M10 E - Definitionsmenge und Wertemenge funktional nutzen

M10 E - Definitionsmenge und Wertemenge funktional nutzen

Mini-Beschreibung: Bestimme und interpretiere Definitions- und Wertemengen unterschiedlicher Funktionstypen. Verbinde besonders $f(x)=x^2$ und $g(x)=\sqrt{x}$ mit der Idee von Umkehrfunktionen.

Niveau: Mathematik Klasse 10, Baden-Württemberg, E-Niveau.

Kurzer Einstieg

Eine Funktion verarbeitet zulässige Eingaben und erzeugt Ausgaben.

$x⟼f(x)$

Begriff	Leitfrage
$D_f$	Welche Werte darf $x$ annehmen?
$W_f$	Welche Funktionswerte entstehen tatsächlich?

Merke: Die Definitionsmenge enthält alle zulässigen Eingaben. Die Wertemenge enthält alle tatsächlich erreichten Ausgaben.

$D_f=\{x\mid x\text{ zulässig}\}$

$W_f=\{f(x)\mid x\in D_f\}$

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Lernziele

1. Definitionsmenge: zulässige Eingaben aus Term, Graph und Kontext bestimmen.
2. Wertemenge: tatsächlich erreichbare Funktionswerte begründet angeben.
3. Quadratische Funktion: Definitions- und Wertemenge formal herleiten.
4. Wurzelfunktion: Einschränkungen durch die Quadratwurzel erklären.
5. Umkehrfunktion: die Beziehung zwischen Quadrat- und Wurzelfunktion untersuchen.
6. Mathematischer Beweis: Aussagen begründen, verallgemeinern und durch Gegenbeispiele prüfen.

Vorwissen-Check

Prüfe Dich:

1. $\frac{1}{0}$ ist in $ℝ$ nicht definiert.
2. $\sqrt{a}$ ist reell nur für $a\ge 0$ definiert.
3. Für alle $x\in ℝ$ gilt $x^2\ge 0$.

Kurzcheck: Berechne $\sqrt{0}$ und $\sqrt{9}$. Entscheide, ob $\sqrt{-4}$ reell ist.

Feedback: $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{9}=3$; $\sqrt{-4}$ ist nicht reell.

Definitionsmenge funktional bestimmen

Funktion	Definitionsmenge
$f(x)=x^2$	$D_f=ℝ$
$g(x)=\sqrt{x}$	$D_g=[0,\mathrm{\infty })$
$h(x)=\frac{1}{x-2}$	$D_h=ℝ\setminus \{2\}$
$p(x)=\sqrt{2x-6}$	$D_p=[3,\mathrm{\infty })$

Für $p(x)=\sqrt{2x-6}$ gilt schrittweise:

$2x-6\ge 0$

$2x\ge 6$

$x\ge 3$

also $D_p=[3,\mathrm{\infty })$.

Kontext beachten

Für die Kreisfläche

$A(r)=\pi r^2$

ist ein Radius sachlich nicht negativ. Bei maximal $5\mathrm{c}\mathrm{m}$ gilt deshalb

$D_A=[0,5]$.

Der Kontext kann eine mathematisch mögliche Definitionsmenge weiter einschränken.

Wertemenge funktional bestimmen

Beispiel:

$q(x)=x^2-4$

Da $x^2\ge 0$, gilt

$x^2-4\ge -4$.

Der Wert $-4$ wird bei $x=0$ erreicht. Daher

$W_q=[-4,\mathrm{\infty })$.

Kernbeispiel: Quadratfunktion

$f(x)=x^2$

$D_f=ℝ$

$W_f=[0,\mathrm{\infty })$

Begründung:

$x^2\ge 0$

für alle reellen $x$. Umgekehrt wird jeder Wert $y\ge 0$ getroffen, denn mit

$x=\sqrt{y}$

gilt

$x^2=y$.

Warum ist $x^2$ auf ganz $ℝ$ nicht umkehrbar?

Für $a\ne 0$ gilt

$f(a)=a^2=(-a{)}^2=f(-a)$.

Zum Beispiel:

$f(3)=9$

$f(-3)=9$.

Zwei verschiedene Eingaben haben dieselbe Ausgabe. Eine eindeutige Rückwärtszuordnung ist deshalb nicht möglich.

Kernbeispiel: Wurzelfunktion

$g(x)=\sqrt{x}$

$D_g=[0,\mathrm{\infty })$

$W_g=[0,\mathrm{\infty })$

Quadrat und Wurzel als Umkehrfunktionen

Beschränke die Quadratfunktion auf

$D_{f_{+}}=[0,\mathrm{\infty })$.

