M7 E - Finanzmodelle mit Tabellenkalkulation untersuchen

Mini-Beschreibung: Du untersuchst ausschließlich fiktive Spar-, Zins- und Tilgungsmodelle mit einer Tabellenkalkulation. Du veränderst Zinssatz, Sparrate oder Laufzeit, vergleichst Szenarien und prüfst automatisch berechnete Ergebnisse mathematisch.

Niveau: Klasse 7, Mathematik, Baden-Württemberg, E-Niveau.

Einleitung

Eine Tabellenkalkulation kann viele Rechenschritte automatisch wiederholen. Das ist nützlich, aber nicht automatisch richtig. Deshalb arbeitest Du immer in drei Schritten:

Modell festlegen: Welche Größen verändern sich?
Berechnen lassen: Formeln in Zellen eintragen und kopieren.
Prüfen und begründen: Einzelwerte nachrechnen, Diagramme deuten und Ergebnisse kritisch kontrollieren.

Datenschutz: Verwende nur fiktive Beträge, erfundene Szenarien und keine personenbezogenen Daten.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du ...

Tabellenkalkulation: Zellbezüge und Formeln für wiederholte Berechnungen nutzen.
Zinsrechnung: Zinsen mit $Z = K \cdot \frac{p}{100}$ berechnen.
Zinseszins: mehrjährige Entwicklungen schrittweise modellieren.
Sparplan: den Einfluss von Zinssatz, Sparrate und Laufzeit untersuchen.
Tilgung: Restschulden mit Zins und Rückzahlung modellieren.
Diagramm: Szenarien grafisch vergleichen und Veränderungen begründen.
Modellieren: Annahmen nennen, Gegenbeispiele finden und mehrschrittig argumentieren.
Digitale Kompetenz: Tabellen- und KI-Ergebnisse mathematisch prüfen.

Vorwissen-Check

Prüfe Dich	Ergebnis
$3 % = \frac{3}{100}$	0,03
$500 \cdot 0,03$	15
$500 + 15$	515
Prozentfaktor bei $3 %$	$1 + 0,03 = 1,03$
Zellbezug, der beim Kopieren fest bleiben soll	absoluter Zellbezug

Selbstcheck: Wenn Du zwei oder mehr Zeilen unsicher findest, wiederhole zuerst Prozentrechnung und einfache Zellformeln.

Werkzeug: Tabellenkalkulation

Eine Tabellenkalkulation speichert Werte in Zellen. Eine Formel beginnt meist mit =. Für ein Finanzmodell sind feste Eingabezellen hilfreich.

Zelle	Bedeutung	Beispiel
B1	Zinssatz	3 %
B2	Sparrate pro Jahr	120 €
B3	Anfangskapital	500 €

Wenn der Zinssatz beim Kopieren gleich bleiben soll, verwende einen absoluten Zellbezug: $B$1.

Modell 1: Fiktiver Sparplan

Annahme: Die Sparrate wird jeweils am Ende eines Jahres eingezahlt. Der Zinssatz bleibt im ersten Modell konstant.

$Z_{n} = K_{n} \cdot \frac{p}{100}$

$K_{n + 1} = K_{n} + Z_{n} + R$

also

$K_{n + 1} = K_{n} (1 + \frac{p}{100}) + R$

mit: $K_{n}$ = Kapital zu Jahresbeginn, $p$ = Zinssatz in Prozent, $R$ = Sparrate.

Visueller Rechenweg

Fiktive Eingaben: $K_{0} = 500$ €, $p = 3 %$ , $R = 120$ €.

Schritt	Rechnung	Ergebnis
Zins Jahr 1	$500 \cdot 0,03$	$15$ €
Kapital Jahr 1	$500 + 15 + 120$	$635$ €
Zins Jahr 2	$635 \cdot 0,03$	$19,05$ €
Kapital Jahr 2	$635 + 19,05 + 120$	$774,05$ €
Zins Jahr 3	$774,05 \cdot 0,03$	$23,2215$ €
Kapital Jahr 3	$774,05 + 23,2215 + 120$	$917,2715$ €

Wichtig: Runde für die Anzeige auf Cent, aber lasse die Tabellenkalkulation intern möglichst mit voller Genauigkeit weiterrechnen.

