M7 E - Statistische Darstellungen kritisch beurteilen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Untersuche Diagramme auf passende Darstellung, Skala, Achsen, Bezugsgröße und mögliche Irreführung. Vergleiche manipulierte und korrigierte Darstellungen und begründe Verbesserungen.

Du arbeitest auf E-Niveau in Mathematik Klasse 7 in Baden-Württemberg. Im Mittelpunkt steht nicht nur das Ablesen: Du prüfst Darstellungen kritisch, findest Gegenbeispiele, verbesserst Diagramme und begründest Deine Entscheidungen.

Erster Blick: Beide Diagramme können dieselben Daten zeigen. Trotzdem kann ein abgeschnittener Achsenbereich einen kleinen Unterschied sehr groß wirken lassen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Diagramme auf Eignung, Achsen, Skalierung und Bezugsgröße untersuchen.
zwischen absoluten und relativen Angaben wechseln, zum Beispiel mit $h = \frac{n_{i}}{n}$ .
irreführende Darstellungen erkennen und die Wirkung mathematisch begründen.
dieselben Daten unterschiedlich darstellen und die Darstellungen kritisch vergleichen.
digitale Diagramme prüfen, statt ihnen automatisch zu vertrauen.
Gegenbeispiele finden und Verbesserungsvorschläge nachvollziehbar begründen.

Bildungsplanbezug Baden-Württemberg

Der Kurs orientiert sich an der Leitidee Daten und Zufall für die Klassen 7/8/9 im gemeinsamen Bildungsplan Sekundarstufe I. Für das E-Niveau sind besonders wichtig: Daten aus Quellen entnehmen, Daten grafisch darstellen und interpretieren, statistische Aussagen formulieren und bewerten sowie grafische statistische Darstellungen kritisch beurteilen. Außerdem werden Darstellungen, digitale Werkzeuge und Informationsquellen kritisch geprüft.

Merke: KI-Ausgaben, Tabellenkalkulationen und automatisch erzeugte Diagramme können Fehler enthalten. Ein digitales Ergebnis ersetzt keine mathematische Prüfung und keinen mathematischen Beweis.

Vorwissen-Check

Ohne Taschenrechner: Entscheide zuerst im Kopf.

<details> <summary>1. Was bedeutet $25 %$ ?</summary> $25 % = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ </details>

<details> <summary>2. Welche absolute Häufigkeit entspricht $40 %$ von $50$ ?</summary> $0,40 \cdot 50 = 20$ </details>

<details> <summary>3. Zwei Gruppen haben $8$ von $20$ und $32$ von $80$ Treffern. Sind die Anteile gleich?</summary> Ja. $\frac{8}{20} = 0,4$ und $\frac{32}{80} = 0,4$ . Beide entsprechen $40 %$ . </details>

<details> <summary>4. Muss die y-Achse eines Säulendiagramms immer bei $0$ beginnen?</summary> Bei Säulen und Balken ist der Nullpunkt besonders wichtig, weil die Länge der Säule den Wert darstellt. Wird der Nullpunkt abgeschnitten, können Größenunterschiede stark übertrieben wirken. </details>

Die Diagramm-Lupe

Prüfe jedes statistische Diagramm mit fünf Fragen:

Darstellung: Passt Säule, Balken, Linie, Kreis oder eine andere Form zur Fragestellung?
Achsen: Sind Achsen, Einheiten und Nullpunkt klar angegeben?
Skala: Sind die Abstände gleich groß und sinnvoll gewählt?
Bezugsgröße: Worauf beziehen sich Prozentwerte oder Anteile?
Datengrundlage: Fehlen Gruppen, Zeiträume oder wichtige Vergleichswerte?

Passende Darstellung wählen

Kategorien vergleichen: Säulen- oder Balkendiagramm.

Entwicklung über die Zeit: häufig Liniendiagramm.

Anteile eines Ganzen: Kreis- oder Streifendiagramm, wenn die Teile wirklich ein gemeinsames Ganzes bilden.

