M7 M - Kombinatorische Möglichkeiten systematisch zählen

Mini-Beschreibung: Bestimme mögliche Ergebnisse durch systematisches Auflisten, Tabellen oder einfache Baumdiagramme. Du nutzt Kleidungs-, Menü-, Code- und Zufallsbeispiele und achtest darauf, kein Ergebnis doppelt zu zählen.

Zielgruppe: Mathematik Klasse 7, Baden-Württemberg, M-Niveau

Einleitung

Wie viele Outfits, Menüs oder Codes sind möglich? Statt zu raten, gehst Du systematisch vor. Entscheidend ist nicht nur die richtige Anzahl: Du sollst Deinen Rechenweg darstellen und begründen können.

Für zwei aufeinanderfolgende Entscheidungen mit $m$ und $n$ Möglichkeiten gilt häufig:

$m \cdot n$

Diese Produktregel der Kombinatorik darfst Du aber erst einsetzen, wenn Du verstanden hast, welche Entscheidungen getroffen werden und ob Wiederholungen erlaubt sind.

Lernziele

Du kannst ...	M-Niveau
Möglichkeiten vollständig erfassen	systematisch und zunehmend selbstständig
zwischen Liste, Tabelle und Baumdiagramm wechseln	passende Darstellung auswählen und erklären
die Produktregel nutzen	Rechenweg und Voraussetzungen begründen
Doppelzählungen erkennen	Ergebnisse kritisch prüfen
Alltagssituationen modellieren	Kleidungs-, Menü-, Code- und Zufallsprobleme mathematisch beschreiben

Vorwissen-Check

Ergänze.	Deine Eingabe
Drei Farben und zwei Formen ergeben insgesamt ...	6
Bei zwei Münzwürfen entstehen die Ergebnisse KK, KZ, ZK und ...	ZZ
Eine übersichtliche Darstellung mit Verzweigungen heißt ...	Baumdiagramm

Wenn Dir eine Aufgabe schwerfällt: Zeichne zuerst alle Möglichkeiten. Die Formel kommt erst danach.

Grundidee: systematisch statt raten

Eine gute Lösung beantwortet drei Fragen:

Frage	Beispiel
Welche Entscheidungen gibt es?	Oberteil und Hose
Wie viele Möglichkeiten hat jede Entscheidung?	$3$ Oberteile und $2$ Hosen
Wie verhindere ich Lücken oder Doppelzählungen?	geordnete Liste, Tabelle oder Baumdiagramm

Merksatz: Wenn jede Möglichkeit der ersten Entscheidung mit jeder Möglichkeit der zweiten Entscheidung kombiniert werden kann, multiplizierst Du die Anzahlen.

$3 \cdot 2 = 6$

Beispiel 1: Kleidung

Du hast die Oberteile Rot, Blau, Grün und die Hosen Hell, Dunkel.

	Hell	Dunkel
Rot	Rot–Hell	Rot–Dunkel
Blau	Blau–Hell	Blau–Dunkel
Grün	Grün–Hell	Grün–Dunkel

Die Tabelle enthält genau $3 \cdot 2 = 6$ Felder.

Begründung: Zu jedem der drei Oberteile passen zwei Hosen.

Visueller Rechenweg

Schritt	Darstellung	Kontrolle
1	$3$ Oberteile	erste Entscheidung
2	zu jedem Oberteil $2$ Hosen	zweite Entscheidung
3	$3 \cdot 2 = 6$	sechs verschiedene Outfits

Denkfrage: Warum wäre $3 + 2 = 5$ hier falsch?

Beispiel 2: Menü

Ein Menü besteht aus genau einem Hauptgericht und einem Getränk.

Hauptgerichte: Pizza, Pasta Getränke: Wasser, Saft, Tee

Hauptgericht	mögliche Getränke
Pizza	Wasser, Saft, Tee
Pasta	Wasser, Saft, Tee

$2 \cdot 3 = 6$

Darstellungswechsel: Die Tabelle und ein Baumdiagramm zeigen dieselben sechs Ergebnisse. Die Rechnung fasst die Struktur kurz zusammen.

