M10 M - Wachstums- und Zerfallsprozesse modellieren

M10 M - Wachstums- und Zerfallsprozesse modellieren

Mini-Beschreibung: Entwickle aus Anfangswert und Wachstums- beziehungsweise Abnahmefaktor ein exponentielles Modell und berechne zukünftige beziehungsweise frühere Werte. Du arbeitest mit fiktiven Populationen, technischen Prozessen und Finanzmodellen.

Zielgruppe: Klasse 10, Mathematik, Baden-Württemberg, M-Niveau.

Freie Grafik zum exponentiellen Wachstum: Wikimedia Commons, CC BY 4.0. Quelle und Lizenz

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Kurzer Einstieg

Eine fiktive Population wächst nicht jedes Jahr um dieselbe Anzahl, sondern um denselben Prozentsatz. Ein technischer Messwert sinkt pro Prüfzyklus immer um denselben Anteil. Ein Kapital wird jedes Jahr mit demselben Zinssatz verzinst. Solche Prozesse lassen sich oft durch ein exponentielles Modell beschreiben.

Der Grundtyp lautet:

$B(t)=B_0\cdot q^t$

Dabei gilt:

1. $B_0$: Anfangswert bei $t=0$
2. $q$: Wachstums- oder Abnahmefaktor
3. $t$: Anzahl der gleich langen Zeitschritte
4. $B(t)$: Wert nach $t$ Zeitschritten

Lernziele

Du kannst

1. aus einem Anfangswert und einem Faktor ein Modell der Form $B(t)=B_0\cdot q^t$ aufstellen,
2. Prozentangaben in Wachstums- oder Abnahmefaktoren umwandeln,
3. zukünftige Werte mit positiven Exponenten berechnen,
4. frühere Werte mit negativen Exponenten berechnen,
5. Tabellen, Funktionsgleichungen und Graphen miteinander verknüpfen,
6. Ergebnisse im Sachzusammenhang prüfen und begründen,
7. digitale Ergebnisse kritisch kontrollieren.

Vorwissen-Check

Bearbeite die vier Kurzchecks ohne Hilfsmittel. Öffne danach die Lösung.

1. Prozent in Faktor: Ein Bestand wächst um $8\mathrm{\%}$. Bestimme $q$.

Lösung: $q=1+\frac{8}{100}=\mathrm{1,08}$

2. Abnahmefaktor: Ein Wert nimmt um $17\mathrm{\%}$ ab. Bestimme $q$.

Lösung: $q=1-\frac{17}{100}=\mathrm{0,83}$

3. Potenz: Berechne $2^4$.

Lösung: $2^4=16$

4. Rückwärtsrechnen: Vereinfache $q^{-2}$.

Lösung: $q^{-2}=\frac{1}{q^2}$

Das exponentielle Modell

Faktor aus Prozentwert

Bei einer Zunahme um $p\mathrm{\%}$:

$q=1+\frac{p}{100}$

Bei einer Abnahme um $p\mathrm{\%}$:

$q=1-\frac{p}{100}$

Änderung	Faktor	Bedeutung
$+6\mathrm{\%}$	$\mathrm{1,06}$	Wachstum
$-6\mathrm{\%}$	$\mathrm{0,94}$	Abnahme
$+25\mathrm{\%}$	$\mathrm{1,25}$	Wachstum
$-25\mathrm{\%}$	$\mathrm{0,75}$	Abnahme

Merksatz: Nicht der Prozentsatz wird potenziert, sondern der daraus gebildete Faktor $q$.

Wachstum und Zerfall am Graphen

Für $q>1$ wächst der Wert. Für $0<q<1$ nimmt er ab.

Freie Grafik: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0. Quelle und Lizenz

Freie Grafik: Wikimedia Commons, CC BY-SA 4.0. Quelle und Lizenz

Denkfrage: Warum wird bei exponentiellem Wachstum der absolute Zuwachs von Schritt zu Schritt größer, obwohl der Faktor gleich bleibt?

Hinweis: Der gleiche Prozentsatz bezieht sich immer auf den jeweils aktuellen Wert.

Linear oder exponentiell?

Bei linearem Wachstum ist die Differenz aufeinanderfolgender Werte konstant. Bei exponentiellem Wachstum ist der Quotient aufeinanderfolgender Werte konstant.