Dann gilt

$f_{+}(x)=x^2$

und

$W_{f_{+}}=[0,\mathrm{\infty })$.

Für $g(x)=\sqrt{x}$ gilt ebenfalls

$D_g=[0,\mathrm{\infty })$

und

$W_g=[0,\mathrm{\infty })$.

Damit tauschen Definitions- und Wertemenge ihre Rollen:

$D_{f_{+}}=W_g$

$W_{f_{+}}=D_g$.

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Algebraischer Umkehrtest

Für $x\ge 0$ gilt

$g(f_{+}(x))=\sqrt{x^2}=x$

und

$f_{+}(g(x))=(\sqrt{x}{)}^2=x$.

Für beliebige reelle $x$ gilt dagegen

$\sqrt{x^2}=|x|$.

Gegenbeispiel:

$\sqrt{(-3{)}^2}=3\ne -3$.

Dynamischer Graph

Untersuche gemeinsam

$f(x)=x^2$,

$g(x)=\sqrt{x}$

und

$y=x$.

1. Vergleiche Punkte auf $f$ und $g$.
2. Prüfe die Spiegelung an $y=x$.
3. Untersuche, warum der linke Parabelast die Eindeutigkeit verhindert.

Digitale Kontrolle: Prüfe Achsenskalierung, Definitionsbereich und eingegebene Terme. Ein Graphikprogramm oder eine KI ersetzt keinen mathematischen Beweis. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Interaktives Beispiel: Wurzelfunktion

Bestimme die Definitionsmenge von

$h(x)=\sqrt{5-2x}$.

Hilfestufe 1

Unter der Wurzel muss der Term mindestens null sein.

Hilfestufe 2

$5-2x\ge 0$

Feedback

$-2x\ge -5$. Beim Teilen durch $-2$ dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

$x\le \frac{5}{2}$

also

$D_h=(-\mathrm{\infty },\frac{5}{2}]$.

Interaktives Beispiel: Wertemenge

Gegeben ist

$k(x)=3(x-2{)}^2+1$.

Hilfestufe 1

Es gilt $(x-2{)}^2\ge 0$.

Hilfestufe 2

Daher gilt $3(x-2{)}^2+1\ge 1$.

Feedback

Der kleinste Wert ist $1$ und wird bei $x=2$ erreicht.

$W_k=[1,\mathrm{\infty })$.

E-Niveau: Verallgemeinern und beweisen

Für

$q(x)=a(x-h{)}^2+k$

mit $a>0$ gilt

$(x-h{)}^2\ge 0$

und damit

$q(x)\ge k$.

Sei nun $y\ge k$. Wähle

$x=h+\sqrt{\frac{y-k}{a}}$.

Dann gilt

$q(x)=y$.

Also

$W_q=[k,\mathrm{\infty })$.

Für $a<0$ gilt entsprechend

$W_q=(-\mathrm{\infty },k]$.

E-Niveau: Umkehrfunktion einer verschobenen Parabel

Beschränke

$q(x)=a(x-h{)}^2+k$

mit $a>0$ auf $x\ge h$.

$y=a(x-h{)}^2+k$

$y-k=a(x-h{)}^2$

$\frac{y-k}{a}=(x-h{)}^2$

Da $x-h\ge 0$, folgt

$x=h+\sqrt{\frac{y-k}{a}}$.

Damit

$q^{-1}(x)=h+\sqrt{\frac{x-k}{a}}$.

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
$\sqrt{x^2}=x$ für alle reellen $x$	Richtig ist $\sqrt{x^2}=|x|$.
$D_{\sqrt{x}}=ℝ$	Reell gilt $x\ge 0$.
Wertemenge nur aus einigen Tabellenwerten ablesen	Termstruktur oder Graph begründen.
Parabel auf ganz $ℝ$ umkehren	Zuerst auf einen monotonen Ast einschränken.

Selbstkontrolle

1. Kannst Du aus einem Term verbotene Eingaben bestimmen?
2. Kannst Du erklären, welche Ausgaben tatsächlich erreicht werden?
3. Kannst Du eine fehlende Umkehrbarkeit mit einem Gegenbeispiel zeigen?
4. Kannst Du eine geeignete Definitionsbeschränkung begründen?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Definitionsmenge hat die Wurzelfunktion über den reellen Zahlen? (Alle reellen Zahlen ab null) (!Alle reellen Zahlen) (!Alle negativen reellen Zahlen) (!Alle reellen Zahlen außer null)

Welche Wertemenge hat die Quadratfunktion bei reellen Eingaben? (Alle reellen Zahlen ab null) (!Alle reellen Zahlen) (!Nur negative reelle Zahlen) (!Alle reellen Zahlen außer null)

