ABI LF - Fehler erster und zweiter Art verstehen

Einleitung

Beim Hypothesentest wird aus einer Stichprobe eine Entscheidung über eine Nullhypothese getroffen. Weil die Stichprobe zufällig ist, kann die Entscheidung falsch sein. Genau deshalb unterscheidest Du zwei Fehlertypen:

1. Fehler erster Art: $H_0$ wird verworfen, obwohl $H_0$ gilt.
2. Fehler zweiter Art: $H_0$ wird nicht verworfen, obwohl $H_0$ falsch ist.

Zentrales Ziel: Du sollst Fehlentscheidungen nicht nur benennen, sondern im Sachkontext interpretieren, ihre Wahrscheinlichkeiten berechnen und die Wirkung von Signifikanzniveau, Entscheidungsregel und Stichprobenumfang begründen.

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Prüfungsbezug Baden-Württemberg

Stand September 2026: Für das schriftliche Abitur 2027 im Leistungsfach Mathematik gelten der Bildungsplan 2016 und der Facherlass 2027. In der Leitidee Daten und Zufall wird ausdrücklich verlangt, Signifikanzniveau und Irrtumswahrscheinlichkeit abzugrenzen sowie Fehler erster und zweiter Art im Kontext eines Hypothesentests zu erläutern.

Die schriftliche Prüfung 2027 umfasst einen Teil ohne Hilfsmittel und einen Teil mit zugelassenen Hilfsmitteln. GeoGebra, LearningApps und die Simulationen dieses aiMOOCs sind Übungswerkzeuge und nicht automatisch Prüfungshilfsmittel.

Prüfungshinweis: Für Deinen tatsächlichen Prüfungsjahrgang muss immer der dann gültige Facherlass geprüft werden.

Bildungsplan Mathematik Leistungsfach – Daten und Zufall

Termine und Informationen zum Abitur Baden-Württemberg

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Fehler erster Art und Fehler zweiter Art formal und im Sachkontext unterscheiden.
2. eine Entscheidungstabelle zu einem Hypothesentest aufstellen und interpretieren.
3. $\alpha$ als bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit unter $H_0$ deuten.
4. erklären, warum ein Signifikanzniveau nicht die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass $H_0$ falsch ist.
5. bei zusammengesetzten Alternativen $\beta$ als von einem konkreten Parameterwert abhängige Größe interpretieren.
6. Teststärke, Stichprobenumfang und Entscheidungsregel miteinander verknüpfen.
7. mehrschrittige Abituraufgaben selbstständig modellieren und Rechenwege begründen.

Vorwissen-Check

Du solltest sicher mit Binomialverteilung, Bernoulli-Kette, Gegenwahrscheinlichkeit und Summenwahrscheinlichkeiten umgehen können.

Check 1: Für $X\sim B(n;p)$ bedeutet $P(X\ge k)$ die Wahrscheinlichkeit, mindestens $k$ Treffer zu beobachten.

Check 2: Ein Ablehnungsbereich enthält genau die Stichprobenergebnisse, bei denen $H_0$ verworfen wird.

Check 3: Eine kleine Wahrscheinlichkeit unter $H_0$ macht ein beobachtetes Ergebnis unter $H_0$ ungewöhnlich; sie liefert aber keine direkte Wahrscheinlichkeit dafür, dass $H_0$ falsch ist.

Die Entscheidungstabelle

Eine Hypothesenentscheidung hat zwei Ebenen: die unbekannte Wirklichkeit und die Entscheidung aufgrund der Stichprobe.

Wirklichkeit	$H_0$ nicht verworfen	$H_0$ verworfen
$H_0$ gilt	richtige Entscheidung	Fehler erster Art
$H_0$ gilt nicht	Fehler zweiter Art	richtige Entscheidung

Merksatz: Der Fehlertyp entsteht aus der Kombination von Wirklichkeit und Testentscheidung.

