M6 E - Flächen von Dreieck und Parallelogramm herleiten

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC leitest Du die Flächenformeln für Parallelogramm und Dreieck aus einer bereits bekannten Formel her: der Rechtecksfläche. Du sollst die Formeln nicht nur auswendig kennen, sondern sehen, verändern, zerlegen und begründen, warum sie stimmen.

Der Ausgangspunkt ist das Rechteck:

$A_{\text{Rechteck}}=g\cdot h$

Dabei ist $g$ die Länge einer gewählten Grundseite und $h$ die dazu senkrechte Höhe. Genau diese Idee übertragen wir durch Zerlegen, Verschieben, Ergänzen und Verdoppeln auf Parallelogramme und Dreiecke.

Freies Medium: Wikimedia Commons, CC0. Die Grafik zeigt die flächengleiche Umformung eines Parallelogramms in ein Rechteck.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Grundseite und zugehörige Höhe in Dreiecken und Parallelogrammen erkennen und begründen.
2. die Formel $A=g\cdot h$ für ein Parallelogramm aus der Rechtecksfläche herleiten.
3. die Formel $A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$ für ein Dreieck geometrisch herleiten.
4. erklären, warum die schräge Seitenlänge eines Parallelogramms nicht automatisch die Höhe ist.
5. Flächeninhalte berechnen und Deine Rechenwege mit Einheiten sauber darstellen.
6. Figuren so zerlegen oder ergänzen, dass bekannte Flächen entstehen.

Vorwissen: Die Rechtecksfläche als Ausgangspunkt

Ein Rechteck lässt sich mit Einheitsquadraten auslegen. Bei einer Grundseite von $g$ Längeneinheiten und einer Höhe von $h$ Längeneinheiten entstehen $g\cdot h$ Flächeneinheiten.

Schritt	Bildidee	Mathematik
1	Zähle $g$ Kästchen in einer Reihe.	$g$
2	Es gibt $h$ gleich lange Reihen.	$h$
3	Multipliziere Anzahl pro Reihe mit Anzahl der Reihen.	$A=g\cdot h$

Beispiel:

$g=6\text{cm}$

$h=4\text{cm}$

$A=6\text{cm}\cdot 4\text{cm}=24{\text{cm}}^2$

Die Einheit ${\text{cm}}^2$ zeigt: Es wird eine Fläche gemessen, nicht nur eine Länge.

Grundseite und Höhe verstehen

Grundseite: eine gewählte Seite

Bei einem Dreieck kann grundsätzlich jede der drei Seiten als Grundseite gewählt werden. Auch beim Parallelogramm kannst Du eines der beiden Paare paralleler Seiten als Grundseite betrachten. Wichtig ist dann immer die passende Höhe.

$g⟷h_g$

Die Höhe $h_g$ ist der senkrechte Abstand zwischen der Grundseite und der gegenüberliegenden Ecke beziehungsweise parallelen Seite.

Aussage	Richtig?	Begründung
Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.	Ja	Es gilt ein rechter Winkel von $90^{\circ }$.
Die schräge Seitenkante eines Parallelogramms ist immer die Höhe.	Nein	Nur ein senkrechter Abstand ist eine Höhe.
Bei einem stumpfwinkligen Dreieck kann die Höhe außerhalb des Dreiecks verlaufen.	Ja	Man verlängert die Grundseite gedanklich zur Geraden.
Zu einer anderen Grundseite gehört im Allgemeinen eine andere Höhe.	Ja	Grundseite und Höhe bilden immer ein zusammengehöriges Paar.

Merksignal für die Höhe

Wenn Du eine Höhe einzeichnest, suche immer den rechten Winkel:

$g\perp h_g$

Das Zeichen $\perp$ bedeutet „steht senkrecht auf“.

Nicht verwechseln:

Seitenlänge ≠ Höhe

Das gilt besonders beim schrägen Parallelogramm.

Herleitung der Parallelogrammfläche

Idee: Abschneiden und Verschieben

Ein Parallelogramm sieht schräg aus, aber seine Fläche lässt sich ohne Strecken oder Stauchen in ein Rechteck verwandeln.

Freies Medium: Wikimedia Commons, Public Domain. Zerlegebeweis für die Parallelogrammfläche.

