M9 M - Kubikwurzeln berechnen und deuten

Einleitung

Die Kubikwurzel ist die Umkehrung des Kubierens. Kennst Du das Volumen eines Würfels, kannst Du mit der Kubikwurzel seine Kantenlänge bestimmen.

$5^3=125$

$\sqrt[3]{125}=5$

Mini-Beschreibung: Verstehe Kubikwurzeln als Umkehrung des Kubierens und nutze den Taschenrechner für Näherungswerte. Dieser aiMOOC richtet sich an Klasse 9 auf M-Niveau in Baden-Württemberg.

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Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du

1. Kubikwurzeln als Umkehrung des Kubierens deuten.
2. perfekte Kubikzahlen wie $8,27,64,125,216$ erkennen.
3. aus dem Volumen eines Würfels seine Kantenlänge bestimmen.
4. Kubikwurzeln mit dem Taschenrechner näherungsweise berechnen.
5. Ergebnisse durch Abschätzen, Kubieren und Einheiten prüfen.
6. Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar verbinden.

Vorwissen-Check

Beantworte zuerst ohne Taschenrechner und öffne danach die Lösung.

1. Was ist $4^3$?

$4^3=4\cdot 4\cdot 4=64$

2. Welches Volumen hat ein Würfel mit Kantenlänge $3\mathrm{c}\mathrm{m}$?

$V=3^3=27{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

3. Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt $\sqrt[3]{50}$?

$3^3=27$ und $4^3=64$. Also gilt $3<\sqrt[3]{50}<4$.

Kubikwurzel verstehen

Vom Würfelvolumen zur Kantenlänge

Für einen Würfel mit Kantenlänge $a$ gilt:

$V=a^3$

Kennst Du das Volumen, kehrst Du das Kubieren um:

$a=\sqrt[3]{V}$

Beispiel: Ein Würfel hat das Volumen $125{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$.

$a=\sqrt[3]{125{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3}=5\mathrm{c}\mathrm{m}$

Probe:

$5^3=125$

Die Einheit passt: Aus ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$ wird bei der Kantenlänge $\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Interaktives Würfelmodell

Verändere in einem dynamischen Würfelmodell die Kantenlänge und beobachte das Volumen.

GeoGebra: Kubikwurzel mit Würfelvolumen

Arbeitsauftrag:

1. Stelle eine Kantenlänge ein, deren Volumen eine bekannte Kubikzahl ist.
2. Stelle danach ein Volumen ein, dessen Kubikwurzel nicht ganzzahlig ist.
3. Begründe jeweils mit benachbarten Kubikzahlen, warum Dein Ergebnis plausibel ist.

Kubieren und Kubikwurzel als Gegenoperationen

Startwert	Kubieren	Umkehrung
$2$	$2^3=8$	$\sqrt[3]{8}=2$
$3$	$3^3=27$	$\sqrt[3]{27}=3$
$4$	$4^3=64$	$\sqrt[3]{64}=4$
$5$	$5^3=125$	$\sqrt[3]{125}=5$

Merksatz: Die Kubikwurzel beantwortet die Frage: Welche Zahl muss dreimal mit sich selbst multipliziert werden, damit der Radikand entsteht?

Zahlengerade und Abschätzen

Bevor Du den Taschenrechner verwendest, grenze den Wert ein:

$3^3=27$

$4^3=64$

Damit folgt:

$3<\sqrt[3]{50}<4$

Untersuche im GeoGebra-Grafikrechner die Graphen $y=x^3$ und $y=\sqrt[3]{x}$.

GeoGebra Grafikrechner

Mit dem Taschenrechner arbeiten

Näherungswerte bestimmen

Nicht jede Kubikwurzel ist eine ganze Zahl.

Beispiel:

$\sqrt[3]{50}\approx \mathrm{3,684}$

Auf zwei Dezimalstellen:

$\sqrt[3]{50}\approx \mathrm{3,68}$

Plausibilitätscheck:

$3^3=27<50<64=4^3$

Das Ergebnis liegt zwischen $3$ und $4$ und ist plausibel.

Taschenrechner-Schritte

Schritt 1: Abschätzen

Suche benachbarte ganze Zahlen $n$ und $n+1$ mit $n^3<V<(n+1{)}^3$.

Schritt 2: Berechnen

Gib die Kubikwurzel in den Taschenrechner ein und prüfe die gewählte Funktion.

Schritt 3: Runden

Runde erst am Ende und nur so genau, wie die Aufgabe verlangt.

