M8 M - Median und Quartile bestimmen

Mini-Beschreibung: Du bestimmst aus geordneten Datensätzen den Median, das untere Quartil $Q_{1}$ und das obere Quartil $Q_{3}$ . Du erklärst außerdem, was diese Kennwerte über die Verteilung von Daten aussagen.

Zielgruppe: Klasse 8, Mathematik, M-Niveau, Baden-Württemberg.

Einleitung

Ein Datensatz kann viele Werte enthalten. Drei Kennwerte helfen Dir, seine Lage schnell zu beschreiben:

Q_{1}

unteres Quartil

Q_{2}

Median

Q_{3}

oberes Quartil

Der Median beschreibt die Mitte. Die Quartile teilen die geordneten Daten grob in vier gleich große Bereiche. Dadurch erkennst Du nicht nur einen mittleren Wert, sondern auch, wo die mittleren $50 %$ der Daten liegen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

Daten ordnen und ihre Positionen sicher ablesen.
den Median bei gerader und ungerader Anzahl von Werten bestimmen.
$Q_{1}$ und $Q_{3}$ mit der hier verwendeten Schulregel bestimmen.
erklären, warum Median und Quartile eine Datenverteilung sinnvoll beschreiben.
zwischen Datenkarten, Zahlengerade und Boxplot wechseln.
digitale Ergebnisse prüfen und unterschiedliche Quartilsdefinitionen erkennen.

Bildungsplanbezug und M-Niveau

Im gemeinsamen Bildungsplan Sekundarstufe I Baden-Württemberg gehört das Bestimmen des Medians zur Leitidee „Daten und Zufall“. Auf M-Niveau sollen Daten außerdem mit Kennwerten beschrieben, in verschiedenen Darstellungen ausgewertet und digitale Werkzeuge kritisch genutzt werden. Dieser Kurs verbindet diese Kompetenzen mit Quartilen als Vorbereitung auf Boxplots.

M-Niveau bedeutet hier: Du rechnest zunehmend selbstständig, wechselst zwischen Darstellungen, modellierst kleine Sachsituationen, vergleichst Lösungswege und erklärst Deine Entscheidung fachsprachlich.

Vorwissen-Check

Ordne zuerst die Daten. Nutze bei Bedarf eine Zahlengerade.

Datensatz: $9, 4, 7, 2, 6$

2 4 6 7 9

Welcher Wert liegt genau in der Mitte?
Warum musst Du vor der Bestimmung des Medians sortieren?
Was ändert sich am Median, wenn Du den größten Wert $9$ durch $90$ ersetzt?

Lösung und Feedback
Der Median ist $6$ . Sortieren macht die Position der Mitte sichtbar. Wird $9$ zu $90$ , bleibt der Median $6$ . Das zeigt: Der Median reagiert oft weniger stark auf einzelne sehr große oder sehr kleine Werte als das arithmetische Mittel.

Grundidee: Daten in vier Bereiche teilen

Stell Dir die geordneten Daten wie Personen in einer Reihe vor. Drei Trennstellen sind besonders wichtig:

$25 % | 50 % | 75 %$

Das untere Quartil $Q_{1}$ liegt an der Grenze nach ungefähr einem Viertel der Daten. Der Median $Q_{2}$ liegt in der Mitte. Das obere Quartil $Q_{3}$ liegt an der Grenze nach ungefähr drei Vierteln der Daten.

Wichtig: Bei kleinen Datensätzen und mehrfach vorkommenden Werten ist „genau $25 %$ “ nicht immer wörtlich als exakte Anzahl zu verstehen. Quartile sind Positionskennwerte einer geordneten Datenreihe.

Die in diesem Kurs verwendete Quartilsregel

Damit Deine Rechenwege eindeutig sind, verwenden wir folgende Schulregel:

Sortiere alle Werte aufsteigend.
Bestimme den Median $Q_{2}$ .
Teile die Daten in eine untere und eine obere Hälfte.
Bei ungerader Anzahl wird der Median beim Bilden der beiden Hälften nicht mitgenommen.
Der Median der unteren Hälfte ist $Q_{1}$ .
Der Median der oberen Hälfte ist $Q_{3}$ .

