M7 G - Gleichungen aus Sachsituationen aufstellen

M7 G - Gleichungen aus Sachsituationen aufstellen

Mini-Beschreibung: Du übersetzt einfache Sachprobleme in lineare Gleichungen, löst sie und erklärst, was die Lösung in der Situation bedeutet. Du arbeitest mit Alters-, Preis-, Umfangs- und Wegsituationen.

Niveau: Klasse 7, G-Niveau, Baden-Württemberg

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Einleitung

Eine Sachsituation enthält Informationen in Worten. Deine Aufgabe ist, daraus Mathematik zu machen.

Modellierungsweg:

Situation → Frage → Variable → Gleichung → Lösen → Probe → Antwortsatz

Satzstarter:

1. Ich setze $x$ für ...
2. Aus dem Text erkenne ich ...
3. Die Gleichung lautet ...
4. Ich erhalte $x=\mathrm{...}$.
5. Im Sachzusammenhang bedeutet das ...

Lernziele

Du kannst am Ende:

1. eine unbekannte Größe mit $x$ benennen.
2. wichtige Angaben aus einem Sachtext herausfiltern.
3. eine einfache lineare Gleichung aufstellen.
4. die Gleichung schrittweise lösen.
5. die Lösung durch Einsetzen prüfen.
6. die Lösung mit Einheit und Antwortsatz erklären.

Der Modellierungsweg als Bildidee

Eine Gleichung funktioniert wie eine Waage: Beide Seiten haben denselben Wert.

Beispiel:

$x+4=11$

Wenn auf beiden Seiten $4$ weggenommen wird:

$x+4-4=11-4$

$x=7$

Probe:

$7+4=11$ ✓

Antwort: Die gesuchte Zahl ist 7.

Dynamische Gleichungswaage

Verändere die Werte und beobachte, wann die Waage im Gleichgewicht bleibt.

Denkfrage: Warum musst Du bei einer Gleichung auf beiden Seiten dieselbe Rechenoperation durchführen?

Vorwissen-Check

Bearbeite die Aufgaben ohne Taschenrechner.

Setze passende Werte ein.

$8+5=13$

$6\cdot 4=24$

$19-7=12$

$21:3=7$

Selbstkontrolle: Wenn Dir Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit kleinen Zahlen noch unsicher sind, wiederhole zuerst Grundrechenarten.

Variable oder feste Zahl?

Variable: Eine Zahl, die noch unbekannt ist.

Beispiel:

$x$ = Preis eines Heftes

$3x$ = Preis von drei gleich teuren Heften

$x+2$ = Preis eines Heftes plus 2 Euro

Merksatz: Schreibe immer zuerst auf, wofür $x$ steht.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Alterssituation

Situation: Lena ist 4 Jahre älter als Amir. Lena ist 17 Jahre alt. Wie alt ist Amir?

Schritt 1 – Variable

$x$ = Alter von Amir

Schritt 2 – Übersetzen

Amirs Alter plus 4 ergibt 17.

$x+4=17$

Schritt 3 – Lösen

$x+4=17$

$x=13$

Schritt 4 – Probe

$13+4=17$ ✓

Antwort: Amir ist 13 Jahre alt.

Hilfe: Satzstarter Ich setze $x$ für das Alter von ...

Beispiel 2: Preissituation

Situation: Drei gleiche Hefte und ein Stift für 2 Euro kosten zusammen 11 Euro. Wie viel kostet ein Heft?

Variable

$x$ = Preis eines Heftes in Euro

Gleichung

$3x+2=11$

Lösen

$3x=9$

$x=3$

Probe

$3\cdot 3+2=11$ ✓

Antwort: Ein Heft kostet 3 Euro.

Wichtig: Der Wert $x=3$ allein ist noch kein vollständiger Antwortsatz. Die Einheit Euro gehört dazu.

Beispiel 3: Umfangssituation

Ein Rechteck ist 8 cm lang. Seine Breite ist unbekannt. Der Umfang beträgt 26 cm.