Schritt 4: Kontrollieren

Kube Deinen Näherungswert. Das Ergebnis sollte nahe am Radikanden liegen.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Ein Taschenrechner oder eine KI erkennt Deinen Eingabefehler nicht automatisch.

1. Liegt der Wert zwischen den erwarteten Kubikzahlen?
2. Wurde die richtige Einheit verwendet?
3. Wurde erst am Ende gerundet?
4. Passt die Probe durch Kubieren?

Gib in digitalen Lernwerkzeugen keine personenbezogenen Daten ein. KI-Ausgaben können Fehler enthalten und ersetzen keinen mathematischen Beweis.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Exakter Wert

Berechne $\sqrt[3]{216}$.

Hilfestufe 1

Suche eine ganze Zahl, deren dritte Potenz $216$ ist.

Hilfestufe 2

$5^3=125$ und $6^3=216$.

Lösung und Feedback

$\sqrt[3]{216}=6$. Prüfe mit $6^3=216$.

Beispiel 2: Näherungswert

Bestimme $\sqrt[3]{70}$ auf zwei Dezimalstellen.

Hilfestufe 1

$4^3=64$ und $5^3=125$.

Hilfestufe 2

Das Ergebnis muss knapp größer als $4$ sein.

Lösung und Feedback

$\sqrt[3]{70}\approx \mathrm{4,12}$.

Beispiel 3: Modellieren mit Volumen

Ein würfelförmiger Behälter hat $300{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$ Volumen. Bestimme die Kantenlänge auf eine Dezimalstelle.

Hilfestufe 1

Nutze $a=\sqrt[3]{V}$.

Hilfestufe 2

$6^3=216$ und $7^3=343$. Die Kantenlänge liegt zwischen $6\mathrm{d}\mathrm{m}$ und $7\mathrm{d}\mathrm{m}$.

Lösung und Feedback

$a=\sqrt[3]{300}\approx \mathrm{6,7}\mathrm{d}\mathrm{m}$.

Typische Fehler

1. Quadratwurzel statt Kubikwurzel: $\sqrt[3]{125}=5$.
2. Durch drei teilen: $\sqrt[3]{125}$ ist nicht $125:3$.
3. Zu früh runden: Runde erst am Ende.
4. Einheit falsch übernehmen: Aus ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$ wird bei der Kantenlänge $\mathrm{c}\mathrm{m}$.
5. Taschenrechner ungeprüft übernehmen: Schätze vorher ab und mache die Probe.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl ist $\sqrt[3]{125}$? (5) (!15) (!25) (!41)

Welche Rechnung macht das Kubieren von $4$ rückgängig? ($\sqrt[3]{64}=4$) (!$\sqrt{64}=4$) (!$64:3=4$) (!$64-3=4$)

Welches Volumen hat ein Würfel mit Kantenlänge $5\mathrm{c}\mathrm{m}$? ($125{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$) (!$25{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$) (!$15{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$) (!$625{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$)

Zwischen welchen Zahlen liegt $\sqrt[3]{50}$? (3 und 4) (!2 und 3) (!4 und 5) (!5 und 6)

Welche Aussage beschreibt die Kubikwurzel richtig? (Sie ist die Umkehrung des Kubierens) (!Sie ist das Dreifache einer Zahl) (!Sie ist die Hälfte einer Potenz) (!Sie ist immer eine ganze Zahl)

Welche Probe passt zu $\sqrt[3]{216}=6$? ($6^3=216$) (!$6^2=216$) (!$216:6=6$) (!$216-6=6$)

Welche Einheit hat die Kantenlänge eines Würfels mit Volumen in ${\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$? ($\mathrm{d}\mathrm{m}$) (!${\mathrm{d}\mathrm{m}}^2$) (!${\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$) (!${\mathrm{d}\mathrm{m}}^4$)

Warum ist $\sqrt[3]{70}\approx \mathrm{4,12}$ plausibel? (Weil 70 zwischen 64 und 125 liegt) (!Weil 70 durch 3 teilbar ist) (!Weil 4,12 größer als 70 ist) (!Weil jede Kubikwurzel kleiner als 4 ist)

Wann solltest Du bei einer Näherungsaufgabe runden? (Am Ende der Rechnung) (!Nach jeder Eingabe) (!Vor dem Rechnen) (!Nur bei ganzen Ergebnissen)

Ein Würfel hat $343{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$ Volumen. Wie lang ist eine Kante? ($7\mathrm{c}\mathrm{m}$) (!$49\mathrm{c}\mathrm{m}$) (!$\mathrm{114,3}\mathrm{c}\mathrm{m}$) (!$21\mathrm{c}\mathrm{m}$)

