Zahlen vergleichen und ordnen - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Zahlen vergleichen und ordnen gehört zu den grundlegenden Kompetenzen der Mathematik. Du brauchst diese Fähigkeit, wenn Du Preise vergleichst, Messwerte auswertest, Entfernungen einschätzt, Ergebnisse sortierst oder Daten in Tabellen untersuchst. In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du natürliche Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche und einfache negative Zahlen sicher vergleichst und der Größe nach ordnest. Dabei helfen Dir der Zahlenstrahl, die Stellenwerttafel, Vergleichszeichen und passende Strategien.

Beim Vergleichen entscheidest Du, welche von zwei Zahlen größer, kleiner oder gleich groß ist. Beim Ordnen bringst Du mehrere Zahlen in eine sinnvolle Reihenfolge, meist aufsteigend von klein nach groß oder absteigend von groß nach klein. In der Mathematik verwendest Du dafür genaue Zeichen:

$a<b$ bedeutet: $a$ ist kleiner als $b$.

$a>b$ bedeutet: $a$ ist größer als $b$.

$a=b$ bedeutet: $a$ ist gleich $b$.

Grundidee: Was bedeutet Vergleichen?

Wenn Du zwei Zahlen vergleichst, fragst Du: Welche Zahl steht weiter rechts auf dem Zahlenstrahl? Die weiter rechts liegende Zahl ist größer. Die weiter links liegende Zahl ist kleiner. Das gilt für natürliche Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche und negative Zahlen.

Beispiele:

$8>5$, denn $8$ liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von $5$.

$12<20$, denn $12$ liegt links von $20$.

$-3<2$, denn $-3$ liegt links von $2$.

$\mathrm{0,7}>\mathrm{0,5}$, denn sieben Zehntel sind mehr als fünf Zehntel.

Die Vergleichszeichen

Die drei wichtigsten Vergleichszeichen sind $<$, $>$ und $=$. Eine hilfreiche Merkhilfe lautet: Die offene Seite zeigt zur größeren Zahl.

Beispiele:

$4<9$: Die Zahl $9$ ist größer.

$15>6$: Die Zahl $15$ ist größer.

$\mathrm{3,20}=\mathrm{3,2}$: Beide Zahlen sind gleich groß, weil angehängte Nullen am Ende einer Dezimalzahl den Wert nicht verändern.

Aufsteigend und absteigend ordnen

Beim aufsteigenden Ordnen beginnst Du mit der kleinsten Zahl und endest mit der größten Zahl. Beim absteigenden Ordnen beginnst Du mit der größten Zahl und endest mit der kleinsten Zahl.

Beispiel aufsteigend:

$4,9,15,27,31$

Beispiel absteigend:

$31,27,15,9,4$

Natürliche Zahlen vergleichen

Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen Du zählst: $1,2,3,4,\dots$. Häufig wird auch $0$ dazugezählt. Je mehr Stellen eine natürliche Zahl hat, desto größer ist sie, wenn keine führenden Nullen vorkommen.

Beispiele:

$98<102$, denn $102$ hat drei Stellen und $98$ nur zwei Stellen.

$7304>699$, denn $7304$ hat vier Stellen und $699$ nur drei Stellen.

Wenn zwei natürliche Zahlen gleich viele Stellen haben, vergleichst Du von links nach rechts die einzelnen Ziffern.

Beispiel:

$4582$ und $4529$

1. Tausender: Beide Zahlen haben $4$ Tausender.
2. Hunderter: Beide Zahlen haben $5$ Hunderter.
3. Zehner: $8$ Zehner sind mehr als $2$ Zehner.
4. Ergebnis: $4582>4529$.

Stellenwerttafel als Hilfe

Die Stellenwerttafel zeigt, welchen Wert jede Ziffer in einer Zahl hat. Die Ziffer $5$ kann zum Beispiel $5$ Einer, $50$ Zehner oder $5000$ Tausender bedeuten. Entscheidend ist ihre Stelle.

Zahl	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer
$4582$	$4$	$5$	$8$	$2$
$4529$	$4$	$5$	$2$	$9$

Da in der Zehnerstelle $8>2$ gilt, ist $4582$ größer als $4529$.

Dezimalzahlen vergleichen

Dezimalzahlen bestehen aus einem Teil vor dem Komma und einem Teil nach dem Komma. Beim Vergleichen gehst Du schrittweise vor.

