ABI LF - Zusammengesetzte Funktionen untersuchen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Untersuche Summen, Produkte und Verkettungen bekannter Funktionstypen und ihre Graphen. Im Leistungsfach stehen Strukturerkennung, Definitionsmenge, Nullstellen, Asymptoten, Ableitungen und begründete Graphenaussagen im Mittelpunkt.

Dieser aiMOOC bereitet auf typische Anforderungen der Analysis im Mathematik-Leistungsfach vor. Du sollst nicht nur rechnen, sondern Verfahren auswählen, Ergebnisse begründen und graphisch kontrollieren.

Leitidee: Aus bekannten Funktionen entstehen neue Funktionen durch Summe, Produkt und Verkettung.

Lernziele

1. Zusammengesetzte Funktion: Du erkennst Summen, Produkte und Verkettungen.
2. Funktionenkomposition: Du bestimmst innere und äußere Funktion sicher.
3. Definitionsmenge: Du leitest Definitionsmengen zusammengesetzter Funktionen formal her.
4. Nullstelle: Du untersuchst Nullstellen passend zur Struktur.
5. Asymptote: Du begründest asymptotisches Verhalten mit Grenzwerten.
6. Differentialrechnung: Du nutzt Summen-, Produkt- und Kettenregel gezielt.
7. Funktionsgraph: Du vergleichst Terme und Graphen dynamisch und erklärst charakteristische Eigenschaften.
8. Mathematische Argumentation: Du prüfst Rechenwege, Gegenbeispiele und Begründungen auf Gültigkeit.

Abiturbezug Baden-Württemberg

Stand dieses aiMOOCs: Prüfungsjahrgang 2027.

Der Bildungsplan Mathematik für das Leistungsfach fordert ausdrücklich, Graphen von zusammengesetzten Funktionen aus Summe, Produkt und Verkettung zu untersuchen: Bildungsplan Baden-Württemberg – Leitidee Funktionaler Zusammenhang

Für die Abiturprüfung 2027 gelten die Vorgaben des Facherlasses: Facherlass Abitur 2027

Prüfungsaspekt	Abitur 2027 Leistungsfach
Bearbeitungszeit	300 Minuten einschließlich Auswahlzeit
Teil A	ohne Hilfsmittel; Abgabe spätestens 110 Minuten nach Prüfungsbeginn
Teil B	nach Abgabe von Teil A mit zugelassenem Formeldokument und wissenschaftlichem Taschenrechner
Prüfungsbereiche	Analysis, Analytische Geometrie, Stochastik

Wichtig: GeoGebra, Lernapps, Videos und andere Werkzeuge in diesem aiMOOC sind Übungsmedien. Sie sind nicht automatisch als Hilfsmittel in der Abiturprüfung zugelassen. Prüfe für Deinen Prüfungsjahrgang immer den aktuellen Facherlass.

Vorwissen-Check

Beantworte zuerst ohne digitales Werkzeug.

Check	Aufgabe
Funktionstyp	Ordne $x^3$, $e^x$, $\ln (x)$ und $\frac{1}{x}$ ihren Funktionstypen zu.
Ableitung	Bestimme $(x^3{)}^{\prime }$, $(e^x{)}^{\prime }$ und $(\ln x{)}^{\prime }$.
Definitionsmenge	Begründe die Definitionsmengen von $\ln (x)$ und $\frac{1}{x}$.
Grenzwert	Beschreibe $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x}$.
Graph	Erkläre, wie Du Nullstellen, Extrempunkte und Asymptoten an einem Graphen erkennst.

Kurzfeedback zum Vorwissen-Check

Wenn Du bei Definitionsmengen, Ableitungen oder Grenzwerten unsicher bist, wiederhole zuerst Funktion, Ableitung, Grenzwert und Definitionsmenge.

Zusammengesetzte Funktionen erkennen

Summe

$s(x)=f(x)+g(x)$

Definitionsmenge: $D_s=D_f\cap D_g$

Ableitung: $s^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$

Nullstellen: $f(x)+g(x)=0$

Das bedeutet im Allgemeinen nicht, dass eine Nullstelle von $f$ oder $g$ automatisch Nullstelle der Summe ist.

Produkt

$p(x)=f(x)\cdot g(x)$

Definitionsmenge: $D_p=D_f\cap D_g$

Ableitung: $p^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

Nullstellen: $f(x)\cdot g(x)=0$

Also gilt, sofern alle Terme definiert sind: $f(x)=0$ oder $g(x)=0$.

