M7 G - Mathematische Probleme in Teilprobleme zerlegen

Einleitung

Große Mathematikaufgaben werden leichter, wenn Du sie in kleine Teilfragen zerlegst.

Dein Grundplan:

Schritt	Leitfrage
1. Verstehen	Was ist gegeben? Was ist gesucht?
2. Zerlegen	Welche kleinen Fragen kann ich nacheinander beantworten?
3. Rechnen	Welcher Rechenweg passt zu jeder Teilfrage?
4. Zwischenkontrolle	Ist das Zwischenergebnis sinnvoll?
5. Zusammenführen	Wie beantworten die Teilergebnisse die Hauptfrage?
6. Endkontrolle	Passt Ergebnis, Einheit und Begründung?

Merksatz: Eine schwierige Aufgabe wird leichter, wenn Du aus einer großen Frage mehrere kleine Fragen machst.

Der Bildungsplan Mathematik für die Sekundarstufe I in Baden-Württemberg nennt das Zerlegen eines Problems in Teilprobleme und das Prüfen von Zwischen- und Endergebnissen als Strategien des Problemlösens.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Problem verstehen: wichtige Angaben und die Hauptfrage erkennen.
2. Teilproblem: eine umfangreiche Aufgabe in passende Teilfragen zerlegen.
3. Skizze: Informationen zeichnerisch ordnen.
4. Tabelle: zusammengehörige Werte übersichtlich darstellen.
5. Rechenplan: Rechenschritte in sinnvoller Reihenfolge planen.
6. Zwischenkontrolle: Teilergebnisse auf Plausibilität prüfen.
7. Lösungsweg: Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar aufschreiben.
8. Digitale Mathematik: digitale Ergebnisse kritisch prüfen.

Vorwissen-Check

Check 1: Rechenarten

$7\cdot 8=56$

$84:7=12$

Check 2: Größen

3,5 km = 3500 m

Check 3: Brüche

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$

Check 4: Überschlag

Ist $49\cdot 21$ ungefähr 1000? Ja, denn $50\cdot 20=1000$.

Hilfe zum Vorwissen

Nutze einfache Vergleichszahlen. Runde für einen Überschlag nur so stark, dass Du die Größenordnung noch erkennst.

Die Strategie: Große Frage → kleine Fragen

Schritt	Frage
Verstehen	Was weiß ich?
Ziel	Was soll ich herausfinden?
Zerlegen	Welche Teilfrage löse ich zuerst?
Prüfen	Wie kontrolliere ich mein Zwischenergebnis?
Zusammenführen	Wie beantworte ich die Hauptfrage?

Satzstarter für G-Niveau:

1. Gegeben ist ...
2. Gesucht ist ...
3. Zuerst berechne ich ...
4. Danach brauche ich ...
5. Das Zwischenergebnis passt, weil ...
6. Damit lautet die Antwort ...

Beispiel 1: Einkauf planen

Eine Klasse kauft für ein Fest 8 Packungen Saft zu je 1,80 Euro und 6 Packungen Becher zu je 2,50 Euro. Bezahlt wird mit 40 Euro. Wie viel Geld bleibt übrig?

Hauptfrage: Wie viel Geld bleibt?

Teilfrage	Rechnung	Kontrolle
Was kostet der Saft?	$8\cdot \mathrm{1,80}=\mathrm{14,40}$ Euro	ungefähr 16 Euro
Was kosten die Becher?	$6\cdot \mathrm{2,50}=15$ Euro	genau 15 Euro
Was kostet alles?	$\mathrm{14,40}+15=\mathrm{29,40}$ Euro	weniger als 40 Euro
Was bleibt?	$40-\mathrm{29,40}=\mathrm{10,60}$ Euro	Rest ist positiv

Antwort: Es bleiben 10,60 Euro.

Rechenplan: Saftkosten → Becherkosten → Gesamtkosten → Rest

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Beobachte beim Video: Auch beim Dreisatz wird eine größere Aufgabe in kleine, kontrollierbare Rechenschritte zerlegt.

Beispiel 2: Prozentaufgabe in Teilfragen zerlegen

Ein Fahrradhelm kostet 80 Euro. Im Angebot gibt es 15 Prozent Rabatt. Wie viel kostet der Helm danach?

Teilfrage 1: Wie viel sind 15 Prozent von 80 Euro?