1. Vorkommastellen vergleichen: Die Zahl mit dem größeren Vorkommateil ist größer.
2. Zehntel, Hundertstel und weitere Nachkommastellen vergleichen: Sind die Vorkommastellen gleich, vergleichst Du die Nachkommastellen von links nach rechts.
3. Nullen ergänzen: Du darfst am Ende einer Dezimalzahl Nullen ergänzen, ohne ihren Wert zu verändern.

Beispiele:

$\mathrm{5,7}>\mathrm{4,99}$, denn $5$ Ganze sind mehr als $4$ Ganze.

$\mathrm{3,48}>\mathrm{3,42}$, denn beide Zahlen haben $3$ Ganze und $4$ Zehntel, aber $8$ Hundertstel sind mehr als $2$ Hundertstel.

$\mathrm{2,5}=\mathrm{2,50}$, denn $\mathrm{2,50}$ hat denselben Wert wie $\mathrm{2,5}$.

Typische Fehler bei Dezimalzahlen

Ein häufiger Fehler besteht darin, Dezimalzahlen wie natürliche Zahlen zu lesen. Die Zahl $\mathrm{0,9}$ ist größer als $\mathrm{0,12}$, obwohl $12$ größer als $9$ ist. Der Grund: $\mathrm{0,9}$ bedeutet neun Zehntel, $\mathrm{0,12}$ bedeutet zwölf Hundertstel. Mit angehängter Null wird es besonders klar:

$\mathrm{0,90}>\mathrm{0,12}$

Brüche vergleichen

Brüche vergleichen zu können ist wichtig, weil viele Größen nicht als ganze Zahlen angegeben werden. Ein Bruch besteht aus Zähler und Nenner:

$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$

Der Nenner zeigt, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wurde. Der Zähler zeigt, wie viele dieser Teile genommen werden.

Brüche mit gleichem Nenner

Haben zwei Brüche denselben Nenner, vergleichst Du nur die Zähler. Der größere Zähler bedeutet den größeren Bruch.

$\frac{5}{8}>\frac{3}{8}$

Begründung: Beide Brüche beziehen sich auf Achtel. Fünf Achtel sind mehr als drei Achtel.

Brüche mit gleichem Zähler

Haben zwei Brüche denselben Zähler, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer. Denn das Ganze wird in weniger, also größere Teile geteilt.

$\frac{3}{4}>\frac{3}{8}$

Begründung: Drei Viertel sind mehr als drei Achtel, weil Viertelstücke größer sind als Achtelstücke.

Brüche durch Erweitern vergleichen

Brüche mit verschiedenen Nennern kannst Du oft vergleichen, indem Du sie auf einen gemeinsamen Nenner bringst. Das nennt man Erweitern oder Kürzen.

Beispiel:

$\frac{2}{3}$ und $\frac{5}{6}$

$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$

Jetzt vergleichst Du:

$\frac{4}{6}<\frac{5}{6}$

Also gilt:

$\frac{2}{3}<\frac{5}{6}$

Brüche und Dezimalzahlen verbinden

Manche Brüche kannst Du leicht als Dezimalzahlen schreiben. Das hilft beim Vergleichen.

$\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$

$\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$

$\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

Beispiel:

$\frac{3}{4}>\mathrm{0,6}$, denn $\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$ und $\mathrm{0,75}>\mathrm{0,6}$.

Negative Zahlen vergleichen

Negative Zahlen begegnen Dir zum Beispiel bei Temperaturen unter $0^{\circ }C$, Höhen unter dem Meeresspiegel oder Kontoständen. Auf dem Zahlenstrahl liegen negative Zahlen links von $0$.

Eine wichtige Regel lautet: Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie.

Beispiele:

$-2>-5$, denn $-2$ liegt rechts von $-5$.

$-8<-3$, denn $-8$ liegt links von $-3$.

$-1<0$, denn jede negative Zahl ist kleiner als $0$.

Strategien zum Vergleichen und Ordnen

Strategie 1: Zahlenstrahl nutzen

Der Zahlenstrahl ist besonders hilfreich, wenn Du Dir Zahlen bildlich vorstellen möchtest. Markiere zuerst wichtige Orientierungspunkte wie $0$, $1$, $10$ oder $100$. Danach ordnest Du die Zahlen an passenden Stellen ein. Die Zahl, die weiter rechts liegt, ist größer.