Denkfrage: Im Bild werden dieselben Daten verschieden dargestellt. Welche Darstellung ermöglicht Dir den genaueren Größenvergleich? Begründe mit der Ablesbarkeit der Werte.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Gleiche Daten, andere Wirkung

Gegeben sind zwei Werte:

$A = 82$

$B = 78$

Die absolute Differenz beträgt:

$82 - 78 = 4$

Manipulierte Darstellung: sichtbarer Bereich nur von $75$ bis $85$

Skala: $75$ bis $85$

A

82

B

78

Korrigierte Darstellung: sichtbarer Bereich von $0$ bis $100$

Skala: $0$ bis $100$

A

82

B

78

Begründung: Die Daten haben sich nicht verändert. Verändert wurde nur die Skala. Im ersten Diagramm wird die Differenz $4$ im kleinen Ausschnitt $75$ bis $85$ stark hervorgehoben.

<details> <summary>Hilfestufe 1</summary> Vergleiche nicht zuerst die Balkenlängen, sondern die Zahlenwerte. </details>

<details> <summary>Hilfestufe 2</summary> Berechne zusätzlich die relative Differenz bezogen auf $78$ : $\frac{4}{78} \approx 0,051$ . </details>

<details> <summary>Feedback</summary> Eine gute Begründung nennt Datenwert, Achsenbereich und Wirkung. Nur „sieht komisch aus“ reicht auf E-Niveau nicht. </details>

Beispiel 2: Prozent ohne Bezugsgröße

Aussage A: „In Gruppe X sind $50 %$ erfolgreich.“

Aussage B: „In Gruppe Y sind $40 %$ erfolgreich.“

Ohne Gruppengröße wirkt X erfolgreicher. Nun kommen die Bezugsgrößen hinzu:

$50 % von 20 = 10$

$40 % von 100 = 40$

Ergebnis: X hat den höheren Anteil, Y aber die höhere absolute Zahl.

Prüffrage: Soll die Fragestellung den Anteil oder die Anzahl vergleichen?

Beispiel 3: Fehlende Kategorien

Vergleiche mit der vollständigen Darstellung:

Auftrag: Formuliere eine Aussage, die mit der unvollständigen Darstellung plausibel wirkt, aber nach Einbezug aller Daten relativiert werden muss.

<details> <summary>Feedback</summary> Ein Gegenbeispiel zeigt, dass eine Aussage nicht allgemein gelten muss. Auf E-Niveau sollst Du erklären, welche ausgelassenen Daten die Interpretation verändern. </details>

Beispiel 4: 3D kann verzerren

Perspektive, Tiefe und verdeckte Flächen können den Vergleich erschweren. Für einen einfachen Größenvergleich ist eine zweidimensionale Darstellung meist leichter zu lesen.

Verbesserung: gleiche Balkenbreite, gleiche Basislinie, keine perspektivische Verkürzung, klar beschriftete Achse.

Beispiel 5: Zwei Achsen, zwei Maßstäbe

Denkauftrag: Suche zuerst alle Achsen. Prüfe dann, ob Linien mit unterschiedlichen Skalen scheinbar denselben Verlauf erhalten.

E-Niveau: Erfinde Zahlenwerte für zwei Datenreihen, bei denen zwei unterschiedlich skalierte y-Achsen einen fast parallelen Verlauf erzeugen, obwohl die prozentualen Veränderungen deutlich verschieden sind.

Beispiel 6: Verlauf oder Kategorien?

Ein Liniendiagramm verbindet Werte optisch. Das ist sinnvoll, wenn eine Reihenfolge oder zeitliche Entwicklung eine Rolle spielt. Bei ungeordneten Kategorien kann die Verbindung eine Entwicklung vortäuschen, die gar nicht existiert.