Der geometrische Rechenweg:

Schritt	Was geschieht?	Was passiert mit der Fläche?
1	Wähle eine Grundseite $g$ und zeichne die Höhe $h$.	Noch keine Änderung.
2	Schneide das überstehende Randdreieck gedanklich ab.	Die Teilflächen bleiben erhalten.
3	Verschiebe dieses Dreieck auf die gegenüberliegende Seite.	Verschieben verändert keine Fläche.
4	Es entsteht ein Rechteck mit Grundseite $g$ und Höhe $h$.	Rechteck und Parallelogramm sind flächengleich.

Daraus folgt:

$A_{\text{Parallelogramm}}=A_{\text{Rechteck}}$

$A_{\text{Parallelogramm}}=g\cdot h$

Formel:

$A_P=g\cdot h$

Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0 / GFDL. Die Grafik macht sichtbar, dass die Länge der Grundseite und der senkrechte Abstand entscheidend sind.

Interaktive Zerlegung: Parallelogramm wird Rechteck

Bewege in der GeoGebra-Aktivität die Punkte und den Schieberegler. Beobachte besonders, was mit der Fläche passiert, wenn ein Dreieck abgeschnitten und auf der anderen Seite wieder angesetzt wird.

Forscherauftrag:

1. Verändere zuerst die Form des Parallelogramms.
2. Verschiebe dann das Randdreieck.
3. Vergleiche die Fläche vor und nach dem Verschieben.
4. Formuliere in einem Satz, warum $A=g\cdot h$ gelten muss.

Gleiche Grundseite, gleiche Höhe – gleiche Fläche

Schiebe die obere Seite eines Parallelogramms seitlich. Solange Grundseite und senkrechte Höhe gleich bleiben, ändert sich der Flächeninhalt nicht.

Das ist eine wichtige Einsicht:

$g=\text{konstant}$

$h=\text{konstant}$

$⟹A=g\cdot h=\text{konstant}$

Die „Schrägheit“ allein entscheidet also nicht über die Fläche.

Beispiel Parallelogramm

Gegeben:

$g=\mathrm{7,5}\text{cm}$

$h=4\text{cm}$

Rechenweg aufklappen

$A=g\cdot h$
$A=\mathrm{7,5}\text{cm}\cdot 4\text{cm}$
$A=30{\text{cm}}^2$

Herleitung der Dreiecksfläche

Idee 1: Zwei gleiche Dreiecke ergeben ein Parallelogramm

Nimm ein Dreieck und eine deckungsgleiche Kopie davon. Drehe oder verschiebe die Kopie so, dass beide zusammen ein Parallelogramm bilden.

Freies Medium: Wikimedia Commons, CC0. Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen Dreieck und Parallelogramm.

Beide Dreiecke besitzen zusammen die Parallelogrammfläche:

$2\cdot A_{\mathrm{△}}=g\cdot h$

Teile durch $2$:

$A_{\mathrm{△}}=\frac{g\cdot h}{2}$

oder gleichwertig:

$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

Formel:

$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

Freies Medium: Wikimedia Commons, Public Domain. Grundseite und Höhe führen zur halben Rechtecks- beziehungsweise Parallelogrammfläche.

Idee 2: Ein Dreieck ist die Hälfte einer passenden Fläche

Du kannst ein Dreieck so ergänzen, dass ein Parallelogramm mit derselben Grundseite $g$ und derselben Höhe $h$ entsteht. Das ergänzte Dreieck ist flächengleich zum Ausgangsdreieck.

$A_{\text{Parallelogramm}}=g\cdot h$

$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot A_{\text{Parallelogramm}}$

$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

Freies Medium: Wikimedia Commons, Public Domain. Zerlegebeweis für die Dreiecksfläche.

Animation: Die halbe Fläche wird sichtbar

Animation: Burn~commonswiki, Wikimedia Commons, CC BY-SA 3.0 / GFDL.

Beobachte in der Animation nicht nur die Form, sondern frage Dich:

1. Welche Längen bleiben gleich?
2. Welche Teilfläche wird verschoben?
3. Warum bleibt die Gesamtfläche beim Verschieben erhalten?
4. An welcher Stelle taucht der Faktor $\frac{1}{2}$ auf?

Interaktive Herleitung am Rechteck

Mit der nächsten dynamischen Konstruktion kannst Du Grundseite und Höhe verändern und die Flächen von Rechteck und Dreieck vergleichen.

