ABI - Einfluss von Erwartungswert und Standardabweichung untersuchen

ABI - Einfluss von Erwartungswert und Standardabweichung untersuchen

Mini-Beschreibung: Verändere $\mu$ und $\sigma$ mit Schiebereglern und beschreibe Lage und Breite der Normalverteilung. Unterscheide klar zwischen Verschiebung durch den Erwartungswert und Veränderung der Streuung durch die Standardabweichung.

Kurzer Einstieg

Eine Normalverteilung wird durch zwei Parameter bestimmt:

1. $\mu$ legt die Lage der Glockenkurve fest.
2. $\sigma >0$ legt die Streuung und damit die Breite der Glockenkurve fest.

Für eine normalverteilte Zufallsvariable schreibt man

$X\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$.

Die zugehörige Dichtefunktion lautet

$f_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}^2)$.

Merksatz: Ändert sich nur $\mu$, wandert die Glocke nach links oder rechts. Ändert sich nur $\sigma$, bleibt ihre Mitte bei $\mu$, aber die Glocke wird schmaler und höher oder breiter und flacher.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$ an einer Normalverteilung deuten.
2. eine Veränderung von $\mu$ als horizontale Verschiebung erkennen.
3. eine Veränderung von $\sigma$ als Veränderung der Streuung erklären.
4. den Hochpunkt und die Symmetrieachse der Glockenkurve aus $\mu$ bestimmen.
5. die Wendestellen $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$ zur grafischen Interpretation nutzen.
6. Aussagen über Lage, Breite und Höhe verschiedener Normalverteilungen begründen.
7. im Leistungsfach die Parameterwirkung aus der Dichtefunktion herleiten.

Basisfach: Schwerpunkt sind verständige Verfahren, sichere Graphdeutung und anschauliche Argumentation.

Leistungsfach: Zusätzlich werden die Parameterwirkungen formal über die Dichtefunktion, Standardisierung und Modellierung begründet.

Prüfungsbezug Baden-Württemberg

Dieser Kurs ist auf die Kursstufe und das Mathematik-Abitur in Baden-Württemberg ausgerichtet. Die Normalverteilung gehört auch im Basisfach zum Themenbereich Daten und Zufall; im Leistungsfach wird sie vertieft behandelt.

Für den Prüfungsjahrgang 2027 sind die jeweils aktuellen amtlichen Vorgaben maßgeblich. Informationen und Facherlass: Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg – Abitur

Wichtig: GeoGebra, Videos, dynamische Graphen und andere Übungswerkzeuge in diesem aiMOOC sind Lernhilfen. Sie sind nicht automatisch als Hilfsmittel in einer Abiturprüfung zugelassen. Prüfe für Deinen Prüfungsjahrgang den aktuellen Facherlass und die Hinweise Deiner Schule.

KI-Hinweis: Von KI erzeugte Rechnungen, Graphen und Begründungen müssen mathematisch überprüft werden. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Vorwissen-Check

Du solltest bereits wissen, was Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung bedeuten.

Ergänze.
Der Erwartungswert einer Verteilung beschreibt ihre { Lage }.
Die Standardabweichung beschreibt die { Streuung } um den Erwartungswert.
Für eine Normalverteilung gilt stets $\sigma$ { größer } als $0$.
Die Gesamtfläche unter einer Dichtekurve ist { 1 }.

Wenn Dir mehr als eine Lücke schwerfällt: Wiederhole zuerst Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.

Parameterwirkung visuell untersuchen

Interaktives Modell: Schieberegler für μ und σ

Ändere zuerst nur $\mu$ und halte $\sigma$ fest. Ändere danach nur $\sigma$ und halte $\mu$ fest.

Beobachtungsauftrag:

1. Verändere $\mu$. Beschreibe, was sich am Graphen ändert und was gleich bleibt.
2. Stelle danach $\mu$ fest ein und verändere $\sigma$.
3. Vergleiche jeweils die Lage des Hochpunkts, die Breite der Glocke und ihre maximale Höhe.
4. Formuliere am Ende zwei getrennte Regeln: eine für $\mu$, eine für $\sigma$.