Memory

Kubikwurzel	Umkehrung des Kubierens
Radikand	Zahl unter dem Wurzelzeichen
Kubikzahl	Ergebnis einer dritten Potenz
Würfelvolumen	Produkt aus drei gleichen Kantenlängen
Näherungswert	gerundeter Wert einer nicht ganzzahligen Wurzel
Probe	erneutes Kubieren des Ergebnisses

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Kubikwurzeln
Gegenoperation	Kubieren
Volumengröße	Würfel
Kontrollschritt	Probe
Rechenwerkzeug	Taschenrechner
Plausibilitätsprüfung	Abschätzen

Kreuzworträtsel

Kubikwurzel	Wie heißt die dritte Wurzel?
Radikand	Wie heißt die Zahl unter dem Wurzelzeichen?
Volumen	Welche Größe eines Würfels wird mit der dritten Potenz der Kantenlänge berechnet?
Kantenlänge	Welche Größe erhält man aus dem Würfelvolumen durch Ziehen der Kubikwurzel?
Näherung	Wie nennt man einen gerundeten Wert, wenn die Wurzel nicht exakt ganzzahlig ist?
Umkehrung	Welche Beziehung besteht zwischen Kubieren und Kubikwurzelziehen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Kubikwurzel ist die des Kubierens.

Bei $\sqrt[3]{125}$ ist 125 der .

Für einen Würfel gilt $V=a^3$, deshalb erhält man die Kantenlänge durch die des Volumens.

Vor der Taschenrechnerrechnung solltest Du mit benachbarten abschätzen.

Ein nicht ganzzahliges Ergebnis wird passend zur Aufgabe .

Die Kontrolle erfolgt durch erneutes des Ergebnisses.

Übungen mit Hilfestufen

Übung A: Kopfrechnen

Berechne ohne Taschenrechner:

$\sqrt[3]{8}$, $\sqrt[3]{27}$, $\sqrt[3]{64}$, $\sqrt[3]{125}$, $\sqrt[3]{512}$

Tipp

Nutze die Kubikzahlen von $2$ bis $8$.

Lösung

$2,3,4,5,8$

Übung B: Näherungswerte

Berechne auf zwei Dezimalstellen:

$\sqrt[3]{20}$, $\sqrt[3]{50}$, $\sqrt[3]{200}$

Tipp

Schätze zuerst mit benachbarten Kubikzahlen und nutze dann den Taschenrechner.

Feedback

Ungefähr $\mathrm{2,71}$, $\mathrm{3,68}$ und $\mathrm{5,85}$.

Übung C: Volumenmodell

Ein würfelförmiger Tank fasst $500{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$. Wie lang ist eine Kante auf eine Dezimalstelle?

Tipp

$7^3=343$ und $8^3=512$.

Lösung

$a=\sqrt[3]{500}\approx \mathrm{7,9}\mathrm{d}\mathrm{m}$.

Selbstkontrolle

1. Ich kann erklären, warum $\sqrt[3]{125}=5$ gilt.
2. Ich erkenne wichtige Kubikzahlen bis $10^3$.
3. Ich kann eine Kubikwurzel vor der Taschenrechnerrechnung eingrenzen.
4. Ich kann aus einem Würfelvolumen die Kantenlänge bestimmen.
5. Ich kann Näherungswerte passend runden.
6. Ich kann meinen Wert durch Kubieren und Einheiten prüfen.

Transfer

Ein würfelförmiger Behälter hat ein Volumen von $1000\mathrm{L}$. Mit $1\mathrm{L}=1{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$ gilt:

$V=1000{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$

Bestimme die Kantenlänge und erkläre, warum das Ergebnis sinnvoll ist.

Kontrolle

$\sqrt[3]{1000}=10$. Die Kantenlänge beträgt $10\mathrm{d}\mathrm{m}=1\mathrm{m}$.

Kompetenzcheck

Kompetenz	Nachweis
Rechnen	Kubikwurzeln exakt oder näherungsweise bestimmen
Darstellen	Potenz, Wurzel, Zahlengerade und Würfelmodell verknüpfen
Modellieren	aus einem Würfelvolumen eine Kantenlänge bestimmen
Begründen	Ergebnis mit Kubikzahlen, Probe und Einheit erklären
Digitale Werkzeuge	Taschenrechner und digitale Modelle nutzen und kritisch prüfen

Reflexion

1. Woran erkennst Du ohne Taschenrechner, in welchem Bereich eine Kubikwurzel liegt?
2. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Würfel, Potenzschreibweise, Zahlengerade oder Graph?
3. Welche Fehler kann ein Taschenrechner nicht für Dich erkennen?
4. Wie erklärst Du, warum Kubikwurzel und Kubieren Gegenoperationen sind?