Merksatz: Quartile sind hier also „Mediane von Datenhälften“.

Warum gibt es manchmal andere digitale Ergebnisse?

Für Quartile existieren mehrere mathematisch gebräuchliche Berechnungsverfahren. Tabellenkalkulationen und Statistikprogramme können deshalb bei kleinen Datensätzen andere Werte für $Q_{1}$ oder $Q_{3}$ ausgeben.

Prüfstrategie: Notiere die verwendete Definition, rechne einen kleinen Datensatz von Hand nach und vergleiche erst dann mit dem digitalen Ergebnis. Eine KI-Ausgabe oder Softwareanzeige ersetzt keine mathematische Begründung.

Schritt für Schritt: Median bestimmen

Ungerade Anzahl von Daten

Geordnet:

2 3 4 5 6 8 9 11 12

Es gibt $n = 9$ Werte. Der fünfte Wert liegt in der Mitte:

$Q_{2} = 6$

Links und rechts von $6$ liegen jeweils vier Werte.

Gerade Anzahl von Daten

Geordnet:

$1, 2, 4, 4, 6, 7, 9, 12$

Es gibt $n = 8$ Werte. Die Mitte liegt zwischen dem vierten und fünften Wert:

$Q_{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

Bedeutung: Der Median muss nicht selbst im Datensatz vorkommen.

Schritt für Schritt: Quartile bestimmen

Nutze den Datensatz

$2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12$

Der Median ist $Q_{2} = 6$ . Weil $n = 9$ ungerade ist, bleibt die $6$ beim Bilden der Hälften außen vor.

Untere Hälfte:

$2, 3, 4, 5$

$Q_{1} = \frac{3 + 4}{2} = 3,5$

Obere Hälfte:

$8, 9, 11, 12$

$Q_{3} = \frac{9 + 11}{2} = 10$

Damit gilt:

$Q_{1} = 3,5, Q_{2} = 6, Q_{3} = 10$

Auf einer Zahlengeraden kannst Du die drei Kennwerte als Trennmarken sehen:

$2 - 3 - 3,5 - 4 - 5 - 6 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12$

Dynamische Zahlengerade und Quartilsanimation

Verschiebe im GeoGebra-Material die Datenpunkte. Beobachte, wann sich Median und Quartile bewegen und wann sie gleich bleiben.

Forscherfragen:

Welche einzelnen Datenpunkte kannst Du verschieben, ohne den Median zu verändern?
Wann wird der Abstand $Q_{3} - Q_{1}$ größer?
Kann $Q_{1} = Q_{2}$ gelten? Erzeuge ein Beispiel und begründe.

Vom Datensatz zum Boxplot

Die fünf wichtigen Werte für einen einfachen Boxplot sind

$min, Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}, max$

Die Box reicht von $Q_{1}$ bis $Q_{3}$ . In der Box liegen die mittleren ungefähr $50 %$ der Daten. Ihre Länge heißt Interquartilsabstand:

$I Q R = Q_{3} - Q_{1}$

Interaktives Boxplot-Modell

Verändere die Datenpunkte und verfolge, wie sich die fünf Kennwerte verändern.

Aktive Beobachtung: Bewege nur den größten Wert stark nach rechts. Vergleiche, ob sich Median, $Q_{1}$ und $Q_{3}$ ändern. Formuliere daraus eine Aussage über die Robustheit von Positionskennwerten.

Interaktive Beispiele

Beispiel A: Acht Werte

Geordnet:

$1, 2, 4, 4, 6, 7, 9, 12$

Bestimme $Q_{1}$ , $Q_{2}$ und $Q_{3}$ zuerst selbst.

Hilfestufe 1
Der Median liegt zwischen $4$ und $6$ .

Hilfestufe 2
Untere Hälfte: $1, 2, 4, 4$ . Obere Hälfte: $6, 7, 9, 12$ .

Lösung und Feedback
$Q_{1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$ , $Q_{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$ , $Q_{3} = \frac{7 + 9}{2} = 8$ . Prüfe, ob Du zuerst sortiert und anschließend die beiden Hälften korrekt gebildet hast.