Prüfe mehrere Werte. Notiere jeweils:

$g$	$h$	$A_{\text{Rechteck}}=g\cdot h$	$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}gh$
selbst wählen	selbst wählen	berechnen	berechnen
selbst wählen	selbst wählen	berechnen	berechnen
selbst wählen	selbst wählen	berechnen	berechnen

Beispiel Dreieck

Gegeben:

$g=9\text{cm}$

$h=6\text{cm}$

$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

$A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}\cdot 9\text{cm}\cdot 6\text{cm}$

$A_{\mathrm{△}}=27{\text{cm}}^2$

Du kannst auch zuerst das Produkt berechnen und danach halbieren:

$9\cdot 6=54$

$54:2=27$

Parallelogramm und Dreieck vergleichen

Figur	Herleitung aus bekannter Fläche	Flächenformel	Entscheidend
Rechteck	Ausgangsfigur	$A=g\cdot h$	Grundseite und senkrechte Höhe
Parallelogramm	Randdreieck abschneiden und verschieben	$A=g\cdot h$	Grundseite und senkrechte Höhe
Dreieck	zwei gleiche Dreiecke bilden ein Parallelogramm	$A=\frac{1}{2}g\cdot h$	Grundseite und senkrechte Höhe

Kernkette der Herleitung:

$\text{Rechteck}\stackrel{\text{Zerlegen und Verschieben}}{\to }\text{Parallelogramm}\stackrel{\text{Halbieren}}{\to }\text{Dreieck}$

Interaktive Gesamtherleitung

Diese GeoGebra-Aktivität verbindet beide Herleitungen: Zuerst wird aus einem Rechteck durch Verschieben eines Dreiecksstücks ein Parallelogramm. Anschließend kann das Parallelogramm durch eine Diagonale in zwei gleich große Dreiecke zerlegt werden.

Schritt-für-Schritt-Auftrag:

1. Starte mit dem Rechteck und bestimme $g$, $h$ und $A$.
2. Bewege den Schieberegler, bis ein Parallelogramm entsteht.
3. Begründe, warum sich die Fläche durch das Verschieben nicht ändert.
4. Teile das Parallelogramm entlang einer Diagonale.
5. Erkläre, warum jedes Dreieck genau die Hälfte der Parallelogrammfläche besitzt.

Typische Denkfehler

Fehler 1: Schrägseite statt Höhe

Falsch wäre zum Beispiel:

$A=g\cdot s$

wenn $s$ nur eine schräge Seitenkante ist.

Richtig ist:

$A=g\cdot h$

mit

$g\perp h$.

Fehler 2: Beim Dreieck das Halbieren vergessen

Ein Dreieck mit

$g=8\text{cm}$

und

$h=5\text{cm}$

hat nicht $40{\text{cm}}^2$, sondern:

$A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5=20{\text{cm}}^2$

Fehler 3: Falsche Höhe zur Grundseite nehmen

Wählst Du die Seite $a$ als Grundseite, brauchst Du die zu $a$ senkrechte Höhe $h_a$:

Beim Parallelogramm:

$A=a\cdot h_a$

Beim Dreieck:

$A=\frac{1}{2}a\cdot h_a$

Lernvideo: Herleitung beider Formeln

Das folgende Video behandelt die Flächeninhalte von Parallelogramm und Dreieck und stellt die Herleitung in den Mittelpunkt.

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Fortfahren Ausblenden

Beobachtungsauftrag: Stoppe das Video an der Stelle, an der eine Figur zerlegt oder ergänzt wird. Zeichne den Schritt nach und beschrifte $g$ und $h$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel gilt für den Flächeninhalt eines Parallelogramms? (A gleich Grundseite mal zugehörige Höhe) (!A gleich Grundseite plus Höhe) (!A gleich Grundseite mal Schrägseite) (!A gleich Grundseite mal Höhe geteilt durch zwei)

Welche Formel gilt für den Flächeninhalt eines Dreiecks? (A gleich ein halb mal Grundseite mal zugehörige Höhe) (!A gleich Grundseite mal Höhe) (!A gleich Grundseite plus Höhe) (!A gleich zwei mal Grundseite mal Höhe)

Was kennzeichnet die Höhe zu einer gewählten Grundseite? (Sie steht senkrecht auf der Grundseite) (!Sie ist immer die längste Seite) (!Sie ist immer eine schräge Seite) (!Sie liegt immer vollständig im Inneren der Figur)

Warum bleibt die Fläche beim Verschieben eines abgeschnittenen Randdreiecks gleich? (Weil dieselbe Teilfläche nur an eine andere Stelle gelegt wird) (!Weil die Grundseite automatisch doppelt so lang wird) (!Weil jede schräge Figur ein Rechteck ist) (!Weil die Höhe beim Schneiden verschwindet)