Folgekurs

Als nächstes passen Wurzeln und Potenzen, Wurzelgesetze, Reelle Zahlen und Potenzen mit rationalen Exponenten.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kubikzahlen-Plakat: Gestalte ein Plakat zu $1^3$ bis $10^3$ und markiere die zugehörigen Kubikwurzeln.
2. Würfel-Fotoaufgabe: Fotografiere oder zeichne einen würfelförmigen Gegenstand und beschrifte Kantenlänge und Volumen. Verwende keine personenbezogenen Daten.
3. Erklärkarte Kubikwurzel: Erstelle eine Karte mit $\sqrt[3]{125}=5$, Probe und Merksatz.
4. Fehlerdetektiv Kubikwurzel: Erfinde zwei typische falsche Rechenwege und korrigiere sie.

Standard

1. Taschenrechner-Vergleich: Berechne fünf nicht ganzzahlige Kubikwurzeln, schätze vorher und dokumentiere die Rundung.
2. Würfelmodell: Baue einen Würfel, miss die Kante und vergleiche gemessenes und berechnetes Volumen.
3. Zahlengeraden-Projekt: Ordne $\sqrt[3]{20}$, $\sqrt[3]{50}$, $\sqrt[3]{100}$ und $\sqrt[3]{200}$ auf einer Zahlengeraden ein.
4. Mini-Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video zu einer Volumenaufgabe mit Rechenweg, Probe und Einheit.

Schwer

1. Modellierungsaufgabe Behälter: Entwirf einen würfelförmigen Behälter für ein vorgegebenes Volumen und begründe die benötigte Kantenlänge.
2. Graphenvergleich: Untersuche mit GeoGebra $y=x^3$ und $y=\sqrt[3]{x}$ und beschreibe die Umkehrbeziehung.
3. Näherungsverfahren: Entwickle eine Strategie, mit der Du $\sqrt[3]{30}$ ohne direkte Kubikwurzeltaste immer genauer eingrenzt.
4. KI-Prüfauftrag: Lass ein KI-System eine Kubikwurzel-Aufgabe erklären. Prüfe jeden Schritt selbst und verbessere Fehler mathematisch begründet.

Lernkontrolle

1. Begründung mit Gegenoperation: Erkläre anhand eines eigenen Beispiels, warum Kubikwurzelziehen das Kubieren rückgängig macht.
2. Plausibilitätsprüfung: Ein Taschenrechner zeigt für $\sqrt[3]{90}$ den Wert $\mathrm{9,65}$. Entscheide ohne erneute Kubikwurzelrechnung, ob das plausibel ist, und begründe.
3. Modellierung Würfel: Ein Würfel hat $600{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$ Volumen. Formuliere einen vollständigen Lösungsweg mit Abschätzung, Taschenrechnerwert, Rundung und Einheit.
4. Darstellungswechsel: Übertrage $\sqrt[3]{64}=4$ in eine Potenzgleichung, ein Würfelmodell und eine verbale Erklärung.
5. Fehleranalyse: Beurteile die Rechnung „$\sqrt[3]{125}=125:3$“ und verbessere sie.
6. Werkzeugwahl: Vergleiche Kopfrechnen und Taschenrechner bei $\sqrt[3]{216}$ und $\sqrt[3]{250}$ und begründe Deine Wahl.

OERs zum Thema

1. Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Kubikwurzeln
2. Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Klasse 9 M-Niveau – Potenzen und Wurzeln
3. GeoGebra: Kubikwurzel mit Würfelvolumen

Verknüpfte Lernbereiche

Kubikwurzel Potenzen Wurzeln Würfel Volumen Reelle Zahlen Näherungswert Taschenrechner

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du

1. die Bedeutung der Kubikwurzel sicher erklären kannst.
2. exakte Kubikwurzeln aus bekannten Kubikzahlen bestimmst.
3. Näherungswerte mit dem Taschenrechner berechnest und sinnvoll rundest.
4. Kubikwurzeln durch benachbarte Kubikzahlen abschätzt.
5. Würfelvolumen und Kantenlänge miteinander verknüpfst.
6. Einheiten korrekt deutest.
7. Ergebnisse durch Kubieren kontrollierst.
8. Deinen Rechenweg nachvollziehbar darstellst und begründest.