M7 G - Rationale Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen

M7 G - Rationale Zahlen auf der Zahlengeraden darstellen

Kurzbeschreibung: Ordne positive und negative ganze Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen auf einer gemeinsamen Zahlengeraden ein.

Zielgruppe: Klasse 7, Mathematik, Baden-Württemberg, G-Niveau.

Du lernst: Zahlen finden, vergleichen, ordnen, zoomen und deine Entscheidung begründen.

Quelle: Wikimedia Commons, Hakunamenta, CC0.

Einleitung

Morgens zeigt ein Thermometer $-\mathrm{2,}{5}^{\circ }\mathrm{C}$. Später sind es $\mathrm{1,7}{5}^{\circ }\mathrm{C}$. Ein Messpunkt liegt außerdem bei $-\frac{1}{2}$. Auf einer Zahlengeraden kannst Du alles gemeinsam ordnen:

$-\mathrm{2,5}<-\frac{1}{2}<0<\mathrm{1,75}$

Merksatz: Auf der Zahlengeraden gilt: Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.

Quelle: Wikimedia Commons, Phlsph7, CC0.

Lernziele

1. Rationale Zahlen: Du trägst ganze Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen an der passenden Stelle ein.
2. Vergleichen: Du entscheidest mit $<$, $>$ oder $=$.
3. Bruch und Dezimalzahl: Du wechselst bei einfachen Zahlen zwischen beiden Darstellungen.
4. Zoom: Du wählst eine passende Einteilung und vergrößerst schwierige Abschnitte.
5. Begründen: Du erklärst Deine Entscheidung mit Lage, Abstand und Bezugswert $0$.

Vorwissen-Check

A. Ganze Zahlen Ordne von klein nach groß: $3,-2,0,-5$.

Lösung anzeigen $-5<-2<0<3$

B. Bruch und Dezimalzahl Ergänze: $\frac{1}{2}=$ ...

Lösung anzeigen $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$

C. Orientierung Welche Zahl liegt weiter rechts: $-4$ oder $-1$?

Lösung anzeigen $-1$, denn $-4<-1$.

Die Zahlengerade verstehen

Quelle: Wikimedia Commons, Phlsph7, CC BY 4.0.

Eine Zahlengerade hat einen Nullpunkt, eine gleichmäßige Einteilung und eine Richtung. Links von $0$ liegen negative Zahlen, rechts davon positive Zahlen.

$\dots <-3<-2<-1<0<1<2<3<\dots$

Satzstarter für Begründungen:

1. „Die Zahl ... liegt weiter links, weil ...“
2. „Ich wandle zuerst ... in ... um.“
3. „Zwischen ... und ... teile ich den Abschnitt in ... gleiche Teile.“

Dynamische Zahlengerade: Verschieben und Zoomen

Ziehe die Punkte. Verändere die Ansicht. Prüfe danach immer mit einer Überschlagsidee: Passt die Lage zum Vorzeichen und zur Größe?

Mini-Auftrag: Platziere nacheinander $-2$, $-\frac{1}{2}$, $\mathrm{0,75}$ und $\mathrm{1,5}$. Zoome so weit hinein, dass $-\frac{1}{2}$ gut erkennbar ist.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Methode

Beispiel: Ordne $-\mathrm{2,5}$, $-\frac{1}{2}$, $0$ und $\mathrm{1,75}$.

1. Darstellungen angleichen: $-\frac{1}{2}=-\mathrm{0,5}$.
2. Grobe Lage prüfen: $-\mathrm{2,5}$ und $-\mathrm{0,5}$ liegen links von $0$; $\mathrm{1,75}$ liegt rechts.
3. Negative Zahlen vergleichen: $-\mathrm{2,5}<-\mathrm{0,5}$, denn $-\mathrm{2,5}$ liegt weiter links.
4. Ordnung notieren: $-\mathrm{2,5}<-\frac{1}{2}<0<\mathrm{1,75}$.

$-3-\mathrm{2,5}-2-1-\mathrm{0,5}01\mathrm{1,75}2$

Zoom: Erst grob, dann genau

Für $-\mathrm{0,6}$, $-\frac{1}{2}$ und $-\mathrm{0,45}$ reicht eine grobe Einteilung oft nicht.

Zoom 1:

$-1-\mathrm{0,5}0$

Zoom 2:

$-\mathrm{0,60}-\mathrm{0,55}-\mathrm{0,50}-\mathrm{0,45}-\mathrm{0,40}$

Damit erkennst Du:

$-\mathrm{0,6}<-\frac{1}{2}<-\mathrm{0,45}$

Wichtig: Zoomen verändert nur die Darstellung, nicht den Wert einer Zahl.