Erwartungswert μ: Verschiebung

Bei festem $\sigma$ gilt:

$\mu \uparrow \Rightarrow$ die gesamte Glockenkurve verschiebt sich nach rechts.

$\mu \downarrow \Rightarrow$ die gesamte Glockenkurve verschiebt sich nach links.

Die Form bleibt gleich.

Der Hochpunkt liegt bei

$x=\mu$.

Die Symmetrieachse ist

$x=\mu$.

Beispiel:

$X_1\sim 𝒩(0,1)$

und

$X_2\sim 𝒩(3,1)$.

Beide Verteilungen haben dieselbe Streuung. Die zweite Glocke ist gegenüber der ersten um $3$ Einheiten nach rechts verschoben.

Standardabweichung σ: Streuung

Bei festem $\mu$ verändert $\sigma$ nicht die Mitte, sondern die Streuung.

$\sigma \uparrow \Rightarrow$ breiter und flacher.

$\sigma \downarrow \Rightarrow$ schmaler und höher.

Die maximale Dichte ist

$f_{\mu ,\sigma }(\mu )=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$.

Damit gilt: Wird $\sigma$ größer, wird die maximale Höhe kleiner.

Die Wendestellen liegen bei

$x=\mu -\sigma$

und

$x=\mu +\sigma$.

Warum bleibt die Gesamtfläche 1?

Eine Dichtekurve muss insgesamt die Wahrscheinlichkeit $1$ darstellen:

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_{\mu ,\sigma }(x)\mathrm{d}x=1$.

Deshalb kann eine breitere Glocke nicht gleichzeitig überall gleich hoch bleiben. Wird sie durch größeres $\sigma$ breiter, muss sie zugleich flacher werden.

Denkfrage: Warum wäre eine breitere und gleichzeitig gleich hohe Glocke keine Wahrscheinlichkeitsdichte derselben Art?

Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung

Schritt	Mathematische Idee
1	Ausgangspunkt ist die Standardnormalverteilung $\phi (z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2/2}$.
2	Durch $x-\mu$ wird die Kurve horizontal an die Lage $\mu$ verschoben.
3	Durch $\frac{x-\mu }{\sigma }$ wird die horizontale Skala mit $\sigma$ verändert.
4	Der Faktor $\frac{1}{\sigma }$ passt die Höhe so an, dass die Gesamtfläche weiterhin $1$ bleibt.

Damit lässt sich die Dichte kompakt schreiben als

$f_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sigma }\phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$.

Leistungsfach: Diese Darstellung trennt Verschiebung und Skalierung besonders deutlich.

Zweites dynamisches Modell: Dichte und z-Skala

Untersuche mit den Schiebereglern:

1. Welche Stelle auf der $x$-Achse entspricht $z=0$?
2. Wo liegen $z=-1$ und $z=1$?
3. Was passiert mit der $x$-Skala, wenn $\sigma$ wächst?

Die Standardisierung lautet

$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$.

Sigma-Umgebungen

Für jede Normalverteilung gelten dieselben standardisierten Flächenanteile:

$P(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma )\approx \mathrm{0,6827}$

$P(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma )\approx \mathrm{0,9545}$

$P(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma )\approx \mathrm{0,9973}$.

Wichtig: Die Intervalle werden mit wachsendem $\sigma$ breiter. Die zugehörigen standardisierten Wahrscheinlichkeiten bleiben jedoch gleich.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Nur μ wird verändert

Gegeben sind

$X\sim 𝒩(4,2^2)$

und

$Y\sim 𝒩(7,2^2)$.

Beobachtung: Beide Glocken haben dieselbe Breite, denn $\sigma =2$ ist gleich. Der Graph von $Y$ ist gegenüber dem Graphen von $X$ um $3$ Einheiten nach rechts verschoben.

Die Symmetrieachse von $X$ liegt bei { $x=4$ }. Die Symmetrieachse von $Y$ liegt bei { $x=7$ }.