Strategie 2: Stellenweise vergleichen

Diese Strategie ist besonders gut für natürliche Zahlen und Dezimalzahlen. Vergleiche von links nach rechts. Sobald sich zwei Ziffern unterscheiden, entscheidet diese Stelle.

Beispiel:

$\mathrm{12,347}$ und $\mathrm{12,349}$

1. Ganze Zahlen: Beide haben $12$ Ganze.
2. Zehntel: Beide haben $3$ Zehntel.
3. Hundertstel: Beide haben $4$ Hundertstel.
4. Tausendstel: $7<9$.
5. Ergebnis: $\mathrm{12,347}<\mathrm{12,349}$.

Strategie 3: Gleiche Darstellungsform wählen

Wenn verschiedene Zahlarten vorkommen, hilft es, sie in dieselbe Form zu bringen. Du kannst zum Beispiel Brüche in Dezimalzahlen umwandeln oder Dezimalzahlen als Brüche schreiben.

Beispiel:

Ordne $\frac{1}{2}$, $\mathrm{0,8}$, $\frac{3}{4}$ und $\mathrm{0,25}$ aufsteigend.

$\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$ und $\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

Aufsteigend:

$\mathrm{0,25}<\frac{1}{2}<\frac{3}{4}<\mathrm{0,8}$

Strategie 4: Überschlagen und begründen

Manchmal reicht ein genauer Blick auf die Größenordnung. Wenn Du $999$ und $1001$ vergleichst, erkennst Du sofort, dass $1001$ größer ist, weil die Zahl über $1000$ liegt. Beim Begründen solltest Du aber klar sagen, welche Stelle oder welcher Wert den Unterschied ausmacht.

Zahlen in Sachsituationen vergleichen

In Sachaufgaben musst Du oft entscheiden, welche Zahl größer oder kleiner ist. Dabei ist nicht nur die Zahl wichtig, sondern auch die Einheit.

Beispiel:

Lina läuft $\mathrm{1,2}km$. Omar läuft $950m$. Wer läuft weiter?

Zuerst wandelst Du in dieselbe Einheit um:

$\mathrm{1,2}km=1200m$

Dann vergleichst Du:

$1200m>950m$

Also läuft Lina weiter.

Wichtig: Vergleiche nur Größen, die in derselben Einheit angegeben sind. $\mathrm{2,5}m$ und $240cm$ kannst Du erst sinnvoll vergleichen, wenn Du eine gemeinsame Einheit verwendest:

$\mathrm{2,5}m=250cm$

$250cm>240cm$

Lernvideo

Das folgende Lernvideo kann Dir helfen, das Vergleichen und Ordnen natürlicher Zahlen noch einmal anschaulich zu wiederholen.

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Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1: Natürliche Zahlen ordnen

Ordne $560$, $506$, $650$, $605$ aufsteigend.

Vergleiche zuerst die Hunderterstelle, dann Zehner- und Einerstelle.

Aufsteigend:

$506<560<605<650$

Beispiel 2: Dezimalzahlen ordnen

Ordne $\mathrm{3,4}$, $\mathrm{3,04}$, $\mathrm{3,40}$, $\mathrm{3,39}$ aufsteigend.

Schreibe bei Bedarf Nullen an:

$\mathrm{3,40}$, $\mathrm{3,04}$, $\mathrm{3,40}$, $\mathrm{3,39}$

Aufsteigend:

$\mathrm{3,04}<\mathrm{3,39}<\mathrm{3,4}=\mathrm{3,40}$

Beispiel 3: Brüche ordnen

Ordne $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$ aufsteigend.

Wandle $\frac{1}{2}$ in Achtel um:

$\frac{1}{2}=\frac{4}{8}$

Aufsteigend:

$\frac{3}{8}<\frac{1}{2}<\frac{5}{8}$

Beispiel 4: Negative Zahlen ordnen

Ordne $-4$, $2$, $-1$, $0$, $-7$ aufsteigend.

Auf dem Zahlenstrahl liegen die kleinsten Zahlen am weitesten links.

