M7 E - Zinseszins iterativ untersuchen

M7 E - Zinseszins iterativ untersuchen

Mini-Beschreibung: Du untersuchst mehrjährige Verzinsung als wiederholte prozentuale Veränderung. Du berechnest das Kapital Jahr für Jahr, stellst die Werte in Tabellen und Diagrammen dar und nutzt eine Tabellenkalkulation. Dabei entwickelst Du den Wachstumsfaktor, ohne spätere Exponentialfunktionen vorwegzunehmen.

Zielgruppe: Klasse 7, Mathematik, Baden-Württemberg, E-Niveau.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Zinseszins als wiederholte prozentuale Veränderung erklären.
2. Kapitalwerte Jahr für Jahr mit $K_{\text{neu}}=K_{\text{alt}}\cdot q$ berechnen.
3. aus einem Zinssatz $p$ den Wachstumsfaktor $q=1+\frac{p}{100}$ bestimmen.
4. Tabellen, Diagramme und eine Tabellenkalkulation zum Untersuchen mehrjähriger Verzinsung nutzen.
5. Rechenwege begründen, digitale Ergebnisse prüfen und Fehler durch Gegenbeispiele sichtbar machen.

Vorwissen-Check

Du brauchst Prozentrechnung, Dezimalzahlen und das Rechnen mit Geldbeträgen.

Prüfe Dich	Beispiel
Prozentwert bestimmen	$5\mathrm{\%}$ von $1200\text{€}$
Prozent als Faktor	$105\mathrm{\%}=\mathrm{1,05}$
Geld runden	$\mathrm{1458,6075}\text{€}\to \mathrm{1458,61}\text{€}$

Lösungen anzeigen

$5\mathrm{\%}$ von $1200\text{€}$ sind $60\text{€}$. Der Faktor zu $105\mathrm{\%}$ ist $\mathrm{1,05}$.

Einstieg: Ein Jahr wird zum nächsten

Auf einem Konto liegen zunächst $1200\text{€}$. Jedes Jahr werden $5\mathrm{\%}$ Zinsen gutgeschrieben und bleiben auf dem Konto.

Entscheidende Frage: Werden im zweiten Jahr wieder $5\mathrm{\%}$ von $1200\text{€}$ berechnet?

Nein. Nach dem ersten Jahr ist das Kapital größer. Deshalb bezieht sich derselbe Prozentsatz im nächsten Jahr auf einen neuen Grundwert.

Jahr für Jahr rechnen

Jahr	Rechnung	Kapital
0	Start	$\mathrm{1200,00}\text{€}$
1	$\mathrm{1200,00}\cdot \mathrm{1,05}$	$\mathrm{1260,00}\text{€}$
2	$\mathrm{1260,00}\cdot \mathrm{1,05}$	$\mathrm{1323,00}\text{€}$
3	$\mathrm{1323,00}\cdot \mathrm{1,05}$	$\mathrm{1389,15}\text{€}$
4	$\mathrm{1389,15}\cdot \mathrm{1,05}$	$\mathrm{1458,61}\text{€}$
5	$\mathrm{1458,61}\cdot \mathrm{1,05}$	$\mathrm{1531,54}\text{€}$

Beobachtung: Der Zinssatz bleibt gleich, aber der Zinsbetrag wird größer, weil das Kapital wächst.

Diagramm-Auftrag: Beobachte die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Kapitalwerten. Begründe, warum sie nicht gleich bleiben.

Visueller Rechenweg

Schritt	Bedeutung
$1200$	Startkapital
$\mathrm{1,05}$	Faktor für ein Jahr mit $5\mathrm{\%}$ Zuwachs
$1260$	neues Kapital
$\mathrm{1,05}$	derselbe Faktor, jetzt beim neuen Kapital
$1323$	Kapital nach zwei Jahren

Warum ist das Zinseszins?

Die Zinsen des ersten Jahres bleiben im Kapital. Im zweiten Jahr werden deshalb auch diese früheren Zinsen mitverzinst.

Der Wachstumsfaktor

Bei einem Zinssatz von $p\mathrm{\%}$ bleiben $100\mathrm{\%}$ des alten Kapitals erhalten und $p\mathrm{\%}$ kommen hinzu.