Variable

$x$ = Breite in cm

Umfang eines Rechtecks

$U=2\cdot l+2\cdot b$

Einsetzen:

$26=2\cdot 8+2x$

$26=16+2x$

$10=2x$

$x=5$

Probe

$2\cdot 8+2\cdot 5=26$ ✓

Antwort: Das Rechteck ist 5 cm breit.

Dynamische Geometrie:

Verschiebe einen Eckpunkt. Beobachte, wie sich Seitenlängen und Umfang verändern.

Beispiel 4: Wegsituation

Situation: Eine Wanderstrecke ist insgesamt 14 km lang. Nach einer Pause sind noch 5 km übrig. Wie weit wurde vorher gewandert?

Variable

$x$ = bereits gegangener Weg in km

Gleichung

$x+5=14$

Lösung

$x=9$

Probe

$9+5=14$ ✓

Antwort: Vor der Pause wurden 9 km zurückgelegt.

Dynamische Zahlengerade

Nutze die Zahlengerade, um Ergebnisse abzuschätzen und zu prüfen.

Beispiel: Bei $x+5=14$ suchst Du die Zahl, die zusammen mit 5 den Wert 14 ergibt.

Video: Gleichung lösen

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Beobachte besonders:

1. Welche Rechenoperation wird rückgängig gemacht?
2. Was geschieht auf der linken und rechten Seite?
3. Wie wird die Lösung geprüft?

Video: Aus einem Text eine Gleichung machen

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Arbeitsauftrag: Stoppe das Video vor der Lösung und versuche zuerst selbst, eine Variable und eine Gleichung festzulegen.

Der Übersetzungs-Baukasten

Aussage im Text	Mathematische Form
5 mehr als eine Zahl	$x+5$
5 weniger als eine Zahl	$x-5$
das Dreifache einer Zahl	$3x$
die Hälfte einer Zahl	$\frac{x}{2}$
zusammen 20	$\dots =20$

Achtung: Wörter helfen, aber Du musst immer den gesamten Zusammenhang prüfen.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Alter

Mia ist 3 Jahre älter als Noah. Mia ist 15 Jahre alt. Wie alt ist Noah?

Dein Plan:

$x$ = ____________________

Gleichung: ____________________

Lösung: ____________________

Antwortsatz: ____________________

Hilfe 1: Gesucht ist Noahs Alter.

Hilfe 2: Noahs Alter plus 3 ergibt 15.

Hilfe 3: Nutze $x+3=15$.

Feedback: Richtig ist $x=12$. Noah ist 12 Jahre alt. Prüfe mit $12+3=15$.

Übung 2: Preis

Vier gleiche Kinokarten kosten zusammen 28 Euro. Wie viel kostet eine Karte?

$x$ = ____________________

Gleichung: ____________________

Hilfe 1: Vier gleiche Preise werden addiert.

Hilfe 2: Schreibe kürzer mit Multiplikation.

Hilfe 3: $4x=28$

Feedback: $x=7$. Eine Karte kostet 7 Euro.

Übung 3: Umfang

Ein Rechteck ist 7 cm lang und hat den Umfang 22 cm. Bestimme die Breite.

$x$ = ____________________

Gleichung: ____________________

Hilfe 1: Ein Rechteck hat zwei lange und zwei kurze Seiten.

Hilfe 2: $22=2\cdot 7+2x$

Feedback: $22=14+2x$, also $8=2x$ und $x=4$. Die Breite beträgt 4 cm.

Übung 4: Weg

Eine Radtour ist 18 km lang. 7 km liegen noch vor Dir. Wie viele Kilometer bist Du schon gefahren?

Hilfe 1: Bereits gefahren + noch zu fahren = Gesamtweg.

Hilfe 2: $x+7=18$

Feedback: $x=11$. Du bist bereits 11 km gefahren.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Kontrolle

Beispiel:

$2x+3=13$

$2x+3=13$
↓ auf beiden Seiten $-3$
$2x=10$
↓ auf beiden Seiten $:2$
$x=5$
↓ Probe
$2\cdot 5+3=13$ ✓

Merksatz: Gleiche Rechenoperation auf beiden Seiten erhält die Gleichheit.

