M6 G - Flächeninhalt von Quadrat und Rechteck berechnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du Schritt für Schritt, wie Du den Flächeninhalt eines Rechtecks und eines Quadrats bestimmst. Dabei startest Du nicht einfach mit einer Formel. Zuerst legst Du Flächen gedanklich mit Einheitsquadraten aus. So erkennst Du, warum beim Rechteck die Seitenlängen miteinander multipliziert werden.

Zielgruppe: Klasse 6, G-Niveau

Du lernst:

1. Flächeninhalt: Du erklärst, was ein Flächeninhalt angibt.
2. Einheitsquadrat: Du bestimmst Flächen durch Auslegen und Zählen gleich großer Quadrate.
3. Rechteck: Du nutzt sicher die Formel $A=a\cdot b$.
4. Quadrat: Du nutzt sicher die Formel $A=a^2$.
5. Flächeneinheit: Du schreibst Ergebnisse mit ${\mathrm{m}\mathrm{m}}^2$, ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$, ${\mathrm{d}\mathrm{m}}^2$ oder ${\mathrm{m}}^2$.
6. Sachaufgabe: Du erkennst, welche Längen Du brauchst, setzt sie in eine Formel ein und beantwortest die Frage mit passender Einheit.

Was bedeutet Flächeninhalt?

Der Flächeninhalt sagt, wie groß eine Fläche ist. Dazu vergleichst Du die Fläche mit einer festgelegten Einheitsfläche.

Ein Quadrat mit der Seitenlänge $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ besitzt den Flächeninhalt

$1\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 1\mathrm{c}\mathrm{m}=1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2.$

Dieses kleine Quadrat ist ein Einheitsquadrat für die Einheit Quadratzentimeter.

Bildidee: Stell Dir vor, Du möchtest eine rechteckige Tischplatte vollständig mit gleich großen quadratischen Plättchen bedecken. Jedes Plättchen ist $1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ groß. Die Anzahl der benötigten Plättchen entspricht dann dem Flächeninhalt in ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

Fläche mit Einheitsquadraten auslegen

Betrachte ein Rechteck mit

$a=6\mathrm{c}\mathrm{m}$

und

$b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$.

In einer Reihe liegen $6$ Einheitsquadrate. Es gibt $4$ gleich lange Reihen.

$\underset{4\text{ Reihen}}{\underbrace{6+6+6+6}}=4\cdot 6=24.$

Also passen $24$ Einheitsquadrate mit jeweils $1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ in das Rechteck.

$A=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2.$

Vom Zählen zum Multiplizieren:

Beobachtung	Rechnung	Bedeutung
$6$ Kästchen pro Reihe	$a=6\mathrm{c}\mathrm{m}$	Länge des Rechtecks
$4$ Reihen	$b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$	Breite des Rechtecks
alle Kästchen	$6\cdot 4=24$	Flächeninhalt

Die Formel für das Rechteck

Aus dem Auslegen mit Einheitsquadraten entsteht die allgemeine Formel:

$A=a\cdot b$

Dabei gilt:

Zeichen	Bedeutung
$A$	Flächeninhalt
$a$	erste Seitenlänge
$b$	zweite Seitenlänge
$\cdot$	Multiplikation

Beispiel:

$a=8\mathrm{c}\mathrm{m},b=3\mathrm{c}\mathrm{m}$

Schritt 1: Formel

$A=a\cdot b$

Schritt 2: Werte einsetzen

$A=8\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 3\mathrm{c}\mathrm{m}$

Schritt 3: rechnen

$A=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Antwort: Das Rechteck hat einen Flächeninhalt von $24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

Dynamisches Rechteck: Ziehen, zählen, rechnen

Bewege im GeoGebra-Modell die Ecke des Rechtecks. Beobachte gleichzeitig die Seitenlängen, die Kästchen und den Flächeninhalt.

Forscherauftrag:

1. Stelle ein Rechteck mit $a=6$ und $b=3$ ein. Prüfe durch Zählen: $A=18$.
2. Verändere nur $b$. Beobachte, wie sich $A$ verändert.
3. Suche zwei verschiedene Rechtecke mit demselben Flächeninhalt.
4. Erkläre mit Einheitsquadraten, warum $3\cdot 6$ und $6\cdot 3$ denselben Flächeninhalt ergeben.