$q=1+\frac{p}{100}$

Für $p=5$ gilt:

$q=1+\frac{5}{100}=\mathrm{1,05}$

Damit reicht für jedes weitere Jahr derselbe Rechenschritt:

$K_{\text{neu}}=K_{\text{alt}}\cdot \mathrm{1,05}$

Merke: Wir untersuchen hier bewusst die wiederholte Rechnung von Jahr zu Jahr. Eine spätere Beschreibung mit Exponentialfunktionen ist für diesen Kurs nicht nötig.

Faktor-Tabelle

Zinssatz	Wachstumsfaktor
$2\mathrm{\%}$	$\mathrm{1,02}$
$\mathrm{3,5}\mathrm{\%}$	$\mathrm{1,035}$
$5\mathrm{\%}$	$\mathrm{1,05}$
$8\mathrm{\%}$	$\mathrm{1,08}$

Interaktiv untersuchen

Bewege im folgenden GeoGebra-Material den Zinssatz und beobachte, wie sich die Kapitalwerte über mehrere Jahre verändern.

Forscherauftrag: Wähle zweimal dasselbe Startkapital, aber verschiedene Zinssätze. Notiere nach jedem Jahr die beiden Kapitalwerte. Beschreibe, wann der Unterschied besonders deutlich wächst.

Tabellenkalkulation: Jahr für Jahr

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Lege zum Beispiel diese Tabelle an:

Zelle	Inhalt	Bedeutung
A2	0	Startjahr
B2	1200	Startkapital
E1	1,05	Wachstumsfaktor
A3	=A2+1	nächstes Jahr
B3	=RUNDEN(B2*$E$1;2)	neues Kapital

Ziehe A3 und B3 nach unten. So entsteht die Folge der Kapitalwerte automatisch.

Prüfe digital erzeugte Ergebnisse kritisch: Stimmen Größenordnung, Rundung und verwendeter Zinssatz? Eine Tabellenkalkulation oder KI kann Eingabefehler übernehmen. Eine KI-Ausgabe ersetzt keine mathematische Begründung.

Datenschutz: Verwende für Übungsdateien nur erfundene Kontodaten. Trage keine Namen, Kontonummern oder andere personenbezogene Daten ein.

Diagramm lesen und erzeugen

Übertrage Deine Jahr-Kapital-Tabelle in ein Liniendiagramm.

1. Waagerechte Achse: Jahr
2. Senkrechte Achse: Kapital in Euro
3. Punkte: Deine berechneten Werte

Denkfrage: Warum liegen die Punkte bei positivem Zinssatz nicht auf einer Geraden mit gleich großen jährlichen Abständen?

Vergleich: Zinseszins oder immer derselbe Zinsbetrag?

Startkapital: $1000\text{€}$, Zinssatz: $5\mathrm{\%}$.

Jahr	Zinseszins	immer $50\text{€}$
0	$\mathrm{1000,00}$	$\mathrm{1000,00}$
1	$\mathrm{1050,00}$	$\mathrm{1050,00}$
2	$\mathrm{1102,50}$	$\mathrm{1100,00}$
3	$\mathrm{1157,63}$	$\mathrm{1150,00}$

Begründung: Beim Zinseszins wird der Prozentwert jedes Jahr vom neuen Kapital berechnet. Deshalb ist der jährliche Zinsbetrag nicht konstant.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Tabelle fortsetzen

Startkapital $800\text{€}$, Zinssatz $4\mathrm{\%}$. Berechne drei Jahre.

Hilfe 1

Bestimme zuerst $q=1+\frac{4}{100}$.

Hilfe 2

Multipliziere jedes neue Kapital erneut mit $\mathrm{1,04}$.

Feedback und Lösung

$\mathrm{800,00}\to \mathrm{832,00}\to \mathrm{865,28}\to \mathrm{899,89}$. Wenn Du jedes Jahr wieder mit $800$ begonnen hast, hast Du den Grundwert nicht aktualisiert.

Übung 2: Fehler finden

Mira rechnet bei $6\mathrm{\%}$ Zinsen jedes Jahr $60\text{€}$ zu einem Startkapital von $1000\text{€}$. Finde das erste Jahr, in dem ihre Rechnung vom Zinseszins abweicht, und erkläre warum.