Beispiel 2: Nur σ wird verändert

Gegeben sind

$X\sim 𝒩(10,1^2)$

und

$Y\sim 𝒩(10,3^2)$.

Beide Kurven sind um $x=10$ symmetrisch. Die Verteilung von $Y$ ist breiter und flacher.

Bei $X$ liegen die Wendestellen bei { $9$ } und { $11$ }. Bei $Y$ liegen sie bei { $7$ } und { $13$ }.

Beispiel 3: Standardisieren

Für

$X\sim 𝒩(100,15^2)$

und $x=130$ gilt:

$z=\frac{130-100}{15}=2$.

Der Wert $130$ liegt also zwei Standardabweichungen über dem Erwartungswert.

Aufklappbarer Rechenweg

Rechenschritt	Begründung
$x-\mu =130-100=30$	Abstand vom Erwartungswert bestimmen.
$\frac{x-\mu }{\sigma }=\frac{30}{15}$	Abstand in Einheiten der Standardabweichung ausdrücken.
$z=2$	$x$ liegt zwei Standardabweichungen rechts von $\mu$.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A: Graphen vergleichen

Verteilung A hat $\mu =2$ und $\sigma =1$. Verteilung B hat $\mu =2$ und $\sigma =2$.

Aufgabe: Welche Kurve ist breiter?

Die breitere Kurve gehört zu Verteilung { B }, weil ihre Standardabweichung { größer } ist.

Hilfe: Vergleiche nur $\sigma$. Der gleiche Erwartungswert bedeutet gleiche Lage der Mitte.

Übung B: Verschiebung erkennen

Verteilung A hat $\mu =-1$, Verteilung B hat $\mu =4$. Beide haben $\sigma =\mathrm{1,5}$.

Aufgabe: Beschreibe die Veränderung.

Die Glocke wird um { $5$ } Einheiten nach { rechts } verschoben. Ihre Breite bleibt { gleich }.

Übung C: Wendestellen

Für

$X\sim 𝒩(50,4^2)$

liegen die Wendestellen bei

{ $46$ } und { $54$ }.

Hilfe: Nutze $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$.

Übung D: Basisfach und Leistungsfach

Basisfach: Erkläre in eigenen Worten, warum bei größerem $\sigma$ die Glocke breiter wird.

Leistungsfach: Nutze

$f_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sigma }\phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$

und begründe sowohl die horizontale Streckung als auch die Änderung der Höhe.

Fehleranalyse

Typische Fehlvorstellungen

Fehler 1: „Ein größeres $\mu$ macht die Glocke breiter.“

Korrektur: $\mu$ verändert die Lage, nicht die Streuung.

Fehler 2: „Ein größeres $\sigma$ verschiebt den Hochpunkt nach rechts.“

Korrektur: Bei festem $\mu$ bleibt der Hochpunkt bei $x=\mu$.

Fehler 3: „Wenn die Glocke breiter wird, wird die Fläche unter ihr größer.“

Korrektur: Die Gesamtfläche bleibt immer $1$. Eine breitere Normalverteilung wird daher flacher.

Fehler 4: „$\sigma$ kann negativ sein, weil Abweichungen auch negativ sein können.“

Korrektur: Die Standardabweichung erfüllt immer $\sigma \ge 0$; bei einer echten Normalverteilung gilt $\sigma >0$.

Fehlerdiagnose-Aufgabe

Eine Schülerin sagt:

„Ich ändere $\mu$ von $5$ auf $8$. Deshalb wird die Glocke dreimal so breit.“

Formuliere eine mathematisch richtige Verbesserung.

Feedback: Richtig ist eine Verschiebung um $3$ Einheiten nach rechts. Die Breite bleibt gleich, solange $\sigma$ unverändert bleibt.