Merkmal	Linear	Exponentiell
konstant	Differenz	Quotient
Modell	$B(t)=B_0+d\cdot t$	$B(t)=B_0\cdot q^t$
Graph	Gerade	gekrümmte Kurve

Vergleichsgrafik: Wikimedia Commons, CC0. Quelle und Lizenz

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Fiktive Population wächst

Eine fiktive Tierpopulation startet mit $240$ Individuen und wächst pro Jahr um $15\mathrm{\%}$.

Schritt 1 – Faktor:

$q=1+\frac{15}{100}=\mathrm{1,15}$

Schritt 2 – Modell:

$N(t)=240\cdot \mathrm{1,1}{5}^t$

Schritt 3 – Wert nach vier Jahren:

$N(4)=240\cdot \mathrm{1,1}{5}^4\approx \mathrm{419,76}$

Im Modell sind das gerundet etwa 420 Individuen.

Schritt 4 – zwei Jahre vor dem Startzeitpunkt:

$N(-2)=240\cdot \mathrm{1,1}{5}^{-2}\approx \mathrm{181,47}$

Das Modell liefert für diesen früheren Zeitpunkt etwa 181 Individuen.

$t$	$N(t)$
$-2$	$\approx 181$
$0$	$240$
$2$	$\approx 317$
$4$	$\approx 420$

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Beispiel 2: Technischer Messwert nimmt ab

Ein fiktiver Sensorwert beträgt zu Beginn $800$ Einheiten. Pro Prüfzyklus sinkt er um $12\mathrm{\%}$.

$q=1-\frac{12}{100}=\mathrm{0,88}$

$S(t)=800\cdot \mathrm{0,8}{8}^t$

Nach sechs Zyklen:

$S(6)=800\cdot \mathrm{0,8}{8}^6\approx \mathrm{371,52}$

Drei Zyklen vor dem Startzeitpunkt:

$S(-3)=800\cdot \mathrm{0,8}{8}^{-3}\approx \mathrm{1173,93}$

Prüfung: Ein früherer Wert muss bei einem Zerfallsmodell größer als der Startwert sein. Das passt hier.

Beispiel 3: Finanzmodell

Ein fiktives Kapital von $1500$ € wächst jährlich um $\mathrm{2,5}\mathrm{\%}$.

$K(t)=1500\cdot \mathrm{1,02}{5}^t$

Nach acht Jahren:

$K(8)=1500\cdot \mathrm{1,02}{5}^8\approx \mathrm{1827,60}$ €

Drei Jahre vor $t=0$:

$K(-3)=1500\cdot \mathrm{1,02}{5}^{-3}\approx \mathrm{1392,90}$ €

Freie Grafik zum Zinseszins: Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0. Quelle und Lizenz

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Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Wachstum

Eine fiktive Zellkultur startet mit $720$ Einheiten und wächst pro Stunde um $8\mathrm{\%}$.

Aufgabe: Stelle das Modell auf und berechne den Wert nach fünf Stunden.

Hilfestufe 1: Berechne zuerst $q=1+\frac{8}{100}$.

Hilfestufe 2: Das Modell beginnt mit $Z(t)=720\cdot q^t$.

Hilfestufe 3: Setze $t=5$ ein.

Lösung und Feedback: $Z(t)=720\cdot \mathrm{1,0}{8}^t$ und $Z(5)\approx \mathrm{1057,92}$. Wenn Du mit $\mathrm{0,08}$ statt mit $\mathrm{1,08}$ gerechnet hast, hast Du Prozentsatz und Faktor verwechselt.

Übung B: Zerfall

Ein technischer Speicherwert startet mit $950$ Einheiten und verliert pro Zyklus $18\mathrm{\%}$.

Aufgabe: Stelle das Modell auf und berechne den Wert nach vier Zyklen.

Hilfestufe 1: Bei Abnahme gilt $q=1-\frac{p}{100}$.

Hilfestufe 2: Hier ist $q=\mathrm{0,82}$.

Hilfestufe 3: Berechne $950\cdot \mathrm{0,8}{2}^4$.

Lösung und Feedback: $S(t)=950\cdot \mathrm{0,8}{2}^t$ und $S(4)\approx \mathrm{429,52}$. Dein Ergebnis muss kleiner als $950$ sein.

Übung C: Früherer Wert

Eine fiktive Population wird durch $P(t)=500\cdot \mathrm{1,1}{2}^t$ beschrieben.