<details> <summary>Gegenbeispiel</summary> Die Kategorien „Apfel“, „Bus“, „Mathematik“ und „Schuhgröße“ bilden keine sinnvolle zeitliche Reihenfolge. Eine verbindende Linie würde hier eine Beziehung suggerieren. </details>

Visuelle Schritt-für-Schritt-Prüfung

<details> <summary>Schritt 1: Daten identifizieren</summary> Welche Werte werden tatsächlich gezeigt? Notiere mindestens zwei konkrete Zahlen. </details>

<details> <summary>Schritt 2: Skala prüfen</summary> Sind die Skalenabstände gleich? Beginnt eine Balkenachse bei $0$ ? Gibt es einen Achsenbruch? </details>

<details> <summary>Schritt 3: Bezugsgröße prüfen</summary> Bei $p = \frac{a}{n}$ muss klar sein, was $a$ und $n$ bedeuten. </details>

<details> <summary>Schritt 4: Darstellung prüfen</summary> Passt der Diagrammtyp zur Art der Daten und zur Fragestellung? </details>

<details> <summary>Schritt 5: Aussage testen</summary> Formuliere eine alternative Erklärung oder ein Gegenbeispiel. Bleibt die Aussage trotzdem überzeugend? </details>

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Achsenfalle

Ein Säulendiagramm zeigt zwei Messwerte $96$ und $100$ . Die y-Achse beginnt bei $95$ .

Auftrag: Begründe, warum die Darstellung einen sehr großen Unterschied vortäuschen kann. Zeichne anschließend eine korrigierte Version mit einem geeigneten Achsenbereich.

<details> <summary>Hilfestufe 1</summary> Berechne die Differenz: $100 - 96$ . </details>

<details> <summary>Hilfestufe 2</summary> Vergleiche die Differenz mit dem gesamten Wertebereich $0$ bis $100$ . </details>

<details> <summary>Feedback</summary> Eine starke Lösung beschreibt nicht nur den abgeschnittenen Nullpunkt, sondern erklärt auch, dass die Balkenlänge nicht mehr proportional zum gesamten Wert wahrgenommen wird. </details>

Übung 2: Bezugsgrößen vergleichen

Schule A: $18$ von $30$ Lernenden lösen eine Aufgabe richtig.

Schule B: $48$ von $80$ Lernenden lösen sie richtig.

Berechne:

$h_{A} = \frac{18}{30}$

$h_{B} = \frac{48}{80}$

Auftrag: Entscheide, ob die Aussage „Schule B ist deutlich besser“ durch diese Daten gestützt wird.

<details> <summary>Hilfestufe</summary> Wandle beide Brüche in Dezimalzahlen oder Prozentwerte um. </details>

<details> <summary>Feedback</summary> $\frac{18}{30} = 0,6$ und $\frac{48}{80} = 0,6$ . Die Erfolgsanteile sind gleich. Die absoluten Zahlen sind wegen verschiedener Gruppengrößen nicht direkt als Leistungsunterschied interpretierbar. </details>

Übung 3: Passender Diagrammtyp

Du hast monatliche Temperaturmittelwerte von Januar bis Dezember.

Auftrag: Wähle eine passende Darstellung. Begründe, warum ein Liniendiagramm hier mehr Information über den Verlauf vermittelt als ein Kreisdiagramm.

<details> <summary>Hilfestufe</summary> Frage Dich, ob die Monate Teile eines Ganzen oder eine geordnete zeitliche Folge sind. </details>

<details> <summary>Feedback</summary> Die Monate bilden eine Zeitreihe. Ein Kreisdiagramm würde Anteile eines Ganzen nahelegen und wäre für die zeitliche Entwicklung unpassend. </details>

Übung 4: Manipulation selbst erzeugen und entlarven

Verwende die Daten $48, 50, 52$ .

Erstelle eine Darstellung mit y-Achse von $0$ bis $60$ .
Erstelle dieselben Daten mit y-Achse von $47$ bis $53$ .
Beschreibe die unterschiedliche Wirkung.
Formuliere eine Regel, wann ein enger Achsenausschnitt hilfreich und wann er irreführend sein kann.