Selbstkontrolle

Prüfe ohne Hilfsmittel:

1. Kannst Du am Hochpunkt $\mu$ ablesen?
2. Kannst Du aus den Wendestellen $\sigma$ bestimmen?
3. Kannst Du zwischen Verschiebung und Streuungsänderung unterscheiden?
4. Kannst Du erklären, warum größeres $\sigma$ eine flachere Glocke erzeugt?
5. Kannst Du einen Wert mit $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$ standardisieren?

Wenn Du mindestens vier Punkte sicher beantworten kannst, gehe zum Transfer.

Transfer

Modellierung: Fertigungsprozess

Die Masse eines Bauteils werde näherungsweise normalverteilt modelliert.

Prozess A:

$X_A\sim 𝒩(100,1^2)$

Prozess B:

$X_B\sim 𝒩(100,3^2)$.

Beide Prozesse haben denselben Erwartungswert. Prozess A streut jedoch weniger stark.

Transferfrage: Bei welchem Prozess liegen Werte typischerweise dichter um $100$? Begründe grafisch und mit $\sigma$.

Vertiefung Leistungsfach: Vergleiche zusätzlich die Wahrscheinlichkeiten für das feste Intervall

$98\le X\le 102$.

Begründe vor der Rechnung, bei welcher Verteilung Du die größere Wahrscheinlichkeit erwartest.

Dynamischer Transfer

Nutze das erste GeoGebra-Modell noch einmal:

1. Setze $\mu =100$.
2. Vergleiche $\sigma =1$ und $\sigma =3$.
3. Markiere gedanklich das feste Intervall $[98;102]$.
4. Erkläre, warum ein festes Intervall um $\mu$ bei kleinerem $\sigma$ einen größeren Anteil der Fläche erfassen kann.

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Kompetenzcheck

Basisfach:

1. Ich kann die Bedeutung von $\mu$ und $\sigma$ an einem Graphen beschreiben.
2. Ich kann verschiedene Glockenkurven anhand von Lage und Breite vergleichen.
3. Ich kann einfache Sigma-Umgebungen interpretieren.
4. Ich kann meine Entscheidung anschaulich begründen.

Leistungsfach:

1. Ich kann die Dichtefunktion einer Normalverteilung sicher lesen.
2. Ich kann die Parameterwirkung mit $f_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sigma }\phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$ begründen.
3. Ich kann standardisieren und den Zusammenhang zwischen $x$- und $z$-Skala erklären.
4. Ich kann Parameter in Modellierungssituationen interpretieren.

Reflexion

1. Welche Veränderung erkennst Du schneller am Graphen: eine Veränderung von $\mu$ oder von $\sigma$? Begründe.
2. Welche grafische Information hilft Dir am meisten, $\sigma$ abzuschätzen?
3. Formuliere in genau zwei Sätzen den Unterschied zwischen Verschiebung und Streuungsänderung.

Folgekurs

Als nächstes eignen sich:

1. Standardnormalverteilung und Standardisierung
2. Normalverteilung - Wahrscheinlichkeiten berechnen
3. Normalverteilung - Parameter aus Wahrscheinlichkeiten bestimmen
4. Binomialverteilung und Normalverteilung
5. Hypothesentest als Vertiefung im Leistungsfach

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Wirkung hat eine Erhöhung von μ bei konstantem σ? (Die Glockenkurve verschiebt sich nach rechts) (!Die Glockenkurve wird breiter) (!Die Glockenkurve wird höher) (!Die Gesamtfläche wird größer)

Welche Wirkung hat eine Erhöhung von σ bei konstantem μ? (Die Glockenkurve wird breiter und flacher) (!Die Glockenkurve verschiebt sich nach rechts) (!Die Symmetrieachse verschiebt sich) (!Die Gesamtfläche wird größer)

Wo liegt der Hochpunkt einer Normalverteilung? (Bei x gleich μ) (!Bei x gleich σ) (!Bei x gleich μ plus σ) (!Bei x gleich null)

Welche Größe beschreibt die Streuung einer Normalverteilung? (Die Standardabweichung σ) (!Der Erwartungswert μ) (!Die Gesamtfläche) (!Der Median des Intervalls)