Fehler erster Art

Der Fehler erster Art tritt ein, wenn der Test $H_0$ verwirft, obwohl $H_0$ gilt.

Für eine einfache Nullhypothese gilt:

$\alpha =P({\text{H}}_0\text{ wird verworfen}\mid H_0\text{ gilt})$

Bei einem Signifikanztest zum Niveau ${\alpha }_0$ wird die Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art durch ${\alpha }_0$ nach oben begrenzt.

Wichtig:

$\alpha \ne P(H_0\text{ ist falsch})$

und auch

$\alpha \ne P(H_0\text{ ist falsch}\mid H_0\text{ wurde verworfen})$

Das Signifikanzniveau beantwortet also keine Rückwärtsfrage über die Wahrheit einer Hypothese.

Fehler zweiter Art

Der Fehler zweiter Art tritt ein, wenn $H_0$ nicht verworfen wird, obwohl ein Parameterwert aus $H_1$ gilt.

Bei einer konkreten Alternative mit Parameterwert $p_1$:

$\beta (p_1)=P_{p_1}({\text{H}}_0\text{ wird nicht verworfen})$

Die Teststärke oder Power lautet:

$1-\beta (p_1)$

Sie ist die Wahrscheinlichkeit, $H_0$ zu verwerfen, wenn der betrachtete alternative Parameterwert tatsächlich gilt.

Leistungsfach-Hinweis: Ist $H_1$ zusammengesetzt, gibt es im Allgemeinen nicht nur „das eine“ $\beta$. Vielmehr hängt $\beta$ vom konkreten Parameterwert innerhalb von $H_1$ ab.

Interaktives Abiturbeispiel

Ein Hersteller behauptet, höchstens $10\mathrm{\%}$ seiner Bauteile seien fehlerhaft. Eine Qualitätskontrolle untersucht $100$ zufällig ausgewählte Bauteile.

Wir testen rechtsseitig:

$H_0:p\le \mathrm{0,10}$

$H_1:p>\mathrm{0,10}$

Die Zufallsvariable $X$ zählt fehlerhafte Bauteile.

Unter dem Randwert der Nullhypothese gilt:

$X\sim B(100;\mathrm{0,10})$

Als Ablehnungsbereich wird festgelegt:

$A=\{16,17,\dots ,100\}$

Schritt 1: Fehler erster Art berechnen

Für den Randwert $p=\mathrm{0,10}$:

$P_{\mathrm{0,10}}(X\ge 16)=\sum _{k=16}^{100}(\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{k})(\mathrm{0,10}{)}^k(\mathrm{0,90}{)}^{100-k}$

$P_{\mathrm{0,10}}(X\ge 16)\approx \mathrm{0,0399}$

Damit beträgt die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit am Rand ungefähr

$\mathrm{3,99}\mathrm{\%}$.

Ein vorgegebenes Signifikanzniveau von $5\mathrm{\%}$ wird eingehalten, denn

$\mathrm{0,0399}\le \mathrm{0,05}$.

Sachinterpretation: Obwohl die Fehlerquote tatsächlich höchstens $10\mathrm{\%}$ beträgt, kann die Stichprobe zufällig mindestens $16$ fehlerhafte Bauteile enthalten. Dann würde die Herstellerangabe zu Unrecht verworfen.

Schritt 2: Fehler zweiter Art für eine konkrete Alternative

Nehmen wir an, die wahre Fehlerquote sei tatsächlich

$p=\mathrm{0,15}$.

Dann entsteht ein Fehler zweiter Art, wenn trotz dieser erhöhten Fehlerquote höchstens $15$ fehlerhafte Bauteile beobachtet werden:

$\beta (\mathrm{0,15})=P_{\mathrm{0,15}}(X\le 15)$

$\beta (\mathrm{0,15})\approx \mathrm{0,5683}$

Die Teststärke beträgt damit:

$1-\beta (\mathrm{0,15})\approx \mathrm{0,4317}$

Interpretation: Bei einer tatsächlichen Fehlerquote von $15\mathrm{\%}$ entdeckt diese Entscheidungsregel die Abweichung nur mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $\mathrm{43,17}\mathrm{\%}$.

