M8 E - Eine mathematische Projektaufgabe planen und lösen

M8 E - Eine mathematische Projektaufgabe planen und lösen

Mini-Beschreibung: Du bearbeitest eine offene Projektaufgabe: Du erhebst sachbezogene Daten und entwickelst ein lineares Modell oder planst ein geometrisches Produkt. Du dokumentierst Modell, Rechnung, digitale Werkzeuge, Prüfung und Verbesserung. Zielgruppe: Klasse 8, E-Niveau, Baden-Württemberg.

Kurzer Einstieg

Ein Projekt beginnt nicht mit einer Formel, sondern mit einer prüfbaren Frage. Dein Weg:

Schritt	Ergebnis
1. Realsituation	Frage und Bedingungen klären
2. Daten oder Maße	Tabelle, Skizze oder Messreihe
3. Modell	z. B. $y=mx+b$ oder maßstäbliche Zeichnung
4. Rechnen	nachvollziehbare Zwischenschritte
5. Digital prüfen	Graph, Tabellenkalkulation oder dynamische Geometrie
6. Realität prüfen	Passt das Ergebnis wirklich?
7. Verbessern	Annahmen, Daten oder Modell überarbeiten

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Datenschutz: Verwende keine Namen, Kontaktdaten, Gesundheitsdaten oder andere personenbezogene Daten. Miss lieber Gegenstände, Wege, Zeiten von technischen Abläufen oder Materialgrößen.

Lernziele

Nach dem aiMOOC kannst Du:

1. modellieren: eine Realsituation vereinfachen, Größen festlegen und ein passendes Modell aufbauen.
2. lineare Modelle: aus Daten eine Gerade bestimmen, $m$ und $b$ deuten und Prognosen kritisch prüfen.
3. geometrisch planen: Maße, Maßstab, Flächeninhalt und Volumen für ein Produkt nutzen.
4. digitale Werkzeuge: Tabellenkalkulation und dynamische Geometrie sinnvoll einsetzen und Ergebnisse kontrollieren.
5. begründen: Annahmen nennen, Gegenbeispiele finden und Verbesserungen mathematisch erklären.

Vorwissen-Check

Kannst Du das?	Mini-Check
Steigung	$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Gerade	$y=mx+b$
Prozent	$110\mathrm{\%}=\mathrm{1,10}$
Rechteck	$A=a\cdot b$
Quader	$V=a\cdot b\cdot c$
Maßstab	$1:2$ bedeutet: Zeichnung halb so groß wie das Original.

Schnelltest: Eine Gerade geht durch $A(2|5)$ und $B(6|13)$. Berechne die Steigung.

$m=\frac{13-5}{6-2}=\frac{8}{4}=2$

Feedback: Wenn Du $m=2$ erhältst, ist die Grundlage sicher. Wenn nicht, markiere zuerst $\Delta y$ und $\Delta x$.

Projektauftrag

Wähle einen Weg. Beide Wege verlangen Planung, Rechnung, digitale Kontrolle, Prüfung und Verbesserung.

Weg A: Daten erheben und ein lineares Modell entwickeln

Projektfrage: Wie gut lässt sich ein messbarer Zusammenhang durch eine Gerade beschreiben?

Geeignete Ideen ohne personenbezogene Daten:

1. Papierstapel: Blattzahl und Stapelhöhe.
2. Gefäß: eingefülltes Volumen und Füllhöhe bei einem geraden Gefäß.
3. gleichmäßige Bewegung: Zeit und Strecke eines Spielzeugfahrzeugs.
4. Kostenmodell: Stückzahl und Gesamtkosten bei festem Grundpreis plus Preis je Stück.

Deine Dokumentation enthält mindestens fünf Mess- oder Datenpaare $(x|y)$, Einheiten, einen Graphen, ein begründetes lineares Modell und eine Prüfung an Daten, die Du nicht zum Aufstellen der Geraden verwendet hast.