Beispiel B: Gleiche Medianwerte, andere Streuung

Datensatz A:

$2, 4, 5, 6, 7, 8, 10$

Datensatz B:

$0, 1, 2, 6, 20, 30, 40$

Beide Datensätze haben den Median $6$ .

Denkfrage: Warum beschreibt „Median $= 6$ “ die beiden Datensätze trotzdem nicht vollständig?

Feedback
Die Werte liegen unterschiedlich weit auseinander. Quartile zeigen zusätzliche Informationen über die Verteilung und die mittleren $50 %$ der Daten.

Beispiel C: Eine Zahl verändert sich stark

Aus

$3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

wird

$3, 4, 5, 6, 7, 8, 90$

Vergleiche Median und Quartile vor und nach der Änderung.

Lösung und Bedeutung
In beiden Datensätzen ist $Q_{2} = 6$ . Auch $Q_{1} = 4$ bleibt gleich. Das obere Quartil bleibt bei dieser Schulregel $Q_{3} = 8$ . Ein einzelner Extremwert kann sich stark ändern, ohne diese drei Positionskennwerte zu verändern.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Sicher bestimmen

Bestimme $Q_{1}$ , $Q_{2}$ und $Q_{3}$ für

$4, 9, 2, 7, 5, 6, 8$

Hilfestufe 1
Sortiere zuerst.

Hilfestufe 2
Geordnet: $2, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ . Der Median ist der vierte Wert.

Feedback
$Q_{1} = 4$ , $Q_{2} = 6$ , $Q_{3} = 8$ . Wenn Du andere Werte erhältst, prüfe besonders, ob Du den Median bei der Bildung der beiden Hälften ausgelassen hast.

Übung 2: Gerade Anzahl

Bestimme die drei Quartile für

$3, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 20$

Hilfestufe
Der Median liegt zwischen dem fünften und sechsten Wert.

Feedback
$Q_{2} = \frac{10 + 11}{2} = 10,5$ . Untere Hälfte: $3, 5, 6, 8, 10$ , also $Q_{1} = 6$ . Obere Hälfte: $11, 14, 15, 18, 20$ , also $Q_{3} = 15$ .

Übung 3: Rückwärts denken

Erfinde einen geordneten Datensatz mit sieben Werten, für den

$Q_{1} = 3, Q_{2} = 6, Q_{3} = 9$

gilt.

Hilfestufe
Bei sieben Werten liegen $Q_{1}$ , $Q_{2}$ und $Q_{3}$ an gut sichtbaren mittleren Positionen der Teilgruppen.

Mögliches Feedback
Ein mögliches Beispiel ist $1, 3, 4, 6, 8, 9, 12$ . Es gibt viele richtige Lösungen. Entscheidend ist Deine Begründung.

Übung 4: Darstellung wechseln

Gegeben ist die Fünf-Punkte-Zusammenfassung

$min = 2, Q_{1} = 5, Q_{2} = 7, Q_{3} = 11, max = 15$

Skizziere daraus einen Boxplot auf einer Zahlengeraden. Beschrifte alle fünf Kennwerte und markiere den Bereich der mittleren $50 %$ .

Typische Fehler

Nicht sortiert: Median und Quartile sind Positionskennwerte. Ohne Ordnung ist ihre Position nicht sichtbar.
Bei gerader Anzahl nur einen Mittelwert verwenden: Für den Median werden die beiden mittleren Werte gemittelt.
Bei ungerader Anzahl den Median doppelt verwenden: In diesem Kurs wird der Median beim Bilden der unteren und oberen Hälfte ausgelassen.
Quartil mit Viertel des Zahlenwerts verwechseln: $Q_{1}$ ist kein Viertel von $Q_{3}$ , sondern eine Positionsgrenze in geordneten Daten.
Prozentangaben zu wörtlich lesen: Bei kleinen diskreten Datensätzen und gleichen Werten sind die Viertel nicht immer als exakt gleich viele verschiedene Zahlen sichtbar.
Software ungeprüft übernehmen: Verschiedene Quartilsdefinitionen können zu verschiedenen Ergebnissen führen.

Selbstkontrolle

Prüfe Dich ohne Lösungshilfe.

