Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

M6 E - Vermutungen, Gegenbeispiele und mathematische Argumente

Einleitung

M6 E - Vermutungen, Gegenbeispiele und mathematische Argumente ist ein Forschungs-aiMOOC für die Mathematik in Klasse 6 auf E-Niveau. Du arbeitest nicht nur Aufgaben aus, sondern untersuchst mathematische Aussagen wie eine Forscherin oder ein Forscher: Du entdeckst Muster, formulierst Vermutungen, prüfst sie systematisch, suchst gezielt nach Gegenbeispielen und baust nachvollziehbare Argumente auf.

Beobachten	Vermuten	Prüfen	Widerlegen oder begründen	Erklären
$\to$ Muster sehen	$\to$ Aussage formulieren	$\to$ Fälle ordnen	$\to$ Gegenbeispiel oder allgemeiner Grund	$\to$ Schluss verständlich darstellen

Merksatz: Viele passende Beispiele können eine Vermutung stützen. Eine allgemeine Aussage wie „für alle Zahlen …“ ist dadurch aber noch nicht bewiesen. Ein einziges gültiges Gegenbeispiel reicht dagegen aus, um eine solche Allaussage zu widerlegen.

Das Video stammt aus einer Mathe-AG für die Klassen 5 bis 8 und führt über Zahlen- und Formmuster zum mathematischen Vermuten.

Lernziele

Am Ende kannst Du die folgenden Tätigkeiten sicher miteinander verbinden:

Ich kann …	Woran man es erkennt
eine Vermutung formulieren	Ich schreibe eine klare Aussage mit festem Gültigkeitsbereich, zum Beispiel „Für jede natürliche Zahl $n$ gilt …“.
systematisch prüfen	Ich wähle nicht nur Lieblingsbeispiele, sondern kleine, große, gerade, ungerade und besondere Fälle.
ein Gegenbeispiel finden	Mein Beispiel erfüllt die Voraussetzungen, aber nicht die behauptete Folgerung.
ein Argument aufbauen	Jeder Schritt hat einen Grund und führt nachvollziehbar zum nächsten Schritt.
Darstellungen wechseln	Ich nutze Tabelle, Zahlengerade, Bild, Term, Diagramm oder dynamisches Modell passend zur Frage.

E-Niveau: Du gehst über bloßes Probieren hinaus. Du vergleichst Darstellungen, achtest auf Randfälle, beschreibst den Gültigkeitsbereich und begründest, warum ein Schluss für alle betrachteten Fälle gilt.

Der Forscherkreislauf

Schritt	Leitfrage	Werkzeug	Beispiel
1. Beobachten	Was fällt auf?	Tabelle, Bild, Zahlengerade	$1, 3, 6, 10, 15, \dots$
2. Vermuten	Welche Regel könnte dahinterstecken?	Satz in Worten, Term	„Die Zuwächse sind $2, 3, 4, 5, \dots$ .“
3. Prüfen	Gilt das in verschiedenen Fällen?	geordnete Testtabelle	weitere Werte berechnen
4. Entscheiden	Gibt es ein Gegenbeispiel oder einen allgemeinen Grund?	Spezialfall, Zerlegen, Umformen	„Ein Gegenbeispiel genügt“ oder „Der Grund gilt für jedes $n$ .“
5. Argumentieren	Warum folgt der Schluss?	Begründungskette	Voraussetzung $\to$ Zwischenschritt $\to$ Schluss

Zahlenmuster: Von der Beobachtung zur Vermutung

Dreieckszahlen untersuchen

Die ersten Dreieckszahlen lassen sich als Punktmuster legen.

Figur $n$	Punkte $T_{n}$	Zuwachs
1	1	–
2	3	$+ 2$
3	6	$+ 3$
4	10	$+ 4$
5	15	$+ 5$
6	21	$+ 6$

Eine passende Vermutung lautet:

$T_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$

Forscherauftrag: Berechne $T_{7}$ , $T_{8}$ und $T_{10}$ auf zwei Arten: einmal durch Weiterzählen der Zuwächse und einmal mit der Formel. Stimmen beide Wege überein? Das ist eine starke Prüfung, aber noch kein allgemeiner Beweis.