Beispiel 3: Codes

Ein zweistelliger Übungscode wird aus den Ziffern $0, 1, 2$ gebildet. Wiederholungen sind erlaubt.

erste Stelle	mögliche Codes
0	00, 01, 02
1	10, 11, 12
2	20, 21, 22

$3 \cdot 3 = 9$

Wenn Wiederholungen nicht erlaubt sind, bleiben nach der ersten Stelle nur noch zwei Ziffern:

$3 \cdot 2 = 6$

Datenschutz: Verwende für solche Aufgaben nur erfundene Codes. Teile keine echten PINs, Passwörter oder personenbezogenen Daten.

Beispiel 4: Zufall

Eine Münze wird zweimal geworfen. Jeder Wurf hat die Ergebnisse K und Z.

Die Ergebnisliste lautet:

${K K, K Z, Z K, Z Z}$

Anzahl der Ergebnisse:

$2 \cdot 2 = 4$

Das Baumdiagramm hilft Dir hier beim vollständigen Auflisten. Wahrscheinlichkeiten sind ein späterer Schritt.

Drei Darstellungen vergleichen

Darstellung	Stärke	Gute Verwendung
Liste	schnell bei wenigen Ergebnissen	kurze Code- oder Farbaufgaben
Tabelle	übersichtlich bei zwei Entscheidungen	Kleidung, Menüs
Baumdiagramm	zeigt Entscheidungen Schritt für Schritt	mehrstufige Auswahl und Zufall

M-Niveau: Wähle nicht immer dieselbe Darstellung. Begründe, welche für die Aufgabe am übersichtlichsten ist.

Doppelzählungen vermeiden

Nicht jede Reihenfolge beschreibt automatisch ein neues Ergebnis.

Beispiel: Aus Ana, Ben und Cem soll ein Zweierteam gebildet werden.

Aufgeschrieben	Bewertung
Ana–Ben	zählt
Ben–Ana	dasselbe Team, also nicht noch einmal zählen
Ana–Cem	zählt
Cem–Ana	dasselbe Team, also nicht noch einmal zählen
Ben–Cem	zählt

Es gibt hier 3 verschiedene Teams.

Prüffrage: Ändert eine vertauschte Reihenfolge die Bedeutung des Ergebnisses? Wenn nein, darfst Du nicht doppelt zählen.

Interaktives Beispiel

Situation	Gesuchte Zahl
4 T-Shirts und 3 Hosen	12
2 Hauptgerichte, 4 Getränke	8
zweistelliger Code aus 5 Zeichen mit Wiederholung	25
zwei Münzwürfe	4

Feedback: Wenn Du nur addiert hast, zeichne zu einer Möglichkeit der ersten Stufe alle Möglichkeiten der zweiten Stufe. Wiederhole das für jede erste Möglichkeit.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Outfit

Du hast 4 Oberteile und 2 Hosen. Wie viele Outfits sind möglich?

Hilfestufe 1: Schreibe zu einem Oberteil alle passenden Hosen auf.

Hilfestufe 2: Jede der 4 ersten Möglichkeiten hat 2 Fortsetzungen.

Lösung und Feedback: $4 \cdot 2 = 8$ . Eine Addition wäre falsch, weil ein Outfit aus beiden Entscheidungen besteht.

Übung 2: Schulmenü

Es gibt 3 Hauptgerichte und 4 Getränke. Jedes Hauptgericht kann mit jedem Getränk kombiniert werden.

Hilfestufe 1: Nutze eine Tabelle mit 3 Zeilen und 4 Spalten.

Hilfestufe 2: Zähle die Tabellenfelder.

Lösung und Feedback: $3 \cdot 4 = 12$ . Tabelle und Produktregel liefern dieselbe Anzahl.

Übung 3: Code ohne Wiederholung

Ein zweistelliger Code wird aus A, B, C und D gebildet. Kein Zeichen darf zweimal vorkommen.

Hilfestufe 1: Für die erste Stelle gibt es 4 Möglichkeiten.