Aufgabe: Berechne den Modellwert drei Zeitschritte vor $t=0$.

Hilfestufe 1: Früher bedeutet hier $t=-3$.

Hilfestufe 2: Nutze $\mathrm{1,1}{2}^{-3}=\frac{1}{\mathrm{1,1}{2}^3}$.

Lösung und Feedback: $P(-3)=500\cdot \mathrm{1,1}{2}^{-3}\approx \mathrm{355,89}$. Bei einem Wachstumsmodell ist der frühere Wert kleiner als $500$.

Typische Fehler

1. Prozent statt Faktor: $12\mathrm{\%}$ Wachstum bedeutet $q=\mathrm{1,12}$, nicht $q=\mathrm{0,12}$.
2. Abnahme falsch bilden: $20\mathrm{\%}$ Abnahme bedeutet $q=\mathrm{0,80}$, nicht $q=-\mathrm{0,20}$.
3. Exponent vergessen: Der Faktor wird für jeden Zeitschritt erneut angewendet: $q^t$.
4. Rückwärts falsch rechnen: Frühere Werte werden mit einem negativen Exponenten modelliert.
5. Zu früh runden: Runde möglichst erst am Ende.
6. Einheiten ignorieren: Prüfe, ob $t$ in Jahren, Stunden oder Zyklen gemessen wird.

Digitale Werkzeuge kritisch nutzen

Taschenrechner, Tabellenkalkulation, dynamische Geometriesoftware und KI können beim Prüfen helfen. Sie ersetzen aber keine mathematische Begründung.

1. Prüfe, ob das eingegebene Modell zum Sachtext passt.
2. Kontrolliere Größenordnung und Richtung: Wachstum muss steigen, Zerfall muss fallen.
3. Vergleiche mindestens einen Wert mit einer Rechnung von Hand.
4. Gib bei schulischen Modellierungen keine personenbezogenen Daten ein.
5. Prüfe KI-Ausgaben: Eine plausible Antwort ist noch kein mathematischer Beweis.

Selbstkontrolle

Prüfe Dich selbst:

Ich kann ...	Ja	Noch üben
aus Prozenten $q$ bilden	□	□
$B(t)=B_0\cdot q^t$ aufstellen	□	□
zukünftige Werte berechnen	□	□
frühere Werte berechnen	□	□
Graph und Term verbinden	□	□
Ergebnisse begründen	□	□

Transfer

Ein Modell ist eine Vereinfachung. Ein konstanter Faktor ist nur dann sinnvoll, wenn der prozentuale Zu- oder Abnahmeanteil über den betrachteten Zeitraum näherungsweise gleich bleibt.

Transferfrage: Eine fiktive Population wächst zunächst um $10\mathrm{\%}$ pro Jahr, später aber nur noch um $2\mathrm{\%}$. Warum ist ein einziges exponentielles Modell mit konstantem $q$ für den gesamten Zeitraum problematisch?

Feedback: Der Faktor ändert sich. Ein Modell mit einem konstanten $q$ beschreibt dann nicht beide Phasen passend. Sinnvoller sind getrennte Modelle für die Zeitabschnitte.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Beschreibung passt zur Formel eines exponentiellen Modells? (Anfangswert mal Faktor hoch Zeit) (!Anfangswert plus Faktor mal Zeit) (!Faktor plus Anfangswert hoch Zeit) (!Anfangswert mal Zeit hoch Faktor)

Welcher Faktor gehört zu einem Wachstum von 7 Prozent pro Zeitschritt? (1,07) (!0,07) (!0,93) (!1,70)

Welcher Faktor gehört zu einer Abnahme von 18 Prozent pro Zeitschritt? (0,82) (!1,18) (!0,18) (!1,82)

Woran erkennst Du exponentielles Wachstum in einer Wertetabelle mit gleichen Zeitabständen? (Die Quotienten aufeinanderfolgender Werte sind konstant) (!Die Differenzen aufeinanderfolgender Werte sind konstant) (!Alle Werte sind gleich) (!Die Zeitwerte werden immer verdoppelt)

Was bedeutet ein Faktor größer als 1? (Der Modellwert wächst) (!Der Modellwert bleibt konstant) (!Der Modellwert wird negativ) (!Der Modellwert fällt immer auf null)

Was bedeutet ein Faktor zwischen 0 und 1? (Der Modellwert nimmt ab) (!Der Modellwert wächst) (!Der Modellwert ist linear) (!Der Anfangswert ist null)