Das Quadrat als besonderes Rechteck

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten. Deshalb gilt

$a=b.$

Setzt Du das in die Rechteckformel ein, erhältst Du

$A=a\cdot a.$

Dafür schreibt man kürzer

$A=a^2.$

Beispiel:

Ein Quadrat hat die Seitenlänge

$a=5\mathrm{c}\mathrm{m}.$

Dann gilt

$A=a^2$

und damit

$A=(5\mathrm{c}\mathrm{m}{)}^2=25{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2.$

Wichtig:

$5^2=5\cdot 5=25.$

Das Hochzeichen $2$ bedeutet hier: Die Seitenlänge wird mit sich selbst multipliziert.

Dynamisches Quadrat: Wie wächst die Fläche?

Verändere im GeoGebra-Modell die Seitenlänge. Achte darauf, dass die Fläche schneller wächst als die Seitenlänge.

Vergleiche:

Seitenlänge $a$	Rechnung	Fläche $A$
$1\mathrm{c}\mathrm{m}$	$1^2$	$1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
$2\mathrm{c}\mathrm{m}$	$2^2$	$4{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
$3\mathrm{c}\mathrm{m}$	$3^2$	$9{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
$4\mathrm{c}\mathrm{m}$	$4^2$	$16{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
$5\mathrm{c}\mathrm{m}$	$5^2$	$25{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Wenn Du die Seitenlänge eines Quadrats verdoppelst, wird aus

$A=a^2$

die neue Fläche

$A_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}=(2a{)}^2=4a^2.$

Die Seitenlänge wird also doppelt so groß, die Fläche aber viermal so groß.

Raster verstehen

Ein Raster hilft Dir, Flächen nicht nur zu berechnen, sondern auch zu sehen.

Bei einem Rechteck mit ganzzahligen Seitenlängen kannst Du zuerst Kästchen zählen und anschließend überprüfen:

$\text{Kästchen pro Reihe}\cdot \text{Anzahl der Reihen}=\text{Anzahl aller Kästchen}.$

Das entspricht genau

$a\cdot b=A.$

Visueller Rechenweg in vier Schritten

Schritt	Beispiel mit $a=7\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$
1. Seiten ablesen	$a=7\mathrm{c}\mathrm{m}$, $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$
2. Formel wählen	$A=a\cdot b$
3. Einsetzen	$A=7\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 4\mathrm{c}\mathrm{m}$
4. Ergebnis mit Flächeneinheit	$A=28{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Warum funktioniert das?

In jeder Reihe liegen $7$ Einheitsquadrate. Es gibt $4$ Reihen. Deshalb gilt $7+7+7+7=4\cdot 7=28$. Die Formel ist also eine schnelle Schreibweise für das vollständige Auslegen mit Einheitsquadraten.

Flächeneinheiten richtig verwenden

Eine Länge wird zum Beispiel in $\mathrm{c}\mathrm{m}$ angegeben. Eine Fläche wird in Quadrateinheiten angegeben.

$\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot \mathrm{c}\mathrm{m}={\mathrm{c}\mathrm{m}}^2.$

Deshalb ist

$6\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 4\mathrm{c}\mathrm{m}=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2.$

Typische Flächeneinheiten sind

${\mathrm{m}\mathrm{m}}^2,{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2,{\mathrm{d}\mathrm{m}}^2,{\mathrm{m}}^2.$

Ein Quadrat mit Seitenlänge $1\mathrm{c}\mathrm{m}=10\mathrm{m}\mathrm{m}$ enthält

$10\cdot 10=100$

Quadrate von $1{\mathrm{m}\mathrm{m}}^2$. Daher gilt

$1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2=100{\mathrm{m}\mathrm{m}}^2.$

Flächeninhalt und Umfang nicht verwechseln

Der Umfang beschreibt den Rand einer Figur. Der Flächeninhalt beschreibt das Innere.

Größe	Frage	Rechteck	Einheit
Umfang $U$	Wie lang ist der Rand?	$U=2a+2b$	zum Beispiel $\mathrm{c}\mathrm{m}$
Flächeninhalt $A$	Wie groß ist die bedeckte Fläche?	$A=a\cdot b$	zum Beispiel ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Beispiel mit $a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=3\mathrm{c}\mathrm{m}$:

$U=2\cdot 5+2\cdot 3=16\mathrm{c}\mathrm{m}$

aber

$A=5\cdot 3=15{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2.$

Umkehraufgaben

Manchmal kennst Du den Flächeninhalt und nur eine Seitenlänge.