Tabellenmodell bauen

Spalte	Inhalt	Formel
A	Jahr	1, 2, 3, ...
B	Startkapital	erstes Jahr: `=$B$3`
C	Zins	`=B7*$B$1`
D	Endkapital	`=B7+C7+$B$2`

Für die nächste Zeile gilt: =D7 wird zum neuen Startkapital. Danach kopierst Du die Formeln nach unten.

Prüfzelle: =D7-B7-C7-$B$2

Bei einem korrekt aufgebauten Modell muss das Ergebnis 0 sein.

Dynamischer Zinssatz-Regler

Setze in B1 nacheinander 1 %, 3 %, 5 % und 7 %. Das Tabellenmodell reagiert sofort. Dadurch wird B1 zu einem digitalen Regler.

Denkfrage: Warum darfst Du nur dann sicher sagen „ein höherer Zinssatz führt zu mehr Endkapital“, wenn alle anderen Modellgrößen gleich bleiben?

Szenarien vergleichen

Für alle Szenarien gilt zunächst $K_{0} = 500$ €.

Szenario	$p$	$R$	Ergebnis
A	3 %	120 €	1.216,73 € nach 5 Jahren
B	5 %	120 €	1.301,22 € nach 5 Jahren
C	3 %	180 €	1.535,28 € nach 5 Jahren
D	3 %	120 €	1.700,47 € nach 8 Jahren

E-Niveau: Vergleiche immer kontrolliert. Ändere zunächst nur eine Größe. Erst danach untersuchst Du Kombinationen.

Gegenbeispiel-Idee: Ein höherer Zinssatz garantiert nicht in jedem beliebigen Vergleich das höhere Endkapital, wenn gleichzeitig Sparrate oder Laufzeit verändert werden.

Diagramme lesen und erzeugen

Erzeuge ein Liniendiagramm mit:

x-Achse: Jahr
y-Achse: Kapital oder Restschuld
je einer Linie pro Szenario

Diagramm-Animation im eigenen Modell: Ändere nur B1 oder B2. Wenn das Diagramm mit den Zellen verknüpft ist, verändert es sich automatisch. Beobachte nicht nur den Endwert, sondern auch die Form der Kurve.

Modell 2: Fiktive Tilgung

Fiktive Daten: Anfangsschuld 1.200 €, Zinssatz 5 %, geplante Jahresrate 400 €.

$Z_{n} = S_{n} \cdot \frac{p}{100}$

$S_{n + 1} = S_{n} + Z_{n} - R$

Dabei ist $S_{n}$ die Restschuld.

Jahr	Start	Zins	Rest
1	1.200,00 €	60,00 €	860,00 €
2	860,00 €	43,00 €	503,00 €
3	503,00 €	25,15 €	128,15 €
4	128,15 €	6,41 €	0,00 €

Im letzten Jahr ist die tatsächliche Schlussrate nur

$128,15 + 6,4075 = 134,5575$ €,

also gerundet 134,56 €.

Modellregel: Eine Tabellenkalkulation darf nicht einfach eine zu große Rate abziehen und eine negative Restschuld erzeugen. Die Schlussrate muss angepasst werden.

Tilgung vergleichen

Zinssatz	Rate	Dauer	Zinsen gesamt
5 %	400 €	4 Jahre	134,56 €
7 %	400 €	4 Jahre	196,98 €
5 %	450 €	3 Jahre	120,53 €

Untersuchung: Begründe, warum eine höhere Rate hier die Laufzeit verkürzt und zugleich die gesamte Zinsbelastung verringert.

Interaktive Beispiele

Beispiel A: Eine Zelle ändern

Ändere im Sparmodell nur den Zinssatz von 3 % auf 4 %. Formuliere vor dem Rechnen eine Vermutung.

Hilfe 1: Nutze $K_{n + 1} = K_{n} (1 + \frac{p}{100}) + R$ .

Hilfe 2: Prüfe mindestens das erste Jahr von Hand.

Feedback: Wenn Dein Tabellenwert und Deine Handrechnung im ersten Jahr übereinstimmen, ist das ein wichtiger Plausibilitätscheck, aber noch kein Beweis dafür, dass alle folgenden Zellbezüge korrekt sind.

Beispiel B: Fehler finden

Eine KI behauptet für 3 % Zinsen: „Man addiert jedes Jahr 3 €.“

Prüfe die Aussage.

Feedback: Die Aussage ist falsch. 3 % bedeutet $\frac{3}{100}$ des jeweils zugrunde gelegten Kapitals. Bei 500 € sind das 15 €, bei 635 € bereits 19,05 €.