Brüche und Dezimalzahlen gemeinsam darstellen

Ein Bruch und eine Dezimalzahl können dieselbe Stelle beschreiben:

$\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$ $\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$ $-\frac{1}{4}=-\mathrm{0,25}$

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Video: KhanAcademyGerman; Lizenz laut Videobeschreibung CC-BY-SA-NC.

Bewegliche Bruchdarstellung

Bewege die Markierungen und verändere die Unterteilung. Prüfe, wie Bruch und Dezimalzahl dieselbe Position beschreiben.

Auftrag: Stelle $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$ und $1\frac{1}{2}$ dar. Nenne jeweils die passende Dezimalzahl.

Stellenwert-Hilfe für Dezimalzahlen

Wenn Du $\mathrm{0,7}$, $\mathrm{0,07}$ und $\mathrm{0,70}$ verwechselst, hilft die Stellenwerttabelle.

$\mathrm{0,07}<\mathrm{0,7}=\mathrm{0,70}$

Temperatur als Zahlengerade

Ein Thermometer ist eine senkrechte Zahlengerade. Nach oben werden die Werte größer.

Quelle: Wikimedia Commons, Gringer, Public Domain.

Beispiel: In der Nacht sind es $-4^{\circ }\mathrm{C}$, mittags $\mathrm{2,}{5}^{\circ }\mathrm{C}$.

$-4<\mathrm{2,5}$

Denkfrage: Welche Temperatur ist höher: $-1^{\circ }\mathrm{C}$ oder $-6^{\circ }\mathrm{C}$?

Feedback $-1>-6$. Auf dem Thermometer liegt $-1$ weiter oben.

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Video: KhanAcademyGerman; Lizenz laut Videobeschreibung CC-BY-SA-NC.

Höhenprofile und Bezugsniveau

Bei Höhenangaben kann $0$ ein Bezugsniveau sein. Oberhalb davon sind Werte positiv, unterhalb negativ.

Quelle: Wikimedia Commons, OneRainInc, CC BY-SA 4.0.

Modellaufgabe: Ein Punkt liegt bei $-15\mathrm{m}$, ein zweiter bei $40\mathrm{m}$, ein dritter bei $\mathrm{12,5}\mathrm{m}$.

$-15<\mathrm{12,5}<40$

Transfer: Zeichne eine eigene horizontale Zahlengerade mit $0\mathrm{m}$ als Bezugsniveau und trage die drei Höhen ein.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Ganze Zahl, Bruch und Dezimalzahl

Ordne $-3$, $\frac{1}{2}$, $-\mathrm{0,25}$, $\mathrm{1,2}$.

Hilfe 1 Achte zuerst nur auf das Vorzeichen.

Hilfe 2 Nutze $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$.

Lösung und Feedback $-3<-\mathrm{0,25}<\frac{1}{2}<\mathrm{1,2}$. Wenn Deine Reihenfolge anders ist, prüfe zuerst die negativen Zahlen.

Beispiel 2: Zwei negative Zahlen

Welche Zahl ist größer: $-\mathrm{1,8}$ oder $-\mathrm{1,2}$?

Hilfe 1 Zeichne den Abschnitt von $-2$ bis $-1$.

Hilfe 2 Die weiter rechts liegende Zahl ist größer.

Lösung und Feedback $-\mathrm{1,2}>-\mathrm{1,8}$. Bei negativen Zahlen ist „mehr Ziffern nach dem Minus“ kein Vergleichsverfahren; die Lage entscheidet.

Beispiel 3: Genau zoomen

Ordne $\mathrm{0,42}$, $\frac{2}{5}$, $\mathrm{0,39}$.

Hilfe 1 Wandle $\frac{2}{5}$ um.

Hilfe 2 $\frac{2}{5}=\mathrm{0,4}=\mathrm{0,40}$.

Lösung und Feedback $\mathrm{0,39}<\frac{2}{5}<\mathrm{0,42}$. Zoome zwischen $\mathrm{0,3}$ und $\mathrm{0,5}$.

Übungen mit Hilfestufen

Übung A: Basisspur

Ordne: $-2,1,-1,0$.

Hilfe 1 Markiere zuerst $0$.

Hilfe 2 Negative Zahlen liegen links von $0$.

Feedback $-2<-1<0<1$

Übung B: Bruchspur

Ordne: $-\frac{3}{4},-\frac{1}{4},0,\frac{1}{2}$.