Welcher Exponent beschreibt zwei Zeitschritte vor dem Startzeitpunkt? (-2) (!2) (!0) (!1)

Warum sollte erst am Ende gerundet werden? (Damit sich Rundungsfehler nicht unnötig fortpflanzen) (!Damit der Faktor größer wird) (!Damit aus Wachstum Zerfall wird) (!Damit der Anfangswert verschwindet)

Welche Aussage zu digitalen Werkzeugen ist richtig? (Ergebnisse müssen mathematisch geprüft und begründet werden) (!Jede Rechnerausgabe ist automatisch richtig) (!Eine KI-Ausgabe ersetzt einen Beweis) (!Einheiten müssen bei digitaler Rechnung nicht geprüft werden)

Welche Bezeichnung steht im Modell für den Anfangswert? (B null) (!q) (!t) (!Funktionswert)

Memory

Anfangswert	Wert bei $t=0$
Wachstumsfaktor	Faktor größer als $1$
Abnahmefaktor	Faktor zwischen $0$ und $1$
negativer Exponent	früherer Zeitpunkt
konstanter Quotient	exponentieller Prozess
Zinseszins	Finanzmodell mit wiederholter Verzinsung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Wachstumsfaktor	Wachstum
Abnahmefaktor	Zerfall
negativer Exponent	früherer Wert
konstanter Quotient	exponentiell
konstante Differenz	linear

Kreuzworträtsel

Faktor	Womit wird der aktuelle Wert in jedem Zeitschritt multipliziert?
Anfangswert	Wie heißt der Wert bei Start des Modells?
Wachstum	Wie heißt eine exponentielle Entwicklung mit Faktor größer als eins?
Zerfall	Wie heißt eine exponentielle Entwicklung mit Faktor zwischen null und eins?
Quotient	Welche Größe ist bei exponentiellen Tabellen für gleiche Zeitabstände konstant?
Exponent	Wo steht die Zeitvariable bei einer Exponentialfunktion?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein exponentielles Modell hat die Form $B(t)=B_0\cdot q^t$. Der Wert $B_0$ heißt . Bei Wachstum ist der Faktor $q$ als eins. Bei einer Abnahme liegt $q$ zwischen und eins. Eine Zunahme um 9 Prozent führt zum Faktor . Für einen früheren Zeitpunkt kann ein Exponent verwendet werden. In einer exponentiellen Wertetabelle ist bei gleichen Zeitabständen der aufeinanderfolgender Werte konstant.

Kompetenzcheck

M-Niveau: Der Kompetenzcheck zielt auf selbstständiges Rechnen, Darstellungswechsel, Modellierung und begründete Verfahrenswahl zur Vorbereitung auf den mittleren Abschluss. Du hast das Ziel erreicht, wenn Du selbstständig

1. einen passenden Anfangswert und Faktor aus einem Sachtext entnimmst,
2. zwischen linearem und exponentiellem Modell begründet unterscheidest,
3. Term, Tabelle und Graph miteinander verknüpfst,
4. zukünftige und frühere Werte berechnest,
5. Rechenwege nachvollziehbar darstellst,
6. ein digitales Ergebnis auf Plausibilität prüfst.

Mini-Aufgabe: Ein fiktiver Bestand von $360$ Einheiten wächst pro Stunde um $5\mathrm{\%}$. Formuliere das Modell, berechne den Wert nach sechs Stunden und erkläre in einem Satz, warum Dein Ergebnis zum Graphen passen muss.

Kontrolle: $B(t)=360\cdot \mathrm{1,0}{5}^t$, $B(6)\approx \mathrm{482,43}$. Der Graph muss steigen, weil $q=\mathrm{1,05}>1$.

Reflexion

1. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Term, Tabelle oder Graph? Begründe.
2. Bei welchem Schritt passieren Dir noch Fehler: Prozent in Faktor, Einsetzen oder Rückwärtsrechnen?
3. Wie kannst Du ein digitales Ergebnis ohne zweites digitales Werkzeug prüfen?
4. Woran erkennst Du, dass ein reales Problem nicht dauerhaft mit einem konstanten Faktor modelliert werden sollte?