Für $p=\mathrm{0,20}$ ist

$\beta (\mathrm{0,20})\approx \mathrm{0,1285}$.

Je weiter der wahre Parameter hier von der Nullhypothese entfernt ist, desto leichter kann der Test die Abweichung erkennen.

Visueller Rechenweg

Schritt	Mathematische Entscheidung	Bedeutung
1	$H_0:p\le \mathrm{0,10}$	Ausgangsannahme festlegen
2	$A=\{16,\dots ,100\}$	Ablehnungsbereich festlegen
3	$P_{\mathrm{0,10}}(X\in A)$	Risiko erster Art bestimmen
4	$P_{\mathrm{0,15}}(X\notin A)$	Risiko zweiter Art bei $p=\mathrm{0,15}$
5	$1-\beta (\mathrm{0,15})$	Teststärke bestimmen

Dynamische Simulationen

Verändere in der Simulation Entscheidungsgrenze, Stichprobenumfang und alternative Trefferwahrscheinlichkeit. Beobachte jeweils beide Verteilungen.

Arbeitsauftrag:

1. Verschiebe die Entscheidungsgrenze so, dass der Ablehnungsbereich kleiner wird.
2. Beobachte, wie sich das Risiko erster Art verändert.
3. Beobachte gleichzeitig, was bei einer fest gewählten Alternative mit dem Risiko zweiter Art geschieht.
4. Erhöhe anschließend den Stichprobenumfang und beschreibe den Unterschied.

Eine zweite Simulation zeigt den Zusammenhang von $\alpha$, $\beta$, Stichprobenumfang und Power besonders deutlich:

Denkfrage: Warum kann eine größere Stichprobe helfen, beide Fehlerrisiken besser zu kontrollieren, obwohl bei festem Stichprobenumfang oft ein Zielkonflikt zwischen $\alpha$ und $\beta$ besteht?

Signifikanzniveau richtig verstehen

Das Signifikanzniveau ${\alpha }_0$ wird vor der Auswertung festgelegt. Es begrenzt das Risiko, $H_0$ fälschlich zu verwerfen.

Bei diskreten Zufallsvariablen kann die tatsächlich erreichte Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner sein als das vorgegebene Niveau.

Im Beispiel:

${\alpha }_0=\mathrm{0,05}$

aber

$P_{\mathrm{0,10}}(X\ge 16)\approx \mathrm{0,0399}$.

Nicht erlaubt ist die Aussage: „Mit Wahrscheinlichkeit $5\mathrm{\%}$ ist $H_0$ falsch.“

Richtig ist: „Wenn ein Parameterwert aus $H_0$ gilt, ist die Wahrscheinlichkeit einer fälschlichen Verwerfung durch die Testkonstruktion auf höchstens $5\mathrm{\%}$ begrenzt.“

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Alpha-Beta-Zielkonflikt

Bei festem Stichprobenumfang und gleicher Teststruktur gilt häufig:

1. Wird der Ablehnungsbereich kleiner, sinkt das Risiko erster Art.
2. Gleichzeitig wird es schwieriger, eine falsche Nullhypothese zu erkennen; für bestimmte Alternativen steigt dann $\beta$.
3. Wird der Ablehnungsbereich größer, steigt das Risiko erster Art, während $\beta$ für bestimmte Alternativen sinken kann.

Leistungsfach-Frage: Ein „möglichst kleines“ Signifikanzniveau ist nicht automatisch optimal. Die sachlichen Folgen beider Fehlentscheidungen müssen berücksichtigt werden.

Stichprobenumfang und Trennschärfe

Mit größerem $n$ konzentriert sich die relative Trefferhäufigkeit stärker um den jeweiligen Parameterwert. Unterschiedliche Parameterwerte können dadurch besser getrennt werden.