Hilfe 1 Alle Brüche haben einfache Viertel- oder Halbwerte.

Hilfe 2 Nutze $-\frac{3}{4}=-\mathrm{0,75}$, $-\frac{1}{4}=-\mathrm{0,25}$, $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$.

Feedback $-\frac{3}{4}<-\frac{1}{4}<0<\frac{1}{2}$

Übung C: Mischspur

Ordne: $-\mathrm{1,1},-\frac{1}{2},\mathrm{0,05},\frac{3}{4}$.

Hilfe 1 Wandle nur die Brüche um.

Hilfe 2 $-\frac{1}{2}=-\mathrm{0,5}$ und $\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$.

Feedback $-\mathrm{1,1}<-\frac{1}{2}<\mathrm{0,05}<\frac{3}{4}$

Übung D: Zoomspur

Ordne: $-\mathrm{0,52},-\frac{1}{2},-\mathrm{0,48}$.

Hilfe 1 Nutze $-\frac{1}{2}=-\mathrm{0,50}$.

Hilfe 2 Zoome auf den Bereich von $-\mathrm{0,55}$ bis $-\mathrm{0,45}$.

Feedback $-\mathrm{0,52}<-\frac{1}{2}<-\mathrm{0,48}$

Typische Fehler

1. Fehler: „$-8>-3$, weil $8>3$.“ Korrektur: $-8<-3$, denn $-8$ liegt weiter links.
2. Fehler: „$\mathrm{0,25}>\mathrm{0,8}$, weil $25>8$.“ Korrektur: $\mathrm{0,25}<\mathrm{0,8}$.
3. Fehler: „$\frac{1}{2}$ und $\mathrm{0,5}$ sind verschiedene Stellen.“ Korrektur: $\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$.
4. Fehler: Eine ungleichmäßige Zahlengerade verwenden. Korrektur: Gleiche Abstände müssen gleiche Zahlendifferenzen darstellen.
5. Fehler: Beim Zoomen den Wert verändern. Korrektur: Nur die Ansicht wird genauer.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

1. Plausibilität: Passt das Vorzeichen zur Seite von $0$?
2. Vergleich: Stimmt die Reihenfolge auch nach einer Umwandlung, zum Beispiel $\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$?
3. Darstellung: Ist die Skala gleichmäßig und ist der Zoom korrekt?
4. Datenschutz: Nutze bei Übungen keine personenbezogenen Daten.
5. KI-Prüfung: Eine KI-Ausgabe kann falsch sein. Prüfe Rechenweg, Darstellung und Begründung selbst; eine KI ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

1. Welche Zahl liegt weiter rechts: $-\mathrm{0,9}$ oder $-\mathrm{0,4}$?

Lösung $-\mathrm{0,4}$

2. Ergänze: $-\frac{1}{4}=$ ...

Lösung $-\mathrm{0,25}$

3. Ordne: $\mathrm{0,6},\frac{1}{2},\mathrm{0,55}$.

Lösung $\frac{1}{2}<\mathrm{0,55}<\mathrm{0,6}$

4. Ist $-\mathrm{2,01}<-2$ richtig?

Lösung Ja. $-\mathrm{2,01}$ liegt etwas links von $-2$.

5. Welche Zahl liegt genau an derselben Stelle wie $\mathrm{0,75}$?

Lösung $\frac{3}{4}$

Transfer

Temperatur: Morgens $-\mathrm{3,}{5}^{\circ }\mathrm{C}$, mittags $2^{\circ }\mathrm{C}$, abends $-\mathrm{0,}{5}^{\circ }\mathrm{C}$. Ordne die Temperaturen und zeichne ein Thermometermodell.

Höhe: Drei Messpunkte liegen bei $-8\mathrm{m}$, $\mathrm{3,5}\mathrm{m}$ und $\frac{25}{2}\mathrm{m}$. Ordne sie auf einer gemeinsamen Zahlengeraden.

Messwerte: Ein Sensor liefert $-\mathrm{0,45}$, $-\frac{1}{2}$ und $-\mathrm{0,48}$. Nutze einen Zoom und begründe die Reihenfolge.

Kompetenzcheck

1. Ich kann eine passende Skala wählen: Zeichne eine Zahlengerade für $-\mathrm{2,5}$, $-\mathrm{0,5}$, $0$, $\mathrm{1,75}$.
2. Ich kann Darstellungen wechseln: Ersetze $-\frac{3}{4}$ durch eine Dezimalzahl und ordne sie mit $-\mathrm{0,8}$.
3. Ich kann zoomen: Zeige $\mathrm{0,49}$, $\mathrm{0,5}$, $\mathrm{0,51}$ in einer vergrößerten Ansicht.
4. Ich kann begründen: Erkläre mit einem Satzstarter, warum $-\mathrm{1,2}>-\mathrm{1,9}$ gilt.
5. Ich kann digital prüfen: Vergleiche eine digitale Darstellung mit Deiner eigenen Skizze und nenne einen möglichen Darstellungsfehler.