Hilfe

Im ersten Jahr stimmen beide Rechnungen noch überein. Vergleiche das zweite Jahr.

Feedback

Nach Jahr 1 sind es $1060\text{€}$. Im zweiten Jahr sind $6\mathrm{\%}$ davon $\mathrm{63,60}\text{€}$, nicht $60\text{€}$.

Übung 3: Rückwärts denken

Ein Kapital wächst in einem Jahr von $1500\text{€}$ auf $1545\text{€}$. Bestimme den Zinssatz.

Hilfe

Der Zuwachs beträgt $45\text{€}$. Bestimme, wie viel Prozent $45$ von $1500$ sind.

Feedback

$\frac{45}{1500}=\mathrm{0,03}=3\mathrm{\%}$. Der Wachstumsfaktor ist $\mathrm{1,03}$.

Typische Fehler

Fehler	Prüffrage
Jedes Jahr denselben Euro-Zins addieren	Ist der Grundwert noch derselbe?
$5\mathrm{\%}=\mathrm{0,5}$ setzen	Bedeutet $5\mathrm{\%}$ fünf Hundertstel?
mit $\mathrm{0,05}$ statt $\mathrm{1,05}$ multiplizieren	Soll nur der Zins oder das ganze neue Kapital entstehen?
zu früh grob runden	Wurde erst am Ende eines Jahresschritts auf Cent gerundet?
Tabellenformel falsch kopieren	Bleibt der Wachstumsfaktor in der richtigen Zelle?

Selbstkontrolle

Berechne ohne Lösungshilfe und vergleiche anschließend.

Aufgabe	Ergebnis
$500\text{€}$, $2\mathrm{\%}$, 2 Jahre	$\mathrm{520,20}\text{€}$
$2000\text{€}$, $3\mathrm{\%}$, 3 Jahre	$\mathrm{2185,45}\text{€}$
$750\text{€}$, $8\mathrm{\%}$, 2 Jahre	$\mathrm{874,80}\text{€}$

Selbstcheck: Kannst Du zu jedem Ergebnis die einzelnen Jahresschritte hinschreiben und erklären, warum immer das neue Kapital verwendet wird?

Transfer

Ein Verein legt $2500\text{€}$ für vier Jahre zurück. Angebot A verzinst jährlich mit $3\mathrm{\%}$. Angebot B verspricht jedes Jahr genau $80\text{€}$ Zuwachs.

Erstelle für beide Angebote eine Jahrestabelle. Vergleiche die Endwerte und begründe den Unterschied. Finde anschließend ein Startkapital, bei dem Angebot B nach einem Jahr genau demselben Zuwachs wie $3\mathrm{\%}$ entspricht.

Kompetenzcheck E-Niveau

Du arbeitest auf E-Niveau, wenn Du nicht nur rechnest, sondern auch untersuchst und begründest.

1. Selbstständig untersuchen: Verändere Startkapital oder Zinssatz und beschreibe Auswirkungen.
2. Verallgemeinern: Erkläre mit $q=1+\frac{p}{100}$, warum derselbe Rechenschritt jedes Jahr wiederholt werden kann.
3. Begründen: Erkläre, warum der absolute Zinsbetrag bei positivem Zinssatz wächst.
4. Gegenbeispiel finden: Widerlege die Behauptung „Bei $5\mathrm{\%}$ kommen jedes Jahr gleich viele Euro hinzu“.
5. Mehrschrittig modellieren: Übersetze eine Sachsituation in Startwert, Zinssatz, Jahresschritte, Tabelle und Diagramm.

Reflexion

Beantworte schriftlich:

1. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Rechenweg, Tabelle oder Diagramm?
2. An welcher Stelle kann eine Tabellenkalkulation einen falschen Wert liefern, obwohl die Formel technisch funktioniert?
3. Woran erkennst Du ohne Nachrechnen, dass „jedes Jahr derselbe Eurobetrag“ nicht zum Zinseszins passt?
4. Welche Begründung würdest Du einer Person geben, die nur das Endergebnis nennt?