Interaktives Beispiel: Messdaten zu einem Kartenstapel

Beispieldaten:

Karten $x$	Höhe $y$ in mm
20	4,2
40	8,1
60	12,3
80	16,0
100	20,4

Schritt 1 – Zwei gut verteilte Punkte wählen: $A(20|\mathrm{4,2})$ und $B(100|\mathrm{20,4})$.

Schritt 2 – Steigung:

$m=\frac{\mathrm{20,4}-\mathrm{4,2}}{100-20}=\frac{\mathrm{16,2}}{80}=\mathrm{0,2025}$

Schritt 3 – Achsenabschnitt:

$\mathrm{4,2}=\mathrm{0,2025}\cdot 20+b$

$b=\mathrm{0,15}$

Modell:

$y=\mathrm{0,2025}x+\mathrm{0,15}$

Deutung: Pro zusätzlicher Karte steigt die Stapelhöhe im Modell um etwa $\mathrm{0,2025}\mathrm{m}\mathrm{m}$. Der kleine Achsenabschnitt $\mathrm{0,15}\mathrm{m}\mathrm{m}$ kann Messfehler oder Modellabweichung anzeigen.

Prognose für 150 Karten:

$y=\mathrm{0,2025}\cdot 150+\mathrm{0,15}=\mathrm{30,525}$

Also etwa $\mathrm{30,5}\mathrm{m}\mathrm{m}$.

E-Prüfung: Ist die Extrapolation für 150 Karten plausibel? Begründe mit Material, Messbereich und möglicher Verdichtung.

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Digitale Kontrolle: Graph und Tabelle

Nutze eine Tabellenkalkulation:

1. Trage $x$ und $y$ in zwei Spalten ein.
2. Erzeuge ein Punktdiagramm.
3. Zeichne eine passende Gerade beziehungsweise Trendlinie.
4. Vergleiche digitale Parameter mit Deiner Rechnung.
5. Prüfe auffällige Punkte einzeln.

Kritische Regel: Ein digital erzeugter Graph ist kein Beweis. Ein Ergebnis ist erst überzeugend, wenn Eingaben, Einheiten, Modellannahmen und Plausibilität geprüft sind.

Dynamische Untersuchung: lineare Funktionen

Untersuche mit Schiebereglern:

$y=mx+b$

Ändere zuerst nur $m$, dann nur $b$. Formuliere zwei allgemeine Aussagen und finde zu jeder Aussage ein Beispiel. Suche außerdem ein Gegenbeispiel zu der falschen Behauptung: „Eine größere Zahl für $b$ macht die Gerade immer steiler.“

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Weg B: Ein geometrisches Produkt planen

Projektfrage: Wie kann ein Produkt so geplant werden, dass Maße, Materialbedarf und Darstellung zusammenpassen?

Mögliche Produkte:

1. Verpackung: quaderförmige Box.
2. Organizer: offener Behälter mit Trennflächen.
3. Modellbau: maßstäbliche Grundplatte mit geometrischen Bauteilen.
4. Raumplanung: maßstäblicher Stellplan ohne personenbezogene Informationen.

Beispiel: Ein offener Organizer soll innen $24\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang, $16\mathrm{c}\mathrm{m}$ breit und $6\mathrm{c}\mathrm{m}$ hoch sein.

Boden:

$A_B=24\cdot 16=384\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Lange Seiten:

$A_L=2\cdot 24\cdot 6=288\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Kurze Seiten:

$A_K=2\cdot 16\cdot 6=192\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Materialfläche ohne Laschen:

$A=384+288+192=864\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Mit $10\mathrm{\%}$ Zuschlag:

$A_{\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}}=\mathrm{1,10}\cdot 864=\mathrm{950,4}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Volumen:

$V=24\cdot 16\cdot 6=2304\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

E-Prüfung: Reicht die Flächenrechnung für die Herstellung? Nein: Faltlaschen, Materialstärke, Schnittverlust und Stabilität müssen als Annahmen ergänzt werden.