Hilfestufe 2: Danach bleiben nur noch 3 Zeichen.

Lösung und Feedback: $4 \cdot 3 = 12$ . Der zweite Faktor ist kleiner, weil Wiederholungen verboten sind.

Übung 4: Dreistufig

Ein Eis besteht aus 2 Sorten, 3 Soßen und 2 Toppings. Von jeder Kategorie wird genau eine Möglichkeit gewählt.

Hilfestufe 1: Es gibt drei aufeinanderfolgende Entscheidungen.

Hilfestufe 2: Multipliziere die Zahl der Möglichkeiten jeder Stufe.

Lösung und Feedback: $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ . Begründe zusätzlich, warum jede Wahl mit jeder folgenden Wahl kombinierbar ist.

Typische Fehler

Fehler	Beispiel	Korrektur
Addieren statt multiplizieren	$3 + 2$ bei Oberteil und Hose	Entscheidungen nacheinander betrachten: $3 \cdot 2$
Möglichkeit vergessen	in einer Liste fehlt eine Kombination	feste Reihenfolge oder Tabelle nutzen
doppelt zählen	Ana–Ben und Ben–Ana als zwei Teams	prüfen, ob die Reihenfolge wirklich eine neue Bedeutung hat
Wiederholung falsch behandeln	Code 11 trotz Verbot	Bedingung vor dem Zählen markieren
Ergebnis ohne Begründung	nur „12“	Darstellung, Rechnung und Begründung angeben

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Prüfschritt	Frage
Vollständigkeit	Sind wirklich alle Möglichkeiten erfasst?
Doppelzählung	Taucht ein Ergebnis mehrfach auf?
Bedingungen	Sind Wiederholungen erlaubt oder verboten?
Plausibilität	Passt die Zahl zur Tabelle oder zum Baumdiagramm?
KI-Nutzung	Kannst Du die Ausgabe selbst mathematisch begründen?

Wichtig: Eine KI-Ausgabe kann beim Strukturieren helfen, ersetzt aber keinen mathematischen Beweis und keine eigene Kontrolle.

Selbstkontrolle

Aussage	Ja	Noch üben
Ich kann Ergebnisse geordnet auflisten.	□	□
Ich kann eine Tabelle in eine Rechnung übersetzen.	□	□
Ich kann ein einfaches Baumdiagramm lesen.	□	□
Ich kann die Produktregel begründen.	□	□
Ich erkenne typische Doppelzählungen.	□	□

Transfer

Situation A: Ein Fahrrad kann mit 4 Rahmenfarben und 3 Klingelfarben bestellt werden. Bestimme die Anzahl und stelle sie auf zwei Arten dar.

Situation B: Ein dreistelliger Fantasiecode nutzt nur A, B und C. Vergleiche die Anzahl mit und ohne Wiederholung.

Situation C: Eine Münze wird dreimal geworfen. Erstelle ein Baumdiagramm und prüfe, ob $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ Ergebnisse sichtbar werden.

Kompetenzcheck

Kompetenz	Sicher, wenn Du ...
systematisch zählen	keine Möglichkeit auslässt und keine doppelt zählst
darstellen	zwischen Liste, Tabelle und Baumdiagramm wechseln kannst
rechnen	Produkte wie $4 \cdot 3 \cdot 2$ passend zur Situation bildest
modellieren	aus einem Alltagstext sinnvolle Entscheidungsstufen machst
erklären	Deinen Lösungsweg mit Fachbegriffen nachvollziehbar beschreibst

Reflexion

Darstellungswechsel: Welche Aufgabe konntest Du mit einer Tabelle leichter lösen als mit einer Liste?
Fehleranalyse: Bei welcher Aufgabe bestand die größte Gefahr einer Doppelzählung?
Begründung: Formuliere die Produktregel mit Deinen eigenen Worten und ergänze ein selbst erfundenes Beispiel.