Verkettung

$h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))$

Innere Funktion: $g$

Äußere Funktion: $f$

Definitionsmenge: $D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}$

Kettenregel: $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

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Dynamisches Modell: Verkettung Punkt für Punkt

Beobachte, wie ein Eingabewert zuerst durch die innere und danach durch die äußere Funktion läuft.

Arbeitsauftrag:

1. Wähle einen Wert $x$.
2. Verfolge zuerst $g(x)$.
3. Nutze $g(x)$ als Eingabe für $f$.
4. Vergleiche den entstehenden Punkt mit dem Graphen von $f\circ g$.

Denkfrage: Warum ist $f\circ g$ im Allgemeinen nicht dasselbe wie $g\circ f$?

Reihenfolge der Verkettung dynamisch vergleichen

Teste gezielt: $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+1$

Dann: $(f\circ g)(x)=(x+1{)}^2$

aber: $(g\circ f)(x)=x^2+1$

Die beiden Graphen sind verschieden.

Graphen systematisch untersuchen

Nutze für zusammengesetzte Funktionen dieselbe Grundstruktur:

Schritt	Leitfrage
Struktur	Summe, Produkt oder Verkettung?
Definitionsmenge	Wo sind alle beteiligten Terme definiert?
Symmetrie	Gerade, ungerade oder keine einfache Symmetrie?
Nullstellen	Welche Gleichung folgt aus der Struktur?
Grenzverhalten	Welcher Term dominiert für große Beträge von $x$?
Asymptoten	Welche Grenzwerte oder Definitionslücken sind entscheidend?
Ableitung	Welche Ableitungsregel ist erforderlich?
Extrem- und Wendestellen	Welche Bedingungen folgen aus den Ableitungen?
Graph	Passen Term, Rechnung und Darstellung zusammen?

Beispiel 1: Produkt aus linearer Funktion und Exponentialfunktion

Gegeben: $p(x)=x\cdot e^{-x}$

1. Struktur $p=f\cdot g$ mit $f(x)=x$ und $g(x)=e^{-x}$.

2. Definitionsmenge $D_p=ℝ$

3. Nullstelle $x\cdot e^{-x}=0$

Da $e^{-x}>0$ für alle $x$, gilt: $x=0$

4. Grenzverhalten $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x{e}^{-x}=0$

Damit ist $y=0$ für $x\to \mathrm{\infty }$ eine horizontale Asymptote.

5. Ableitung $p^{\prime }(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot (-e^{-x})$

$p^{\prime }(x)=e^{-x}(1-x)$

6. Extremstelle $e^{-x}(1-x)=0$

Wegen $e^{-x}>0$ folgt: $x=1$

7. Funktionswert $p(1)=e^{-1}=\frac{1}{e}$

Hilfe

Bei einem Produkt zuerst die Faktoren identifizieren. Prüfe danach, ob ein Faktor niemals null werden kann.

Feedback

Die Produktstruktur liefert die Nullstelle schnell. Für Extremstellen ist dagegen die Produktregel nötig. Nullstellen und Extremstellen entstehen also aus unterschiedlichen Gleichungen.

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Beispiel 2: Verkettung mit Logarithmus

Gegeben: $h(x)=\ln (x^2+1)$

Innere Funktion: $g(x)=x^2+1$

Äußere Funktion: $f(u)=\ln (u)$

Für den Logarithmus muss gelten: $u>0$

Da: $x^2+1>0$

für alle reellen $x$, folgt: $D_h=ℝ$

Nullstelle: $\ln (x^2+1)=0$

$x^2+1=1$

$x=0$

Ableitung: $h^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x$

$h^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$

Symmetrie: $h(-x)=\ln ((-x{)}^2+1)=h(x)$

Der Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

Fehlerfalle

Die Definitionsmenge der äußeren Funktion darf nicht isoliert betrachtet werden. Entscheidend ist, ob die Werte der inneren Funktion im Definitionsbereich der äußeren Funktion liegen.

Beispiel 3: Verkettung mit Polstellen

Gegeben: $r(x)=\frac{1}{x^2-1}$

Betrachte: $g(x)=x^2-1$

und: $f(u)=\frac{1}{u}$

Für die äußere Funktion gilt: $u\ne 0$

Also: $x^2-1\ne 0$

$x\ne -1$ und $x\ne 1$

Damit: $D_r=ℝ\setminus \{-1,1\}$

Die Geraden: $x=-1$ und $x=1$

sind vertikale Asymptoten.