Was bleibt bei einer Veränderung von μ bei festem σ unverändert? (Die Form und Breite der Glockenkurve) (!Die Lage des Hochpunkts) (!Die Symmetrieachse) (!Die x Koordinate des Maximums)

Wo liegen die Wendestellen einer Normalverteilung? (Bei μ minus σ und μ plus σ) (!Bei μ minus 2σ und μ plus 2σ) (!Bei null und μ) (!Immer bei minus eins und eins)

Was gilt für die Gesamtfläche unter einer Dichtekurve der Normalverteilung? (Sie ist gleich 1) (!Sie ist gleich μ) (!Sie ist gleich σ) (!Sie wächst mit σ)

Welche Verteilung ist bei gleichem μ schmaler? (Die Verteilung mit kleinerem σ) (!Die Verteilung mit größerem σ) (!Beide sind immer gleich breit) (!Das hängt nur von μ ab)

Welche Formel standardisiert einen Wert x? (z gleich x minus μ geteilt durch σ) (!z gleich x plus μ geteilt durch σ) (!z gleich x mal σ) (!z gleich μ minus x mal σ)

Was unterscheidet Basisfach und Leistungsfach in diesem Kurs besonders? (Im Leistungsfach wird die Parameterwirkung zusätzlich formal begründet) (!Im Basisfach gibt es keine Normalverteilung) (!Im Leistungsfach wird σ nicht verwendet) (!Im Basisfach wird nur mit Binomialverteilungen gearbeitet)

Memory

Erwartungswert	Lage der Glockenkurve
Standardabweichung	Streuung der Glockenkurve
Symmetrieachse	x gleich μ
Wendestellen	μ minus σ und μ plus σ
Standardisierung	z gleich x minus μ geteilt durch σ
Gesamtfläche	Wahrscheinlichkeit 1

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Verschiebung	Veränderung von μ
Streuungsänderung	Veränderung von σ
Hochpunkt	Stelle x gleich μ
Wendestellen	Abstand σ von μ
Standardisierung	Wechsel auf die z Skala

Kreuzworträtsel

Erwartungswert	Welcher Parameter bestimmt die Lage der Normalverteilung?
Standardabweichung	Welcher Begriff bezeichnet die Streuung um den Erwartungswert?
Symmetrieachse	Wie heißt die senkrechte Linie durch den Mittelpunkt der Glockenkurve?
Wendestelle	Wie heißt ein Punkt, an dem die Krümmung des Graphen wechselt?
Standardisierung	Wie heißt die Transformation von x auf die z Skala?
Dichtefunktion	Welche Funktion beschreibt die Glockenkurve mathematisch?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Parameter bestimmt die Lage einer Normalverteilung. Eine Veränderung dieses Parameters verschiebt die Glockenkurve, ohne ihre Form zu verändern. Die Größe beschreibt die Streuung. Wird sie größer, wird die Glockenkurve und zugleich flacher. Der Hochpunkt liegt bei . Die Wendestellen liegen bei und $\mu +\sigma$. Die Fläche unter der gesamten Dichtekurve ist stets . Zur Standardisierung verwendet man .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Normalverteilung skizzieren: Zeichne drei Glockenkurven mit gleichem $\sigma$, aber verschiedenen Werten von $\mu$.
2. Streuung vergleichen: Erstelle zwei Skizzen mit gleichem $\mu$, aber deutlich unterschiedlichen Werten von $\sigma$.
3. Parameter-Sprechtext: Nimm eine kurze Audioerklärung auf, in der Du Verschiebung und Streuungsänderung unterscheidest. Verwende keine personenbezogenen Daten.
4. GeoGebra-Beobachtung: Dokumentiere mit drei Screenshots, was beim Verändern von $\mu$ passiert.

Standard

1. Graphanalyse: Erstelle selbst vier Normalverteilungen und lasse eine andere Person die zugehörigen Werte von $\mu$ und $\sigma$ qualitativ vergleichen.
2. Fehleranalyse: Erfinde drei falsche Aussagen über $\mu$ und $\sigma$ und korrigiere sie mathematisch.
3. Modellierung: Entwickle mit frei erfundenen Messwerten ein Qualitätskontroll-Beispiel mit zwei Normalverteilungen.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, das die Wirkung von $\mu$ und $\sigma$ mit einem dynamischen Graphen zeigt.