$80\cdot \frac{15}{100}=12$

Zwischenkontrolle: 10 Prozent von 80 Euro sind 8 Euro. 15 Prozent müssen also etwas mehr als 8 Euro sein. 12 Euro ist plausibel.

Teilfrage 2: Was kostet der Helm nach dem Rabatt?

$80-12=68$

Antwort: Der Helm kostet 68 Euro.

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Mini-Check: Prüfe vor dem Rechnen immer: Suche ich den Prozentwert, den Prozentsatz oder den Grundwert?

Beispiel 3: Tabelle statt Text

Ein Verein verkauft Eintrittskarten. Eine Karte kostet 4 Euro. Am Freitag werden 35, am Samstag 48 Karten verkauft.

Hauptfrage: Wie hoch sind die Einnahmen insgesamt?

Tag	Karten	Preis je Karte	Einnahmen
Freitag	35	4 Euro	$35\cdot 4=140$ Euro
Samstag	48	4 Euro	$48\cdot 4=192$ Euro
Gesamt	83	—	$140+192=332$ Euro

Tipp: Ein Diagramm hilft beim Vergleichen. Die exakte Rechnung bleibt trotzdem nötig.

Beispiel 4: Brüche sichtbar machen

Betrachte $\frac{3}{4}$ und $\frac{5}{6}$. Zerlege die Aufgabe vor dem Rechnen:

1. Welche Brüche kommen vor?
2. Brauche ich einen gemeinsamen Nenner?
3. Welche Darstellung hilft?
4. Ist die Summe größer oder kleiner als 2?

Interaktive Bruchdarstellung:

Zwischenkontrolle:

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

$\frac{5}{6}\approx \mathrm{0,83}$

Die Summe muss ungefähr 1,58 sein.

Dynamische Werkzeugstationen

Dynamische Zahlengerade

Auftrag: Zerlege die Aufgabe „Markiere $\frac{3}{4}$“ in:

1. Ein Ganzes festlegen.
2. Das Ganze in vier gleiche Teile teilen.
3. Drei Teile vom Nullpunkt aus abzählen.

Bewegliche Bruchdarstellung

Auftrag: Bewege die Regler. Prüfe anschließend jede angezeigte Rechnung selbst.

Dynamische Geometrie

Auftrag:

1. Skizze zeichnen.
2. Gegebene Größen markieren.
3. Gesuchte Größe markieren.
4. Passende Beziehung wählen.
5. Ergebnis prüfen.

Faltbarer und rotierbarer 3D-Körper

Auftrag:

1. Flächen erkennen.
2. Nachbarflächen bestimmen.
3. Netz gedanklich falten.
4. Vermutung digital prüfen.

Wichtig: Eine Animation ist eine Kontrolle. Deine Begründung muss trotzdem verständlich sein.

Rechenplan als Checkliste

Prüfschritt	Erledigt?
Hauptfrage markiert	□
wichtige Angaben notiert	□
Teilfragen formuliert	□
passende Darstellung gewählt	□
Zwischenergebnisse geprüft	□
Teilantworten zusammengeführt	□
Einheit und Antwortsatz geprüft	□

Interaktives Beispiel mit Hilfestufen

Aufgabe: Eine Jugendgruppe fährt 126 km. Nach 48 km macht sie Pause. Danach fährt sie weitere 37 km. Wie viele Kilometer fehlen noch?

Hilfe 1

Frage zuerst: Wie weit wurde insgesamt schon gefahren?

Hilfe 2

Rechne $48+37$.

Hilfe 3

Danach ziehst Du die gefahrene Strecke von 126 ab.

Feedback

$48+37=85$. Dann $126-85=41$. Es fehlen 41 km. Kontrolle: $85+41=126$.

Typische Fehler

Fehler	Besser
Sofort alle Zahlen verrechnen	Erst Hauptfrage und Teilfragen notieren
Einheit vergessen	Einheit nach dem Rechnen ergänzen
Zwischenergebnis ungeprüft übernehmen	Überschlag oder Umkehrrechnung nutzen
Digitales Ergebnis blind übernehmen	Eingabe und Größenordnung selbst prüfen
KI-Antwort als Beweis behandeln	Rechenweg und Begründung selbst nachvollziehen

Merke: Eine KI-Ausgabe kann Fehler enthalten. Sie ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine eigene Kontrolle.