Außerdem: $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x^2-1}=0$

Damit ist: $y=0$

eine horizontale Asymptote.

Asymptoten bei Summen und Produkten

Asymptoten werden bei zusammengesetzten Funktionen nicht einfach von einer Teilfunktion „übernommen“. Prüfe den Grenzwert der gesamten Funktion.

Beispiel: $a(x)=x+\frac{1}{x}$

Dann: $a(x)-x=\frac{1}{x}$

und: $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}(a(x)-x)=0$

Also ist: $y=x$

eine schiefe Asymptote.

Charakteristische Eigenschaften aus dem Graphen

Prüfe bei jedem Graphen mindestens:

1. Definitionsmenge: Lücken und Grenzen des Definitionsbereichs.
2. Nullstelle: Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
3. Symmetrie: Verhalten bei $x\mapsto -x$.
4. Monotonie: Vorzeichen von $f^{\prime }(x)$.
5. Extrempunkt: Kandidaten aus $f^{\prime }(x)=0$.
6. Wendepunkt: Kandidaten aus $f^{″}(x)=0$ mit zusätzlicher Prüfung.
7. Asymptote: Verhalten an Definitionslücken und für $|x|\to \mathrm{\infty }$.

Dynamische Graphvergleiche

Freier Graphvergleich

Vergleich 1 – Summe Gib ein: $f(x)=x^2$

$g(x)=2x$

$s(x)=f(x)+g(x)$

Untersuche, wie sich Nullstellen und Scheitelpunkt gegenüber den Einzelgraphen verändern.

Vergleich 2 – Produkt Gib ein: $f(x)=x$

$g(x)=e^{-x}$

$p(x)=f(x)g(x)$

Beobachte Nullstelle, Maximum und das Verhalten für $x\to \mathrm{\infty }$.

Vergleich 3 – Verkettung Gib ein: $f(x)=x^2$

$g(x)=x-2$

$h(x)=f(g(x))$

Vergleiche $f$, $g$ und $h$.

Kettenregel als dynamische Änderungsrate

Untersuche, wie sich die Änderungsrate der inneren und äußeren Funktion zur Änderungsrate der Verkettung verbindet.

Merkschema: Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion mal Ableitung der inneren Funktion.

Genauer: $(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

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Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1: Struktur erkennen

Ordne die Funktionen zu.

$a(x)=x^2+e^x$

$b(x)=x^2{e}^x$

$c(x)=e^{x^2}$

Hilfe

Achte auf das Rechenzeichen zwischen den Funktionsteilen. Bei einer Verkettung steht ein vollständiger Funktionsterm im Argument einer anderen Funktion.

Feedback

$a$ ist eine Summe, $b$ ein Produkt und $c$ eine Verkettung mit innerer Funktion $x^2$ und äußerer Funktion $e^u$.

Übung 2: Definitionsmenge begründen

Bestimme die Definitionsmenge von: $f(x)=\ln (4-x^2)$

Hilfe

Für $\ln (u)$ gilt $u>0$.

Feedback

$4-x^2>0$ führt zu $-2<x<2$. Also gilt $D_f=(-2,2)$.

Übung 3: Produkt vollständig untersuchen

Gegeben: $f(x)=(x-2)e^{-x}$

Untersuche Definitionsmenge, Nullstelle, Ableitung, Extremstelle und Grenzverhalten für $x\to \mathrm{\infty }$.

Hilfe

Nutze die Produktregel und klammere danach $e^{-x}$ aus.

Feedback

$D_f=ℝ$, Nullstelle $x=2$. Es gilt $f^{\prime }(x)=e^{-x}(3-x)$, also liegt eine stationäre Stelle bei $x=3$. Für $x\to \mathrm{\infty }$ gilt $f(x)\to 0$.

Übung 4: Verkettung und Asymptoten

Gegeben: $g(x)=\frac{1}{(x-3{)}^2}$

Bestimme innere und äußere Funktion sowie die Asymptoten.

Hilfe

Nutze als innere Funktion $u(x)=(x-3{)}^2$ und als äußere Funktion $v(u)=\frac{1}{u}$.

Feedback

Bei $x=3$ wird der Nenner null: vertikale Asymptote $x=3$. Für $|x|\to \mathrm{\infty }$ gilt $g(x)\to 0$: horizontale Asymptote $y=0$.