Gegeben:

$A=36{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2,a=9\mathrm{c}\mathrm{m}.$

Gesucht ist $b$.

Aus

$A=a\cdot b$

folgt

$b=\frac{A}{a}.$

Einsetzen:

$b=\frac{36{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2}{9\mathrm{c}\mathrm{m}}=4\mathrm{c}\mathrm{m}.$

Probe:

$9\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 4\mathrm{c}\mathrm{m}=36{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2.$

Flächengleiche Rechtecke

Verschiedene Rechtecke können denselben Flächeninhalt besitzen.

Für

$A=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

sind zum Beispiel möglich:

$1\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 24\mathrm{c}\mathrm{m}=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2,$

$2\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 12\mathrm{c}\mathrm{m}=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2,$

$3\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 8\mathrm{c}\mathrm{m}=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2,$

$4\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 6\mathrm{c}\mathrm{m}=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2.$

Entdeckerfrage: Welche dieser Formen wirkt am meisten wie ein Quadrat? Welche hat den kleinsten Umfang?

Dynamische Übung: Rechtecke selbst erzeugen

Dieses GeoGebra-Material ist für die Schulstufe 5–6 angelegt. Erzeuge Rechtecke, zerlege sie gedanklich in Einheitsquadrate und kontrolliere anschließend mit der Formel.

Erklärvideos

Im folgenden Video werden die Flächenformeln für Rechteck und Quadrat anschaulich erklärt.

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Für das Quadrat kannst Du die Bedeutung von $a^2$ mit diesem Video noch einmal wiederholen.

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Typische Fehler und Gegenstrategien

Typischer Fehler	So prüfst Du Dich
$a+b$ statt $a\cdot b$	Frage Dich: Zähle ich Kästchen in Reihen? Dann brauche ich eine Multiplikation.
$a^2=2a$	Denke an $a^2=a\cdot a$.
Ergebnis $24\mathrm{c}\mathrm{m}$	Ein Flächeninhalt braucht eine Quadrateinheit: $24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.
Umfang und Fläche verwechselt	Rand bedeutet Umfang, Innenfläche bedeutet Flächeninhalt.
Seiten mit verschiedenen Einheiten direkt multipliziert	Wandle zuerst beide Seitenlängen in dieselbe Längeneinheit um.

Mini-Training mit Selbstkontrolle

1. Rechteck

$a=9\mathrm{c}\mathrm{m},b=2\mathrm{c}\mathrm{m}$

Lösung anzeigen

$A=9\cdot 2=18{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

2. Quadrat

$a=7\mathrm{c}\mathrm{m}$

Lösung anzeigen

$A=7^2=49{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

3. Fehlende Seite

$A=40{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2,a=8\mathrm{c}\mathrm{m}$

Lösung anzeigen

$b=\frac{40}{8}=5\mathrm{c}\mathrm{m}$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was gibt der Flächeninhalt einer Figur an? (Wie groß die bedeckte Fläche ist) (!Wie lang nur eine Seite ist) (!Wie lang der Rand ist) (!Wie viele Ecken die Figur hat)

Welche Formel gehört zum Flächeninhalt eines Rechtecks? (!A gleich a plus b) (A gleich a mal b) (!A gleich zwei mal a plus zwei mal b) (!A gleich a geteilt durch b)

Ein Rechteck ist 7 cm lang und 3 cm breit. Wie groß ist seine Fläche? (!10 cm²) (!20 cm²) (21 cm²) (!42 cm²)

Welche Formel gehört zum Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge a? (!A gleich 4 mal a) (!A gleich 2 mal a) (!A gleich a plus a) (A gleich a Quadrat)

Ein Quadrat hat die Seitenlänge 6 cm. Wie groß ist seine Fläche? (36 cm²) (!12 cm²) (!24 cm²) (!18 cm²)

Welche Einheit passt zu einem Flächeninhalt? (!cm) (cm²) (!cm³) (!Grad)

Warum ergibt 5 cm mal 4 cm die Einheit cm²? (!Weil Zentimeter beim Multiplizieren verschwinden) (!Weil jede Fläche immer vier Seiten hat) (Weil cm mal cm gleich cm² ist) (!Weil 5 plus 4 gleich 9 ist)