Selbstkontrolle

Ich kann ...	Ja / fast / noch nicht
eine Hauptfrage erkennen
mindestens zwei sinnvolle Teilfragen formulieren
Skizze oder Tabelle passend einsetzen
einen Rechenplan erstellen
Zwischenergebnisse prüfen
digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist beim Zerlegen einer Aufgabe der erste sinnvolle Schritt? (Hauptfrage und Angaben klären) (!Alle Zahlen sofort addieren) (!Nur das Endergebnis schätzen) (!Die Einheit weglassen)

Warum sind Teilfragen hilfreich? (Sie machen eine große Aufgabe übersichtlicher) (!Sie ersetzen jede Rechnung) (!Sie machen Einheiten unwichtig) (!Sie verhindern jede Kontrolle)

Welche Darstellung hilft bei zusammengehörigen Werten besonders? (Eine Tabelle) (!Ein zufälliger Text) (!Nur ein Taschenrechnerdisplay) (!Eine leere Seite)

Was ist eine Zwischenkontrolle? (Eine Prüfung eines Teilergebnisses) (!Nur die Überschrift der Aufgabe) (!Das Abschreiben der Zahlen) (!Das Weglassen des Antwortsatzes)

Welche Rechnung eignet sich als Kontrolle für 126 minus 85 gleich 41? (85 plus 41 gleich 126) (!126 plus 85 gleich 41) (!41 minus 126 gleich 85) (!85 mal 41 gleich 126)

Was gehört in einen guten Rechenplan? (Eine sinnvolle Reihenfolge der Rechenschritte) (!Nur das Endergebnis) (!Nur die größte Zahl) (!Keine Teilfragen)

Wann ist eine Skizze besonders nützlich? (Wenn räumliche oder geometrische Beziehungen wichtig sind) (!Wenn überhaupt keine Angaben vorliegen) (!Wenn man Einheiten vermeiden will) (!Wenn das Ergebnis schon feststeht)

Was solltest Du bei einem digitalen Ergebnis tun? (Eingabe und Ergebnis selbst prüfen) (!Es ungeprüft übernehmen) (!Die Aufgabe nicht mehr lesen) (!Die Einheit löschen)

Was ist bei einer Prozentaufgabe eine sinnvolle Teilfrage? (Welche Größe ist gegeben und welche wird gesucht) (!Welche Zahl sieht am schönsten aus) (!Wie kann ich ohne Rechnung antworten) (!Welche Einheit kann ich weglassen)

Was gehört zu einer vollständigen Lösung? (Rechenweg Darstellung Kontrolle und Antwort) (!Nur eine Zahl) (!Nur eine Skizze ohne Erklärung) (!Nur ein Taschenrechnerfoto)

Memory

Hauptfrage	Ziel der gesamten Aufgabe
Teilfrage	kleiner lösbarer Schritt
Skizze	zeichnerische Übersicht
Tabelle	geordnete Werte
Rechenplan	Reihenfolge der Schritte
Zwischenkontrolle	Prüfung eines Teilergebnisses
Überschlag	grobe Plausibilitätsprüfung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Verstehen	Angaben und Hauptfrage klären
Zerlegen	Teilfragen formulieren
Darstellen	Skizze Tabelle oder Rechenplan wählen
Rechnen	Teilfragen nacheinander lösen
Prüfen	Zwischen- und Endergebnis kontrollieren

Kreuzworträtsel

Teilfrage	Wie heißt eine kleinere Frage innerhalb einer großen Aufgabe?
Skizze	Welche Zeichnung kann einen Sachverhalt übersichtlich machen?
Tabelle	Wie heißt eine Darstellung aus Zeilen und Spalten?
Kontrolle	Wie nennt man das Prüfen eines Ergebnisses?
Rechenplan	Wie heißt die geplante Reihenfolge von Rechenschritten?
Überschlag	Wie heißt eine grobe Rechnung zur Plausibilitätsprüfung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer umfangreichen Aufgabe suche ich zuerst die . Danach zerlege ich sie in mehrere . Werte kann ich übersichtlich in einer ordnen. Räumliche Zusammenhänge kann ich mit einer darstellen. Nach einem Rechenschritt führe ich eine durch. Mit einem kann ich die Größenordnung prüfen. Am Ende verbinde ich die Teilergebnisse zu einer . Digitale Ergebnisse muss ich immer .

