M7 E - Verbraucherinformationen mathematisch prüfen

Mini-Beschreibung: Prüfe fiktive Werbung, Prozentangaben, Diagramme, Preisvergleiche und statistische Aussagen mathematisch. Du untersuchst Bezugsgrößen, prozentuale Veränderungen und Darstellungswirkungen und trennst mathematische Aussage und Werbewirkung.

Zielgruppe: Mathematik Klasse 7, Baden-Württemberg, E-Niveau.

Einleitung

Werbung arbeitet gern mit Zahlen. Zahlen wirken genau, können aber trotzdem einen verzerrten Eindruck erzeugen. Du prüfst deshalb immer drei Dinge: Bezugsgröße, Rechnung und Darstellung.

Lernziele

Prozentrechnung: Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz sicher bestimmen.
Prozentuale Veränderung: Zu- und Abnahmen berechnen und begründen.
Grundpreis: Angebote mit gemeinsamer Bezugsgröße vergleichen.
Diagramm: Achsen, Skalierung und Darstellungswirkung untersuchen.
Statistik: Aussagen über Stichproben von Verallgemeinerungen unterscheiden.
Gegenbeispiel: Behauptungen prüfen und widerlegen.
KI-Ergebnisse mathematisch kontrollieren; KI ersetzt keinen Beweis.

Vorwissen-Check

Aufgabe	Ergebnis
$25 %$ als Bruch	$\frac{25}{100}$
Hälfte von $80$	$40$
Von $50$ auf $60$	Zunahme um $10$
$3$ Euro für $0,75$ kg	$4$ Euro pro kg

Feedback: Wenn Du drei Zeilen erklären kannst, bist Du startklar. Sonst wiederhole Bruchrechnung, Dezimalzahl und Dreisatz.

Werkzeugkasten Prozentrechnung

$W = G \cdot \frac{p}{100}$

$p = \frac{W}{G} \cdot 100$

$G = \frac{W}{p / 100}$

Dabei ist $G$ der Grundwert, $W$ der Prozentwert und $p$ der Prozentsatz.

Zahlengerade:

$0 %$ ── $25 %$ ── $50 %$ ── $75 %$ ── $100 %$

$0$ ── $\frac{1}{4}$ ── $\frac{1}{2}$ ── $\frac{3}{4}$ ── $1$

Hilfestufe 1: Frage zuerst: „Prozent wovon?“

Hilfestufe 2: Prüfe mit einem Überschlag, ob das Ergebnis zur Situation passt.

Interaktives Beispiel: Rabatt

Fiktive Werbung: „20 % Rabatt auf einen Rucksack, bisher 80 Euro.“

$80 \cdot \frac{20}{100} = 16$

$80 - 16 = 64$

Mathematische Aussage: Der Rabatt beträgt 16 Euro. Der neue Preis beträgt 64 Euro.

Werbewirkung: Die Prozentzahl wirkt groß. Entscheidend ist aber der tatsächliche Endpreis und die Bezugsgröße.

Feedback: 16 Euro ist nur der Rabattbetrag. Gesucht ist der neue Preis von 64 Euro.

Interaktives Beispiel: Zwei Rabatte

Startpreis: 100 Euro.

Erster Rabatt: $100 \cdot 0,8 = 80$

Zweiter Rabatt: $80 \cdot 0,9 = 72$

Gesamtrabatt: $100 - 72 = 28$

Der Gesamtrabatt beträgt also $28 %$ und nicht $30 %$ .

E-Niveau – Verallgemeinerung: Bei zwei Rabatten mit $a %$ und $b %$ bleibt der Anteil $(1 - \frac{a}{100}) \cdot (1 - \frac{b}{100})$ übrig.

Prozentuale Veränderung

Die Veränderungsrate berechnest Du mit:

$\frac{n e u - a l t}{a l t} \cdot 100$

Beispiel: Ein Preis steigt von 40 Euro auf 50 Euro.

$\frac{50 - 40}{40} \cdot 100 = 25$

Die Zunahme beträgt $25 %$ . Der alte Wert ist die Bezugsgröße.

Gegenbeispiel: minus 20 %, dann plus 20 %

$100 \cdot 0,8 = 80$

$80 \cdot 1,2 = 96$

Das Ergebnis ist $96$ , nicht $100$ . Gleiche Prozentzahlen heben sich nicht automatisch auf, weil sich die Bezugsgrößen ändern.