Ein wachsendes Muster sichtbar machen

Auch das Pascalsche Dreieck lädt zum Vermuten ein. Beobachte besonders, wie jede neue Zahl aus zwei Zahlen darüber entsteht.

Mini-Forschung: Stoppe gedanklich nach jeder neuen Zeile. Formuliere mindestens zwei Vermutungen, zum Beispiel zu Symmetrie, Randzahlen oder Zeilensummen. Prüfe jede Vermutung an mindestens vier Zeilen.

Figurierte Zahlen im Video

Während des Videos: Notiere jeweils Beobachtung → Vermutung → Prüfung. Übernimm nicht nur Ergebnisse, sondern beschreibe, wodurch die Vermutung überzeugender wird.

Systematisch prüfen statt zufällig probieren

Was bedeutet systematisch?

Für eine Aussage über natürliche Zahlen ist diese Teststrategie sinnvoll:

Testart	Beispielwerte	Warum?
kleine Werte	$1, 2, 3, 4, 5$	Rechenfehler und frühe Ausnahmen entdecken
gerade und ungerade Werte	$6, 7, 10, 11$	verschiedene Zahltypen prüfen
besondere Werte	$1$ , Primzahlen, Vielfache	Randfälle und Struktur testen
größere Werte	$25, 50, 101$	prüfen, ob das Muster stabil bleibt

Das interaktive SVG der Einmaleins-Tafel eignet sich zum systematischen Suchen: Produkte bilden Zeilen-, Spalten- und Teilbarkeitsmuster.

Beispiel: Das Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen

Vermutung: Für jede natürliche Zahl $n$ ist $n (n + 1)$ gerade.

$n$	$n + 1$	$n (n + 1)$	gerade?
1	2	2	ja
2	3	6	ja
3	4	12	ja
4	5	20	ja
5	6	30	ja
10	11	110	ja

Die Tabelle stützt die Vermutung. Der allgemeine Grund ist stärker:

Schritt	Argument
1	$n$ und $n + 1$ sind aufeinanderfolgende natürliche Zahlen.
2	Von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist genau eine gerade.
3	Der Faktor $2$ steckt deshalb in einem der beiden Faktoren.
4	Also enthält $n (n + 1)$ den Faktor $2$ und ist gerade.

Schluss: Die Aussage gilt nicht nur in den getesteten Zeilen, sondern für jedes natürliche $n$ .

Dynamische Muster-Forschung

Bewege die Elemente und versuche zuerst eine Regel zu erkennen. Formuliere danach eine Vermutung, konstruiere neue Fälle und suche bewusst nach einem Fall, der Deine Regel verletzt.

Gegenbeispiele: Eine falsche Allaussage gezielt knacken

Was ist ein Gegenbeispiel?

Eine Allaussage hat oft die Form:

$Für alle x mit Eigenschaft A gilt auch Eigenschaft B.$

Ein Gegenbeispiel ist ein Wert $x$ , für den A erfüllt ist, aber B nicht.

$A erfüllt + B falsch \Rightarrow Gegenbeispiel$

Beispiel 1: „Alle Primzahlen sind ungerade.“

$2 ist prim und 2 ist gerade.$

Damit ist $2$ ein Gegenbeispiel.

Beispiel 2: „Jede durch $2$ teilbare natürliche Zahl ist auch durch $4$ teilbar.“

$6 : 2 = 3$ , aber $6 : 4$ ist keine natürliche Zahl. Also ist $6$ ein Gegenbeispiel.

Gegenbeispiele mit Brüchen

Falsche Aussage: „Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit dem größeren Nenner größer.“

$\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$

Das widerspricht der Aussage: Bei gleichem Zähler wird ein gleich großes Ganzes in mehr Teile geteilt, also wird jedes Teil kleiner.

Bewegliche Bruch-Forschung: Stelle links $\frac{1}{2}$ ein und rechts $\frac{1}{3}$ . Verändere anschließend die Nenner bei gleichem Zähler. Schreibe eine verbesserte Vermutung, die tatsächlich zu Deinen Beobachtungen passt.