Ein Rechteck hat 8 Einheitsquadrate in jeder Reihe und 3 Reihen. Wie groß ist seine Fläche? (!11 Flächeneinheiten) (!16 Flächeneinheiten) (!21 Flächeneinheiten) (24 Flächeneinheiten)

Ein Rechteck hat 32 cm² Fläche und eine Seitenlänge von 8 cm. Wie lang ist die andere Seite? (4 cm) (!24 cm) (!40 cm) (!256 cm)

Welche Aussage über ein Quadrat ist richtig? (!Für seine Fläche gilt immer A gleich 4 mal a) (Es ist ein Rechteck mit gleich langen Seiten) (!Seine Fläche wird in cm angegeben) (!Seine beiden Seitenlängen müssen verschieden sein)

Memory

Rechteckfläche	$A=a\cdot b$
Quadratfläche	$A=a^2$
Quadratzentimeter	${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
Einheitsquadrat	Vergleichsfläche mit Seitenlänge eine Einheit
Umfang	Länge des Randes
Flächeninhalt	Größe der Innenfläche
Seitenprodukt	Länge mal Breite
Raster	Anordnung gleich großer Kästchen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Einheitsquadrat	Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge einer Einheit
Rechteckformel	$A=a\cdot b$
Quadratformel	$A=a^2$
Flächeneinheit	zum Beispiel Quadratzentimeter
Umfang	Länge des Randes
Flächeninhalt	Größe des Inneren einer Figur

Kreuzworträtsel

Flaeche	Wie nennt man die Größe des Inneren einer ebenen Figur?
Rechteck	Welche Figur hat vier rechte Winkel und gegenüberliegende gleich lange Seiten?
Quadrat	Welche Figur hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel?
Seitenlaenge	Welche Größe wird beim Quadrat mit sich selbst multipliziert?
Raster	Wie heißt ein Netz aus regelmäßig angeordneten Kästchen?
Einheitsquadrat	Wie heißt ein Quadrat, das als Vergleichsfläche zum Messen dient?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Flächeninhalt beschreibt die Größe einer . Ein Quadrat mit der Seitenlänge $1\mathrm{c}\mathrm{m}$ besitzt den Flächeninhalt . Beim Auslegen eines Rechtecks kann man die Anzahl der Kästchen pro Reihe mit der Anzahl der multiplizieren. Für ein Rechteck gilt die Formel . Das Zeichen $A$ steht für den . Bei einem Quadrat sind beide benötigten Seitenlängen . Deshalb kann man für das Quadrat die Formel verwenden. Das Quadratzeichen bedeutet, dass die Seitenlänge mit multipliziert wird. Ein Flächenergebnis in Zentimetern wird als geschrieben. Der Umfang beschreibt im Gegensatz zur Fläche die Länge des .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Einheitsquadrate legen: Zeichne ein Rechteck mit $5$ Kästchen pro Reihe und $3$ Reihen. Markiere jedes Einheitsquadrat und schreibe darunter $5\cdot 3=15$.
2. Rechtecke im Alltag: Suche drei rechteckige Gegenstände in Deinem Umfeld. Miss Länge und Breite und berechne jeweils den Flächeninhalt.
3. Quadrat-Plakat: Gestalte ein kleines Lernplakat, das mit Bild, Formel und Beispiel erklärt, warum $A=a^2$ gilt.
4. Einheiten-Foto: Fotografiere oder zeichne Gegenstände, bei denen ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ beziehungsweise ${\mathrm{m}}^2$ als Flächeneinheit sinnvoll wäre.

Standard

1. Raster-Untersuchung: Zeichne vier verschiedene Rechtecke mit dem Flächeninhalt $24$ Kästchen. Notiere zu jeder Figur die Seitenlängen und die passende Multiplikation.
2. Zimmerboden: Miss oder schätze Länge und Breite eines rechteckigen Raumes. Berechne die Bodenfläche und erkläre, welche Maßeinheit sinnvoll ist.
3. Flächengleich, aber anders: Finde mindestens drei verschiedene Rechtecke mit demselben Flächeninhalt und vergleiche ihre Umfänge.
4. Fehlerdetektiv: Erfinde drei typische falsche Rechnungen zum Flächeninhalt. Tausche sie mit einem Partner und korrigiert sie gegenseitig mit Begründung.

