellung und Begründung verbinden.
Digitale Werkzeuge: Ergebnisse kritisch prüfen.

Vorwissen-Check

Prüfe vor dem Start:

Kannst Du Wahrscheinlichkeiten als Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl angeben?
Kannst Du prüfen, ob sich Wahrscheinlichkeiten zu $1$ addieren?
Kannst Du mit negativen Zahlen rechnen?
Kannst Du eine Gleichung wie $0,25 x - 1,50 = 0$ lösen?
Kannst Du erklären, warum eine Simulation ein theoretisches Ergebnis prüft, aber nicht beweist?

Falls Dir etwas schwerfällt, wiederhole Wahrscheinlichkeit, Bruchrechnung, Prozentrechnung und Lineare Gleichung.

Grundidee: Vom Gewinnplan zum Erwartungswert

möglicher Wert	Wahrscheinlichkeit
$x_{1}$	$p_{1}$
$x_{2}$	$p_{2}$

Vor jeder Rechnung gilt:

$p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1$

Dann:

$E (X) = x_{1} \cdot p_{1} + x_{2} \cdot p_{2} + \dots + x_{n} \cdot p_{n}$

Deutung bei Nettogewinnen:

Fall	mathematische Beurteilung
$E (X) = 0$	Das Spiel ist fair.
Erwartungswert positiv	Langfristig ist der durchschnittliche Nettogewinn positiv.
Erwartungswert negativ	Langfristig ist der durchschnittliche Nettogewinn negativ.

Der Erwartungswert beschreibt einen langfristigen Durchschnitt. Ein einzelner Durchgang muss diesen Wert nicht annehmen.

Schritt-für-Schritt-Beispiel: Würfelspiel

Ein fiktives Spiel verwendet einen fairen Würfel. Bei einer Sechs werden 10 € ausgezahlt. Sonst gibt es keine Auszahlung. Der Einsatz beträgt 2 €.

Schritt 1: Nettogewinne festlegen

Bei einer Sechs:

$10 - 2 = 8$

Nettogewinn: 8 €.

Ohne Sechs:

$0 - 2 = - 2$

Nettogewinn: -2 €.

Schritt 2: Wahrscheinlichkeiten zuordnen

$P (X = 8) = \frac{1}{6}$

$P (X = - 2) = \frac{5}{6}$

Nettogewinn	Wahrscheinlichkeit
$8$ €	$\frac{1}{6}$
$- 2$ €	$\frac{5}{6}$

Schritt 3: Erwartungswert berechnen

$E (X) = 8 \cdot \frac{1}{6} + (- 2) \cdot \frac{5}{6}$

$E (X) = \frac{8}{6} - \frac{10}{6}$

$E (X) = - \frac{2}{6}$

$E (X) = - \frac{1}{3}$

Das sind ungefähr -0,33 € pro Spiel.

Schritt 4: Ergebnis deuten

Der erwartete Nettogewinn ist negativ. Das Spiel ist mathematisch nicht fair.

Die Aussage bedeutet nicht, dass in jedem Spiel genau 0,33 € verloren werden. Sie beschreibt den langfristigen Durchschnitt.

Fairen Einsatz entwickeln

Der Einsatz $s$ soll so gewählt werden, dass das Würfelspiel fair wird.

Die erwartete Auszahlung beträgt:

$10 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{6}$

Für ein faires Spiel gilt:

$E (X) = 0$

Also:

$\frac{10}{6} - s = 0$

Daraus folgt:

$s = \frac{10}{6}$

Der mathematisch faire Einsatz beträgt ungefähr 1,67 €.

Kontrolle mit dem exakten Wert:

$(10 - \frac{10}{6}) \cdot \frac{1}{6} + (- \frac{10}{6}) \cdot \frac{5}{6} = 0$

Zwei Darstellungen verknüpfen

Darstellung	Bedeutung
Gewinnplan	Werte und Wahrscheinlichkeiten werden geordnet dargestellt.
$x_{i} \cdot p_{i}$	Ein Wert wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet.
$E (X)$	Alle gewichteten Werte werden addiert.
Deutung	Das Ergebnis wird im Sachzusammenhang erklärt.