Folgekurs

Als nächstes passen Prozentuale Veränderung über mehrere Schritte, Wachstum und Abnahme und später die systematische Untersuchung von Exponentialfunktionen. In diesem Kurs bleibt der Schwerpunkt bewusst auf der iterativen Rechnung Jahr für Jahr.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist bei Zinseszins der Grundwert für die Zinsen des zweiten Jahres? (Das Kapital nach dem ersten Jahr) (!Das ursprüngliche Startkapital) (!Nur der Zinsbetrag des ersten Jahres) (!Immer 100 Euro)

Welcher Wachstumsfaktor gehört zu 5 Prozent Zinsen? (1,05) (!0,05) (!1,5) (!5,00)

Wie berechnest Du bei 4 Prozent Zinsen das Kapital des nächsten Jahres? (Altes Kapital mal 1,04) (!Altes Kapital mal 0,04) (!Altes Kapital plus 4 Euro) (!Altes Kapital geteilt durch 1,04)

Warum wächst beim Zinseszins meist auch der Zinsbetrag von Jahr zu Jahr? (Weil der Prozentsatz auf ein wachsendes Kapital angewendet wird) (!Weil der Zinssatz jedes Jahr automatisch steigt) (!Weil jedes Jahr 100 Euro hinzukommen) (!Weil Prozentrechnung nur im ersten Jahr gilt)

Was zeigt eine Jahrestabelle besonders gut? (Die Folge der Kapitalwerte von Jahr zu Jahr) (!Nur den letzten Zinsbetrag) (!Nur den Startwert) (!Nur den Namen der Bank)

Welcher Ausdruck beschreibt den Wachstumsfaktor allgemein? (1 plus p durch 100) (!p mal 100) (!100 minus p) (!p durch 1)

Was ist bei 3 Prozent Zinsen ein sinnvoller Wachstumsfaktor? (1,03) (!0,3) (!3,00) (!1,30)

Warum ist eine Tabellenkalkulation beim iterativen Rechnen nützlich? (Sie kann denselben Jahresschritt wiederholt anwenden) (!Sie beweist automatisch jede mathematische Aussage) (!Sie verhindert jeden Eingabefehler) (!Sie macht den Zinssatz überflüssig)

Was solltest Du bei digital berechneten Kapitalwerten tun? (Größenordnung Formeln und Rundung prüfen) (!Jedes Ergebnis ungeprüft übernehmen) (!Nur das größte Ergebnis behalten) (!Den Rechenweg löschen)

Welche Aussage beschreibt Zinseszins korrekt? (Frühere Zinsen bleiben im Kapital und werden später mitverzinst) (!Der Zinsbetrag ist in jedem Jahr gleich) (!Der Zinssatz wird jedes Jahr verdoppelt) (!Das Startkapital wird nach jedem Jahr zurückgesetzt)

Memory

Startkapital	Kapital zu Beginn
Zinssatz	prozentuale jährliche Veränderung
Wachstumsfaktor	Multiplikator für einen Jahresschritt
Zinseszins	Mitverzinsung früherer Zinsen
Jahrestabelle	geordnete Kapitalwerte
Diagramm	grafische Entwicklung der Werte

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Startkapital	Wert vor dem ersten Jahresschritt
Zinssatz	jährlicher Prozentwert
Wachstumsfaktor	Faktor für die Multiplikation
Folgekapital	Wert nach einem Jahresschritt
Zinseszins	frühere Zinsen werden mitverzinst

Kreuzworträtsel

Zinseszins	Wie heißt die Verzinsung, bei der frühere Zinsen mitverzinst werden?
Kapital	Welches Wort bezeichnet den Geldbetrag auf dem Konto?
Zinssatz	Wie heißt die Prozentangabe für die jährliche Verzinsung?
Wachstumsfaktor	Welcher Multiplikator wird für jeden Jahresschritt verwendet?
Prozent	In welcher Form wird der Zinssatz meist angegeben?
Tabellenkalkulation	Welches digitale Werkzeug eignet sich zum wiederholten Berechnen vieler Jahre?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Zinseszins wird im nächsten Jahr das als Grundwert verwendet. Bei fünf Prozent Zinsen lautet der Wachstumsfaktor . Für einen Jahresschritt wird das alte Kapital mit dem multipliziert. Frühere Zinsen werden beim Zinseszins . Eine Jahrestabelle macht die Entwicklung über mehrere sichtbar. Digitale Ergebnisse müssen auf Formel, Größenordnung und geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Jahrestabelle: Berechne für $600\text{€}$ bei $3\mathrm{\%}$ vier Jahreswerte und stelle sie übersichtlich dar.
2. Diagramm: Zeichne zu Deiner Jahrestabelle ein Liniendiagramm und markiere Start- und Endwert.
3. Wachstumsfaktor: Erstelle vier Karten mit Zinssätzen und den passenden Faktoren.
4. Fehlersuche: Erfinde einen typischen Zinseszinsfehler und schreibe eine kurze Korrektur dazu.