Reflexion

1. Das kann ich sicher: „Ich kann Zahlen auf der Zahlengeraden einordnen, wenn ...“
2. Das prüfe ich noch: „Bei negativen Zahlen achte ich besonders auf ...“
3. Meine beste Strategie: „Wenn Brüche und Dezimalzahlen gemischt sind, dann ...“
4. Digital prüfen: „Ein digitales Ergebnis ist für mich erst überzeugend, wenn ...“

Folgekurs

Als nächstes kannst Du die Zahlengerade zum Rechnen nutzen: M7 G - Rationale Zahlen addieren und subtrahieren.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Aussage zur Zahlengeraden ist richtig? (Weiter rechts bedeutet größer) (!Weiter links bedeutet größer) (!Alle negativen Zahlen sind gleich groß) (!Der Nullpunkt ist immer ganz links)

Welche Ordnung ist richtig? (-2,5 kleiner als -0,5 kleiner als 0 kleiner als 1,75) (!-0,5 kleiner als -2,5 kleiner als 0 kleiner als 1,75) (!0 kleiner als -2,5 kleiner als -0,5 kleiner als 1,75) (!1,75 kleiner als 0 kleiner als -0,5 kleiner als -2,5)

Welche Dezimalzahl entspricht minus ein Halb? (-0,5) (!0,5) (!-2) (!0,2)

Welche Zahl ist größer? (-0,2) (!-0,8) (!-2) (!-8)

Welche Dezimalzahl entspricht drei Viertel? (0,75) (!0,34) (!0,3) (!0,4)

Wo liegt minus 3 im Vergleich zu plus 2? (Links von plus 2) (!Rechts von plus 2) (!An derselben Stelle) (!Außerhalb jeder Zahlengeraden)

Welcher Bezugswert trennt negative und positive Zahlen? (Null) (!Eins) (!Zehn) (!Ein Halb)

Was verändert ein Zoom auf der Zahlengeraden? (Die Genauigkeit der Ansicht) (!Den Wert der Zahl) (!Das Vorzeichen aller Zahlen) (!Die Reihenfolge der Zahlen)

Welche Aussage ist richtig? (0,30 ist gleich 0,3) (!0,30 ist größer als 0,3) (!0,30 ist kleiner als 0,3) (!0,30 ist gleich 3)

Wie prüfst Du eine digitale Zahlengerade sinnvoll? (Mit Vorzeichen Skala und eigener Vergleichsrechnung) (!Nur durch die Farbe der Punkte) (!Nur durch die Größe des Bildschirms) (!Gar nicht denn digitale Ergebnisse sind immer richtig)

Memory

Zahlengerade	Ordnungslinie
Nullpunkt	Vorzeichengrenze
Bruchdarstellung	Quotientdarstellung
Dezimaldarstellung	Kommadarstellung
Temperaturmodell	senkrechte Skala
Höhenprofil	Bezugsniveau

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
weiter links	kleinerer Wert
weiter rechts	größerer Wert
unter null	negativer Bereich
über null	positiver Bereich
gleiche Stelle	gleichwertige Darstellung

Kreuzworträtsel

Nullpunkt	Wie heißt der Bezugspunkt zwischen negativen und positiven Zahlen?
Bruchzahl	Wie heißt eine Zahl in einer Darstellung mit Zähler und Nenner?
Dezimalzahl	Wie heißt eine Zahl in Kommadarstellung?
Thermometer	Welches Messgerät kann als senkrechte Zahlengerade gelesen werden?
Höhenprofil	Wie heißt eine Darstellung von Höhen entlang einer Strecke?
Zoomstufe	Wie heißt eine gewählte Vergrößerung einer digitalen Ansicht?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Auf einer Zahlengeraden liegen kleinere Zahlen weiter . Die Zahl trennt den negativen vom positiven Bereich. Der Bruch $\frac{1}{2}$ entspricht der Dezimalzahl . Bei negativen Zahlen ist die weiter rechts liegende Zahl . Gleiche Abstände auf der Zahlengeraden müssen gleich große darstellen. Mit einer Zoomfunktion kann ein kleiner Bereich werden. Eine Temperatur unter dem Gefrierpunkt kann durch eine Zahl beschrieben werden. Digitale Ergebnisse müssen mathematisch werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Eigene Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $-5$ bis $5$ und markiere sechs selbst gewählte Zahlen.
2. Temperaturkarte: Erfinde fünf Temperaturen zwischen $-8^{\circ }\mathrm{C}$ und $8^{\circ }\mathrm{C}$, ordne sie und zeichne ein Thermometer.
3. Darstellungspaare: Gestalte vier Kartenpaare wie $\frac{1}{2}$ und $\mathrm{0,5}$.
4. Fehlerplakat: Gestalte ein kleines Plakat zu einem typischen Fehler bei negativen Zahlen.