Qualitative Aussage: Wird die Entscheidungsregel passend angepasst, kann ein größerer Stichprobenumfang die Teststärke erhöhen, ohne das vorgegebene Signifikanzniveau zu überschreiten.

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1: Fehlertyp erkennen

Ein Test prüft

$H_0:p\le \mathrm{0,30}$

gegen

$H_1:p>\mathrm{0,30}$.

Die Stichprobe führt zur Verwerfung von $H_0$. Tatsächlich gilt $p=\mathrm{0,28}$.

Aufgabe: Benenne und interpretiere den Fehler.

Hilfe: Prüfe zuerst, ob $p=\mathrm{0,28}$ zu $H_0$ gehört.

Feedback: $H_0$ gilt, wurde aber verworfen. Es liegt ein Fehler erster Art vor.

Übung 2: Zweiter Fehler

Derselbe Test verwirft $H_0$ nicht. Tatsächlich gilt $p=\mathrm{0,40}$.

Aufgabe: Benenne den Fehler und formuliere seine Bedeutung im Sachkontext einer Qualitätskontrolle.

Hilfe: $p=\mathrm{0,40}$ liegt in $H_1$.

Feedback: Eine tatsächlich erhöhte Fehlerquote wird nicht erkannt. Es liegt ein Fehler zweiter Art vor.

Übung 3: Signifikanzniveau erklären

Eine Person sagt: „Beim Niveau $5\mathrm{\%}$ ist die Nullhypothese nach einem signifikanten Ergebnis nur mit Wahrscheinlichkeit $5\mathrm{\%}$ wahr.“

Aufgabe: Widerlege die Aussage.

Hilfe: Vergleiche $P(\text{Verwerfung}\mid H_0)$ mit $P(H_0\mid \text{Verwerfung})$.

Feedback: Die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten sind verschieden. Das Signifikanzniveau kontrolliert die erste Richtung, nicht die zweite.

Fehleranalyse

Typischer Fehler 1: „Nicht verworfen“ wird mit „bewiesen“ verwechselt.

Korrektur: Ein Test kann $H_0$ nicht allein dadurch bestätigen, dass sie nicht verworfen wird.

Typischer Fehler 2: $\alpha$ wird als Wahrscheinlichkeit verstanden, dass $H_0$ falsch ist.

Korrektur: $\alpha$ beschreibt eine bedingte Wahrscheinlichkeit unter der Annahme, dass $H_0$ gilt.

Typischer Fehler 3: Für eine zusammengesetzte Alternative wird ein einziges $\beta$ ohne Parameterangabe genannt.

Korrektur: Schreibe zum Beispiel $\beta (\mathrm{0,15})$, wenn die Fehlerwahrscheinlichkeit für $p=\mathrm{0,15}$ gemeint ist.

Typischer Fehler 4: Ein Simulationsergebnis wird als Beweis behandelt.

Korrektur: Simulationen visualisieren und plausibilisieren. Exakte Aussagen werden durch mathematische Argumentation und Wahrscheinlichkeitsrechnung begründet.

KI-Hinweis: KI-Ausgaben zu Hypothesentests müssen mathematisch geprüft werden. Eine KI-Antwort ersetzt keinen Beweis und keine nachvollziehbare Begründung.

Selbstkontrolle

Entscheide jeweils, ob die Aussage korrekt ist.

1. „Ein Fehler erster Art kann nur auftreten, wenn $H_0$ wahr ist.“ — korrekt
2. „Das Signifikanzniveau ist die Wahrscheinlichkeit, dass $H_0$ falsch ist.“ — falsch
3. „Die Teststärke ist $1-\beta$ für die betrachtete Alternative.“ — korrekt
4. „Wird $H_0$ nicht verworfen, ist $H_0$ bewiesen.“ — falsch
5. „Bei einer zusammengesetzten Alternative kann $\beta$ vom Parameterwert abhängen.“ — korrekt

Transfer

Ein automatisches Warnsystem soll gefährliche Abweichungen in einem technischen Prozess erkennen.