Schwer

1. Fehlende Seite: Erstelle fünf eigene Aufgaben, bei denen $A$ und eine Seitenlänge gegeben sind. Berechne jeweils die fehlende Seite und mache eine Probe.
2. Gleiche Fläche, verschiedener Rand: Untersuche alle ganzzahligen Rechtecke mit $A=36$ Flächeneinheiten. Vergleiche die Umfänge und beschreibe ein Muster.
3. GeoGebra-Experiment: Nutze ein dynamisches Rechteck. Halte eine Seitenlänge fest, verändere die andere und dokumentiere in einer Tabelle, wie sich der Flächeninhalt verändert.
4. Erklärvideo erstellen: Produziere ein kurzes Erklärvideo, das die Formel $A=a\cdot b$ aus einem Raster mit Einheitsquadraten herleitet und anschließend das Quadrat als Sonderfall erklärt.

Lernkontrolle

1. Formel begründen: Ein Rechteck ist $9\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang und $4\mathrm{c}\mathrm{m}$ breit. Erkläre mit einem Einheitsquadrat-Raster, warum $9\cdot 4$ den Flächeninhalt ergibt. Eine reine Rechnung reicht nicht.
2. Neue Situation: Eine rechteckige Wand ist $4\mathrm{m}$ breit und $\mathrm{2,5}\mathrm{m}$ hoch. Bestimme ihre Fläche und erkläre, warum das Ergebnis in ${\mathrm{m}}^2$ angegeben wird.
3. Flächen vergleichen: Ein Quadrat hat $a=6\mathrm{c}\mathrm{m}$. Ein Rechteck hat $a=9\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$. Vergleiche beide Flächen und begründe das Ergebnis rechnerisch und anschaulich.
4. Fehler erklären: Jemand rechnet für ein Quadrat mit $a=8\mathrm{c}\mathrm{m}$: $A=8+8=16{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Erkläre genau, was falsch ist, und entwickle eine passende Darstellung mit Einheitsquadraten.
5. Rückwärts denken: Eine rechteckige Fläche ist $54{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ groß. Eine Seite ist $6\mathrm{c}\mathrm{m}$ lang. Ermittle die andere Seite und erkläre den Zusammenhang zur Multiplikation.
6. Alltag modellieren: Ein rechteckiger Teppich soll eine Fläche von $12{\mathrm{m}}^2$ haben. Finde mindestens drei mögliche Seitenlängenpaare und diskutiere, welche Form für einen langen schmalen Flur geeignet sein könnte.
7. Verdoppeln untersuchen: Erkläre, was mit der Fläche eines Quadrats passiert, wenn die Seitenlänge verdoppelt wird. Nutze Formel, Zahlenbeispiel und eine Skizze.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du

1. den Flächeninhalt als Anzahl passender Einheitsflächen erklären kannst,
2. Rechtecke in einem Raster aus Einheitsquadraten deuten kannst,
3. die Rechteckformel $A=a\cdot b$ begründen und anwenden kannst,
4. das Quadrat als Sonderfall des Rechtecks erkennst und $A=a^2$ sicher nutzt,
5. Rechnungen sauber mit Formel, Einsetzen, Rechenweg und Flächeneinheit darstellen kannst,
6. zwischen Umfang und Flächeninhalt unterscheiden kannst,
7. einfache Umkehraufgaben zu Rechtecken lösen kannst,
8. Ergebnisse durch Überschlag, Raster oder Rückrechnung prüfen kannst,
9. Sachaufgaben in eine passende Flächenrechnung übersetzen und das Ergebnis in einem Antwortsatz deuten kannst.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zum Flächeninhalt bietet eine weiterführende Übersicht über Flächenbegriffe und Flächenformeln.

Weitere frei zugängliche Lernmedien in diesem aiMOOC:

1. Einheitsquadrat als geometrische Darstellung
2. Visualisierung der Rechteckfläche
3. quadratisches Raster
4. verschiedene rechteckige Raster

Verknüpfte Lernbereiche

Flächeninhalt Einheitsquadrat Rechteck Quadrat Flächeneinheit Umfang Multiplikation Potenz Sachaufgabe Dynamische Geometrie