Fehleranalyse

Typischer Fehler	Gegenprüfung
$f\circ g=g\circ f$ wird angenommen.	Setze ein einfaches Gegenbeispiel ein, etwa $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+1$.
Nullstellen einer Summe werden wie Nullstellen eines Produkts behandelt.	Bei $f+g=0$ gilt nicht automatisch $f=0$ oder $g=0$.
Die innere Ableitung fehlt.	Markiere zuerst innere und äußere Funktion und wende dann die Kettenregel an.
Die Definitionsmenge der Verkettung wird nur von außen abgelesen.	Prüfe zusätzlich, welche Werte die innere Funktion tatsächlich annimmt.
Eine Asymptote wird ohne Grenzwert behauptet.	Untersuche die Differenz zur vermuteten Asymptote oder den passenden Grenzwert.
Ein Rechnerbild ersetzt eine Begründung.	Nutze den Graphen als Kontrolle, nicht als Beweis.

KI-Hinweis: KI-Ausgaben können Rechen- oder Begründungsfehler enthalten. Prüfe jede Aussage durch Termumformung, Grenzwert, Ableitung, Gegenbeispiel oder Beweis. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Kompetenz	Selbsttest
Struktur erkennen	Kannst Du bei $e^{x^2+1}$ innere und äußere Funktion nennen?
Definitionsmenge	Kannst Du $D_{\ln (1-x^2)}$ ohne Graph bestimmen?
Nullstellen	Weißt Du, wann die Produktnullregel gilt?
Ableitung	Kannst Du Produkt- und Kettenregel in einer Aufgabe kombinieren?
Asymptoten	Kannst Du eine asymptotische Aussage mit einem Grenzwert begründen?
Graphvergleich	Kannst Du erklären, warum zwei ähnlich aussehende Terme unterschiedliche Graphen haben?

Transfer

Untersuche die Funktion: $F(x)=x^2{e}^{-x^2}$

Auftrag:

1. Zerlege $F$ in Produkt und Verkettung.
2. Begründe die Symmetrie.
3. Bestimme die Nullstellen.
4. Bestimme $F^{\prime }(x)$.
5. Untersuche Extremstellen.
6. Bestimme das Grenzverhalten für $x\to \pm \mathrm{\infty }$.
7. Skizziere den Graphen zunächst ohne Werkzeug.
8. Vergleiche anschließend mit einem dynamischen Graphen.

Kontrollhinweis

$F$ ist gerade. Bei der Ableitung müssen Produkt- und Kettenregel kombiniert werden.

Kompetenzcheck Leistungsfach

A: Verfahren selbst wählen

Untersuche: $f(x)=\ln (x^2-4x+5)$

Begründe ohne Vorgabe eines Verfahrens Definitionsmenge, Symmetrieeigenschaften nach geeigneter Verschiebung, Extremstellen und Monotonie.

B: Mehrschrittig modellieren

Ein Modell besitzt die Form: $M(t)=t{e}^{-kt}$ mit $k>0$.

Zeige allgemein, dass der Zeitpunkt des Maximums von $k$ abhängt, und bestimme ihn.

Kontrollidee

$M^{\prime }(t)=e^{-kt}(1-kt)$. Da der Exponentialfaktor positiv ist, entscheidet $1-kt$ über das Vorzeichen.

Begründung prüfen

Behauptung:

„Wenn $f$ und $g$ beide eine horizontale Asymptote besitzen, besitzt auch $f\cdot g$ automatisch dieselbe horizontale Asymptote.“

Entscheide nicht nur richtig oder falsch, sondern analysiere die Aussage mit geeigneten Beispielen oder Gegenbeispielen.

Term und Graph verknüpfen

Entwirf zwei verschiedene zusammengesetzte Funktionen mit denselben Nullstellen, aber deutlich unterschiedlichem Grenzverhalten. Begründe die Wahl der Funktionstypen.

Reflexion

Beantworte nach der Bearbeitung:

1. Welche Struktur erkennst Du inzwischen am schnellsten: Summe, Produkt oder Verkettung?
2. Bei welchem Schritt brauchst Du noch systematische Kontrolle?
3. Welche Graphinformation kannst Du zuverlässig aus einem Term ableiten?
4. Wann hilft ein dynamischer Graph, und wann braucht es zwingend eine Rechnung oder einen Beweis?
5. Welche Fehler würdest Du bei einer KI-generierten Lösung zuerst prüfen?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich:

1. ABI LF - Zusammengesetzte Funktionen ableiten
2. ABI LF - Funktionenscharen untersuchen
3. ABI LF - Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen
4. ABI LF - Integralrechnung und Bestandsfunktionen