Simulation als Kontrolle

Für das Würfelspiel mit 2 € Einsatz gilt theoretisch ungefähr -0,33 € pro Spiel.

Eine Simulation mit 600 Spielen liefert beispielsweise:

Ergebnis	Häufigkeit	Nettogewinn je Spiel
Sechs	$96$	$8$ €
keine Sechs	$504$	$- 2$ €

Gesamter Nettogewinn:

$96 \cdot 8 + 504 \cdot (- 2) = 768 - 1008 = - 240$

Durchschnitt pro Spiel:

$\frac{- 240}{600} = - 0,40$

Die Simulation liefert -0,40 € pro Spiel. Das liegt in der Nähe des theoretischen Werts -0,33 €, ist aber nicht exakt gleich.

Simulation selbst durchführen

Simuliere zunächst $30$ Spiele.
Berechne den durchschnittlichen Nettogewinn.
Wiederhole mit $300$ Spielen.
Vergleiche beide Ergebnisse mit dem theoretischen Erwartungswert.
Begründe mögliche Abweichungen.

Datenschutz: Verwende keine Namen, Kontaktdaten oder andere personenbezogene Daten. Für diese Simulation werden nur Zufallszahlen und mathematische Ergebnisse benötigt.

Interaktives Beispiel: Drei mögliche Gewinne

Nettogewinn	Wahrscheinlichkeit	gewichteter Beitrag
$4$ €	$0,2$	$4 \cdot 0,2 = 0,8$
$1$ €	$0,3$	$1 \cdot 0,3 = 0,3$
$- 2$ €	$0,5$	$- 2 \cdot 0,5 = - 1$

$E (X) = 0,8 + 0,3 - 1 = 0,1$

Der erwartete Nettogewinn beträgt 0,10 € pro Spiel.

Üben mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Erwartungswert berechnen

Nettogewinn	Wahrscheinlichkeit
$6$ €	$0,25$
$- 2$ €	$0,75$

Berechne $E (X)$ und beurteile das Spiel.

Hilfestufe 1: Multipliziere jeden Gewinnwert mit seiner Wahrscheinlichkeit.

Hilfestufe 2:

$E (X) = 6 \cdot 0,25 + (- 2) \cdot 0,75$

Feedback:

$E (X) = 1,5 - 1,5 = 0$

Das Spiel ist mathematisch fair.

Übung 2: Fehlende Wahrscheinlichkeit

Nettogewinn	Wahrscheinlichkeit
$5$ €	$0,2$
$1$ €	$0,3$
$- 3$ €	$p$

Bestimme zuerst $p$ und dann $E (X)$ .

Hilfestufe 1: Alle Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben $1$ .

Hilfestufe 2:

$0,2 + 0,3 + p = 1$

Feedback:

$p = 0,5$

$E (X) = 5 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,3 + (- 3) \cdot 0,5$

$E (X) = 1 + 0,3 - 1,5 = - 0,2$

Der erwartete Nettogewinn beträgt -0,20 € pro Spiel.

Übung 3: Fairen Gewinn festlegen

Nettogewinn	Wahrscheinlichkeit
$g$ €	$0,2$
$- 2$ €	$0,8$

Bestimme $g$ , sodass das Spiel fair ist.

Hilfestufe 1: Setze den Erwartungswert gleich null.

Hilfestufe 2:

$0,2 g + 0,8 \cdot (- 2) = 0$

Feedback:

$0,2 g - 1,6 = 0$

$0,2 g = 1,6$

$g = 8$

Der positive Nettogewinn muss 8 € betragen.