Folgekurs

Als nächstes passen besonders:

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Du hast 3 T-Shirts und 2 Hosen. Wie viele Outfits sind möglich? (6) (!5) (!8) (!9)

Welche Darstellung eignet sich besonders gut für zwei Auswahlstufen mit wenigen Möglichkeiten? (Tabelle) (!Zahlengerade) (!Kreisdiagramm) (!Koordinatensystem)

Ein Menü bietet 4 Hauptgerichte und 3 Getränke. Wie viele Kombinationen gibt es? (12) (!7) (!16) (!24)

Ein zweistelliger Code nutzt 0, 1 und 2. Wiederholungen sind erlaubt. Wie viele Codes gibt es? (9) (!6) (!5) (!3)

Warum ist bei zwei Münzwürfen die Rechnung 2 mal 2 passend? (Weil jeder erste Ausgang zwei Fortsetzungen hat) (!Weil die Ergebnisse addiert werden) (!Weil eine Münze vier Seiten hat) (!Weil nur zwei Ergebnisse möglich sind)

Was ist eine Doppelzählung? (Dasselbe Ergebnis wird mehrfach gezählt) (!Eine Rechnung mit zwei Faktoren) (!Ein Baumdiagramm mit zwei Stufen) (!Eine Tabelle mit zwei Spalten)

Ein Code wird aus A, B, C, D gebildet und hat zwei verschiedene Zeichen. Wie viele Codes sind möglich? (12) (!16) (!8) (!4)

Welche Rechnung passt zu 2 Sorten, 3 Soßen und 2 Toppings? (2 mal 3 mal 2) (!2 plus 3 plus 2) (!2 mal 3 plus 2) (!3 mal 3)

Woran erkennst Du eine vollständige systematische Liste? (Alle erlaubten Ergebnisse stehen genau einmal darin) (!Die Liste ist möglichst kurz) (!Die Ergebnisse sind zufällig sortiert) (!Es steht keine Rechnung dabei)

Was solltest Du bei einer KI-Lösung zu einer Kombinatorikaufgabe tun? (Die Lösung selbst prüfen und begründen) (!Die Zahl ungeprüft übernehmen) (!Nur auf die Länge der Antwort achten) (!Personenbezogene Daten eingeben)

Memory

Produktregel	aufeinanderfolgende Anzahlen multiplizieren
Baumdiagramm	verzweigte Darstellung von Entscheidungen
Tabelle	Zeilen und Spalten zeigen Kombinationen
Doppelzählung	gleiches Ergebnis mehrfach erfassen
Wiederholung	dasselbe Zeichen darf erneut vorkommen
Ergebnisraum	Menge aller möglichen Ergebnisse

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Produktregel	Mehrere unabhängige Auswahlstufen nacheinander
Tabelle	Zwei übersichtliche Auswahlgruppen
Baumdiagramm	Verzweigungen Schritt für Schritt
Doppelzählung	Dasselbe Resultat erscheint mehrfach
Plausibilitätscheck	Rechnung mit Darstellung vergleichen

Kreuzworträtsel

Produktregel	Welche Regel multipliziert die Anzahlen aufeinanderfolgender Auswahlstufen?
Baumdiagramm	Welche verzweigte Darstellung zeigt Entscheidungen Schritt für Schritt?
Kombination	Wie nennt man eine Zusammenstellung ausgewählter Möglichkeiten?
Ergebnis	Wie heißt ein möglicher Ausgang einer Auswahl?
Systematik	Was hilft dabei, keine Möglichkeit zu vergessen?
Doppelzählung	Wie heißt der Fehler, dasselbe Resultat mehrfach zu zählen?

LearningApps

Lückentext

Beim systematischen Zählen sollen alle möglichen

vollständig erfasst werden. Eine geordnete

eignet sich besonders gut für zwei Auswahlgruppen. Ein

zeigt die Entscheidungen als Verzweigungen. Wenn jede Möglichkeit der ersten Stufe mit jeder Möglichkeit der zweiten Stufe verbunden werden kann, nutzt man die

. Bei drei Oberteilen und zwei Hosen entstehen

Outfits. Sind Wiederholungen bei einem Code verboten, kann die Zahl der Möglichkeiten in späteren Stellen

werden. Dasselbe Ergebnis darf nicht mehrfach gezählt werden, sonst entsteht eine

. Digitale oder mit KI erzeugte Ergebnisse müssen mathematisch

werden.