<details> <summary>Feedback</summary> Ein enger Ausschnitt kann kleine Unterschiede sichtbar machen. Irreführend wird er, wenn die Darstellung den Eindruck viel größerer absoluter Unterschiede erzeugt und der Achsenausschnitt nicht klar erkennbar ist. </details>

Typische Fehler

Nur auf die Form schauen: Zuerst Zahlenwerte, Skala und Bezugsgröße prüfen.
Prozentwerte ohne $n$ vergleichen: $60 %$ sagt ohne Grundgesamtheit nicht, wie viele Fälle gemeint sind.
Skalenwechsel übersehen: Zwei Achsen können unterschiedliche Einheiten oder Schrittweiten haben.
3D für genauer halten: Räumliche Effekte können Größenvergleiche erschweren.
Diagrammtyp mit Aussage verwechseln: Ein Diagramm zeigt Daten; die Interpretation muss zusätzlich begründet werden.
KI-Ausgabe ungeprüft übernehmen: Eingabedaten, Rechenweg, Achsen und Beschriftungen kontrollieren.

Selbstkontrolle

Prüfe, ob Du jeden Satz mit einem eigenen Beispiel erklären kannst:

☐ Ich erkenne einen abgeschnittenen Achsenbereich.
☐ Ich kann $p = \frac{a}{n}$ als Anteil mit Bezugsgröße erklären.
☐ Ich kann zwischen absoluter und relativer Häufigkeit unterscheiden.
☐ Ich kann einen ungeeigneten Diagrammtyp begründet ersetzen.
☐ Ich kann eine irreführende Darstellung korrigieren.
☐ Ich kann eine statistische Aussage mit einem Gegenbeispiel prüfen.
☐ Ich kann ein digitales Diagramm kritisch kontrollieren.

Transfer

Suche in einer Zeitung, auf einer Website oder in einem Schulbuch ein Diagramm. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Prüfe:

Welche Aussage soll das Diagramm nahelegen?
Welche Daten sind tatsächlich enthalten?
Welche Bezugsgröße wird benutzt?
Wie verändern Skala und Achsen die Wirkung?
Welche alternative Darstellung wäre möglich?
Würde sich Deine Interpretation dadurch ändern?

Datenschutz: Nutze für eigene Umfragen keine Namen, Adressen, Accounts oder andere personenbezogenen Daten. Arbeite mit anonymen oder künstlich erzeugten Datensätzen.

Kompetenzcheck E-Niveau

Du beherrschst das Ziel dieses Kurses, wenn Du selbstständig:

eine fremde statistische Darstellung systematisch untersuchst,
mindestens zwei mögliche Irreführungen mathematisch begründest,
eine korrigierte Darstellung erstellst,
absolute und relative Angaben passend zur Fragestellung verwendest,
ein Gegenbeispiel zur Prüfung einer zu starken Aussage findest,
einen mehrschrittigen Lösungsweg dokumentierst,
digitale Ergebnisse kritisch überprüfst.

Reflexion

Beantworte in drei bis fünf Sätzen:

Welcher Manipulationseffekt ist für Dich am schwersten zu erkennen?
Welche Prüffrage hilft Dir am meisten?
Wann darf eine Achse sinnvollerweise nicht bei $0$ beginnen?
Welche Informationen würdest Du zu einem Diagramm ergänzen, damit es fairer lesbar wird?
Was kann eine KI bei der Diagrammanalyse leisten und was musst Du selbst prüfen?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Welcher Punkt ist bei einem Säulendiagramm besonders wichtig, damit Balkenlängen nicht übertrieben wirken? (Ein sinnvoll sichtbarer Nullpunkt) (!Eine 3D-Perspektive) (!Eine möglichst kleine Schrift) (!Eine zufällige Reihenfolge)

Was beschreibt die Bezugsgröße bei einem Prozentwert? (Die Grundgesamtheit, auf die sich der Anteil bezieht) (!Die Farbe des Balkens) (!Die Breite des Diagramms) (!Die Reihenfolge der Kategorien)