Standard

1. Höhenprofil erstellen: Zeichne eine Strecke mit mindestens fünf Höhenwerten über und unter einem Bezugsniveau und ordne alle Werte.
2. Zoom-Geschichte: Erstelle zwei Zahlengeraden für dieselben drei nah beieinanderliegenden Dezimalzahlen: eine grobe und eine vergrößerte.
3. Mini-Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du $-\mathrm{1,2}$, $-\frac{1}{2}$, $\mathrm{0,4}$ und $\frac{3}{4}$ einordnest. Nutze keine personenbezogenen Daten.
4. Mathe-Interview: Frage eine Person nach einer Alltagssituation mit negativen Zahlen und übertrage das Beispiel auf eine Zahlengerade.

Schwer

1. Messdaten untersuchen: Erfinde acht Messwerte zwischen $-1$ und $1$, ordne sie und begründe eine sinnvolle Zoomstufe.
2. Digitaler Vergleich: Stelle dieselben fünf Zahlen in zwei digitalen Werkzeugen dar und prüfe, ob Skala und Reihenfolge übereinstimmen.
3. Begründungsaufgabe: Erkläre allgemein, warum bei $a<b$ die Zahl $a$ links von $b$ liegt und gib drei Beispiele.
4. KI-Prüfauftrag: Lass Dir eine Reihenfolge zu fünf rationalen Zahlen vorschlagen, prüfe sie vollständig selbst und dokumentiere mögliche Fehler. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Skalenwahl begründen: Für $-\mathrm{0,55}$, $-\mathrm{0,5}$ und $-\mathrm{0,45}$ schlägt jemand eine Skala in Einerschritten vor. Erkläre, warum sie ungeeignet ist, und entwirf eine bessere.
2. Darstellungswechsel nutzen: Ordne $-\frac{3}{4}$, $-\mathrm{0,7}$, $\frac{1}{5}$ und $\mathrm{0,3}$. Begründe, welche Zahlen Du umwandelst und warum.
3. Temperaturmodell übertragen: Eine Temperatur steigt von $-4^{\circ }\mathrm{C}$ auf $-1^{\circ }\mathrm{C}$. Beschreibe die Bewegung auf der Zahlengeraden und begründe, warum der Endwert größer ist.
4. Höhenmodell übertragen: Ein Tunnelpunkt liegt bei $-18\mathrm{m}$, ein Aussichtspunkt bei $\mathrm{24,5}\mathrm{m}$. Erkläre die Bedeutung von $0\mathrm{m}$ und ordne beide Werte.
5. Fehlerdiagnose: Jemand behauptet $-\mathrm{0,8}>-\mathrm{0,3}$. Widerlege die Aussage mit Zahlengerade, Sprache und Vergleichszeichen.
6. Digitale Prüfung: Ein digitales Werkzeug setzt $\frac{1}{2}$ bei $\mathrm{0,6}$. Beschreibe mindestens zwei unabhängige Prüfungen, mit denen Du den Fehler erkennst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. rationale Zahlen auf einer gemeinsamen Zahlengeraden korrekt positionierst,
2. einfache Brüche und Dezimalzahlen ineinander überführst,
3. negative Zahlen sicher vergleichst,
4. eine passende Skalierung und Zoomstufe auswählst,
5. Temperatur- und Höhenmodelle auf die Zahlengerade überträgst,
6. Deinen Rechenweg und Deine Begründung nachvollziehbar darstellst,
7. digitale Ergebnisse kritisch und ohne personenbezogene Daten prüfst.

OERs zum Thema

Wikipedia: Rationale Zahl

GeoGebra – interaktive Ressourcen zu rationalen Zahlen

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Verknüpfte Lernbereiche

Rationale Zahlen Zahlengerade Negative Zahl Bruchrechnung Dezimalzahl Temperatur Höhenprofil Koordinatensystem