Gegenbeispiel-Checkliste

Prüffrage	Muss gelten?
Erfüllt mein Beispiel alle Voraussetzungen?	ja
Ist die behauptete Folgerung für dieses Beispiel falsch?	ja
Reicht dieses eine Beispiel zum Widerlegen einer Allaussage?	ja
Beweist ein einzelnes passendes Beispiel eine Allaussage?	nein

Mehrschrittige Argumente mit geraden und ungeraden Zahlen

Zahlen in Bausteine zerlegen

Jede gerade Zahl lässt sich als $2 a$ schreiben. Jede ungerade Zahl lässt sich als $2 a + 1$ schreiben.

Zahltyp	Beispiele	Bauform
gerade	$2, 4, 6, 8, \dots$	$2 a$
ungerade	$1, 3, 5, 7, \dots$	$2 a + 1$

Argument: Ungerade plus ungerade ist gerade

Nimm zwei beliebige ungerade Zahlen:

$2 a + 1$ und $2 b + 1$

Rechne Schritt für Schritt:

$(2 a + 1) + (2 b + 1) = 2 a + 2 b + 2$

$2 a + 2 b + 2 = 2 (a + b + 1)$

Der Ausdruck hat den Faktor $2$ . Deshalb ist die Summe gerade.

Stufe	Frage	Antwort
Voraussetzung	Was weiß ich?	Beide Zahlen sind ungerade.
Darstellung	Wie schreibe ich ungerade Zahlen?	$2 a + 1$ und $2 b + 1$
Umformung	Was ergibt die Summe?	$2 (a + b + 1)$
Schluss	Warum ist das gerade?	Der gesamte Ausdruck ist ein Vielfaches von $2$ .

Forscherweiterung: Begründe auf dieselbe Weise: $gerade + ungerade = ungerade$

Animierte Einmaleins-Strukturen

Beobachte die wiederkehrenden Vielfachen. Nutze die Animation, um zu erklären, warum jedes Produkt $2 \cdot n$ gerade ist und warum jedes Produkt $5 \cdot n$ auf $0$ oder $5$ endet.

Zahlengerade und Stellenwert als Argumentationswerkzeuge

Rechenwege auf der Zahlengerade

Datei:Walk the Line Addition.webm

Eine Zahlengerade macht nicht nur ein Ergebnis sichtbar, sondern auch einen Rechenweg. Für natürliche Zahlen gilt:

$a + b > a$ , wenn $b > 0$ .

Visuell bedeutet das: Du startest bei $a$ und gehst $b$ Schritte nach rechts.

Prüfe die Voraussetzung: Wenn $b = 0$ , ist $a + b = a$ . Die Formulierung „Addieren macht immer größer“ wäre daher zu ungenau.

Interaktives Stellenwertmodell

Untersuche die Vermutung: „Zwei Zahlen mit gleicher Ziffernsumme sind gleich.“

Ein Gegenbeispiel ist:

$123$ und $312$

Beide haben die Ziffernsumme

$1 + 2 + 3 = 6$ ,

aber wegen der verschiedenen Stellenwerte gilt

$123 \neq 312$ .

Forscherfrage: Welche Informationen reichen aus, um eine natürliche Zahl eindeutig festzulegen? Formuliere Deine Antwort mit Einer-, Zehner-, Hunderter- und Tausenderstelle.

Geometrische Vermutungen prüfen

Gleicher Umfang bedeutet nicht gleiche Fläche

Falsche Vermutung: „Rechtecke mit gleichem Umfang haben immer denselben Flächeninhalt.“

Rechteck	Seiten	Umfang	Fläche
A	$4$ und $6$	$2 (4 + 6) = 20$	$4 \cdot 6 = 24$
B	$2$ und $8$	$2 (2 + 8) = 20$	$2 \cdot 8 = 16$

Beide Rechtecke erfüllen die Voraussetzung „Umfang $20$ “, aber ihre Flächen sind verschieden. Damit bilden sie ein Gegenbeispielpaar.

Würfelnetze: Vermuten, falten, rotieren

Diese Abbildung zeigt die elf verschiedenen Würfelnetze.

Beim Rotieren kannst Du verfolgen, welche Flächen später gegenüberliegen.

Dynamische Forscheraufgabe: Bewege den Schieberegler zum Ein- und Ausfalten. Stelle für ein Netz eine Vermutung darüber auf, welche Flächen beim Falten Nachbarn werden. Prüfe Deine Vermutung durch Falten und Rotation.