Datensatz:

$5, 6, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15$

Bestimme $Q_{1}$ , $Q_{2}$ und $Q_{3}$ .
Berechne $I Q R = Q_{3} - Q_{1}$ .
Erkläre in einem Satz, was der Interquartilsabstand hier beschreibt.
Ersetze $15$ durch $50$ . Welche der drei Quartile ändern sich?
Prüfe Dein Ergebnis anschließend mit einem digitalen Werkzeug und notiere, welche Quartilsdefinition das Werkzeug verwendet.

Kontrolllösung
Nach der Kursregel: $Q_{2} = 9$ , untere Hälfte $5, 6, 6, 8$ , also $Q_{1} = 6$ ; obere Hälfte $10, 12, 13, 15$ , also $Q_{3} = 12,5$ . Damit $I Q R = 6,5$ . Wird $15$ durch $50$ ersetzt, bleibt $Q_{1}$ gleich und $Q_{2}$ gleich; $Q_{3}$ ändert sich in diesem Beispiel nicht, weil die mittleren beiden Werte der oberen Hälfte weiterhin $12$ und $13$ sind.

Transfer: Daten im Alltag beurteilen

Eine Klasse vergleicht zwei Serien von Fahrzeiten in Minuten.

Route A: $18, 19, 20, 20, 21, 21, 22, 23, 24$

Route B: $12, 15, 18, 20, 21, 25, 29, 33, 40$

Beide Reihen können einen ähnlichen mittleren Bereich haben, aber unterschiedlich stark streuen.

Auftrag: Bestimme Median und Quartile, skizziere zwei Boxplots auf derselben Skala und beantworte: Welche Route liefert die gleichmäßigeren Fahrzeiten? Begründe mit mindestens zwei Kennwerten oder Abständen.

Datenschutz: Verwende für eigene Datenerhebungen keine Namen, Geburtsdaten, Standortverläufe oder andere personenbezogene Angaben. Für die Übung reichen anonyme Messwerte.

Kompetenzcheck

Markiere gedanklich: sicher – teilweise – noch üben.

Ich kann eine Urliste in eine geordnete Datenreihe verwandeln.
Ich kann den Median bei gerader und ungerader Anzahl begründen.
Ich kann die Datenhälften für $Q_{1}$ und $Q_{3}$ korrekt bilden.
Ich kann erklären, warum Quartile Informationen über die Streuung ergänzen.
Ich kann aus $Q_{1}$ , $Q_{2}$ und $Q_{3}$ Aussagen zu einer Verteilung formulieren.
Ich kann zwischen Datenkarten, Zahlengerade und Boxplot wechseln.
Ich kann digitale Quartilswerte kritisch prüfen und eine Berechnungsmethode benennen.

Reflexion

Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Datenkarten, Zahlengerade oder Boxplot? Begründe.
An welchem Schritt passieren Dir noch Fehler?
Wie würdest Du einer jüngeren Person den Median erklären, ohne eine Formel zu nennen?
Warum ist es sinnvoll, bei digitalen Ergebnissen die Berechnungsregel zu prüfen?

Folgekurs

Als nächstes passt M8 M - Boxplots erstellen und interpretieren. Dort nutzt Du Minimum, $Q_{1}$ , Median, $Q_{3}$ und Maximum, um Verteilungen grafisch zu vergleichen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Was musst Du vor dem Bestimmen von Median und Quartilen zuerst tun? (Die Daten der Größe nach ordnen) (!Alle Werte addieren) (!Nur den größten Wert markieren) (!Die Werte zufällig mischen)

Welche Aussage beschreibt den Median am besten? (Er markiert die Mitte einer geordneten Datenreihe) (!Er ist immer der größte Wert) (!Er ist immer gleich dem Mittelwert) (!Er ist ein Viertel der Summe)

Wie bestimmst Du bei einer geraden Anzahl von Daten den Median? (Du mittelt die beiden mittleren Werte) (!Du nimmst immer den kleineren mittleren Wert) (!Du nimmst immer den größeren mittleren Wert) (!Du addierst Minimum und Maximum)