Dynamische Geometrie

Konstruiere ein Rechteck mit frei verschiebbaren Punkten. Miss Seitenlängen und Flächeninhalt. Untersuche:

$A=a\cdot b$

Halte $A$ möglichst konstant und verändere $a$. Beschreibe, wie sich $b$ ändern muss. Begründe Deine Vermutung mit mindestens drei Zahlenbeispielen.

Projektplan

Baustein	Deine Dokumentation
Frage	Was willst Du herausfinden oder herstellen?
Größen	Welche Variablen, Maße und Einheiten brauchst Du?
Annahmen	Was vereinfachst Du bewusst?
Daten	Mindestens fünf Wertepaare oder vollständige Maßskizze
Mathematik	Formeln, Rechnung, Graph oder Konstruktion
Digital	Werkzeug nennen und Ergebnis sichern
Prüfung	Mindestens zwei unabhängige Kontrollen
Verbesserung	Konkrete Änderung und Begründung
Ergebnis	Klare Antwort auf die Projektfrage

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Lineares Modell

Die Punkte $P(10|7)$ und $Q(50|23)$ liegen auf einer Modellgeraden. Bestimme die Gleichung und berechne den Modellwert für $x=80$.

Hilfe 1: Nutze $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Hilfe 2:

$m=\frac{23-7}{50-10}$

Hilfe 3: Setze danach einen Punkt in $y=mx+b$ ein.

Feedback:

$m=\mathrm{0,4}$

$7=\mathrm{0,4}\cdot 10+b$

$b=3$

$y=\mathrm{0,4}x+3$

$y(80)=35$

E-Zusatz: Gib eine Realsituation an, in der $b=3$ sinnvoll ist, und eine, in der $b=3$ auf einen Modellfehler hindeuten könnte.

Übung 2: Geometrische Planung

Eine quaderförmige geschlossene Schachtel hat $a=18\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=12\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=5\mathrm{c}\mathrm{m}$. Berechne Volumen und Oberfläche.

Hilfe 1:

$V=a\cdot b\cdot c$

Hilfe 2:

$O=2ab+2ac+2bc$

Hilfe 3: Prüfe die Einheiten: Volumen in $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$, Fläche in $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$.

Feedback:

$V=18\cdot 12\cdot 5=1080\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$O=2\cdot 18\cdot 12+2\cdot 18\cdot 5+2\cdot 12\cdot 5=732\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

E-Zusatz: Entwickle eine zweite Schachtel mit demselben Volumen, aber anderer Oberfläche. Begründe durch Rechnung.

Übung 3: Modell prüfen

Ein digitales Werkzeug liefert zu Messdaten das Modell:

$y=\mathrm{1,8}x+4$

Für $x=20$ wurde real $y=43$ gemessen.

Modellwert:

$y_{\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}}=\mathrm{1,8}\cdot 20+4=40$

Abweichung:

$\Delta y=43-40=3$

Relative Abweichung bezogen auf den Messwert:

$\frac{3}{43}\cdot 100\mathrm{\%}\approx \mathrm{7,0}\mathrm{\%}$

Denkfrage: Reicht „7 %“ allein für die Entscheidung, ob das Modell gut ist? Begründe.

Feedback: Nein. Du brauchst einen sachlichen Toleranzbereich, die Messgenauigkeit und weitere Prüfdaten.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Regel

Beobachtung	Mathematischer Schritt
Zwei Punkte sind bekannt.	$\Delta x$ und $\Delta y$ bilden.
Änderung pro x-Einheit	$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$
Gerade soll durch einen Punkt gehen.	$b=y-mx$
Modell steht.	$y=mx+b$
Modell wird geprüft.	Modellwerte mit realen Daten vergleichen.
Abweichung ist zu groß.	Daten, Annahmen oder Modell überarbeiten.