Merksatz: KI-Ausgaben können Ideen liefern, ersetzen aber keine mathematische Prüfung und keinen Beweis.

Übungen mit Hilfestufen

Übung 1: Sparrate verändern

Untersuche im Modell $K_{0} = 500$ €, $p = 3 %$ die Sparraten 80 €, 120 € und 200 € über 6 Jahre.

Hilfe 1: Lass Zinssatz und Laufzeit gleich.

Hilfe 2: Lege jede Sparrate in einer eigenen Szenario-Spalte an.

Feedback: Begründe die Unterschiede nicht nur mit den Endwerten, sondern mit dem Aufbau der Rekursion.

Übung 2: Laufzeit finden

Finde näherungsweise, nach wie vielen Jahren ein fiktives Sparmodell mit $K_{0} = 300$ €, $p = 4 %$ und $R = 150$ € erstmals mindestens 1.500 € erreicht.

Hilfe 1: Kopiere die Formel zeilenweise nach unten.

Hilfe 2: Suche die erste Zeile mit Endkapital $\geq 1500$ .

Übung 3: Tilgungsrate untersuchen

Verwende eine fiktive Anfangsschuld von 1.500 € bei 4 %. Untersuche Jahresraten von 300 €, 400 € und 500 €.

Hilfe 1: Prüfe die Schlussrate gesondert.

Feedback: Eine negative Restschuld ist kein sinnvolles Modell-Ergebnis. Passe die letzte Zahlung an.

Übung 4: Gegenbeispiel konstruieren

Finde zwei Sparszenarien, bei denen Szenario X den höheren Zinssatz, aber nach 5 Jahren trotzdem das kleinere Endkapital besitzt.

Hilfe: Verändere zusätzlich die Sparrate oder das Anfangskapital.

Feedback: Damit zeigst Du, warum Aussagen über den Einfluss einer Größe nur bei kontrollierten Vergleichen gelten.

Typische Fehler

Fehler	Prüffrage
3 % als 3 verwenden	Ist $3 % = 0,03$ ?
Zellbezug verschiebt sich	Muss `$B$1` fest bleiben?
Sparrate vor statt nach Zins einfügen	Passt die Formel zur Modellannahme?
Jede Zeile manuell runden	Rechnet die Tabelle intern genauer weiter?
Negative Restschuld	Wurde die Schlussrate angepasst?
Diagramm ungeprüft übernehmen	Stimmen einzelne Punkte mit Handrechnungen?

Selbstkontrolle

Zinscheck: Berechne einen beliebigen Jahreszins von Hand.
Differenzcheck: Im Sparmodell muss $K_{n + 1} - K_{n} - R = Z_{n}$ gelten.
Prozentcheck: Für $K_{n} \neq 0$ muss $\frac{Z_{n}}{K_{n}} \cdot 100 = p$ gelten.
Szenariocheck: Vergleiche zuerst nur eine veränderte Größe.
Diagrammcheck: Suche mindestens einen Datenpunkt im Diagramm und gleiche ihn mit der Tabelle ab.

Transfer

Modellierungsauftrag: Ein fiktives Zielkapital von 2.000 € soll erreicht werden. Wähle selbst ein Anfangskapital zwischen 200 € und 800 €, einen Zinssatz zwischen 1 % und 6 % und eine jährliche Sparrate zwischen 80 € und 250 €.

Erstelle mindestens drei Szenarien.
Bestimme jeweils die Laufzeit näherungsweise.
Erkläre, welche Variable den größten Unterschied verursacht.
Finde ein Gegenbeispiel zu einer zu einfachen Regel.
Prüfe mindestens zwei automatisch berechnete Werte von Hand.

Kompetenzcheck

Ich kann ...	Nachweis
ein Sparmodell als Rekursion angeben	Formel und Zellbezüge stimmen
Parameter kontrolliert verändern	Szenarien unterscheiden sich gezielt
Ergebnisse mathematisch prüfen	Handrechnung passt zu Tabellenwert
ein Diagramm begründet deuten	Aussage bezieht sich auf Daten
ein Gegenbeispiel konstruieren	Regel wird sinnvoll eingeschränkt
digitale Ergebnisse kritisch bewerten	Fehlerquelle wird nachvollziehbar erklärt

Reflexion

Welche Zellformel war für Dein Modell zentral?
Wo hätte ein falscher Zellbezug unbemerkt viele Fehler erzeugt?
Welche Aussage konntest Du erst durch einen Szenarienvergleich begründen?
Welche Rechnung hast Du bewusst ohne Tabellenkalkulation geprüft?
Welche Grenze hat Dein Modell?