Schwer

1. Herleitung: Leite aus $f_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sigma }\phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)$ die Parameterwirkungen formal her.
2. Standardisierung untersuchen: Zeige an drei verschiedenen Normalverteilungen, dass ein Abstand von genau einer Standardabweichung immer zu $z=1$ beziehungsweise $z=-1$ führt.
3. Modellvergleich: Untersuche für zwei Normalverteilungen mit gleichem Erwartungswert und verschiedener Standardabweichung mehrere feste Intervalle und formuliere eine begründete Vermutung über die Intervallwahrscheinlichkeiten.
4. Abitur-Transfer: Entwirf eine eigene abiturähnliche Teilaufgabe zur Graphdeutung einer Normalverteilung mit Erwartungswert und Standardabweichung sowie einen vollständigen Erwartungshorizont.

Lernkontrolle

1. Parameterwirkung begründen: Erkläre, warum eine Veränderung von $\mu$ eine Verschiebung, aber keine Änderung der Breite erzeugt.
2. Flächenargument: Begründe ohne bloßes Auswendiglernen, warum eine Normalverteilung bei größerem $\sigma$ flacher werden muss.
3. Graphrekonstruktion: Du kennst nur Hochpunkt und Wendestellen eines Normalverteilungsgraphen. Beschreibe, wie Du daraus $\mu$ und $\sigma$ bestimmst.
4. Transfer auf Messdaten: Zwei Produktionsprozesse besitzen denselben Erwartungswert, aber verschiedene Standardabweichungen. Erkläre, welcher Prozess stärkere Schwankungen zeigt und woran Du dies grafisch erkennst.
5. Standardisierung erklären: Begründe die Bedeutung von $z=2$ unabhängig von der konkreten Einheit der Zufallsgröße.
6. Basisfach und Leistungsfach: Formuliere zuerst eine anschauliche und danach eine formale Erklärung dafür, warum $\sigma$ die Breite der Glockenkurve beeinflusst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du

1. $\mu$ und $\sigma$ sicher aus Beschreibungen und Graphen interpretierst.
2. Verschiebung und Veränderung der Streuung eindeutig unterscheidest.
3. Hochpunkt, Symmetrieachse und Wendestellen einer Normalverteilung korrekt zuordnest.
4. die konstante Gesamtfläche unter der Dichtekurve als Wahrscheinlichkeit $1$ deutest.
5. einfache Standardisierungen mit $z=\frac{x-\mu }{\sigma }$ nachvollziehbar ausführst.
6. im Basisfach verständig und anschaulich argumentierst.
7. im Leistungsfach zusätzlich formal mit der Dichtefunktion und Standardisierung begründest.
8. Ergebnisse, auch aus digitalen oder KI-gestützten Werkzeugen, mathematisch überprüfst.

OERs zum Thema

Freie oder offen zugängliche Lernmedien im Kurs:

1. auf Wikimedia Commons
2. auf Wikimedia Commons
3. auf Wikimedia Commons
4. GeoGebra: Normalverteilung mit veränderlichem Mittelwert und veränderlicher Standardabweichung
5. GeoGebra: Dichtefunktion mit Schiebereglern und z-Skala

Medienhinweis: Bei Wikimedia Commons ist die jeweilige Dateibeschreibungsseite mit Lizenzangabe maßgeblich. YouTube- und GeoGebra-Einbettungen sind externe Inhalte; für ihre Nutzung gelten die Bedingungen der jeweiligen Plattform. Verwende bei eigenen Projekten keine personenbezogenen Daten.

Verknüpfte Lernbereiche

Normalverteilung Erwartungswert Standardabweichung Dichtefunktion Standardnormalverteilung Standardisierung Wahrscheinlichkeit Stochastik Binomialverteilung