Offene Aufgaben

Leicht

Outfit-Tabelle: Erfinde 3 Oberteile und 3 Hosen. Erstelle eine Tabelle mit allen Outfits und gib die Gesamtzahl an.
Menü-Kombinationen: Plane ein Mini-Menü mit 2 Hauptgerichten und 4 Getränken. Stelle alle Kombinationen übersichtlich dar.
Code-Liste: Liste alle zweistelligen Codes aus A und B auf, wenn Wiederholung erlaubt ist.
Fehler finden: Erstelle absichtlich eine Liste mit einer Doppelzählung und markiere anschließend den Fehler.

Standard

Baumdiagramm gestalten: Zeichne ein Baumdiagramm zu 3 Farben und 2 Formen. Vergleiche es mit einer Tabelle.
Darstellungen vergleichen: Löse dieselbe Kombinatorikaufgabe einmal als Liste und einmal mit der Produktregel. Erkläre Vor- und Nachteile.
Codevergleich: Vergleiche einen dreistelligen Code aus A, B, C mit und ohne Wiederholung.
Zufall dokumentieren: Wirf eine Münze dreimal oder simuliere die Würfe ohne personenbezogene Daten. Vergleiche beobachtete Folgen mit allen möglichen Folgen.

Schwer

Modellierungsaufgabe: Erfinde eine realistische Alltagssituation mit drei Auswahlstufen und löse sie vollständig.
Doppelzählungen untersuchen: Erkläre an einem Zweierteam-Beispiel, warum vertauschte Namen nicht immer neue Ergebnisse erzeugen.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo zur Produktregel mit eigenem Beispiel, Tabelle und Begründung. Nutze nur selbst erstellte oder frei lizenzierte Medien.
KI-Prüfung: Lass Dir zu einer selbst erfundenen Kombinatorikaufgabe einen Lösungsvorschlag erzeugen. Prüfe jeden Schritt mit einer eigenen Darstellung und dokumentiere Abweichungen.

Lernkontrolle

Modellieren: Ein Schulfest bietet 4 Speisen, 3 Getränke und 2 Desserts. Entwickle eine passende Darstellung, berechne die Zahl der Menüs und begründe Deine Methode.
Darstellungswechsel: Eine Tabelle hat 5 Zeilen und 4 Spalten und zeigt alle erlaubten Kombinationen. Formuliere eine passende Sachsituation und ein zugehöriges Produkt.
Fehleranalyse: Jemand rechnet bei 3 Pullovern und 2 Hosen $3 + 2 = 5$ . Erkläre den Denkfehler ohne nur das richtige Ergebnis zu nennen.
Bedingungen vergleichen: Untersuche einen zweistelligen Code aus vier Zeichen einmal mit und einmal ohne Wiederholung. Erkläre, warum sich die Ergebnisse unterscheiden.
Doppelzählung begründen: Aus vier Personen werden Zweierteams gebildet. Erkläre, warum ein einfaches Produkt ohne weitere Überlegung zu viel zählen kann.
Digital prüfen: Vergleiche eine digitale oder KI-erzeugte Lösung mit einer eigenen Liste, Tabelle oder einem Baumdiagramm. Entscheide anhand der Darstellung, ob die Lösung vollständig und ohne Doppelzählung ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du:

Bereich	Erwartung
Rechenweg	passende Faktoren aufschreibst und korrekt berechnest
Darstellung	Liste, Tabelle oder Baumdiagramm sinnvoll nutzt
Begründung	erklärst, warum Deine Darstellung vollständig ist
Modellierung	Alltagssituationen in Auswahlstufen übersetzt
Fehlerkontrolle	fehlende Ergebnisse und Doppelzählungen erkennst
Fachsprache	Begriffe wie Ergebnis, Produktregel und Baumdiagramm korrekt verwendest
digitale Kompetenz	digitale Ergebnisse kritisch prüfst und keine personenbezogenen Daten verwendest

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