Bezugsgrößen in Werbung

Fiktive Aussage: „50 % mehr Inhalt!“

Wenn die alte Packung 400 g enthält, gilt:

$400 \cdot 1,5 = 600$

Die neue Packung müsste 600 g enthalten.

E-Prüfung: Die Rechnung kann stimmen und die Werbung trotzdem missverständlich sein, wenn mit einer ungewöhnlich kleinen Vergleichspackung gearbeitet wird.

Preisvergleiche

Packung	Preis	Inhalt	Grundpreis
A	2,79 Euro	750 g	3,72 Euro pro kg
B	3,49 Euro	1 kg	3,49 Euro pro kg

Für A rechnest Du $2,79 / 0,75 = 3,72$ . B ist pro Kilogramm günstiger, obwohl der Gesamtpreis höher ist.

Hilfestufe: Vergleiche immer dieselbe Einheit, zum Beispiel Euro pro Kilogramm.

Diagramme kritisch prüfen

Beginnt die Achse bei $0$ ?
Sind alle Achsenabstände gleich groß?
Werden Flächen oder 3D-Effekte verwendet?
Fehlen Zeiträume, Werte oder Vergleichsgruppen?
Passt die Überschrift wirklich zu den Daten?

Interaktives Beispiel: abgeschnittene Achse

Zwei Produkte erhalten 90 und 100 Punkte.

Absoluter Unterschied:

$100 - 90 = 10$

Relativer Unterschied bezogen auf 90:

$\frac{10}{90} \cdot 100$

Das sind ungefähr 11 Prozent. Beginnt die Achse aber erst bei 85, wirkt der Unterschied optisch viel größer.

Diagramm-Animation

Ein Kreisdiagramm zeigt Anteile eines Ganzen. Für einen Anteil von $25 %$ gilt:

$\frac{25}{100} \cdot 360 = 90$

Der Sektor hat also einen Winkel von 90 Grad.

Denkfrage: Warum ist ein Balkendiagramm oft besser, wenn zwei fast gleich große Werte verglichen werden sollen?

Statistische Aussagen prüfen

Fiktive Werbung: „8 von 10 Testpersonen bevorzugen Produkt A.“

$\frac{8}{10} = 0,8$

Das sind $80 %$ der genannten Stichprobe.

Nicht bewiesen: Dass 80 % aller Menschen Produkt A bevorzugen.

Prüfe zusätzlich Stichprobengröße, Auswahl der Personen und Fragestellung.

Mathematische Aussage und Werbewirkung

Aussage	Mathematisch prüfen	Werbewirkung
20 % günstiger	Bezugs- und Endpreis bestimmen	Ersparnis wirkt groß
50 % mehr	alten Inhalt prüfen	Zuwachs wird betont
8 von 10	Stichprobe in Prozent umrechnen	Mehrheit wirkt überzeugend
hoher Balken	Achse und Skala prüfen	Unterschied wirkt größer

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Rabatt

Ein Kopfhörer kostet 120 Euro. Werbung: „25 % reduziert“.

$120 \cdot \frac{25}{100} = 30$

Hilfe: 25 % sind ein Viertel.

Feedback: Rabatt 30 Euro, Endpreis 90 Euro.

Übung B: Mehrschrittige Änderung

Ein Preis steigt von 50 Euro um 10 % und sinkt danach um 10 %.

$50 \cdot 1,1 = 55$

$55 \cdot 0,9 = 49,5$

Feedback: Der Endpreis ist 49,50 Euro. Gleiche Prozentzahlen gleichen sich nicht aus.

Übung C: Preisvergleich

Angebot X: 1,5 kg für 5,10 Euro. Angebot Y: 0,9 kg für 3,24 Euro.

$5,10 / 1,5 = 3,4$

$3,24 / 0,9 = 3,6$

Feedback: X kostet 3,40 Euro pro kg, Y kostet 3,60 Euro pro kg. X ist günstiger.

Übung D: Diagrammwirkung

Ein Diagramm zeigt 48 und 52. Die Achse beginnt bei 47.

$52 - 48 = 4$

Feedback: Der Datenunterschied beträgt nur 4. Die abgeschnittene Achse vergrößert aber den sichtbaren Abstand.

Typische Fehler

Grundwert verwechselt: Prozent wird auf den falschen Ausgangswert bezogen.
Prozentpunkt verwechselt: Von 20 % auf 25 % sind 5 Prozentpunkte, aber relativ 25 % Zunahme.
Rabatte werden unzulässig addiert.
Grundpreise werden nicht auf dieselbe Einheit gebracht.
Diagrammachsen werden ungeprüft übernommen.
Eine kleine Stichprobe wird auf alle Menschen verallgemeinert.