Typische Fehler

Fehler	Bessere Kontrolle
Variable nicht erklärt	Schreibe: $x$ steht für ...
Zahl aus dem Text falsch zugeordnet	Erzähle die Gleichung wieder in Worten.
Nur gerechnet, keine Gleichung	Formuliere zuerst die Beziehung.
Einheit vergessen	Ergänze Euro, Jahre, cm oder km.
Lösung nicht geprüft	Setze den Wert in die Ausgangsgleichung ein.

Fehler-Beispiel:

Text: „Tom ist 4 Jahre älter als Lea. Tom ist 16.“

Falsch:

$x-4=16$

Besser:

Wenn $x$ Leas Alter ist, gilt:

$x+4=16$

Selbstkontrolle

Prüfe jede Sachaufgabe mit dieser Kurzliste:

1. Habe ich die Frage verstanden?
2. Habe ich $x$ erklärt?
3. Passt die Gleichung wirklich zum Text?
4. Habe ich übersichtlich gerechnet?
5. Stimmt die Probe?
6. Hat mein Antwortsatz eine passende Einheit?

Ampel: 🟢 Ich kann es allein. 🟡 Ich brauche noch einen Hinweis. 🔴 Ich brauche ein weiteres Beispiel.

Digital arbeiten und Ergebnisse prüfen

Digitale Werkzeuge helfen beim Prüfen, aber nicht beim Denken für Dich.

1. Gib keine personenbezogenen Daten ein.
2. Prüfe, ob das digitale Ergebnis zur Sachsituation passt.
3. Vergleiche das Ergebnis mit einer Überschlagsrechnung oder Probe.
4. Prüfe KI-Ausgaben auf Rechenfehler und falsche Deutungen.
5. KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis und keine nachvollziehbare Begründung.

Prüffrage: Wenn ein Programm für das Alter eines Kindes $x=-6$ ausgibt, kann die Rechnung formal stimmen und die Lösung trotzdem nicht zur Sachsituation passen.

Transfer

Vom Ergebnis zurück zum Text

Gegeben ist:

$3x+2=20$

Erfinde eine passende Preissituation.

Satzstarter:

„Drei gleiche ... und zusätzlich ... kosten zusammen ...“

Eine mögliche Situation:

Drei gleiche Trinkflaschen und eine Tragetasche für 2 Euro kosten zusammen 20 Euro.

Frage: Wie viel kostet eine Trinkflasche?

Mehrere Darstellungen verbinden

Ordne gedanklich:

Text: „Zwei gleiche Eintrittskarten und 4 Euro Gebühr kosten 18 Euro.“

Variable:

$x$ = Preis einer Eintrittskarte

Gleichung:

$2x+4=18$

Lösung:

$x=7$

Antwortsatz: Eine Eintrittskarte kostet 7 Euro.

Kompetenzcheck

Kreuze für Dich an:

Ich kann ...	sicher	teilweise	noch nicht
die gesuchte Größe erkennen	□	□	□
eine Variable festlegen	□	□	□
einen Text in eine Gleichung übersetzen	□	□	□
eine einfache Gleichung lösen	□	□	□
eine Probe durchführen	□	□	□
die Lösung im Kontext deuten	□	□	□

Mini-Aufgabe:

Ein Rechteck hat den Umfang 30 cm. Eine Seite ist 9 cm lang. Bestimme die andere Seitenlänge.

$30=2\cdot 9+2x$

Rechne selbst weiter und prüfe mit der Umfangsformel.

Reflexion

Beantworte drei Fragen:

1. Welcher Schritt des Modellierungswegs fällt Dir leicht?
2. Wo verwechselst Du noch Text und Gleichung?
3. Welche Kontrolle hilft Dir am meisten: Skizze, Probe, Überschlag oder Waagemodell?