Was ist das untere Quartil in der hier verwendeten Schulregel? (Der Median der unteren Datenhälfte) (!Der kleinste Wert) (!Der Median der oberen Datenhälfte) (!Ein Viertel des größten Werts)

Was ist das obere Quartil in der hier verwendeten Schulregel? (Der Median der oberen Datenhälfte) (!Der größte Wert) (!Der Median der unteren Datenhälfte) (!Das arithmetische Mittel aller Werte)

Welche drei Kennwerte teilen geordnete Daten in vier Bereiche? (Unteres Quartil Median und oberes Quartil) (!Minimum Mittelwert und Maximum) (!Spannweite Modus und Summe) (!Anzahl Häufigkeit und Produkt)

Was beschreibt der Interquartilsabstand? (Die Breite des Bereichs zwischen unterem und oberem Quartil) (!Die Differenz zwischen Median und Minimum) (!Die Summe aller Datenwerte) (!Die Anzahl verschiedener Datenwerte)

Warum kann eine Tabellenkalkulation bei Quartilen ein anderes Ergebnis liefern als Deine Handrechnung? (Weil unterschiedliche Quartilsdefinitionen verwendet werden können) (!Weil Computer Quartile zufällig wählen) (!Weil geordnete Daten digital nicht erlaubt sind) (!Weil der Median nur mit Papier berechnet werden kann)

Was passiert bei einem einzelnen sehr großen Ausreißer häufig mit dem Median? (Er bleibt unverändert) (!Er wird immer zum größten Wert) (!Er verdoppelt sich immer) (!Er wird automatisch null)

Welche Aussage zur Box eines einfachen Boxplots ist richtig? (Sie reicht vom unteren bis zum oberen Quartil) (!Sie reicht immer von null bis zum Maximum) (!Sie zeigt nur den kleinsten Wert) (!Sie enthält grundsätzlich alle Datenwerte)

Memory

Median	Mitte der geordneten Daten
Unteres Quartil	Grenze des unteren Viertelbereichs
Oberes Quartil	Grenze des oberen Viertelbereichs
Interquartilsabstand	Abstand zwischen den beiden äußeren Quartilen
Sortieren	Daten in aufsteigende Reihenfolge bringen
Box	Bereich der mittleren Hälfte
Ausreißer	Ungewöhnlich weit entfernter Datenwert

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Daten ordnen	Werte von klein nach groß anordnen
Median bestimmen	Mitte der geordneten Reihe finden
Daten halbieren	Untere und obere Teilgruppe bilden
Quartile bestimmen	Median der jeweiligen Teilgruppe finden
Ergebnis deuten	Lage und Streuung in Worten erklären

...

Kreuzworträtsel

Median	Welcher Kennwert beschreibt die Mitte einer geordneten Datenreihe?
Quartil	Wie heißt eine Trennmarke für Viertelbereiche einer Datenreihe?
Sortieren	Was musst Du mit ungeordneten Daten zuerst tun?
Datenreihe	Wie heißt eine geordnete Folge von Beobachtungswerten?
Boxplot	Welche Darstellung nutzt Minimum Quartile Median und Maximum?
Ausreisser	Wie heißt ein ungewöhnlich weit entfernter Datenwert?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Datenkarten gestalten: Schreibe neun Werte auf einzelne Karten, ordne sie und markiere $Q_{1}$ , $Q_{2}$ und $Q_{3}$ .
Zahlengerade zeichnen: Trage einen selbst gewählten Datensatz ein und markiere die drei Quartile sichtbar.
Fehler finden: Erfinde eine falsche Medianrechnung und erkläre anschließend genau, an welcher Stelle der Fehler liegt.
Erklärbild erstellen: Gestalte ein Bild, das zeigt, warum Quartile eine geordnete Datenreihe in Bereiche teilen.

Standard

Datensatz vergleichen: Erfinde zwei Datensätze mit gleichem Median, aber deutlich verschiedenen Quartilen, und erkläre den Unterschied.
Boxplot vorbereiten: Bestimme zu einem Datensatz Minimum, $Q_{1}$ , Median, $Q_{3}$ und Maximum und skizziere einen Boxplot.
Digitale Kontrolle: Berechne Quartile von Hand und mit einer Tabellenkalkulation. Dokumentiere, ob dieselbe Quartilsdefinition verwendet wird.
Mini-Erhebung: Sammle anonyme Messwerte aus Deiner Umgebung, etwa Papierflieger-Flugweiten, und werte sie mit Median und Quartilen aus.