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
Einheiten fehlen.	Jede Größe mit Einheit dokumentieren.
$\Delta x$ und $\Delta y$ werden vertauscht.	Steigung immer als $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ notieren.
Ein Punkt wird als Beweis für ein Modell benutzt.	Mehrere Datenpunkte und Prüfdaten verwenden.
Extrapolation wird ungeprüft übernommen.	Gültigkeitsbereich angeben.
Maßstab wird nur grafisch verändert.	Alle Längen mit demselben Faktor umrechnen.
Digitales Ergebnis wird blind übernommen.	Eingaben, Einheiten und Plausibilität kontrollieren.
KI-Antwort klingt überzeugend.	Rechnung selbst nachvollziehen; KI ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Beantworte vor der Abgabe mit Ja oder Noch nicht:

Prüffrage	Status
Ist meine Projektfrage eindeutig?	Ja / Noch nicht
Sind Daten oder Maße nachvollziehbar?	Ja / Noch nicht
Sind Formeln und Einheiten sichtbar?	Ja / Noch nicht
Habe ich digital und rechnerisch geprüft?	Ja / Noch nicht
Habe ich mindestens eine Schwäche des Modells benannt?	Ja / Noch nicht
Habe ich eine Verbesserung durchgeführt?	Ja / Noch nicht
Kann jemand meinen Rechenweg ohne Erklärung nachvollziehen?	Ja / Noch nicht

Transfer

Untersuche eine neue Situation selbstständig.

Variante Daten: Eine Messreihe wirkt fast linear, besitzt aber einen auffälligen Wert. Erstelle zuerst ein Modell mit allen Punkten und dann eines ohne den auffälligen Punkt. Vergleiche beide Modelle und entscheide begründet, ob der Punkt Messfehler, Sonderfall oder wichtige Information sein könnte.

Variante Geometrie: Zwei Verpackungen haben dasselbe Volumen. Untersuche rechnerisch, ob sie zwingend dieselbe Oberfläche besitzen. Finde ein Gegenbeispiel.

Kompetenzcheck E-Niveau

Du erreichst das E-Niveau besonders dann, wenn Du nicht nur rechnest, sondern selbstständig untersuchst und begründest.

Kompetenz	Nachweis
Untersuchen	mehrere Fälle, Darstellungen oder Parameter vergleichen
Verallgemeinern	aus Beispielen eine allgemeine Regel formulieren
Begründen	Rechnung und Sachargument verbinden
Gegenbeispiel	eine falsche allgemeine Behauptung gezielt widerlegen
Mehrschrittig modellieren	Situation → Modell → Rechnung → Interpretation → Prüfung → Verbesserung

Reflexion

1. Modellannahme: Welche Annahme war für Dein Ergebnis besonders wichtig?
2. Gültigkeitsbereich: Für welche Werte oder Maße ist Dein Modell sinnvoll?
3. Fehleranalyse: Welche Mess- oder Planungsfehler könnten auftreten?
4. Digitale Mathematik: Was hat das digitale Werkzeug sichtbar gemacht, was die Handrechnung allein nicht gezeigt hat?
5. Verbesserung: Welche Änderung hat Dein Ergebnis am stärksten verbessert?
6. Begründung: Welche Aussage kannst Du verallgemeinern, und wo liegt ein Gegenbeispiel?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist ein vollständiger Modellierungsschritt nach dem Rechnen? (Das Ergebnis in der Realsituation prüfen) (!Nur die Dezimalstellen erhöhen) (!Die Tabelle löschen) (!Die Einheiten weglassen)

Welche Formel beschreibt eine Gerade mit Steigung m und y-Achsenabschnitt b? (y=mx+b) (!y=m+x+b) (!y=mbx) (!y=x geteilt durch b)

Wie berechnest Du die Steigung aus zwei Punkten? (Änderung von y geteilt durch Änderung von x) (!Änderung von x geteilt durch Änderung von y) (!Summe der x-Werte) (!Produkt aller Koordinaten)

Wozu dienen Prüfdaten bei einem Modell? (Sie testen das Modell an Daten, die nicht zum Aufstellen genutzt wurden) (!Sie ersetzen die Einheiten) (!Sie machen jede Gerade exakt) (!Sie verhindern jede Messabweichung)