Satzstarter: „Beim nächsten Sachproblem werde ich zuerst ...“

Folgekurs

Wenn Du diesen aiMOOC sicher beherrschst, kannst Du weiterarbeiten mit:

M7 G - Lineare Gleichungen lösen

Dort steht das systematische Lösen von Gleichungen stärker im Mittelpunkt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wofür sollte die Variable x in einer Sachaufgabe stehen? (Für die gesuchte unbekannte Größe) (!Für irgendeine Zahl ohne Bedeutung) (!Immer für den Gesamtpreis) (!Immer für eine Länge)

Welche Gleichung passt zu: Eine Zahl plus 5 ergibt 17? (x + 5 = 17) (!x - 5 = 17) (!5x = 17) (!x : 5 = 17)

Lena ist 4 Jahre älter als Amir. Amir ist x Jahre alt. Welcher Term beschreibt Lenas Alter? (x + 4) (!x - 4) (!4x) (!x : 4)

Drei gleiche Hefte kosten zusammen 12 Euro. Welche Gleichung passt? (3x = 12) (!x + 3 = 12) (!x - 3 = 12) (!x : 3 = 12)

Welche Lösung hat x + 6 = 14? (x = 8) (!x = 20) (!x = 6) (!x = 7)

Welche Probe passt zur Lösung x = 5 bei 2x + 3 = 13? (2 mal 5 plus 3 ergibt 13) (!2 plus 5 mal 3 ergibt 13) (!5 plus 3 ergibt 13) (!2 mal 13 plus 3 ergibt 5)

Ein Weg ist insgesamt 16 km lang. 6 km fehlen noch. Welche Gleichung passt? (x + 6 = 16) (!x - 6 = 16) (!6x = 16) (!x + 16 = 6)

Ein Rechteck ist 6 cm lang und x cm breit. Welcher Term beschreibt den Umfang? (2 mal 6 plus 2x) (!6 plus x) (!6x) (!2 mal 6x)

Was gehört zu einem vollständigen Antwortsatz bei einer Preisaufgabe? (Die Lösung mit passender Einheit und Bedeutung) (!Nur der Buchstabe x) (!Nur die letzte Rechenzeile) (!Nur die Einheit Euro)

Was solltest Du tun, wenn ein digitales Werkzeug eine Lösung ausgibt? (Die Lösung durch Probe und Kontext prüfen) (!Die Lösung immer sofort übernehmen) (!Die Ausgangsgleichung löschen) (!Die Einheit weglassen)

Memory

Variable	gesuchte Größe
Gleichung	zwei gleichwertige Seiten
Probe	Lösung einsetzen
Antwortsatz	Ergebnis im Kontext
Umfang	Randlänge einer Figur
Modellieren	Sachtext in Mathematik übersetzen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Modellierungsweg
Frage	Gesuchte Größe klären
Variable	Unbekannte benennen
Gleichung	Beziehungen übersetzen
Lösen	Unbekannte bestimmen
Probe	Ergebnis prüfen

Kreuzworträtsel

Variable	Wie heißt ein Platzhalter für eine unbekannte Zahl?
Gleichung	Wie heißt eine mathematische Aussage mit Gleichheitszeichen?
Umfang	Wie nennt man die gesamte Randlänge einer Figur?
Probe	Wie heißt das Einsetzen der Lösung zur Kontrolle?
Modellieren	Wie heißt das Übersetzen einer Sachsituation in Mathematik?
Antwortsatz	Wie heißt der Satz, der die Lösung im Sachzusammenhang erklärt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Sachaufgabe wird zuerst die geklärt.

Für eine unbekannte Zahl kann die $x$ verwendet werden.

Aus den Beziehungen im Text entsteht eine .

Beim Lösen wird die Variable Schritt für Schritt .

Durch Einsetzen der Lösung entsteht die .

Am Ende erklärt ein die Bedeutung des Ergebnisses.

Zu Größen gehört eine passende .