Was entsteht bei der üblichen Zerlegung eines Parallelogramms durch Verschieben eines Randdreiecks? (Ein flächengleiches Rechteck) (!Ein Kreis) (!Ein Würfel) (!Ein Trapez mit doppelter Fläche)

Warum steht in der Dreiecksformel der Faktor ein halb? (Zwei passende kongruente Dreiecke bilden ein Parallelogramm gleicher Grundseite und Höhe) (!Ein Dreieck besitzt immer halb so lange Seiten) (!Die Höhe eines Dreiecks wird immer halbiert) (!Die Grundseite wird grundsätzlich durch zwei geteilt)

Ein Parallelogramm wird schräger geschoben, Grundseite und Höhe bleiben gleich. Was passiert mit seiner Fläche? (Sie bleibt gleich) (!Sie wird immer größer) (!Sie wird immer kleiner) (!Sie wird automatisch halbiert)

Welche Größen müssen beim Dreieck zusammenpassen? (Eine gewählte Grundseite und die dazu senkrechte Höhe) (!Zwei beliebige Seiten) (!Umfang und Diagonale) (!Zwei beliebige Höhen ohne Grundseite)

Welche Einheit passt zu einem Flächeninhalt bei Längenangaben in Zentimetern? (Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Kubikzentimeter) (!Grad)

Welche bekannte Flächenformel ist der Ausgangspunkt für beide Herleitungen? (Die Rechtecksfläche) (!Die Kreisfläche) (!Die Kugeloberfläche) (!Die Zylinderfläche)

Memory

Rechteck	Grundseite mal Höhe
Parallelogramm	Verschieben eines Randdreiecks
Dreieck	halbe passende Parallelogrammfläche
Höhe	senkrechter Abstand
Grundseite	gewählte Bezugsseite
Flächeneinheit	Quadratzentimeter

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Rechteck	bekannte Ausgangsfläche
Parallelogramm	entsteht flächengleich durch Verschieben
Dreieck	besitzt bei gleicher Grundseite und Höhe die halbe Parallelogrammfläche
Grundseite	gewählte Bezugsseite
Höhe	senkrechter Abstand

Kreuzworträtsel

Rechteck	Welche bekannte Figur ist der Ausgangspunkt der Herleitung?
Grundseite	Wie heißt die gewählte Bezugsseite für die Flächenformel?
Höhe	Wie heißt der senkrechte Abstand zur Grundseite?
Parallelogramm	Welche Vierecksform wird durch Verschieben eines Randdreiecks zum Rechteck?
Dreieck	Welche Figur hat bei gleicher Grundseite und Höhe die halbe Parallelogrammfläche?
Flächeninhalt	Welche Größe wird in Quadrateinheiten angegeben?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die bekannte Ausgangsfigur für die Herleitung ist das . Eine Höhe steht immer auf der gewählten Grundseite. Ein Parallelogramm lässt sich durch Verschieben eines Randdreiecks in ein flächengleiches umformen. Deshalb gilt für das Parallelogramm die Formel . Zwei passende kongruente Dreiecke lassen sich zu einem zusammensetzen. Deshalb enthält die Dreiecksformel den Faktor . Bei einem Dreieck darf grundsätzlich jede Seite als gewählt werden. Zu jeder gewählten Grundseite muss aber die passende verwendet werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Höhen-Detektiv: Fotografiere oder zeichne drei verschiedene Parallelogramme. Markiere jeweils eine Grundseite und die passende Höhe mit einem rechten Winkel.
2. Zerlegebild: Zeichne ein Parallelogramm auf kariertes Papier, schneide gedanklich oder tatsächlich ein Randdreieck ab und setze es zu einem Rechteck zusammen. Beschrifte $g$ und $h$.
3. Formelcomic: Gestalte einen Vier-Bilder-Comic, der den Weg Rechteck → Parallelogramm → Dreieck zeigt.
4. Fehlerkarte: Erfinde eine falsche Lösung, in der eine schräge Seite als Höhe benutzt wird, und erkläre darunter, wie man den Fehler erkennt.