Ein geometrisches Gegenbeispiel konstruieren

Aussage: „Jede Anordnung aus sechs kantenverbundenen Quadraten ist ein Würfelnetz.“

Ordne sechs Quadrate in einer geraden Reihe an:

□	□	□	□	□	□

Diese Anordnung lässt sich nicht zu einem Würfel schließen. Sie erfüllt zwar die Bedingung „sechs kantenverbundene Quadrate“, aber nicht die behauptete Eigenschaft „Würfelnetz“. Damit ist sie ein Gegenbeispiel.

Vom Muster zum allgemeinen Argument

Die Summe der ersten ungeraden Zahlen

Berechne:

$1 = 1^{2}$

$1 + 3 = 4 = 2^{2}$

$1 + 3 + 5 = 9 = 3^{2}$

$1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^{2}$

Daraus entsteht die Vermutung:

$1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$

Die Beispiele allein beweisen die Aussage noch nicht. Ein geometrischer Gedanke erklärt jedoch, warum sie immer weiter funktioniert: Aus einem Quadrat mit Seitenlänge $n$ wird ein Quadrat mit Seitenlänge $n + 1$ , wenn man eine L-förmige Schicht aus

$(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1$

neuen Kästchen ergänzt. Genau $2 n + 1$ ist die nächste ungerade Zahl.

Argumentstufe	Mathematischer Inhalt
Start	$1 = 1^{2}$
Wachstum	Jede neue quadratische Figur erhält eine L-Schicht.
Anzahl neuer Kästchen	$2 n + 1$
Bedeutung	$2 n + 1$ ist die nächste ungerade Zahl.
Schluss	Durch fortgesetztes Ergänzen entstehen genau $1^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \dots$ .

E-Niveau: Vergleiche dieses geometrische Argument mit der algebraischen Differenz $(n + 1)^{2} - n^{2}$ . Beide Darstellungen beschreiben dieselbe Struktur.

Diagramme und Zahlenfolgen gemeinsam lesen

Ein Diagramm kann ein Muster sichtbar machen, aber es ersetzt keine Begründung. Formuliere zuerst, was der Graph vermuten lässt. Suche dann nach einem Term oder einer Zerlegung, die erklärt, warum das Muster entsteht.

Gute mathematische Begründungen schreiben

Die Argument-Leiter

Nutze für schriftliche Lösungen diese Struktur:

Stufe	Satzstarter	Funktion
1. Voraussetzung	„Gegeben ist …“	legt den Gültigkeitsbereich fest
2. Bekanntes Wissen	„Weil …“	nennt Definition oder bekannte Eigenschaft
3. Zwischenschritt	„Daraus folgt …“	verbindet die Gedanken
4. Schluss	„Also gilt …“	beantwortet die Frage

Beispiel: „Das Produkt einer geraden Zahl und einer natürlichen Zahl ist gerade.“

$2 a \cdot b = 2 (a b)$

Weil $2 (a b)$ ein Vielfaches von $2$ ist, ist das Produkt gerade.

Typische Denkfehler erkennen

Denkfehler	Problem	Bessere Strategie
„Ich habe fünf Beispiele geprüft, also stimmt es.“	Ungeprüfte Fälle bleiben offen.	Suche nach einem allgemeinen Grund.
„Mein Gegenbeispiel passt ungefähr.“	Es muss alle Voraussetzungen erfüllen.	Prüfe Voraussetzung und Schluss getrennt.
„Das Bild sieht so aus.“	Zeichnungen können täuschen.	Miss, rechne oder nutze eine Eigenschaft.
„Für welche Zahlen gilt das eigentlich?“	Der Gültigkeitsbereich fehlt.	Schreibe zum Beispiel $n \in ℕ$ .
„Ich springe direkt zum Ergebnis.“	Andere können den Schluss nicht prüfen.	Schreibe Zwischenschritte mit Begründungen.

Forscherlabor: Vier Mini-Experimente

Experiment A: Gerade, ungerade, teilbar

Prüfe die Aussagen in einer Tabelle für $n = 1$ bis $n = 12$ :

$n (n + 1)$ ist gerade.
$n^{2} + n$ ist gerade.
Wenn $n$ ungerade ist, ist $n^{2}$ ungerade.