Ein Fehler erster Art bedeutet hier einen unnötigen Alarm trotz regulären Betriebs.

Ein Fehler zweiter Art bedeutet, dass eine tatsächlich vorhandene gefährliche Abweichung nicht erkannt wird.

Transferfrage: Welche Fehlerart im Sachkontext schwerer wiegt, ist keine rein mathematische Frage. Die Mathematik liefert die Wahrscheinlichkeiten; die Bewertung der Folgen gehört zum Modellierungsprozess.

Kompetenzcheck

Ich kann ...	Nachweis
Fehlertypen unterscheiden	Entscheidungstabelle korrekt ausfüllen
$\alpha$ berechnen	Ablehnungsbereich unter $H_0$ auswerten
$\beta (p)$ bestimmen	Annahmebereich unter einer Alternative auswerten
Power interpretieren	$1-\beta (p)$ im Kontext erklären
Fehlvorstellungen erkennen	bedingte Wahrscheinlichkeiten sprachlich trennen
Verfahren begründen	Modell, Rechnung und Interpretation verbinden

Reflexion

1. Warum ist die Formulierung „$H_0$ wird nicht verworfen“ präziser als „$H_0$ wird angenommen“?
2. Welche Information fehlt, wenn nur das Signifikanzniveau eines Tests bekannt ist?
3. Wie verändert sich die Aussagekraft eines Tests, wenn der Stichprobenumfang stark erhöht wird?
4. Welche Entscheidung würdest Du im Sachkontext besonders absichern und warum?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich:

ABI LF - Signifikanzniveau, p-Wert und Teststärke unterscheiden

oder

ABI LF - Stichprobenumfang und Power bei Hypothesentests untersuchen

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann liegt ein Fehler erster Art vor? (H0 wird verworfen obwohl H0 gilt) (!H0 wird nicht verworfen obwohl H0 falsch ist) (!H0 wird verworfen und H0 ist falsch) (!H0 wird nicht verworfen und H0 gilt)

Wann liegt ein Fehler zweiter Art vor? (H0 wird nicht verworfen obwohl H0 falsch ist) (!H0 wird verworfen obwohl H0 gilt) (!H0 wird verworfen obwohl H0 falsch ist) (!H0 wird nicht verworfen obwohl H0 gilt)

Was beschreibt das Signifikanzniveau? (Eine obere Schranke für das Risiko erster Art) (!Die Wahrscheinlichkeit dass H0 falsch ist) (!Die Wahrscheinlichkeit dass H1 falsch ist) (!Die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Entscheidung)

Was ist die Teststärke bei einer konkreten Alternative? (Eins minus Beta) (!Eins minus Alpha) (!Alpha plus Beta) (!Alpha geteilt durch Beta)

Welche Aussage zu einer nicht verworfenen Nullhypothese ist korrekt? (Sie ist durch den Test nicht widerlegt) (!Sie ist mathematisch bewiesen) (!Sie ist mit Sicherheit wahr) (!Ihre Wahrscheinlichkeit beträgt eins)

Wovon kann Beta bei einer zusammengesetzten Alternative abhängen? (Vom betrachteten Parameterwert) (!Nur vom Namen der Hypothese) (!Nur vom Taschenrechnermodell) (!Nur von der Schreibweise des Tests)

Was passiert häufig wenn bei festem Stichprobenumfang der Ablehnungsbereich verkleinert wird? (Das Risiko erster Art sinkt) (!Das Risiko erster Art wird immer eins) (!Beta wird immer null) (!Die Stichprobe wird automatisch größer)

Welche Wahrscheinlichkeit entspricht einem Fehler erster Art bei einfacher Nullhypothese? (Wahrscheinlichkeit der Verwerfung unter H0) (!Wahrscheinlichkeit von H0 nach der Verwerfung) (!Wahrscheinlichkeit von H1 nach der Verwerfung) (!Wahrscheinlichkeit des Annahmebereichs unter H1)