Warum ist die Quadratfunktion auf ganz R nicht umkehrbar? (Verschiedene Eingaben können denselben Funktionswert besitzen) (!Sie hat keine Nullstelle) (!Sie enthält eine Potenz) (!Sie ist nur für positive Zahlen definiert)

Welche Einschränkung macht die Quadratfunktion passend zur Wurzelfunktion als Umkehrfunktion? (Nur nichtnegative Eingaben zulassen) (!Nur negative Eingaben zulassen) (!Null als Eingabe ausschließen) (!Nur ganzzahlige Eingaben zulassen)

Was gilt für die Wurzel aus dem Quadrat einer beliebigen reellen Zahl? (Sie ist der Betrag der Zahl) (!Sie ist immer die ursprüngliche Zahl) (!Sie ist immer negativ) (!Sie ist das Quadrat der Zahl)

Welche Eingabe ist bei der Funktion eins durch x minus zwei ausgeschlossen? (Die Zahl zwei) (!Die Zahl null) (!Die Zahl minus zwei) (!Keine Zahl)

Ab welchem x Wert ist die Wurzel aus zwei x minus sechs reell definiert? (Ab drei einschließlich) (!Ab null einschließlich) (!Bis drei einschließlich) (!Für alle reellen Zahlen)

Welchen kleinsten Wert hat drei mal x minus zwei zum Quadrat plus eins? (Die Zahl eins) (!Die Zahl null) (!Die Zahl zwei) (!Es gibt keinen kleinsten Wert)

Wie hängen die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion zusammen? (Sie sind an der Geraden y gleich x gespiegelt) (!Sie sind an der x Achse gespiegelt) (!Sie sind immer parallel) (!Sie sind immer identisch)

Was muss bei einem Sachmodell zusätzlich zum Funktionsterm geprüft werden? (Ob der Kontext die zulässigen Eingaben einschränkt) (!Ob alle Zahlen ganzzahlig sind) (!Ob der Graph durch den Ursprung geht) (!Ob immer eine Parabel entsteht)

Memory

Definitionsmenge	zulässige Eingaben
Wertemenge	tatsächlich erreichte Ausgaben
Quadratfunktion	Parabel
Wurzelfunktion	nichtnegative Eingaben
Umkehrfunktion	vertauscht Ein- und Ausgabe
Spiegelachse	Gerade y gleich x

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Definitionsmenge	zulässige Eingaben
Wertemenge	erreichbare Ausgaben
Quadratfunktion	Parabel
Wurzelfunktion	Eingaben ab null
Umkehrfunktion	Rückwärtszuordnung

Kreuzworträtsel

Definitionsmenge	Wie heißt die Menge aller zulässigen Eingaben?
Wertemenge	Wie heißt die Menge aller tatsächlich erreichbaren Ausgaben?
Parabel	Wie heißt der typische Graph einer quadratischen Funktion?
Wurzelfunktion	Welche Funktion kehrt den nichtnegativen Ast der Quadratfunktion um?
Umkehrfunktion	Wie heißt die eindeutige Rückwärtszuordnung einer Funktion?
Monotonie	Welche Eigenschaft hilft beim Prüfen der Umkehrbarkeit?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Menge aller zulässigen Eingaben heißt . Die tatsächlich erreichten Funktionswerte bilden die . Für die Quadratfunktion ist der kleinste Funktionswert . Für die Wurzelfunktion müssen die Eingaben sein. Die Quadratfunktion wird auf dem nichtnegativen Ast . Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind an der Geraden gespiegelt.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Bruchfunktion

Bestimme Definitions- und Wertemenge von

$r(x)=\frac{2}{x+1}$.

Hilfestufe 1

Der Nenner darf nicht null werden.

Hilfestufe 2

$x+1\ne 0$. Prüfe außerdem, ob der Bruch jemals null werden kann.

Feedback

$D_r=ℝ\setminus \{-1\}$

$W_r=ℝ\setminus \{0\}$.

Übung B: Verschobene Wurzel

$s(x)=\sqrt{x-4}+2$

Hilfestufe 1

Unter der Wurzel gilt $x-4\ge 0$.

Feedback

$D_s=[4,\mathrm{\infty })$

$W_s=[2,\mathrm{\infty })$.

Übung C: Umkehrfunktion formal herleiten

Gegeben ist

$t(x)=(x-1{)}^2+3$

mit

$D_t=[1,\mathrm{\infty })$.

Hilfestufe 1

Setze $y=(x-1{)}^2+3$ und löse nach $x$ auf.