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Definitionsmenge besitzt das Produkt zweier Funktionen grundsätzlich? (Die Schnittmenge der beiden Definitionsmengen) (!Die Vereinigung der beiden Definitionsmengen) (!Immer die reellen Zahlen) (!Nur die Nullstellen beider Funktionen)

Welche Gleichung beschreibt die Nullstellen eines Produkts korrekt? (Ein Faktor muss null sein) (!Beide Faktoren müssen gleichzeitig null sein) (!Die Summe der Faktoren muss null sein) (!Die Ableitung eines Faktors muss null sein)

Was ist bei h von x gleich f von g von x die innere Funktion? (g) (!f) (!h) (!f mal g)

Welche Bedingung gilt für h von x gleich ln von g von x? (g von x muss größer als null sein) (!g von x muss kleiner als null sein) (!g von x muss gleich null sein) (!g von x muss immer ganzzahlig sein)

Wie lautet die Kettenregel für h von x gleich f von g von x? (f Strich von g von x mal g Strich von x) (!f Strich von x plus g Strich von x) (!f Strich von x mal g Strich von x) (!f von g Strich von x)

Welche Aussage gilt für p von x gleich x mal e hoch minus x bei x gegen unendlich? (p von x nähert sich null) (!p von x nähert sich unendlich) (!p von x nähert sich minus unendlich) (!p von x bleibt konstant eins)

Welche Aussage über f Kreis g und g Kreis f ist allgemein richtig? (Die beiden Verkettungen können verschieden sein) (!Die beiden Verkettungen sind immer gleich) (!Beide Verkettungen sind immer Produkte) (!Verkettungen besitzen immer dieselbe Definitionsmenge)

Wann ist x gleich a eine vertikale Asymptote einer gebrochenen Funktion besonders naheliegend? (Wenn die Funktion beim Annähern an a betragsmäßig unbeschränkt wird) (!Wenn die Ableitung bei a gleich eins ist) (!Wenn der Funktionswert bei a gleich null ist) (!Wenn der Graph bei a ein Maximum besitzt)

Was ist bei ln von x Quadrat plus eins die äußere Funktion? (Der natürliche Logarithmus) (!Die Quadratfunktion) (!Die lineare Funktion) (!Die Kehrwertfunktion)

Welche vertikalen Asymptoten besitzt eins durch x Quadrat minus eins? (x gleich minus eins und x gleich eins) (!Nur x gleich null) (!y gleich minus eins und y gleich eins) (!Keine vertikalen Asymptoten)

Memory

Summe	f plus g
Produkt	f mal g
Verkettung	f von g von x
Innere Funktion	zuerst ausgeführte Funktion
Äußere Funktion	danach ausgeführte Funktion
Asymptote	Grenzverhalten eines Graphen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Summe	f plus g
Produkt	f mal g
Verkettung	f von g von x
Innere Funktion	steht im Argument der äußeren Funktion
Kettenregel	äußere Ableitung mal innere Ableitung

Kreuzworträtsel

Summe	Wie heißt eine Funktion der Form f plus g?
Produkt	Wie heißt eine Funktion der Form f mal g?
Verkettung	Wie heißt die Hintereinanderausführung zweier Funktionen?
Asymptote	Wie heißt eine Gerade, der sich ein Graph annähert?
Nullstelle	Wie heißt ein x Wert mit Funktionswert null?
Kettenregel	Welche Ableitungsregel wird bei einer Verkettung benötigt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Summe wird die gemeinsame Definitionsmenge als der Definitionsmengen bestimmt.

Bei einem Produkt folgt aus einem Funktionswert null, dass mindestens ein null ist.

Bei einer Verkettung wird zuerst die Funktion ausgeführt.

Die danach ausgeführte Funktion heißt Funktion.

Zum Ableiten einer Verkettung nutzt man die .

Eine senkrechte Gerade an einer Polstelle kann eine sein.

Das Verhalten für große Beträge von x untersucht man mit .

Ein dynamischer Graph dient zur Kontrolle, ersetzt aber keinen mathematischen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Graphvergleich: Zeichne $f(x)=x^2$, $g(x)=x$ und $f(x)+g(x)$ zunächst von Hand und kontrolliere anschließend digital.
2. Funktionssteckbrief: Erstelle eine kompakte Karte zu Summe, Produkt und Verkettung mit Definitionsmenge, Nullstellenidee und Ableitungsregel.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde eine typische falsche Kettenregel-Rechnung und markiere exakt die fehlerhafte Stelle.
4. Medienanalyse: Wähle eine Abbildung dieses aiMOOCs und erkläre, welche mathematische Aussage sie besser sichtbar macht als reiner Text.