Formuliere anschließend zu mindestens einer Aussage ein allgemeines Argument.

Experiment B: Brüche bewegen

Platziere verschiedene Brüche auf der Zahlengeraden. Teste die Vermutung: „Wenn Zähler und Nenner beide um $1$ erhöht werden, wird der Bruch immer größer.“ Suche gezielt nach einem Gegenbeispiel oder formuliere Bedingungen, unter denen die Aussage stimmen könnte.

Experiment C: Stellenwerte verändern

Bilde aus denselben Ziffern mehrere Zahlen. Sortiere sie der Größe nach und begründe die Reihenfolge mit dem höchsten Stellenwert, an dem sich zwei Zahlen unterscheiden.

Experiment D: Würfelnetze erfinden

Ziehe Quadrate zu möglichen Netzen zusammen. Dokumentiere jeden Versuch als Vermutung – Test – Ergebnis. Markiere mindestens eine Anordnung, die nicht funktioniert, als Gegenbeispiel zur Aussage „jede Anordnung aus sechs Quadraten ist ein Würfelnetz“.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was kann eine mathematische Vermutung am besten beschreiben? (Eine noch zu begründende Aussage über ein erkanntes Muster) (!Ein Rechenergebnis ohne Erklärung) (!Eine Aussage, die allein durch ein Beispiel bewiesen ist) (!Eine Zeichnung, die immer exakt sein muss)

Was reicht aus, um die Aussage „Alle Primzahlen sind ungerade“ zu widerlegen? (Die Primzahl 2) (!Die Primzahl 3) (!Die Zahl 4) (!Die Zahl 9)

Welche Prüfung ist am systematischsten? (Kleine, besondere und verschiedenartige Fälle geordnet prüfen) (!Nur einen sehr großen Wert prüfen) (!Nur Beispiele wählen, die zur Vermutung passen) (!So lange rechnen, bis ein gewünschtes Ergebnis erscheint)

Warum ist n mal n plus 1 immer gerade? (Von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist eine gerade) (!Beide aufeinanderfolgenden Zahlen sind immer gerade) (!Das Produkt zweier Zahlen ist immer gerade) (!Jede natürliche Zahl enthält den Faktor 2)

Was muss ein Gegenbeispiel zu einer Wenn-Dann-Aussage leisten? (Es erfüllt die Voraussetzung und verletzt die Folgerung) (!Es verletzt schon die Voraussetzung) (!Es bestätigt die Folgerung) (!Es muss die größte mögliche Zahl verwenden)

Welche Gleichung zeigt direkt, dass die Summe zweier ungerader Zahlen gerade ist? (2a plus 1 plus 2b plus 1 gleich 2 mal a plus b plus 1) (!2a plus 2b gleich 2a plus b) (!2a plus 1 gleich 2a) (!a plus b gleich 2ab)

Welche Aussage zu Beispielen und Beweisen ist richtig? (Viele passende Beispiele können eine Vermutung stützen, beweisen aber eine Allaussage nicht automatisch) (!Drei passende Beispiele beweisen jede Allaussage) (!Ein Gegenbeispiel macht eine wahre Allaussage noch sicherer) (!Ein Diagramm ist immer ein vollständiger Beweis)

Welche beiden Rechtecke widerlegen die Aussage, gleicher Umfang bedeute gleiche Fläche? (Seiten 4 und 6 sowie Seiten 2 und 8) (!Seiten 4 und 6 sowie Seiten 6 und 4) (!Seiten 3 und 3 sowie Seiten 3 und 3) (!Seiten 2 und 5 sowie Seiten 2 und 5)

Wofür ist eine Zahlengerade beim Argumentieren besonders nützlich? (Sie kann Richtung und Größe von Rechenschritten sichtbar machen) (!Sie beweist automatisch jede Zahlenaussage) (!Sie zeigt nur Brüche und keine natürlichen Zahlen) (!Sie ersetzt jede Rechnung)

Was gehört zu einer guten mehrschrittigen Begründung? (Voraussetzung, begründete Zwischenschritte und Schluss) (!Nur das Endergebnis) (!Möglichst viele unverbundene Beispiele) (!Eine Vermutung ohne Prüfung)