Selbstkontrolle

Transfer

Fiktive Kampagne: „Jetzt 30 % mehr Reichweite, 15 % günstiger und von 9 von 10 Testpersonen empfohlen.“

Bestimme zu jeder Zahl die Bezugsgröße.
Erfinde passende Ausgangsdaten.
Prüfe alle Rechnungen.
Finde ein Gegenbeispiel zu einer möglichen Fehlinterpretation.
Entwirf ein neutrales und ein stark wirkendes Diagramm zu denselben Daten.
Trenne mathematische Aussage und Werbewirkung.

Digitale Werkzeuge, Datenschutz und KI

Überschlage zuerst.
Prüfe die Bezugsgröße.
Rechne mindestens einen Schritt selbst nach.
Kontrolliere Einheiten und Rundung.
Suche bei überraschenden Ergebnissen nach einem Gegenbeispiel.
Verwende keine personenbezogenen Daten.

Wichtig: Eine KI-Ausgabe ist kein mathematischer Beweis.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Was ist bei 25 % Rabatt die wichtigste Bezugsgröße? (Der Preis vor dem Rabatt) (!Der Preis nach dem Rabatt) (!Die Anzahl der Produkte) (!Die Länge des Werbetextes)

Ein Preis sinkt von 80 Euro um 25 %. Wie hoch ist der neue Preis? (60 Euro) (!20 Euro) (!55 Euro) (!75 Euro)

Welche Beschreibung passt zur prozentualen Veränderung? (Differenz durch alten Wert mal hundert) (!Differenz durch neuen Wert) (!Neuer Wert durch hundert) (!Alter Wert mal neuer Wert)

Was gilt bei zwei aufeinanderfolgenden Rabatten? (Die Rabatte beziehen sich auf nacheinander veränderte Grundwerte) (!Die Rabatte dürfen immer addiert werden) (!Der zweite Rabatt bezieht sich immer auf den Startpreis) (!Der Preis steigt automatisch)

Was braucht ein fairer Preisvergleich verschiedener Packungen? (Einen Grundpreis pro gleicher Einheit) (!Nur den niedrigeren Gesamtpreis) (!Nur die größere Packung) (!Nur die auffälligere Werbung)

Warum kann eine abgeschnittene Achse täuschen? (Sie kann kleine Unterschiede optisch groß erscheinen lassen) (!Sie verändert automatisch die Daten) (!Sie macht alle Balken gleich groß) (!Sie beweist einen Zusammenhang)

Was bedeuten 8 von 10 innerhalb einer Stichprobe? (80 Prozent dieser Stichprobe) (!8 Prozent dieser Stichprobe) (!10 Prozent dieser Stichprobe) (!800 Prozent dieser Stichprobe)

Von 20 % auf 25 % sind wie viele Prozentpunkte Unterschied? (5 Prozentpunkte) (!20 Prozentpunkte) (!25 Prozentpunkte) (!45 Prozentpunkte)

Welche Aussage stimmt? (Gleiche Prozentsätze können verschiedene absolute Änderungen bedeuten) (!Gleiche Prozentsätze bedeuten immer denselben Eurobetrag) (!Eine Prozentangabe braucht keine Bezugsgröße) (!Ein Diagramm ist automatisch neutral)

Was musst Du bei einer KI-Rechnung tun? (Den Rechenweg und die Bezugsgrößen prüfen) (!Das Ergebnis ungeprüft übernehmen) (!Nur die Formulierung bewerten) (!Personenbezogene Daten ergänzen)

Memory

Grundwert	Bezugsgröße
Prozentwert	Anteil
Grundpreis	Vergleichseinheit
Rabatt	Preisnachlass
Stichprobe	untersuchte Gruppe
Achsenskalierung	Darstellungswirkung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Bezugsgröße	Ausgangsbasis einer Prozentangabe
Grundpreis	Preis je gemeinsamer Einheit
Achsenschnitt	kann Unterschiede optisch verstärken
Stichprobe	tatsächlich untersuchte Gruppe
Gegenbeispiel	widerlegt eine allgemeine Behauptung

Kreuzworträtsel

Grundwert	Wie heißt die Bezugsbasis einer Prozentrechnung?
Prozentwert	Wie heißt der Anteil des Grundwerts?
Rabatt	Wie heißt ein Preisnachlass?
Diagramm	Wie heißt eine grafische Darstellung von Daten?
Stichprobe	Wie heißt die tatsächlich untersuchte Gruppe?
Achse	Welcher Diagrammbestandteil trägt meist die Skala?