Welche Darstellung eignet sich besonders für eine zeitliche Entwicklung? (Ein Liniendiagramm) (!Ein ungeordnetes Kreisdiagramm) (!Eine 3D-Torte) (!Ein Piktogramm ohne Skala)

Was gilt für 18 von 30 und 48 von 80? (Beide entsprechen 60 Prozent) (!Die erste Gruppe hat 30 Prozent) (!Die zweite Gruppe hat 80 Prozent) (!Die Anteile sind grundsätzlich nicht vergleichbar)

Warum kann ein abgeschnittener Achsenbereich irreführen? (Kleine Unterschiede können optisch stark vergrößert wirken) (!Die Werte werden dadurch automatisch falsch berechnet) (!Die Grundgesamtheit wird immer größer) (!Die Einheiten verschwinden immer)

Wann ist ein Kreisdiagramm besonders passend? (Wenn Anteile eines gemeinsamen Ganzen gezeigt werden) (!Wenn eine Zeitreihe über viele Jahre untersucht wird) (!Wenn zwei Skalen gleichzeitig verglichen werden) (!Wenn Kategorien keine gemeinsame Bezugsgröße besitzen)

Welche Aussage ist bei digitalen Diagrammen richtig? (Die Darstellung muss trotz Software mathematisch geprüft werden) (!Ein automatisch erzeugtes Diagramm ist immer korrekt) (!Eine KI-Ausgabe ist ein mathematischer Beweis) (!Die Achsenskalierung ist bei Software unwichtig)

Was ist ein gutes Gegenmittel gegen eine irreführende Prozentangabe? (Absolute Zahl und Bezugsgröße zusätzlich angeben) (!Nur die Prozentzahl größer schreiben) (!Die Achse entfernen) (!Alle Werte runden)

Was kann eine 3D-Darstellung bei Balken verursachen? (Perspektivische Verzerrung des Größenvergleichs) (!Automatisch exaktere Werte) (!Eine eindeutige Bezugsgröße) (!Eine mathematische Beweisführung)

Was gehört zu einer starken Begründung auf E-Niveau? (Daten, Darstellung und Wirkung nachvollziehbar verknüpfen) (!Nur die eigene Meinung nennen) (!Nur die schönere Farbe auswählen) (!Ein Diagramm ohne Zahlen beurteilen)

Memory

Nullpunkt	Ausgangspunkt einer Balkenskala
Bezugsgröße	Grundgesamtheit eines Anteils
Liniendiagramm	zeitliche Entwicklung
Kreisdiagramm	Anteile eines Ganzen
Achsenbruch	unterbrochener Skalenbereich
Gegenbeispiel	widerlegt eine allgemeine Behauptung
RelativeHäufigkeit	Anteil an der Gesamtzahl
Skalierung	Zuordnung von Werten zu Abständen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Nullpunkt	Balkenlänge fair vergleichen
Bezugsgröße	Prozentangabe einordnen
Skalierung	Schrittweiten kontrollieren
Diagrammtyp	Darstellung zur Fragestellung wählen
Gegenbeispiel	zu starke Aussage prüfen

Kreuzworträtsel

Nullpunkt	Wo sollte eine Balkenskala in vielen Vergleichsdiagrammen beginnen?
Skalierung	Wie heißt die Zuordnung von Zahlenwerten zu Achsenabständen?
Bezugsgröße	Wie heißt die Gesamtmenge, auf die sich ein Anteil bezieht?
Balkendiagramm	Welche Darstellung eignet sich zum Vergleich von Kategorien?
Gegenbeispiel	Was kann eine allgemeine Behauptung widerlegen?
Datenquelle	Woher stammen die dargestellten Werte?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Diagramm-Detektiv: Fotografiere oder finde ein öffentlich zugängliches Diagramm ohne personenbezogene Daten und markiere Achsen, Skala, Einheit und Bezugsgröße.
Skalenvergleich: Zeichne dieselben drei Werte mit zwei unterschiedlichen y-Achsen und beschreibe die Wirkung.
Diagrammtypen: Stelle einen kleinen Datensatz einmal als Balken- und einmal als Kreisdiagramm dar und vergleiche die Ablesbarkeit.
Prozent und Anzahl: Erfinde zwei Gruppen, bei denen die Gruppe mit dem höheren Prozentwert die kleinere absolute Anzahl besitzt.