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
Auszahlung und Nettogewinn werden verwechselt.	Einsatz eindeutig berücksichtigen.
Wahrscheinlichkeiten ergeben nicht $1$ .	Gewinnplan vor der Rechnung prüfen.
Verluste werden ohne Minuszeichen eingesetzt.	Verlust als negative Zahl notieren.
Gewinnwerte werden nur addiert.	Jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichten.
Fair wird als „kein Gewinn möglich“ gedeutet.	Fair bedeutet: erwarteter Nettogewinn gleich null.
Eine Simulation wird als Beweis verwendet.	Simulation ist eine empirische Kontrolle, kein mathematischer Beweis.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Wenn ein Taschenrechner, eine Tabellenkalkulation oder eine KI einen Erwartungswert liefert, kontrolliere:

Sind alle möglichen Ergebnisse erfasst?
Stimmen die Wahrscheinlichkeiten?
Addieren sich die Wahrscheinlichkeiten zu $1$ ?
Ist der Einsatz korrekt berücksichtigt?
Sind Verluste negativ notiert?
Ist die Einheit sinnvoll?
Passt die Größenordnung zum Gewinnplan?
Kannst Du die Rechnung selbst begründen?

KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis. Eine korrekte Antwort braucht einen nachvollziehbaren Rechenweg und eine passende Deutung.

Selbstkontrolle

Ein fiktives Spiel verlangt 1 € Einsatz. Mit Wahrscheinlichkeit $0,25$ werden 3 € ausgezahlt, sonst 0 €.

A: Bestimme die möglichen Nettogewinne.

B: Berechne den Erwartungswert.

C: Beurteile die Fairness.

D: Bestimme den fairen Einsatz.

Kontrolle:

$3 - 1 = 2$

$0 - 1 = - 1$

$E (X) = 2 \cdot 0,25 + (- 1) \cdot 0,75$

$E (X) = 0,5 - 0,75 = - 0,25$

Das Spiel ist nicht fair.

Für den fairen Einsatz $s$ gilt:

$s = 3 \cdot 0,25$

$s = 0,75$

Der faire Einsatz beträgt 0,75 €.

Transfer: Einen Gewinnplan modellieren

Ein fiktives Zufallsmodell besitzt die Auszahlungen 0 €, 2 € und 8 € mit den Wahrscheinlichkeiten $0,6$ , $0,3$ und $0,1$ .

Erwartete Auszahlung:

$0 \cdot 0,6 + 2 \cdot 0,3 + 8 \cdot 0,1$

$= 0 + 0,6 + 0,8$

$= 1,4$

Damit ist ein Einsatz von 1,40 € mathematisch fair.

Transferfrage: Wie verändert sich der faire Einsatz, wenn die Wahrscheinlichkeit für die Auszahlung 8 € steigt?

Kompetenzcheck

Kompetenz	Kann ich
Ich kann einen Gewinnplan lesen.	□
Ich kann Auszahlungen in Nettogewinne umrechnen.	□
Ich kann $E (X)$ berechnen.	□
Ich kann den Erwartungswert im Sachkontext deuten.	□
Ich kann einen fairen Einsatz bestimmen.	□
Ich kann Rechnung und Simulation vergleichen.	□
Ich kann digitale Ergebnisse kritisch prüfen.	□
Ich kann meinen Rechenweg begründen.	□

Reflexion

Warum reicht der höchste mögliche Gewinn nicht aus, um ein Spiel zu beurteilen?
Was bedeutet ein Erwartungswert von null?
Warum kann eine Simulation vom theoretischen Erwartungswert abweichen?
Welche Darstellung hilft Dir mehr: Gewinnplan, Formel oder Simulation?
An welcher Stelle ist eine Begründung wichtiger als ein Taschenrechnerergebnis?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Was beschreibt der Erwartungswert eines Gewinnspiels? (Den langfristigen durchschnittlichen Wert pro Spiel) (!Den größten möglichen Gewinn) (!Den häufigsten einzelnen Gewinn) (!Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse)