Übungen mit Hilfestufen

Übung 1: Leicht

Ein Bus hat 52 Sitzplätze. 18 Plätze sind belegt. An der nächsten Haltestelle steigen 11 Personen ein. Wie viele Plätze sind noch frei?

Rechenplan:

1. Wie viele Plätze sind danach belegt?
2. Wie viele Plätze bleiben frei?
3. Wie kannst Du prüfen?

Hilfe

Rechne zuerst $18+11$. Ziehe das Ergebnis anschließend von 52 ab.

Feedback

$18+11=29$, dann $52-29=23$. Kontrolle: $29+23=52$.

Übung 2: Standard

Ein rechteckiger Schulgarten ist 12 m lang und 8 m breit. Entlang des Randes soll ein Zaun gebaut werden. Ein 3 m breites Tor bleibt ohne Zaun. Wie viele Meter Zaun werden benötigt?

Teilfragen:

1. Wie groß ist der Umfang?
2. Welche Strecke bleibt offen?
3. Wie lang ist der Zaun?

Hilfe

$2\cdot 12+2\cdot 8=40$. Danach 3 m abziehen.

Feedback

Der Umfang beträgt 40 m. $40-3=37$. Benötigt werden 37 m Zaun.

Übung 3: Standard mit Tabelle

Für ein Turnier werden 5 Kisten Wasser mit je 12 Flaschen und zusätzlich 18 einzelne Flaschen bereitgestellt. Eine Flasche enthält 0,5 l. Wie viele Liter Wasser sind es insgesamt?

Teilfrage	Dein Ergebnis
Flaschen in den Kisten
Flaschen insgesamt
Liter insgesamt

Feedback

$5\cdot 12=60$, $60+18=78$, $78\cdot \mathrm{0,5}=39$. Insgesamt sind es 39 l.

Transfer

Transfer A: Ein Ausflug kostet Eintritt, Busfahrt und Verpflegung. Formuliere drei Teilfragen, bevor Du rechnest.

Transfer B: Ein Diagramm zeigt Werte für vier Monate. Formuliere zuerst eine Frage zum Ablesen, dann eine zum Vergleichen und zuletzt eine zur Gesamtmenge.

Transfer C: Ein Würfelnetz soll geprüft werden. Nutze zuerst eine Skizze, dann eine Faltvorstellung und erst danach ein digitales 3D-Modell.

Kompetenzcheck

Kompetenz	sicher	teilweise	üben
Ich erkenne die Hauptfrage.	□	□	□
Ich bilde passende Teilfragen.	□	□	□
Ich wähle Skizze Tabelle oder Rechenplan passend.	□	□	□
Ich prüfe Zwischenergebnisse.	□	□	□
Ich begründe meinen Lösungsweg.	□	□	□
Ich prüfe digitale Ergebnisse kritisch.	□	□	□

Reflexion

1. Welche Teilfrage hat Dir heute am meisten geholfen?
2. Wann war eine Tabelle besser als Fließtext?
3. Welche Kontrolle hat einen Fehler verhindert?
4. Was würdest Du beim nächsten Problem zuerst tun?
5. Welche digitale Darstellung hat Dir wirklich geholfen und warum?

Offene Aufgaben

Leicht

1. Teilfragen formulieren: Nimm eine Sachaufgabe aus Deinem Mathematikheft und formuliere mindestens drei Teilfragen.
2. Rechenplan zeichnen: Gestalte einen Rechenplan mit Pfeilen für eine zweischrittige Aufgabe.
3. Skizze erstellen: Zeichne zu einer Wegaufgabe eine einfache Skizze mit gegebenen und gesuchten Größen.
4. Checkliste anwenden: Löse eine Aufgabe und hake jeden Schritt der Checkliste ab.