Medien und Quellenkompetenz

Wikimedia-Commons-Dateien werden über ihre Dateiseite eingebunden; dort findest Du Urheber und Lizenz. YouTube-Videos werden eingebettet und nicht kopiert. Für eigene Arbeiten verwendest Du nur Inhalte, deren Nutzungsrechte Du geprüft hast.

Curriculare Einordnung

Der baden-württembergische Bildungsplan für Mathematik in der Sekundarstufe I nennt das Berechnen von Zins und iterativem Zinseszins sowie den Einsatz einer Tabellenkalkulation, um Zinssatz, Tilgung beziehungsweise Sparrate und Laufzeit näherungsweise zu bestimmen.

Bildungsplan Baden-Württemberg – Mathematik Sekundarstufe I

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Wie wird ein Zinssatz von 3 % als Dezimalzahl geschrieben? (0,03) (!0,3) (!3) (!30)

Welche Formel berechnet 3 % Zinsen auf 500 €? (500 mal 0,03) (!500 plus 0,03) (!500 mal 3) (!500 geteilt durch 0,03)

Welcher Zellbezug bleibt beim Kopieren unverändert? ($B$1) (!B1) (!B$1 ohne festgelegte Spalte) (!$B1 ohne festgelegte Zeile)

Wie hoch sind 3 % Zinsen auf 500 €? (15 €) (!3 €) (!150 €) (!1,50 €)

Welche Rekursion passt zu einer Sparrate am Jahresende? (Kapital neu gleich Kapital alt mal Zinsfaktor plus Sparrate) (!Kapital neu gleich Sparrate mal Zinssatz) (!Kapital neu gleich Kapital alt minus Sparrate) (!Kapital neu gleich Zinssatz plus Laufzeit)

Was sollte bei einem kontrollierten Szenarienvergleich zuerst verändert werden? (Nur eine Einflussgröße) (!Alle Einflussgrößen gleichzeitig) (!Nur die Diagrammfarbe) (!Keine Eingabezelle)

Welche Gleichung beschreibt eine einfache Tilgungszeile? (Restschuld neu gleich Restschuld alt plus Zins minus Rate) (!Restschuld neu gleich Restschuld alt plus Rate) (!Restschuld neu gleich Zins minus Anfangskapital) (!Restschuld neu gleich Laufzeit mal Zinssatz)

Was ist bei der letzten Tilgungsrate wichtig? (Sie wird an die verbleibende Schuld angepasst) (!Sie muss immer größer als die Restschuld sein) (!Sie darf eine negative Restschuld erzeugen) (!Sie wird unabhängig vom Zins gewählt)

Wie prüfst Du ein automatisch berechnetes Ergebnis sinnvoll? (Einen Wert unabhängig von Hand nachrechnen) (!Nur die Schriftfarbe kontrollieren) (!Das Ergebnis ungeprüft übernehmen) (!Nur die Dateigröße ansehen)

Welche Aussage über KI-Ausgaben ist mathematisch sinnvoll? (Sie müssen geprüft und begründet werden) (!Sie gelten automatisch als Beweis) (!Sie ersetzen jede Rechnung) (!Sie sind immer fehlerfrei)

Memory

Zinssatz	Prozentualer Anteil pro Zeitraum
Sparrate	Regelmäßige Einzahlung
Laufzeit	Anzahl der betrachteten Zeitabschnitte
Tilgung	Rückzahlung einer Schuld
Zellbezug	Verweis auf eine Tabellenzelle
Diagramm	Grafische Darstellung der Modellwerte

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zinssatz	beeinflusst die Höhe des Zinses
Sparrate	wird regelmäßig zum Kapital ergänzt
Laufzeit	bestimmt die Anzahl der Rechenschritte
Tilgungsrate	verringert die Schuld
Absoluter Zellbezug	bleibt beim Kopieren fest