Was bedeutet ein größeres Stichprobenvolumen häufig für die Trennschärfe? (Alternative Parameterwerte können besser unterschieden werden) (!Alle Zufallsfehler verschwinden vollständig) (!Das Signifikanzniveau wird automatisch null) (!Die Nullhypothese wird immer verworfen)

Welche Aussage über Simulationen ist korrekt? (Sie unterstützen das Verständnis ersetzen aber keinen mathematischen Beweis) (!Sie beweisen jede Hypothese) (!Sie machen Wahrscheinlichkeitsrechnung überflüssig) (!Sie sind automatisch im Abitur zugelassen)

Memory

Fehler erster Art	H0 wird fälschlich verworfen
Fehler zweiter Art	H0 wird fälschlich nicht verworfen
Signifikanzniveau	obere Schranke für das Risiko erster Art
Teststärke	Wahrscheinlichkeit eine konkrete Alternative zu erkennen
Ablehnungsbereich	Ergebnisse die zur Verwerfung von H0 führen
Beta-Risiko	Wahrscheinlichkeit einer übersehenen Alternative

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Fehler erster Art	H0 gilt und wird verworfen
Fehler zweiter Art	H0 gilt nicht und wird nicht verworfen
Alpha	kontrolliertes Risiko unter H0
Beta	Risiko bei einer konkreten Alternative
Teststärke	Eins minus Beta

Kreuzworträtsel

Nullhypothese	Welche Hypothese wird im Signifikanztest zunächst zugrunde gelegt?
Stichprobe	Wie heißt die untersuchte zufällige Auswahl aus einer Grundgesamtheit?
Ablehnungsbereich	Wie heißt die Menge der Ergebnisse die zur Verwerfung von H0 führt?
Signifikanzniveau	Wie heißt die vorgegebene obere Grenze für das Risiko erster Art?
Teststaerke	Wie heißt die Wahrscheinlichkeit eine betrachtete Alternative zu erkennen?
Binomialtest	Wie heißt ein Test bei dem die Testgröße binomialverteilt modelliert wird?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Fehler erster Art liegt vor, wenn die verworfen wird, obwohl sie gilt. Die zugehörige Fehlerwahrscheinlichkeit wird häufig mit bezeichnet. Ein Fehler zweiter Art entsteht, wenn die Nullhypothese wird, obwohl eine Alternative gilt. Die Teststärke ist gleich . Ein Signifikanzniveau ist eine obere Schranke für das Risiko . Bei einer zusammengesetzten Alternative kann Beta vom betrachteten abhängen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Entscheidungstabelle: Erstelle für einen selbst gewählten Sachkontext eine vollständige Entscheidungstabelle mit beiden Fehlertypen.
2. Fehler erster Art: Formuliere drei verschiedene Sachkontexte und beschreibe jeweils die konkrete Folge eines Fehlers erster Art.
3. Fehler zweiter Art: Formuliere drei verschiedene Sachkontexte und beschreibe jeweils die konkrete Folge eines Fehlers zweiter Art.
4. Signifikanzniveau: Erkläre in höchstens fünf Sätzen, warum ein Signifikanzniveau von fünf Prozent nicht bedeutet, dass die Nullhypothese mit fünf Prozent Wahrscheinlichkeit falsch ist.

Standard

1. Binomialtest: Entwickle einen rechtsseitigen Test mit selbst gewählten Werten für $n$, $p_0$ und einen Ablehnungsbereich. Berechne das tatsächliche Risiko erster Art.
2. Teststärke: Wähle zwei Parameterwerte aus der Alternative und vergleiche jeweils $\beta (p)$ und $1-\beta (p)$.
3. Simulation: Nutze eine GeoGebra-Simulation und dokumentiere mit Screenshots oder Skizzen, wie sich die Entscheidungsgrenze auf Alpha und Beta auswirkt.
4. Fehleranalyse: Verfasse eine Musterlösung zu einer Aufgabe, in der Du drei typische Fehlformulierungen bewusst einbaust und anschließend korrigierst.