Standard

1. Tabellenstrategie: Verwandle eine längere Textaufgabe in eine Tabelle und löse sie.
2. Fehlersuche: Erfinde einen falschen Rechenweg und markiere die Stelle, an der eine Zwischenkontrolle den Fehler entdeckt.
3. Darstellungen vergleichen: Löse dieselbe Aufgabe einmal mit Tabelle und einmal mit Skizze. Vergleiche beide Darstellungen.
4. Erklärvideo planen: Entwirf ein Storyboard für ein kurzes Video, das das Zerlegen einer Aufgabe erklärt. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Schwer

1. Eigene Sachaufgabe: Erfinde eine mehrschrittige Aufgabe mit mindestens vier Teilfragen und vollständiger Lösung.
2. Digitale Kontrolle: Löse eine Aufgabe zuerst selbst und prüfe sie danach mit einem digitalen Werkzeug. Dokumentiere Unterschiede.
3. KI-Prüfung: Lass eine KI einen Lösungsweg zu einer selbst gewählten Aufgabe erzeugen. Prüfe jeden Schritt mathematisch und kennzeichne Fehler oder fehlende Begründungen.
4. Strategien vergleichen: Vergleiche zwei unterschiedliche Zerlegungen derselben Aufgabe und begründe, welche Schritte jeweils notwendig sind.

Lernkontrolle

1. Planen statt sofort rechnen: Formuliere zu einer mehrschrittigen Aufgabe zuerst einen Rechenplan mit mindestens drei Teilfragen und begründe die Reihenfolge.
2. Darstellung wählen: Entscheide bei drei Aufgaben jeweils zwischen Skizze, Tabelle und Rechenplan. Begründe Deine Wahl.
3. Fehler analysieren: Untersuche einen falschen Lösungsweg. Finde den ersten Fehler und erkläre, welche Zwischenkontrolle ihn sichtbar gemacht hätte.
4. Transfer auf Geometrie: Zerlege eine Umfangs- oder Flächenaufgabe in Teilprobleme und stelle den Lösungsweg zeichnerisch und rechnerisch dar.
5. Digital prüfen: Vergleiche Dein eigenes Ergebnis mit einem digitalen Ergebnis. Erkläre, wie Du erkennst, ob Eingabe und Ausgabe plausibel sind.
6. Begründen: Erkläre, warum ein richtiges Endergebnis allein noch keinen nachvollziehbaren Lösungsweg darstellt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. die Hauptfrage einer Aufgabe erkennst,
2. relevante Angaben auswählst,
3. sinnvolle Teilfragen formulierst,
4. Skizzen Tabellen und Rechenpläne passend nutzt,
5. Rechenschritte korrekt ausführst,
6. Zwischenkontrollen durchführst,
7. Einheiten beachtest,
8. Ergebnisse plausibel prüfst,
9. einen verständlichen Antwortsatz formulierst,
10. digitale und KI-erzeugte Ergebnisse kritisch überprüfst.

OERs zum Thema

Freie Medien im Kurs: Beachte die Lizenzangaben auf den jeweiligen Wikimedia-Commons-Dateiseiten.

Interaktive Mathematik: GeoGebra-Materialien ermöglichen bewegliche und dynamische Darstellungen. Prüfe angezeigte Ergebnisse trotzdem selbst.

Folgekurs

1. M7 G - Lösungswege systematisch planen
2. M7 G - Ergebnisse durch Überschlag kontrollieren
3. M7 G - Sachaufgaben mit Tabellen lösen
4. M7 G - Prozentrechnung in Sachsituationen
5. M7 G - Geometrische Probleme mit Skizzen lösen

Verknüpfte Lernbereiche

Mathematisches Problemlösen Teilproblem Rechenplan Skizze Tabelle Zwischenkontrolle Überschlag Plausibilitätsprüfung Sachaufgabe Digitale Mathematik

Quellen und fachlicher Bezug

1. Bildungsplan Baden-Württemberg, Mathematik Sekundarstufe I: Probleme analysieren, in Teilprobleme zerlegen, Darstellungen nutzen und Zwischen- sowie Endergebnisse prüfen.
2. Wikimedia Commons: Problem-Solving.svg.
3. Wikimedia Commons: Number-line.svg.
4. Wikimedia Commons: Fraction addition example.svg.
5. Wikimedia Commons: Net cube.svg.
6. Wikimedia Commons: Geo prob diagram.svg.
7. Wikimedia Commons: Charts SVG Example 1 - Simple Bar Chart.svg.
8. GeoGebra: interaktive Zahlengeraden-, Bruch-, Geometrie- und 3D-Materialien.
9. YouTube: eingebettete Erklärvideos zur schrittweisen Bearbeitung mathematischer Aufgaben.