Was bedeutet eine Extrapolation? (Eine Vorhersage außerhalb des beobachteten Datenbereichs) (!Eine Messung ohne Einheit) (!Eine Zeichnung ohne Maßstab) (!Eine Rechnung nur mit ganzen Zahlen)

Welche Einheit gehört zu einem Volumen? (Kubikzentimeter) (!Zentimeter) (!Quadratzentimeter) (!Grad)

Was muss bei einer maßstäblichen Zeichnung gelten? (Alle Längen werden mit demselben Maßstabsfaktor umgerechnet) (!Nur die längste Seite wird umgerechnet) (!Flächen bleiben immer gleich) (!Der Maßstab gilt nur für waagerechte Strecken)

Was ist beim Einsatz eines digitalen Werkzeugs mathematisch wichtig? (Eingaben und Ergebnisse kritisch prüfen) (!Jedes Ergebnis ungeprüft übernehmen) (!Einheiten grundsätzlich entfernen) (!Nur Screenshots abgeben)

Wozu ist ein Gegenbeispiel geeignet? (Eine allgemeine falsche Behauptung zu widerlegen) (!Eine Messreihe automatisch linear zu machen) (!Eine Einheit zu ersetzen) (!Eine Zeichnung zu vergrößern)

Welche Aussage zu KI-Ausgaben ist richtig? (KI-Ausgaben müssen geprüft werden und ersetzen keinen mathematischen Beweis) (!KI-Ausgaben sind automatisch beweiskräftig) (!KI-Ausgaben brauchen keine Einheiten) (!KI-Ausgaben sind immer fehlerfrei)

Memory

Steigung	Änderung von y pro Änderung von x
Achsenabschnitt	Modellwert bei x gleich null
Extrapolation	Prognose außerhalb des Messbereichs
Maßstab	Verhältnis von Zeichnung zu Original
Validierung	Prüfung des Modells an der Realität
Gegenbeispiel	Widerlegung einer allgemeinen Behauptung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Realsituation	Problem verstehen
Daten	messen oder Informationen erfassen
Modell	mathematische Darstellung wählen
Prüfung	Ergebnis mit Realität vergleichen
Verbesserung	Annahmen oder Modell gezielt überarbeiten

Kreuzworträtsel

Steigung	Welche Größe beschreibt die Änderung von y pro Änderung von x?
Modell	Wie heißt eine vereinfachte mathematische Beschreibung der Realität?
Maßstab	Wie heißt das Verhältnis zwischen Zeichnung und Original?
Volumen	Welche Größe beschreibt den Rauminhalt?
Tabelle	In welcher Darstellung werden Daten oft zeilenweise geordnet?
Prüfung	Wie heißt der Schritt, in dem ein Ergebnis mit der Realität verglichen wird?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Am Anfang eines Projekts steht eine klare . Für ein lineares Modell werden Datenpaare in einer und häufig in einem Punktdiagramm dargestellt. Die Steigung wird als Änderung von y geteilt durch Änderung von berechnet. Ein Modell muss an der geprüft werden. Bei einer geometrischen Planung müssen Längen, Flächen und das mit passenden Einheiten angegeben werden. Digitale Werkzeuge helfen beim Darstellen und Kontrollieren, ihre Ergebnisse müssen aber werden. Eine Verbesserung entsteht, wenn Annahmen, Daten oder das begründet überarbeitet werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Projektfrage: Formuliere drei messbare Projektfragen und markiere, welche davon sich für ein lineares Modell eignen könnte.
2. Messplan: Plane eine Messreihe mit mindestens fünf Datenpaaren, ohne personenbezogene Daten zu erfassen.
3. Maßstab: Zeichne einen Alltagsgegenstand im Maßstab $1:2$ und kontrolliere drei Längen.
4. Fehleranalyse: Sammle vier mögliche Fehlerquellen bei Messung oder geometrischer Planung und ordne sie nach Einfluss.