Memory

Vermutung	begründungsbedürftige mathematische Aussage
Gegenbeispiel	einzelner Fall, der eine Allaussage widerlegt
systematisches Prüfen	geordnet verschiedene und besondere Fälle untersuchen
Allaussage	Behauptung über jedes Element eines festgelegten Bereichs
Zwischenschritt	begründete Verbindung zwischen Voraussetzung und Schluss
Stellenwert	Wert einer Ziffer aufgrund ihrer Position
Würfelnetz	sechs Quadrate, die sich zu einem Würfel falten lassen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Beobachtung	Auffälligkeit in Zahlen, Formen oder Daten beschreiben
Vermutung	mögliche allgemeine Regel formulieren
Prüfung	verschiedene Fälle gezielt untersuchen
Gegenbeispiel	einen zulässigen Fall finden, in dem die Behauptung scheitert
Begründung	Schritte durch bekannte Eigenschaften verbinden
Schluss	Ergebnis klar auf den Gültigkeitsbereich beziehen

Kreuzworträtsel

Vermutung	Wie heißt eine mathematische Aussage, deren Wahrheit noch geprüft oder begründet werden soll?
Gegenbeispiel	Wie nennt man einen passenden Einzelfall, der eine Allaussage widerlegt?
Begründung	Wie heißt die nachvollziehbare Erklärung, warum ein Schluss gilt?
Teilbarkeit	Welcher Begriff beschreibt, ob eine Zahl ohne Rest durch eine andere Zahl geteilt werden kann?
ungerade	Wie heißt der Zahltyp von 1, 3, 5 und 7?
Stellenwert	Welcher Begriff beschreibt den Wert einer Ziffer durch ihre Position?

LearningApps

Lückentext

Eine mathematische

entsteht häufig aus einem erkannten Muster.

Bei einer systematischen Prüfung untersucht man bewusst

Fälle.

Eine Aussage über alle Elemente eines Bereichs nennt man

.

Ein einziges gültiges

kann eine falsche Allaussage widerlegen.

Ein Gegenbeispiel muss die

der Aussage erfüllen.

Viele passende Beispiele ersetzen noch keinen allgemeinen

.

Jede gerade Zahl lässt sich in der Form

darstellen.

Jede ungerade Zahl lässt sich in der Form

darstellen.

Eine nachvollziehbare Lösung enthält begründete

.

Der letzte Schritt einer Argumentation formuliert den

.

Offene Aufgaben

Leicht

Musterdetektiv: Erfinde eine Zahlenfolge mit mindestens sechs Gliedern. Gib die ersten fünf Glieder an und lasse eine andere Person Deine Regel vermuten. Vergleicht anschließend verschiedene mögliche Regeln.
Gegenbeispiel-Sammlung: Formuliere drei falsche Allaussagen über natürliche Zahlen und finde jeweils das kleinstmögliche Gegenbeispiel.
Zahlengeraden-Film: Zeichne oder animiere einen Rechenweg auf einer Zahlengeraden und erkläre jeden Schritt mit einem kurzen mathematischen Satz.
Bruch-Forscherkarte: Stelle zwei Brüche mit Material, Zeichnung oder GeoGebra dar. Formuliere eine Vermutung zum Größenvergleich und prüfe sie an drei weiteren Paaren.

Standard

Dreieckszahlen-Projekt: Baue die ersten acht Dreieckszahlen aus Punkten oder Plättchen, erstelle eine Tabelle und begründe die Zuwachsregel.
Paritätslabor: Untersuche alle vier Fälle gerade plus gerade, gerade plus ungerade, ungerade plus ungerade und ungerade mal ungerade. Formuliere zu jedem Fall eine Vermutung und begründe mindestens zwei allgemein.
Ziffernexperiment: Verwende die Ziffern 2, 4, 6 und 8 genau einmal. Erzeuge verschiedene vierstellige Zahlen, ordne sie und begründe eine Strategie, mit der man die größte und kleinste Zahl sofort findet.
Netzwerkstatt: Erstelle aus Papier mindestens drei gültige und zwei ungültige Anordnungen aus sechs Quadraten. Fotografiere oder zeichne sie und beschrifte die Gegenbeispiele.