Schwer

1. Stichprobenumfang: Untersuche experimentell und rechnerisch, wie sich eine Vergrößerung von $n$ auf die Trennung zweier fester Parameterwerte auswirkt.
2. Modellierung: Entwickle einen vollständigen Hypothesentest für einen technischen Qualitätsprozess und begründe Nullhypothese, Alternative, Signifikanzniveau und Entscheidungsregel.
3. Argumentation: Prüfe die Behauptung „Ein kleineres Signifikanzniveau macht einen Test immer besser“ und verfasse eine mathematisch begründete Gegenargumentation.
4. Abiturtraining: Erstelle eine mehrschrittige Abituraufgabe mit Modellierung, Berechnung von Alpha, Berechnung eines Beta-Werts, Interpretation und Transferfrage samt Erwartungshorizont.

Lernkontrolle

1. Transfer Fehlentscheidungen: Zwei technische Systeme verwenden unterschiedliche Entscheidungsgrenzen. Vergleiche qualitativ, welches System eher Fehlalarme und welches eher übersehene Störungen produziert.
2. Modellkritik: Erkläre, warum die Berechnung eines Beta-Werts ohne Angabe eines konkreten alternativen Parameterwerts bei einer zusammengesetzten Alternative unvollständig sein kann.
3. Begründung Signifikanzniveau: Begründe formal und sprachlich den Unterschied zwischen $P(\text{Verwerfung}\mid H_0)$ und $P(H_0\mid \text{Verwerfung})$.
4. Power und Stichprobe: Entwickle eine Argumentationskette, warum ein größerer Stichprobenumfang die Trennschärfe eines Tests erhöhen kann.
5. Entscheidungsregel: Verändere in einem vorgegebenen Binomialtest die kritische Grenze um eins und untersuche die Folgen für Alpha und für mindestens einen Beta-Wert.
6. KI-Prüfung: Lass eine KI eine kurze Erklärung zu Fehler erster und zweiter Art formulieren. Prüfe jede mathematische Aussage selbst und dokumentiere mindestens zwei Prüfschritte.

Lernnachweis

Für einen überzeugenden Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. die 2-mal-2-Entscheidungssituation sicher erklären kannst.
2. Fehler erster und zweiter Art im Sachkontext korrekt formulierst.
3. $\alpha$ als bedingte Wahrscheinlichkeit unter $H_0$ interpretierst.
4. Signifikanzniveau und tatsächliche Irrtumswahrscheinlichkeit unterscheidest.
5. $\beta (p)$ für konkrete Alternativen berechnen und deuten kannst.
6. Teststärke und Stichprobenumfang in Zusammenhang bringst.
7. Rechenwege formal korrekt dokumentierst und Ergebnisse sprachlich interpretierst.
8. Hilfsmittelregelungen Deines Prüfungsjahrgangs von reinen Übungswerkzeugen unterscheiden kannst.

OERs zum Thema

Wikimedia Commons: Hypothesis testing

Testen von Hypothesen – Landesbildungsserver Baden-Württemberg

Medienhinweis: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien stehen unter den jeweils auf der Dateiseite angegebenen freien Lizenzen oder sind gemeinfrei. Externe Videos und interaktive Werkzeuge werden eingebettet; bei schulischer Nutzung sind die lokalen Datenschutz- und Plattformregeln zu beachten. Es werden in diesem aiMOOC keine personenbezogenen Daten erhoben.

Verknüpfte Lernbereiche

Hypothesentest Binomialverteilung Nullhypothese Alternativhypothese Signifikanzniveau Ablehnungsbereich Fehler erster Art Fehler zweiter Art Teststärke Stichprobenumfang