LearningApps

Lückentext

Kompetenzcheck E-Niveau

Kompetenz	Nachweis
untersuchen	Bezugsgrößen und Skalen selbstständig erkennen
verallgemeinern	Regeln für mehrschrittige Prozentänderungen formulieren
begründen	Rechnung und Darstellungswirkung trennen
Gegenbeispiel finden	allgemeine Behauptungen prüfen
modellieren	Verbraucherinformationen mehrschrittig mathematisieren

Reflexion

Welche Bezugsgröße war besonders leicht zu übersehen?
Wann kann eine mathematisch richtige Zahl trotzdem werblich täuschen?
Welche Diagrammgestaltung beeinflusst Deine Wahrnehmung am stärksten?
Welche Kontrolle einer KI-Antwort würdest Du nie auslassen?
Welches Gegenbeispiel zeigt die Bedeutung des Grundwerts besonders gut?

Offene Aufgaben

Leicht

Werbung prüfen: Erfinde eine Rabattwerbung und berechne Rabatt sowie Endpreis.
Grundpreis: Vergleiche drei fiktive Packungen mit verschiedenen Größen.
Diagramm: Zeichne dieselben Werte mit und ohne abgeschnittene Achse.
Prozent: Gestalte eine Zahlengerade von 0 % bis 100 % mit passenden Brüchen.

Standard

Preisvergleich: Entwickle zwei Angebote, bei denen der niedrigere Gesamtpreis nicht der günstigere Grundpreis ist.
Prozentuale Veränderung: Erfinde eine zweistufige Preisänderung und erkläre die veränderten Bezugsgrößen.
Statistik: Formuliere zu einer kleinen fiktiven Stichprobe eine vorsichtige und eine übertriebene Aussage.
Diagrammkritik: Analysiere ein frei lizenziertes Diagramm auf Achse, Skala und Wirkung.

Schwer

Gegenbeispiel: Finde zwei Gegenbeispiele zur Behauptung, gleiche Zu- und Abnahmeprozente würden sich ausgleichen.
Modellieren: Entwirf eine Kampagne mit Rabatt, Packungsänderung und Grundpreis und prüfe alle Schritte.
Datenkompetenz: Erstelle zu denselben Daten zwei unterschiedlich wirkende Diagramme und begründe die Wirkung.
KI und Mathematik: Prüfe eine KI-Lösung zu einer fiktiven Prozentaufgabe Schritt für Schritt und dokumentiere mögliche Fehlerquellen. Nutze keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

Bezugsgrößen analysieren: Eine Werbung verspricht 40 % mehr Leistung. Nenne zwei mögliche Bezugsgrößen und erkläre, warum die Aussage sonst unklar bleibt.
Mehrschrittig modellieren: Ein Preis wird erst um 15 % erhöht und danach um 15 % gesenkt. Begründe den Endwert allgemein.
Diagrammwirkung begründen: Erkläre mit eigenen Daten, wie eine abgeschnittene Achse die Wahrnehmung verändert.
Preisvergleich übertragen: Entwickle ein Beispiel, bei dem der höhere Gesamtpreis den niedrigeren Grundpreis hat.
Statistische Aussage beurteilen: Formuliere aus 18 von 20 Befragten eine korrekte Aussage und eine unzulässige Verallgemeinerung.
Gegenbeispiel entwickeln: Widerlege die Behauptung, zwei Rabatte mit zusammen 30 % ergäben immer 30 % Gesamtrabatt.

Lernnachweis

Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz bestimmen.
Prozentuale Veränderungen mit passender Bezugsgröße berechnen.
Grundpreise auf gemeinsame Einheiten bringen.
Diagramme auf Skala, Nullpunkt und visuelle Wirkung prüfen.
Stichprobenaussagen von Verallgemeinerungen unterscheiden.
Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar dokumentieren.
Gegenbeispiele finden und Regeln verallgemeinern.
Digitale und KI-erzeugte Ergebnisse eigenständig prüfen.

Folgekurs

M8 E - Daten, Zufall und statistische Aussagen kritisch untersuchen vertieft Stichproben, Häufigkeiten, Kennwerte und Dateninterpretationen.

OERs zum Thema

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