Aufsteigend:

$-7<-4<-1<0<2$

Merksätze

1. Zahlenstrahl: Eine Zahl ist größer, wenn sie weiter rechts auf dem Zahlenstrahl liegt.
2. Stellenwert: Bei natürlichen Zahlen und Dezimalzahlen vergleichst Du von links nach rechts.
3. Dezimalzahl: Angefügte Nullen am Ende verändern den Wert nicht.
4. Bruchzahl: Bei gleichem Nenner entscheidet der Zähler.
5. Negative Zahl: Bei negativen Zahlen ist die Zahl näher an $0$ meist größer, wenn beide Zahlen negativ sind.
6. Einheit: In Sachaufgaben musst Du zuerst gleiche Einheiten herstellen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welches Zeichen passt in die Lücke: 7 ___ 12? (<) (!>) (!=) (!+)

Welche Zahl ist größer? (4,8) (!4,08) (!4,008) (!4,0008)

Welche Reihenfolge ist aufsteigend? (3, 8, 12, 19) (!19, 12, 8, 3) (!8, 3, 12, 19) (!3, 12, 8, 19)

Welche Aussage zu 2,50 und 2,5 ist richtig? (Beide Zahlen sind gleich groß) (!2,50 ist größer) (!2,5 ist kleiner) (!Die Zahlen kann man nicht vergleichen)

Welche Zahl liegt auf dem Zahlenstrahl am weitesten rechts? (15) (!9) (!0) (!-2)

Welcher Bruch ist größer? (5/7) (!3/7) (!1/7) (!0/7)

Welche Aussage ist richtig? (-2 ist größer als -5) (!-5 ist größer als -2) (!-2 ist gleich -5) (!Negative Zahlen kann man nicht ordnen)

Was ist beim Vergleichen von 1,2 km und 950 m zuerst sinnvoll? (Die Einheiten gleich machen) (!Nur die Ziffern zählen) (!Die Zahlen addieren) (!Die kleinere Einheit weglassen)

Welche Zahl ist die kleinste? (0,09) (!0,9) (!0,19) (!0,90)

Welche Regel hilft beim Vergleichen natürlicher Zahlen mit gleich vielen Stellen? (Von links nach rechts vergleichen) (!Von rechts nach links vergleichen) (!Die Ziffern addieren) (!Nur die letzte Ziffer betrachten)

Memory

Zahlenstrahl	Weiter rechts bedeutet größer
Kleinerzeichen	Öffnung zeigt zur größeren Zahl
Stellenwert	Bedeutung einer Ziffer durch ihre Position
Dezimalzahl	Zahl mit Komma
Bruch	Teil eines Ganzen
Aufsteigend	Von klein nach groß

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Kleiner	Weiter links am Zahlenstrahl
Größer	Weiter rechts am Zahlenstrahl
Gleich	Derselbe Wert
Aufsteigend	Von klein nach groß
Absteigend	Von groß nach klein
Stellenwert	Position einer Ziffer

Kreuzworträtsel

Zahlenstrahl	Worauf liegen kleinere Zahlen links und größere Zahlen rechts?
Stellenwert	Wie nennt man die Bedeutung einer Ziffer durch ihre Position?
Nenner	Welcher Teil eines Bruchs steht unten?
Zaehler	Welcher Teil eines Bruchs steht oben?
Komma	Welches Zeichen trennt bei Dezimalzahlen Ganze und Nachkommastellen?
Ordnung	Wie nennt man das Sortieren von Zahlen nach ihrer Größe?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Vergleichen von Zahlen hilft der , weil größere Zahlen weiter rechts liegen. Das Zeichen $<$ bedeutet als. Beim aufsteigenden Ordnen beginnt man mit der Zahl. Bei natürlichen Zahlen mit gleich vielen Stellen vergleicht man von nach rechts. Bei Dezimalzahlen dürfen am Ende ergänzt werden, ohne den Wert zu verändern. Bei Brüchen mit gleichem Nenner entscheidet der . Negative Zahlen liegen links von . In Sachaufgaben muss man vor dem Vergleichen oft die gleich machen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlenstrahl zeichnen: Zeichne einen Zahlenstrahl von $0$ bis $20$ und markiere zehn Zahlen. Beschreibe anschließend, welche Zahl am weitesten rechts liegt und warum.
2. Vergleichszeichen üben: Schreibe zehn eigene Zahlenpaare auf und setze jeweils $<$, $>$ oder $=$ ein.
3. Alltagszahlen sammeln: Suche zu Hause oder in der Schule fünf Zahlen aus dem Alltag, zum Beispiel Preise, Seitenzahlen oder Temperaturen, und ordne sie aufsteigend.
4. Fehler finden: Erfinde drei falsche Zahlenvergleiche und erkläre schriftlich, woran man den Fehler erkennt.