Digitale Ergebnisse müssen im geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Altersrätsel: Erfinde ein Altersrätsel mit genau einer unbekannten Person. Schreibe Variable, Gleichung, Lösung, Probe und Antwortsatz auf.
2. Preisschild-Aufgabe: Zeichne drei gleichartige Gegenstände und ein Zusatzprodukt. Lege passende Preise fest und formuliere eine Gleichung.
3. Modellierungsweg: Gestalte ein Lernplakat mit den Stationen Situation, Frage, Variable, Gleichung, Lösen, Probe und Antwortsatz.
4. Fehlerdetektiv: Erfinde eine falsche Gleichung zu einer einfachen Sachsituation und erkläre, wie man den Fehler erkennt.

Standard

1. Umfangsproblem: Zeichne ein Rechteck mit einer unbekannten Seitenlänge. Lege einen sinnvollen Umfang fest und löse die entstehende Gleichung.
2. Weggeschichte: Erfinde eine Fahrrad- oder Wandersituation mit Gesamtweg, bekanntem Teilweg und unbekanntem Teilweg. Stelle eine Gleichung auf.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du eine Sachsituation in eine Gleichung übersetzt. Verwende keine personenbezogenen Daten.
4. Darstellungswechsel: Stelle dieselbe Aufgabe als Text, Skizze, Gleichung und Antwortsatz dar. Vergleiche die vier Darstellungen.

Schwer

1. Aufgabenwerkstatt: Erstelle vier zusammengehörige Sachaufgaben zu Alter, Preis, Umfang und Weg. Jede Aufgabe soll eine andere Gleichungsform besitzen.
2. Plausibilitätscheck: Erfinde eine Aufgabe, bei der eine rechnerisch mögliche Lösung im Alltag nicht sinnvoll wäre. Begründe, warum der Kontext wichtig ist.
3. Digitale Prüfung: Löse eine selbst erstellte Aufgabe zuerst von Hand und danach mit einem digitalen Werkzeug. Vergleiche die Ergebnisse und dokumentiere die Kontrolle.
4. KI-Prüfung Mathematik: Lass eine KI eine einfache Sachsituation in eine Gleichung übersetzen. Prüfe jeden Schritt selbst und verbessere mögliche Fehler. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Modellierungsentscheidung: Zwei Lernende wählen zu derselben Sachsituation unterschiedliche Variablen. Zeige, wie beide Wege zu einer passenden Gleichung führen können.
2. Fehleranalyse Gleichung: Untersuche eine falsch aufgestellte Gleichung und erkläre genau, welche Textaussage falsch übersetzt wurde.
3. Kontextprüfung: Eine Rechnung liefert $x=-3$. Entscheide anhand einer selbst gewählten Alters-, Preis-, Umfangs- oder Wegsituation, ob dieses Ergebnis sinnvoll sein kann.
4. Darstellungen vergleichen: Erkläre, wie eine Skizze oder ein Waagemodell beim Aufstellen oder Prüfen einer Gleichung helfen kann.
5. Rückwärts modellieren: Erfinde zu $4x+2=26$ zwei verschiedene Sachsituationen und erkläre, wofür $x$ jeweils steht.
6. Transfer Umfang und Preis: Vergleiche eine Umfangsaufgabe und eine Preisaufgabe, die zur gleichen Gleichung führen. Erkläre, was mathematisch gleich und im Kontext verschieden ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Du erkennst die gesuchte Größe.
2. Du erklärst die Bedeutung der Variablen.
3. Du übersetzt eine einfache Sachsituation in eine lineare Gleichung.
4. Du stellst Deinen Rechenweg nachvollziehbar dar.
5. Du prüfst die Lösung durch Einsetzen.
6. Du deutest die Lösung mit passender Einheit im Kontext.
7. Du erkennst unplausible digitale Ergebnisse.
8. Du begründest Deine Modellierungsentscheidung in einfachen Sätzen.

OERs zum Thema

Interaktive freie Lernmedien:

Verknüpfte Lernbereiche

Gleichungen aus Sachsituationen Variable Term Lineare Gleichung Äquivalenzumformung Sachaufgabe Mathematisches Modellieren Umfang Größen und Einheiten