Standard

1. GeoGebra-Forschung: Verändere in einer eingebetteten GeoGebra-Konstruktion ein Parallelogramm bei gleicher Grundseite und Höhe. Dokumentiere drei verschiedene Formen und ihre Flächen.
2. Dreiecksverdopplung: Zeichne ein beliebiges Dreieck, konstruiere eine kongruente Kopie und setze beide zu einem Parallelogramm zusammen. Begründe die Dreiecksformel mit einer Skizze und $2A_{\mathrm{△}}=g\cdot h$.
3. Flächenvergleich: Zeichne drei verschiedene Dreiecke mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe. Vermute zuerst ihre Flächen und überprüfe anschließend rechnerisch.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo oder eine Stop-Motion-Sequenz, in der ein Parallelogramm durch Zerlegen und Verschieben in ein Rechteck umgeformt wird.

Schwer

1. Mehrere Grundseiten: Wähle in einem Dreieck nacheinander jede der drei Seiten als Grundseite, zeichne die jeweilige Höhe und erkläre, warum alle drei Rechnungen denselben Flächeninhalt ergeben müssen.
2. Stumpfwinkliges Dreieck: Konstruiere ein stumpfwinkliges Dreieck und zeige mit einer Skizze, warum eine Höhe außerhalb der Dreiecksfläche liegen kann.
3. Konstante Fläche: Entwickle eine eigene dynamische Geometrieaufgabe, bei der ein Punkt so verschoben wird, dass Grundseite und Höhe konstant bleiben. Formuliere eine Vermutung und begründe sie.
4. Transferproblem: Entwirf einen zusammengesetzten Grundriss aus Rechteck, Parallelogramm und Dreieck. Gib sinnvolle Maße an, berechne die Gesamtfläche und erkläre, welche Herleitung hinter jeder Teilformel steckt.

Lernkontrolle

1. Herleitung erklären: Ein Mitschüler behauptet: „Ein Parallelogramm hat die Formel $A=g\cdot h$, weil es fast wie ein Rechteck aussieht.“ Ersetze diese Begründung durch eine geometrisch überzeugende Herleitung mit Zerlegen und Verschieben.
2. Höhenwahl begründen: Zwei Lernende wählen im selben Dreieck verschiedene Grundseiten. Erkläre, warum beide trotzdem denselben Flächeninhalt erhalten können und welche Bedingung ihre jeweilige Höhe erfüllen muss.
3. Formel prüfen: Jemand rechnet beim Dreieck $A=g\cdot h$. Erkläre mithilfe einer Ergänzungsfigur, warum das Ergebnis genau doppelt so groß wie die tatsächliche Dreiecksfläche ist.
4. Konstanz untersuchen: Ein Parallelogramm wird seitlich immer weiter verschoben, ohne Grundseite und Höhe zu verändern. Begründe ohne bloßes Auswendiglernen der Formel, warum der Flächeninhalt konstant bleibt.
5. Unbekannte Figur: Du siehst eine schräge Fläche, die sich in ein Rechteck und zwei Dreiecke zerlegen lässt. Entwickle einen sinnvollen Lösungsweg zur Flächenberechnung und begründe jede Teilformel.
6. Alltagsübertragung: Ein schräg gezeichneter Garten hat die Form eines Parallelogramms. Erkläre, welche zwei Strecken Du messen musst, um seine Fläche zu bestimmen, und warum eine schräge Seitenkante nicht genügt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können:

1. Du erkennst und markierst eine Grundseite sowie die dazu senkrechte Höhe.
2. Du leitest $A_P=g\cdot h$ durch Zerlegen und Verschieben aus der Rechtecksfläche her.
3. Du leitest $A_{\mathrm{△}}=\frac{1}{2}g\cdot h$ durch Verdoppeln oder Ergänzen geometrisch her.
4. Du erklärst den Faktor $\frac{1}{2}$ in der Dreiecksformel.
5. Du unterscheidest sicher zwischen schräger Seitenlänge und Höhe.
6. Du berechnest Flächeninhalte mit korrekten Einheiten.
7. Du überträgst die Herleitungen auf neue Zeichnungen und Sachaufgaben.

OERs zum Thema

Die folgenden Wikipedia-Seiten können zum Nachschlagen und Vertiefen genutzt werden:

Zusätzlich eignen sich die im Lerntext eingebetteten freien Wikimedia-Commons-Grafiken sowie die interaktiven GeoGebra-Konstruktionen für eigene Erkundungen.

Verknüpfte Lernbereiche

Flächeninhalt Rechteck Parallelogramm Dreieck Grundseite Höhe Flächeneinheit Kongruenz Senkrechte Geometrische Zerlegung