Wann ist ein Spiel mathematisch fair, wenn der Nettogewinn betrachtet wird? (Der Erwartungswert ist null) (!Der Erwartungswert ist eins) (!Der größte Gewinn tritt sicher ein) (!Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich)

Welche Summe müssen alle Wahrscheinlichkeiten eines vollständigen Gewinnplans ergeben? (1) (!0) (!10) (!100)

Ein Einsatz beträgt 2 Euro und die Auszahlung 7 Euro. Wie groß ist der Nettogewinn? (5 Euro) (!7 Euro) (!9 Euro) (!2 Euro)

Wie wird ein Verlust von 3 Euro notiert? (-3) (!3) (!0) (!30)

Welche Rechnung gehört zum Erwartungswert? (Gewinnwerte jeweils mit ihren Wahrscheinlichkeiten multiplizieren und addieren) (!Nur alle Gewinnwerte addieren) (!Nur die Wahrscheinlichkeiten addieren) (!Den größten Gewinn durch den Einsatz teilen)

Was bedeutet ein negativer Erwartungswert für die spielende Person? (Langfristig ist der durchschnittliche Nettogewinn negativ) (!Jedes einzelne Spiel wird verloren) (!Ein Gewinn ist unmöglich) (!Die Wahrscheinlichkeiten sind automatisch falsch)

Warum kann eine Simulation vom berechneten Erwartungswert abweichen? (Weil bei endlich vielen Wiederholungen Zufallsschwankungen auftreten) (!Weil Erwartungswerte nur bei falschen Würfeln gelten) (!Weil Wahrscheinlichkeiten nicht berechnet werden können) (!Weil Simulationen immer exakt gleich ausfallen)

Was sollte bei einem Gewinnplan zuerst geprüft werden? (Ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben) (!Nur der höchste Gewinn) (!Ob alle Verluste positiv geschrieben sind) (!Ob der Einsatz ignoriert wurde)

Welche Aussage über KI-Ausgaben in Mathematik ist richtig? (Sie müssen rechnerisch und inhaltlich geprüft werden) (!Sie ersetzen jeden mathematischen Beweis) (!Sie sind immer fehlerfrei) (!Sie benötigen keinen nachvollziehbaren Rechenweg)

Memory

Erwartungswert	langfristiger gewichteter Mittelwert
Faires Spiel	erwarteter Nettogewinn ist null
Gewinnplan	Zuordnung von Werten und Wahrscheinlichkeiten
Nettogewinn	Auszahlung minus Einsatz
Simulation	empirische Kontrolle durch Wiederholungen
Wahrscheinlichkeit	Gewicht eines möglichen Ergebnisses

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gewinnplan erstellen	Werte und Wahrscheinlichkeiten festlegen
Wahrscheinlichkeiten prüfen	Summe muss eins ergeben
Produkte bilden	Wert mit Wahrscheinlichkeit multiplizieren
Erwartungswert addieren	gewichtete Werte zusammenfassen
Ergebnis deuten	Fairness im Sachzusammenhang beurteilen

...

Kreuzworträtsel

Erwartungswert	Wie heißt der langfristige gewichtete Mittelwert einer Zufallsgröße?
Gewinnplan	Wie heißt eine Übersicht aus möglichen Gewinnen und Wahrscheinlichkeiten?
Simulation	Wie heißt das wiederholte Nachbilden eines Zufallsexperiments?
Einsatz	Wie heißt der Betrag, der vor einem fiktiven Spiel berücksichtigt wird?
Zufall	Welcher Begriff beschreibt einen nicht sicher vorhersagbaren Einzelausgang?
Fairness	Welcher Begriff bezeichnet hier ein Spiel mit Erwartungswert null?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Gewinnplan lesen: Erstelle zu einem vorgegebenen Würfelspiel eine Tabelle mit Nettogewinnen und Wahrscheinlichkeiten.
Erwartungswert berechnen: Berechne den Erwartungswert eines fiktiven Zwei-Ergebnis-Spiels.
Darstellung wechseln: Übertrage eine Erwartungswertrechnung in einen Gewinnplan.
Fehler finden: Erfinde eine falsche Erwartungswertrechnung und markiere anschließend mindestens zwei Fehler.