Offene Aufgaben

Leicht

1. Wachstumsfaktor: Erfinde drei Prozentangaben für Wachstum und berechne jeweils den passenden Faktor.
2. Abnahmefaktor: Erfinde drei technische Abnahmeprozesse und notiere jeweils ein passendes Modell.
3. Wertetabelle: Erstelle zu $B(t)=100\cdot \mathrm{1,}{2}^t$ eine Tabelle für fünf Zeitpunkte und beschreibe den Verlauf.
4. Exponentialgraph: Skizziere einen Wachstums- und einen Zerfallsgraphen und markiere jeweils den Anfangswert.

Standard

1. Modellieren: Erfinde eine fiktive Population mit Anfangswert und prozentualem Wachstum. Stelle Term und Wertetabelle auf.
2. Technischer Prozess: Entwirf ein Zerfallsmodell für einen fiktiven Sensorwert und berechne einen zukünftigen und einen früheren Wert.
3. Zinseszins: Entwickle ein fiktives Sparmodell mit konstantem Zinssatz und vergleiche Werte nach einem, fünf und zehn Jahren.
4. Darstellungswechsel: Erstelle zu einem selbst gewählten Modell Term, Tabelle und Graph und erkläre, wie dieselben Informationen in allen drei Darstellungen sichtbar werden.

Schwer

1. Modellvergleich: Vergleiche ein lineares und ein exponentielles Modell mit demselben Anfangswert. Untersuche, wann die Werte deutlich auseinanderliegen.
2. Fehleranalyse: Erfinde drei typische falsche Rechnungen zu Wachstum oder Zerfall und korrigiere sie mit Begründung.
3. Digitale Werkzeuge: Lass ein digitales Werkzeug Werte zu einem selbst gewählten Modell berechnen. Prüfe mindestens zwei Werte unabhängig und dokumentiere Abweichungen.
4. Modellkritik: Beschreibe einen fiktiven Prozess, bei dem sich der Faktor nach einigen Zeitschritten ändert. Begründe, warum ein einziges exponentielles Modell dann ungeeignet ist.

Lernkontrolle

1. Modellwahl: Zwei Tabellen haben gleiche Zeitabstände. Begründe anhand von Differenzen und Quotienten, welche Tabelle eher linear und welche eher exponentiell ist.
2. Parameter deuten: Erkläre für $B(t)=450\cdot \mathrm{0,9}{3}^t$, was die Zahlen $450$ und $\mathrm{0,93}$ im Sachzusammenhang bedeuten.
3. Rückwärtsmodellierung: Begründe, warum negative Exponenten geeignet sind, frühere Werte eines exponentiellen Modells zu berechnen.
4. Plausibilitätsprüfung: Ein Rechner liefert bei einem Zerfallsmodell nach fünf Schritten einen Wert, der größer als der Anfangswert ist. Analysiere mögliche Ursachen.
5. Darstellungsverknüpfung: Erkläre, wie Du aus einem Graphen abschätzen kannst, ob $q$ größer oder kleiner als eins ist, und wie sich das in einer Tabelle zeigt.
6. Transfer: Ein Faktor bleibt nur in den ersten vier Zeitschritten konstant. Entwickle eine sinnvolle Strategie für die Modellierung danach.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. ein korrektes exponentielles Modell aus einem Sachtext,
2. nachvollziehbare Umwandlung von Prozentwert und Faktor,
3. korrekte Berechnung zukünftiger und früherer Werte,
4. passende Nutzung von Tabelle und Graph,
5. Begründung der Modellwahl,
6. Plausibilitätsprüfung und korrekte Einheiten,
7. kritische Prüfung digital erzeugter Ergebnisse.

Im Lernnachweis werden keine externen Medien benötigt.

OERs zum Thema

Weitere frei zugängliche Lernangebote:

1. Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Exponentielles Wachstum und Zerfall
2. Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Checkout Exponentialfunktionen Klasse 10 M-Niveau
3. Serlo: Videokurs zu Exponentialfunktionen

Verknüpfte Lernbereiche

Wachstums- und Zerfallsprozesse Exponentialfunktion Exponentielles Wachstum Exponentieller Zerfall Wachstumsfaktor Abnahmefaktor Prozentrechnung Potenzen Wertetabelle Funktionsgraph Zinseszins

Folgekurs

Als nächster Schritt passt ein Kurs zu Exponentialgleichungen: Dort suchst Du nicht nur einen Funktionswert, sondern einen unbekannten Zeitpunkt. Bleibe dabei auf dem für Deinen Bildungsgang vorgesehenen Niveau.