Standard

1. Stellenwerttafel erstellen: Erstelle eine Stellenwerttafel für fünf vier- oder fünfstellige Zahlen und ordne diese Zahlen anschließend absteigend.
2. Dezimalzahlen vergleichen: Sammle zehn Dezimalzahlen aus Messwerten, Preisen oder Sportergebnissen und ordne sie aufsteigend.
3. Brüche darstellen: Zeichne drei gleich große Rechtecke, teile sie unterschiedlich ein und vergleiche die dargestellten Brüche.
4. Sachaufgabe entwickeln: Schreibe eine eigene Sachaufgabe, in der zwei Größen mit verschiedenen Einheiten verglichen werden müssen, und löse sie.

Schwer

1. Gemischte Zahlen ordnen: Ordne eine Liste aus natürlichen Zahlen, Dezimalzahlen, Brüchen und negativen Zahlen. Begründe jeden Schritt.
2. Strategien vergleichen: Erkläre an einem Beispiel, wann der Zahlenstrahl hilfreicher ist und wann die Stellenwerttafel hilfreicher ist.
3. Mathematisch argumentieren: Beweise mit einem Beispiel, warum $\mathrm{0,9}>\mathrm{0,12}$ gilt, obwohl $12$ größer als $9$ ist.
4. Lernplakat gestalten: Gestalte ein Lernplakat mit Regeln, Beispielen und typischen Fehlern zum Vergleichen und Ordnen von Zahlen.

Lernkontrolle

1. Begründung statt Ergebnis: Erkläre, warum $\mathrm{3,07}<\mathrm{3,7}$ gilt. Nutze dabei Begriffe wie Zehntel und Hundertstel.
2. Transfer auf Sachaufgaben: Zwei Kinder vergleichen Laufstrecken: $\mathrm{1,35}km$ und $1280m$. Begründe, wer weiter gelaufen ist.
3. Bruchvergleich erklären: Vergleiche $\frac{2}{5}$ und $\frac{3}{10}$. Zeige mindestens eine Methode und erkläre sie.
4. Fehleranalyse: Jemand behauptet: $-9>-4$, weil $9>4$ ist. Erkläre den Denkfehler mit dem Zahlenstrahl.
5. Eigene Ordnung entwickeln: Erstelle fünf verschiedene Zahlenarten und ordne sie aufsteigend. Begründe, welche Strategie Du für welche Zahlart benutzt hast.

Lernnachweis

Bearbeite die folgenden Aufgaben schriftlich. Achte darauf, nicht nur Ergebnisse zu nennen, sondern Deine Denkwege zu erklären.

1. Zahlen ordnen: Ordne $\mathrm{4,05}$, $\frac{1}{2}$, $\mathrm{4,5}$, $-1$, $\mathrm{0,75}$ aufsteigend und begründe Deine Reihenfolge.
2. Strategie anwenden: Beschreibe, wie Du beim Vergleichen von $8304$ und $8340$ vorgehst.
3. Alltag übertragen: Erkläre an einem eigenen Beispiel aus dem Alltag, warum gleiche Einheiten beim Vergleichen wichtig sind.
4. Fehler korrigieren: Korrigiere die Aussage $\mathrm{2,9}<\mathrm{2,12}$ und erkläre Deinen Lösungsweg.
5. Begründete Entscheidung: Entscheide, ob $\frac{3}{4}$, $\mathrm{0,8}$ oder $\frac{7}{10}$ am größten ist, und begründe mathematisch.

Links

Zahlen vergleichen und ordnen Zahlenstrahl Vergleichszeichen Stellenwerttafel Natürliche Zahl Dezimalzahl Bruchzahl Negative Zahl Sachaufgabe Größen und Einheiten

Zusammenfassung

Beim Vergleichen und Ordnen von Zahlen prüfst Du, welche Zahl größer, kleiner oder gleich groß ist. Der Zahlenstrahl zeigt Dir die Grundidee: Weiter rechts bedeutet größer, weiter links bedeutet kleiner. Bei natürlichen Zahlen und Dezimalzahlen hilft der Stellenwert. Bei Brüchen vergleichst Du je nach Situation Zähler, Nenner oder bringst die Brüche auf eine gemeinsame Form. Bei negativen Zahlen musst Du besonders auf die Lage zur $0$ achten. In Sachaufgaben brauchst Du oft zuerst gleiche Einheiten, bevor Du sinnvoll vergleichen kannst.