Standard

1. Lineares Modell: Erhebe eine eigene sachbezogene Messreihe, erstelle ein Punktdiagramm und bestimme eine begründete Modellgerade.
2. Geometrisches Produkt: Plane eine Box oder einen Organizer mit vollständigen Maßen, Flächen- und Volumenrechnung.
3. Digitale Kontrolle: Prüfe Deine Rechnung mit Tabellenkalkulation oder dynamischer Geometrie und dokumentiere mindestens eine Abweichung.
4. Modellvergleich: Entwickle aus denselben Daten zwei plausible Geraden und vergleiche ihre Vorhersagen.

Schwer

1. Gültigkeitsbereich: Bestimme für Dein Modell einen sinnvollen Gültigkeitsbereich und begründe, warum es außerhalb problematisch werden kann.
2. Gegenbeispiel: Formuliere eine scheinbar plausible allgemeine Aussage zu linearen Modellen oder Körpern und widerlege sie durch ein Gegenbeispiel.
3. Mehrschrittige Modellierung: Verknüpfe mindestens zwei mathematische Teilmodelle, zum Beispiel Kosten und Geometrie, und dokumentiere alle Übergänge.
4. Modellverbesserung: Ändere gezielt Datenbasis, Annahme oder Konstruktion, vergleiche vorher und nachher und begründe, welche Version überzeugender ist.

Lernkontrolle

1. Modellwahl: Eine Messreihe steigt zunächst fast gleichmäßig, später deutlich schneller. Erkläre, warum ein einziges lineares Modell problematisch sein kann, und beschreibe eine bessere Strategie.
2. Argumentation: Zwei Gruppen erhalten aus denselben Messdaten unterschiedliche Modellgeraden. Erkläre, wie beide Ergebnisse geprüft und fair verglichen werden können.
3. Transfer Geometrie: Zwei Quader haben dasselbe Volumen. Untersuche mit eigenen Zahlen, ob sie dieselbe Oberfläche haben müssen.
4. Fehlersuche: Eine digitale Trendlinie passt optisch gut, liefert aber bei $x=0$ einen sachlich unmöglichen Wert. Erkläre mögliche Ursachen und Verbesserungen.
5. Gegenbeispiel: Widerlege die Behauptung „Wenn zwei Geraden denselben y-Achsenabschnitt haben, sind sie gleich“.
6. Projektkritik: Bewerte eine fremde Projektdokumentation nach Frage, Daten, Modell, Rechnung, digitaler Prüfung, Gültigkeitsbereich und Verbesserung. Begründe jede Rückmeldung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Eine klare Projektfrage und ein nachvollziehbarer Plan.
2. Sachbezogene Daten oder eine vollständige geometrische Maßplanung.
3. Sichtbare Formeln, Zwischenschritte, Einheiten und Darstellungen.
4. Ein begründetes lineares oder geometrisches Modell.
5. Sinnvoller Einsatz eines digitalen Werkzeugs.
6. Mindestens zwei Prüfungen des Ergebnisses.
7. Eine Fehler- oder Grenzenanalyse.
8. Eine begründete Verbesserung.
9. Eine E-Niveau-Leistung durch Verallgemeinerung, Gegenbeispiel oder mehrschrittige Modellierung.
10. Eine kurze Reflexion darüber, was sicher gilt und was nur innerhalb des Modells gilt.

OERs zum Thema

Mathematisches Modell:

Lineare Funktion:

Medien zum Weiterarbeiten

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Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich ein aiMOOC zu M9 E - Nichtlineare Modelle untersuchen: Dort vergleichst Du lineare mit quadratischen oder exponentiellen Zusammenhängen und untersuchst, wann ein Modell gewechselt werden muss.

Verknüpfte Lernbereiche

Mathematische Projektarbeit Mathematische Modellierung Lineare Funktion Steigung Koordinatensystem Maßstab Flächeninhalt Volumen Tabellenkalkulation GeoGebra Fehleranalyse Argumentieren Problemlösen