Feedback

$t^{-1}(x)=1+\sqrt{x-3}$

mit

$D_{t^{-1}}=[3,\mathrm{\infty })$.

Kompetenzcheck

1. Bestimme $D_f$ und $W_f$ für $f(x)=\sqrt{3x+6}-1$.
2. Begründe formal die Wertemenge von $q(x)=-2(x+1{)}^2+5$.
3. Widerlege die Aussage: Aus $f(a)=f(b)$ folgt für jede Funktion $a=b$.
4. Erkläre, warum eine Einschränkung des Definitionsbereichs Umkehrbarkeit herstellen kann.
5. Leite die Umkehrfunktion von $p(x)=4(x-2{)}^2+1$ für $x\ge 2$ her.

Transfer

Für die Fläche eines quadratischen Schildes gilt

$A(s)=s^2$

mit

$0\le s\le 3$.

Daraus folgt

$D_A=[0,3]$

und

$W_A=[0,9]$.

Die Umkehrfunktion lautet

$s(A)=\sqrt{A}$.

Denkfrage: Warum wäre $ℝ$ als Definitionsmenge für eine Seitenlänge sachlich ungeeignet?

Reflexion

1. Woran erkennst Du Einschränkungen der Definitionsmenge am schnellsten?
2. Warum reicht ein Graphbild allein nicht als Beweis für eine Wertemenge?
3. Warum ist $x=-3$ ein wichtiges Gegenbeispiel zu $\sqrt{x^2}=x$?
4. Wie prüfst Du eine KI-Ausgabe zu Funktionen mathematisch nach?

Folgekurs

M10 E - Umkehrfunktionen formal untersuchen

Dort werden Umkehrbarkeit, Monotonie, algebraische Herleitung und Verkettung weiter vertieft.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Definitionsmenge: Erstelle fünf Funktionskarten und markiere jeweils verbotene Eingaben.
2. Wertemenge: Zeichne drei Graphen und kennzeichne die erreichten y-Werte.
3. Quadratfunktion: Erstelle eine Bildfolge, warum $x^2$ nie negativ ist.
4. Wurzelfunktion: Gestalte ein Mini-Plakat mit Definitionsmenge, Wertemenge und drei Punkten.

Standard

1. Umkehrfunktion: Zeichne $x^2$, $\sqrt{x}$ und $y=x$ gemeinsam.
2. Funktionsgraph: Untersuche digital $\sqrt{x-a}+b$ für verschiedene Parameter.
3. Gegenbeispiel: Formuliere zwei falsche Aussagen und widerlege sie.
4. Modellieren: Entwickle eine Alltagssituation mit kontextbedingter Definitionsmenge.

Schwer

1. Mathematischer Beweis: Beweise die Wertemenge von $a(x-h{)}^2+k$ für beide Vorzeichen von $a$.
2. Umkehrfunktion: Leite beide möglichen inversen Äste einer Parabel her.
3. Funktionsuntersuchung: Vergleiche $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$ und $\sqrt[3]{x}$.
4. Digitale Mathematik: Prüfe eine KI-Lösung Schritt für Schritt und dokumentiere mindestens eine mögliche Fehlerquelle. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Begründen: Leite die Definitionsmenge von $f(x)=\sqrt{8-2x}$ her und deute den Randwert.
2. Vergleichen: Vergleiche $x^2$ auf $ℝ$ und auf $[0,\mathrm{\infty })$ hinsichtlich Umkehrbarkeit.
3. Beweisen: Zeige für $q(x)=2(x+3{)}^2-7$, dass $W_q=[-7,\mathrm{\infty })$ gilt.
4. Gegenbeispiel: Prüfe die Aussage, dass gleiche Wertemengen automatisch Umkehrfunktionen bedeuten.
5. Modellieren: Begrenze $A(r)=\pi r^2$ realistisch und bestimme Definitions- und Wertemenge.
6. Transfer: Erkläre allgemein den Rollentausch von Definitions- und Wertemenge bei Umkehrfunktionen.

Lernnachweis

1. Definitionsmengen aus Term, Graph und Kontext herleiten.
2. Wertemengen begründen statt nur ablesen.
3. Quadrat- und Wurzelfunktion sicher vergleichen.
4. fehlende Umkehrbarkeit durch Gegenbeispiel zeigen.
5. geeignete Definitionsbeschränkungen begründen.
6. Umkehrfunktionen algebraisch herleiten und prüfen.
7. digitale Ergebnisse kritisch kontrollieren.

Verknüpfte Lernbereiche

Funktionen Definitionsmenge Wertemenge Quadratische Funktion Wurzelfunktion Umkehrfunktion Monotonie Funktionsgraph Mathematischer Beweis