Schwer

Argumentationsvergleich: Beweise die Aussage „Das Produkt zweier ungerader natürlicher Zahlen ist ungerade“ einmal mit Punktpaaren und einmal mit $(2 a + 1) (2 b + 1)$ . Vergleiche die Stärken beider Darstellungen.
Umfang-und-Fläche-Forschung: Finde mindestens vier Rechtecke mit Umfang $24$ . Untersuche die Flächeninhalte, formuliere eine Vermutung zum größten Flächeninhalt und begründe sie anschaulich.
Vermutungswerkstatt: Entwickle zu einer selbst gewählten Zahlenfolge eine Vermutung, die zunächst sehr glaubwürdig wirkt. Versuche anschließend aktiv, sie zu widerlegen. Dokumentiere auch gescheiterte Suchwege.
Forscher-Erklärvideo: Produziere ein zwei- bis vierminütiges Video, in dem Du eine falsche Allaussage vorstellst, systematisch nach einem Gegenbeispiel suchst und abschließend erklärst, warum genau dieses Beispiel die Aussage widerlegt.

Lernkontrolle

Vom Test zum Argument: Eine Schülerin prüft $n (n + 1)$ für $n = 1, 2, 3, 4, 5$ und erklärt danach: „Damit ist bewiesen, dass das Produkt immer gerade ist.“ Beurteile die Begründung und ergänze einen allgemeinen Argumentationsschritt.
Gegenbeispiel mit Bedingungen: Die Aussage lautet: „Wenn eine natürliche Zahl durch $6$ teilbar ist, dann ist sie durch $4$ teilbar.“ Finde ein Gegenbeispiel und erkläre ausdrücklich, welche Voraussetzung erfüllt und welche Folgerung verletzt ist.
Darstellungswechsel: Prüfe die Vermutung „Bei gleichem Zähler ist der Bruch mit kleinerem Nenner größer“ mit einer Bruchdarstellung und anschließend mit einer Zahlengeraden. Erkläre, warum beide Darstellungen zum selben Schluss führen.
Geometrischer Transfer: Zwei Rechtecke haben denselben Umfang. Entwickle eine Methode, mit der Du systematisch verschiedene Flächeninhalte erzeugst, und erkläre, warum ein einziges Paar mit verschiedenen Flächen die Gleichheitsvermutung widerlegt.
Begründungskette: Formuliere eine vierstufige Argumentation für die Aussage „Gerade plus ungerade ist ungerade“. Verwende eine Darstellung mit $2 a$ und $2 b + 1$ .
Argument prüfen: Jemand schreibt: „ $3^{2} = 9$ und $5^{2} = 25$ , also ist das Quadrat jeder natürlichen Zahl ungerade.“ Analysiere den Denkfehler, finde ein Gegenbeispiel und formuliere eine korrekte Aussage.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deinen Denkweg sichtbar machst.

Vermutung formulieren: Eine klare Aussage mit eindeutigem Gültigkeitsbereich aufstellen.
Systematisch prüfen: Geeignete Fälle begründet auswählen und geordnet dokumentieren.
Gegenbeispiel prüfen: Zeigen, dass die Voraussetzung erfüllt und die behauptete Folgerung verletzt ist.
Mehrschrittig argumentieren: Voraussetzung, bekannte Eigenschaft, Zwischenschritte und Schluss nachvollziehbar verbinden.
Darstellungen nutzen: Tabelle, Bild, Zahlengerade, Term oder dynamisches Modell sinnvoll einsetzen.
Fehler erkennen: Zwischen Beispiel, Vermutung, Gegenbeispiel und allgemeiner Begründung unterscheiden.
Fachsprache verwenden: Begriffe wie gerade, ungerade, teilbar, Primzahl, Stellenwert, Umfang und Fläche korrekt einsetzen.

OERs zum Thema

Wikipedia: Gegenbeispiel

Wikipedia: Vermutung in der Mathematik

Freie und interaktive Lernmedien im aiMOOC: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind frei lizenziert oder gemeinfrei; die Lizenzinformationen stehen jeweils auf der zugehörigen Dateiseite. Die GeoGebra-Aktivitäten werden als externe interaktive Lernwerkzeuge eingebunden.

Verknüpfte Lernbereiche

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