Kreuzworträtsel

Zinssatz	Welche Größe gibt den prozentualen Zins pro Zeitraum an?
Sparrate	Wie heißt eine regelmäßige Einzahlung im Sparmodell?
Laufzeit	Wie heißt die Dauer eines Finanzmodells?
Tilgung	Wie heißt die Rückzahlung einer Schuld?
Zellbezug	Wie heißt der Verweis auf eine Tabellenzelle?
Diagramm	Wie heißt eine grafische Darstellung von Daten?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Zinsmodell: Erstelle ein fiktives Ein-Jahres-Modell mit 400 € und 2 % Zins und prüfe den Tabellenwert von Hand.
Zellbezug: Baue drei Zeilen eines Sparplans und markiere, welche Zellbezüge relativ und welche absolut sein müssen.
Diagramm: Erzeuge aus fünf fiktiven Jahreswerten ein Liniendiagramm und beschreibe zwei sichtbare Veränderungen.
Fehlersuche: Erfinde eine falsche Tabellenformel und erkläre, wie Du den Fehler erkennst.

Standard

Sparplan: Vergleiche drei fiktive Sparraten bei gleichem Anfangskapital, Zinssatz und gleicher Laufzeit.
Tilgungsplan: Modellieren eine fiktive Schuld mit drei unterschiedlichen Rückzahlungsraten und passe die Schlussrate korrekt an.
Plausibilitätsprüfung: Prüfe drei automatisch berechnete Tabellenwerte unabhängig mit $Z = K \cdot \frac{p}{100}$ .
Modellannahme: Vergleiche Einzahlung am Jahresanfang mit Einzahlung am Jahresende und erkläre den Unterschied.

Schwer

Gegenbeispiel: Konstruiere zwei Szenarien, in denen der höhere Zinssatz nicht zum höheren Endkapital führt, und begründe warum.
Parameterstudie: Finde mehrere Kombinationen aus Sparrate, Zinssatz und Laufzeit, die ein fiktives Zielkapital ungefähr erreichen.
Fehleranalyse: Lass Dir von einer KI eine Formelidee für einen Sparplan geben, prüfe sie mathematisch und dokumentiere mindestens einen möglichen Fehler.
Modellkritik: Entwickle ein eigenes mehrschrittiges Finanzmodell, benenne seine Annahmen und erkläre mindestens zwei Grenzen des Modells.

Lernkontrolle

Szenarienvergleich: Zwei Tabellen zeigen unterschiedliche Endkapitalien. Entscheide, welche Parameterunterschiede den Vergleich fair oder unfair machen, und begründe.
Modellprüfung: In einer Sparplanzeile stimmt die Prüfzelle nicht mit 0 überein. Finde mindestens zwei mögliche Ursachen und beschreibe eine systematische Fehlersuche.
Transfer Tilgung: Erkläre, warum eine höhere Tilgungsrate bei gleichem Zinssatz die gesamte Zinsbelastung verringern kann.
Gegenbeispiel Finanzmodell: Widerlege die Aussage „Ein höherer Zinssatz führt immer zum höheren Endkapital“ durch ein selbst konstruiertes fiktives Beispiel.
Diagrammdeutung: Ein Diagramm zeigt zwei sich kreuzende Kapitalverläufe. Formuliere eine mögliche Modellursache und gib an, welche Tabellendaten Du zur Prüfung brauchst.
Digitale Prüfung: Entwirf eine Prüfkette aus mindestens drei Schritten, mit der Du eine Tabellen- oder KI-Ausgabe mathematisch absicherst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

Du erstellst ein funktionierendes fiktives Spar- oder Tilgungsmodell.
Du verwendest nachvollziehbare Zellbezüge und Formeln.
Du vergleichst mindestens drei Szenarien.
Du prüfst automatisch berechnete Werte unabhängig.
Du stellst Ergebnisse in einem passenden Diagramm dar.
Du begründest den Einfluss von Zinssatz, Sparrate oder Laufzeit.
Du formulierst mindestens ein Gegenbeispiel oder eine Modellgrenze.
Du dokumentierst, dass keine personenbezogenen Daten verwendet wurden.
Du erklärst, warum ein digitales oder KI-erzeugtes Ergebnis kein mathematischer Beweis ist.

OERs zum Thema

Wikimedia Commons: Compound interest

GeoGebra: Zinseszinsrechner

Verknüpfte Lernbereiche

Finanzmodelle

Folgekurs

M8 E - Wachstumsmodelle und Funktionen digital untersuchen: Vertiefe rekursive Modelle, funktionale Zusammenhänge, Diagramme und begründete Prognosen mit digitalen Werkzeugen.

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