Standard

1. Tabellenkalkulation: Baue eine Tabelle, in der Startkapital und Zinssatz geändert werden können und fünf Folgejahre automatisch neu berechnet werden.
2. Vergleich: Vergleiche $2\mathrm{\%}$ und $5\mathrm{\%}$ bei gleichem Startkapital über sechs Jahre.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, das den Übergang von einem Jahreskapital zum nächsten erklärt. Verwende keine personenbezogenen Daten.
4. Gegenbeispiel: Widerlege mit konkreten Zahlen die Aussage „Bei gleichem Zinssatz ist der Zinsbetrag jedes Jahr gleich“.

Schwer

1. Modellieren: Entwickle eine realistische Sparsituation mit Startkapital, Zinssatz und Laufzeit. Begründe jede Modellannahme.
2. Verallgemeinerung: Erkläre allgemein mit $q=1+\frac{p}{100}$, warum der Faktor jedes Jahr gleich bleibt, obwohl die Euro-Zinsen sich ändern.
3. Digitale Prüfung: Lass eine Tabellenkalkulation oder KI eine Jahrestabelle erzeugen. Prüfe jeden Schritt und dokumentiere mindestens zwei mögliche Fehlerquellen.
4. Untersuchung: Finde zwei verschiedene Kombinationen aus Startkapital und Zinssatz, die nach dem ersten Jahr denselben Zinsbetrag liefern. Untersuche, ob die Kapitalwerte danach gleich bleiben, und begründe.

Lernkontrolle

1. Begründung: Erkläre ohne bloße Ergebnisangabe, warum bei positivem Zinssatz der absolute Zinsbetrag im Laufe der Jahre wachsen kann.
2. Darstellungswechsel: Überführe eine gegebene Jahrestabelle in ein Diagramm und beschreibe, welche Information im Diagramm schneller erkennbar ist.
3. Fehleranalyse: Prüfe eine Rechnung, in der jedes Jahr derselbe Eurobetrag addiert wird. Zeige mit einem Gegenbeispiel, wann die Abweichung entsteht.
4. Modellierung: Übersetze eine Sachsituation in Startkapital, Zinssatz, Wachstumsfaktor und mindestens vier Jahresschritte.
5. Werkzeugkritik: Eine Tabellenkalkulation liefert einen unerwarteten Wert. Entwickle eine Prüfreihenfolge für Eingabe, Zellbezug, Faktor und Rundung.
6. Vergleich: Zwei Konten starten mit unterschiedlichen Kapitalwerten und Zinssätzen. Entwickle eine sinnvolle Methode, sie über mehrere Jahre fair zu vergleichen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. mehrjährige Verzinsung korrekt Jahr für Jahr berechnen kannst.
2. den Wachstumsfaktor aus einem Zinssatz ableiten und erklären kannst.
3. Tabellen und Diagramme passend erstellen und lesen kannst.
4. einen nachvollziehbaren Rechenweg mit Einheiten und Rundung dokumentierst.
5. typische Fehler erkennst und mit einer Begründung korrigierst.
6. digitale Werkzeuge kritisch kontrollierst.
7. eine mehrschrittige Sachsituation selbstständig modellierst und Deine Entscheidung begründest.

OERs zum Thema

Verknüpfte Lernbereiche

Zinseszins Prozentrechnung Zinsrechnung Wachstumsfaktor Tabellenkalkulation Diagramm Mathematisches Modellieren Fehleranalyse