Standard

1. Dynamischer Graph: Erstelle in GeoGebra einen Vergleich von $f$, $g$, $f+g$, $fg$ und $f\circ g$ für selbst gewählte Funktionen.
2. Asymptotenvergleich: Finde drei zusammengesetzte Funktionen mit horizontaler, vertikaler und schiefer Asymptote und begründe jeweils den Grenzwert.
3. Begründungsvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du innere und äußere Funktion an zwei Beispielen erklärst. Verwende keine personenbezogenen Daten.
4. Gegenbeispiel: Widerlege eine selbst gewählte falsche Aussage über Summen, Produkte oder Verkettungen mit einem präzisen Gegenbeispiel.

Schwer

1. Parameteruntersuchung: Untersuche $f_a(x)=x{e}^{-ax}$ für $a>0$ hinsichtlich Nullstelle, Extremstelle und Grenzverhalten.
2. Beweisaufgabe: Formuliere und beweise eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Verkettung zweier gerader Funktionen wieder gerade ist.
3. Modellierungsaufgabe: Entwickle ein reales Wachstums- oder Abklingmodell, das als Produkt zweier bekannter Funktionstypen beschrieben wird, und interpretiere ein Extremum im Sachzusammenhang.
4. KI-Prüfung: Lass eine KI eine anspruchsvolle Untersuchung einer zusammengesetzten Funktion vorschlagen. Prüfe jeden Rechenschritt unabhängig und dokumentiere mindestens eine Stelle, an der eine Begründung nötig ist.

Lernkontrolle

1. Verfahrenswahl: Untersuche $f(x)=(x^2-1)e^{-x}$. Begründe, welche Eigenschaften direkt aus der Produktstruktur folgen und für welche Du Ableitungen oder Grenzwerte brauchst.
2. Definitionsmengen-Transfer: Vergleiche $\ln (x^2-1)$ und $\ln (x^2+1)$. Erkläre den Unterschied der Definitionsmengen ohne Graph.
3. Graphenargumentation: Zwei Graphen sehen in einem kleinen Fenster nahezu gleich aus. Entwickle eine Strategie, wie Du durch Grenzwerte oder Ableitungen mathematisch entscheidest, ob ihre Eigenschaften tatsächlich übereinstimmen.
4. Fehleranalyse: Eine Lösung behauptet aus $f(x)+g(x)=0$, dass $f(x)=0$ oder $g(x)=0$ gelten müsse. Widerlege die Argumentation und nenne die korrekte Situation, in der diese Schlussform gilt.
5. Transfer Verkettung: Entwickle zwei Funktionen $f$ und $g$, für die $f\circ g$ überall definiert ist, $g\circ f$ aber nicht.
6. Abiturbegründung: Bearbeite eine Aufgabe zunächst ohne digitales Werkzeug und nutze anschließend einen Graphen nur zur Kontrolle. Dokumentiere, welche Teile auch ohne Werkzeug vollständig begründet sein müssen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Summe, Produkt und Verkettung formal korrekt zu unterscheiden.
2. Innere und äußere Funktion sicher zu identifizieren.
3. Definitionsmengen aus Bedingungen der beteiligten Funktionstypen herzuleiten.
4. Nullstellen passend zur Funktionsstruktur zu bestimmen.
5. Asymptoten durch Grenzwertaussagen zu begründen.
6. Summen-, Produkt- und Kettenregel sicher und kombiniert anzuwenden.
7. Graphenmerkmale aus Termen und Ableitungen abzuleiten.
8. Digitale Graphen kritisch zur Kontrolle einzusetzen.
9. Fehler in fremden oder KI-generierten Rechenwegen zu erkennen.
10. Mehrschrittige Begründungen auf Leistungsfachniveau nachvollziehbar zu formulieren.

OERs zum Thema

Weitere freie Lernmedien:

1. GeoGebra: Verkettung von Funktionen mit Hilfe der Schaubilder
2. GeoGebra: Reihenfolge der Verkettung
3. GeoGebra: Die Kettenregel
4. Wikimedia Commons: Funktionsverkettung als Maschinenmodell
5. Wikimedia Commons: Asymptoten von eins durch x

Verknüpfte Lernbereiche

Zusammengesetzte Funktionen Funktion Funktionenkomposition Produktregel Kettenregel Definitionsmenge Nullstelle Grenzwert Asymptote Extrempunkt Funktionsgraph