Schwer

Quartilsdefinitionen vergleichen: Finde einen kleinen Datensatz, bei dem zwei digitale Werkzeuge unterschiedliche Quartile liefern. Erkläre die Ursache.
Modellieren mit Daten: Entwickle eine Sachfrage, bei der Median und Quartile hilfreicher sind als nur ein Durchschnittswert, und begründe Deine Wahl.
Quartilsanimation erstellen: Erzeuge mit GeoGebra oder einem anderen Mathematikwerkzeug eine Animation, in der ein Datenpunkt verschoben wird und die Quartile sichtbar reagieren.
Mathematisch argumentieren: Untersuche, welche Datenpunkte eines geordneten Datensatzes verändert werden können, ohne den Median zu ändern. Formuliere eine allgemeine Vermutung und prüfe sie an Beispielen.

Lernkontrolle

Verteilungen vergleichen: Zwei Datensätze haben denselben Median. Entwickle eine Begründung, warum ihre Quartile trotzdem verschieden sein können, und gib ein Beispiel.
Robustheit untersuchen: Verändere nur den größten Wert eines Datensatzes stark. Erkläre, unter welchen Bedingungen Median und Quartile unverändert bleiben.
Darstellung wechseln: Übersetze einen gegebenen Satz von fünf Kennwerten in einen Boxplot und erkläre anschließend die Grafik wieder in Worten.
Fehleranalyse: Eine Person nimmt bei ungerader Datenanzahl den Median in beide Hälften auf. Vergleiche dieses Verfahren mit der Kursregel und zeige an einem Beispiel die Folgen.
Digitale Ergebnisse prüfen: Ein digitales Werkzeug liefert andere Quartile als Deine Handrechnung. Beschreibe einen sachgerechten Prüfweg, bevor Du entscheidest, ob ein Fehler vorliegt.
Transferaufgabe Statistik: Wähle zwei kleine anonyme Datensätze aus einem Alltagsszenario und begründe mit Median, Quartilen und einer passenden Darstellung, welche Verteilung gleichmäßiger ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

einen Datensatz korrekt ordnen kannst.
Median, $Q_{1}$ und $Q_{3}$ mit nachvollziehbarem Rechenweg bestimmst.
bei gerader und ungerader Datenanzahl korrekt vorgehst.
Quartile in einer Zahlengeraden oder einem Boxplot darstellen kannst.
die Bedeutung der Kennwerte in einem Sachzusammenhang erklärst.
zwei Verteilungen anhand ihrer Kennwerte vergleichst.
digitale Ergebnisse prüfst und die verwendete Quartilsregel benennst.
fachsprachlich zwischen Datenwert, Median, Quartil und Interquartilsabstand unterscheidest.

OERs zum Thema

Weitere freie bzw. offen zugängliche Lernmedien: Boxplot, Median, Quantil.

Medien- und Quellenhinweise

Das Wikimedia-Commons-Bild „Elements of a boxplot.svg“ ist als frei lizenziertes Diagramm verfügbar und zeigt die Elemente eines Boxplots.
Das Wikimedia-Commons-Bild „Box plot.svg“ ist gemeinfrei veröffentlicht.
Die eingebetteten GeoGebra-Materialien dienen zum dynamischen Verschieben von Datenpunkten und zum Beobachten der Quartile.
Die YouTube-Videos werden über die Plattform eingebettet; prüfe Verfügbarkeit und schulische Datenschutzvorgaben vor dem Einsatz.
Bildungsplanbezug: Gemeinsamer Bildungsplan Sekundarstufe I Baden-Württemberg, Mathematik, Leitidee Daten und Zufall.

Verknüpfte Lernbereiche

Daten und Zufall

aiMOOC-Projekte

Inhalte werden geladen ...

Mediathek wird aus dem Wiki geladen ...

Frag mich zum aktuellen Lerninhalt oder wähle eine kurze Hilfe.

Textmodus bereit

Sprache