Standard

Diagramm-Reparatur: Überarbeite ein irreführendes Diagramm so, dass Achsen, Skala und Beschriftung transparent werden.
Medienvergleich: Finde zwei Darstellungen desselben Themas aus unterschiedlichen Quellen und vergleiche Auswahl, Skala und Bezugsgröße.
Tabellenkalkulation: Erzeuge aus denselben Daten mindestens zwei Diagrammtypen und begründe, welcher besser passt.
Fehleranalyse: Lass Dir von einem digitalen Werkzeug ein Diagramm erzeugen und kontrolliere Datenübernahme, Achsen, Einheit und Beschriftung.

Schwer

Manipulationslabor: Erzeuge absichtlich drei unterschiedlich irreführende Darstellungen derselben Daten und schreibe jeweils eine mathematische Entlarvung.
Gegenbeispiel-Suche: Formuliere eine zu starke Aussage zu einem Datensatz und konstruiere zusätzliche Daten, die diese Aussage widerlegen.
Mehrschrittige Modellierung: Entwickle eine statistische Fragestellung, wähle anonyme Daten, erstelle eine geeignete Darstellung und begründe alle Entscheidungen.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video „Fünf Prüfungen für faire Diagramme“ mit eigenem Beispiel, Korrektur und Begründung.

Lernkontrolle

Achsenanalyse: Zwei Diagramme zeigen dieselben Werte, aber unterschiedliche Achsenbereiche. Erkläre, wie sich die Wahrnehmung verändert, und formuliere Kriterien für eine faire Darstellung.
Bezugsgrößenproblem: Vergleiche zwei Prozentangaben mit unterschiedlichen Grundgesamtheiten und entscheide, welche weiteren Angaben für eine sachgerechte Aussage nötig sind.
Darstellungswechsel: Übertrage einen Datensatz aus einem Kreisdiagramm in ein Balkendiagramm und erläutere, welche Informationen nun leichter oder schwerer erkennbar sind.
Gegenbeispiel: Widerlege eine zu allgemeine Aussage zu einem Diagramm durch ein selbst konstruiertes Beispiel.
Digitale Prüfung: Analysiere ein automatisch erzeugtes Diagramm und dokumentiere mindestens drei Kontrollschritte.
Transfer: Entwickle für eine reale Alltagssituation eine faire und eine bewusst irreführende Darstellung derselben Daten. Begründe präzise, wodurch die Wirkung entsteht.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

Achsen, Skalen, Einheiten und Bezugsgrößen korrekt analysierst.
absolute und relative Häufigkeiten sicher unterscheidest.
passende Diagrammtypen begründet auswählst.
manipulierte und korrigierte Darstellungen vergleichst.
statistische Aussagen kritisch formulierst und bewertest.
Gegenbeispiele zur Prüfung von Behauptungen einsetzen kannst.
digitale Ergebnisse auf Plausibilität und Darstellungsfehler kontrollierst.
Deinen Rechenweg, Deine Darstellung und Deine Begründung nachvollziehbar dokumentierst.

OERs zum Thema

Medienhinweis: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind freie beziehungsweise gemeinfreie Medien; die jeweils genaue Lizenz steht auf der zugehörigen Dateiseite. YouTube-Videos werden eingebettet und nicht als eigene Datei übernommen.

Folgekurs

Weiter geht es mit:

M7 E - Statistische Aussagen aus Daten formulieren und bewerten

Dort prüfst Du nicht nur die Darstellung, sondern auch Schlussfolgerungen, Verallgemeinerungen und die Tragfähigkeit statistischer Aussagen.

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