Standard

Faires Spiel entwickeln: Entwirf ein fiktives Spiel mit mindestens drei Ergebnissen und Erwartungswert null.
Fairer Einsatz: Gib Auszahlungen und Wahrscheinlichkeiten vor und bestimme rechnerisch den fairen Einsatz.
Simulation durchführen: Simuliere Dein Modell mindestens $200$ -mal und vergleiche den Mittelwert mit dem theoretischen Erwartungswert.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du Gewinnplan, Rechnung und Deutung erklärst. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Schwer

Modelle vergleichen: Entwickle zwei fiktive Spiele mit gleichem Erwartungswert, aber unterschiedlichen Einzelgewinnen. Vergleiche sie mathematisch.
Parameter bestimmen: Verwende eine unbekannte Wahrscheinlichkeit $p$ oder einen unbekannten Gewinn $g$ und bestimme den Wert für ein faires Spiel.
Simulation analysieren: Führe mehrere Simulationen unterschiedlicher Länge durch und untersuche, wie stark die Mittelwerte schwanken.
Digitale Prüfung: Lass ein digitales Werkzeug oder eine KI einen Erwartungswert berechnen. Prüfe jede Zeile selbst und dokumentiere mindestens eine mögliche Fehlerquelle.

Lernkontrolle

Modellieren: Ein fiktives Spiel besitzt mehrere Auszahlungen und einen Einsatz. Lege eine geeignete Zufallsgröße fest und begründe, warum Du Nettogewinne statt Auszahlungen verwendest.
Darstellungen verknüpfen: Erkläre, wie Gewinnplan, Erwartungswertrechnung und Simulation dieselbe Situation aus drei Perspektiven beschreiben.
Fairen Einsatz bestimmen: Entwickle für vorgegebene Auszahlungen und Wahrscheinlichkeiten einen fairen Einsatz und kontrolliere das Ergebnis durch Einsetzen.
Simulation beurteilen: Eine Simulation liefert einen Durchschnitt, der vom theoretischen Erwartungswert abweicht. Begründe, warum dies kein Widerspruch sein muss.
Fehleranalyse: Analysiere eine Rechnung, in der der Einsatz nur beim Verlust, aber nicht beim Gewinn abgezogen wurde. Korrigiere den Ansatz.
Transfer: Verändere bei einem bestehenden Gewinnplan eine Wahrscheinlichkeit. Beschreibe und berechne, wie sich dadurch der Erwartungswert verändert.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

Du stellst einen vollständigen Gewinnplan auf.
Du prüfst, ob alle Wahrscheinlichkeiten zusammen $1$ ergeben.
Du unterscheidest Auszahlung und Nettogewinn.
Du berechnest einen Erwartungswert nachvollziehbar.
Du deutest das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Du bestimmst bei Bedarf einen fairen Einsatz.
Du kontrollierst eine Rechnung durch Einsetzen oder Simulation.
Du erklärst Abweichungen zwischen Simulation und Theorie.
Du dokumentierst Rechenweg, Darstellung und Begründung.
Du prüfst digitale Ergebnisse kritisch.

OERs zum Thema

Medienhinweis: Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Lizenz- und Urheberangaben sind über die jeweilige Dateibeschreibungsseite abrufbar.

Verknüpfte Lernbereiche

M10 M - Faire Spiele mit dem Erwartungswert beurteilen

Folgekurs

M10 M - Wahrscheinlichkeitsverteilungen untersuchen und Simulationen auswerten

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