M6 E - Flächen von Trapez und Kreis untersuchen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

M6 E - Flächen von Trapez und Kreis untersuchen

Dieser aiMOOC richtet sich an Lernende der Klasse 6 auf E-Niveau. Du untersuchst zwei wichtige Flächenformen der Geometrie: das Trapez und den Kreis. Dabei sollst Du Formeln nicht nur anwenden, sondern anschaulich verstehen. Du zerlegst, verdoppelst, verschiebst und vergleichst Flächen. Viele Bilder, Animationen, dynamische Modelle und Schritt-für-Schritt-Rechnungen helfen Dir dabei.

Einleitung

Beim Flächeninhalt geht es um die Frage:

Wie groß ist die Fläche innerhalb einer Figur?

Das Ergebnis wird in Quadrateinheiten angegeben, zum Beispiel ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$, ${\mathrm{m}}^2$ oder ${\mathrm{m}\mathrm{m}}^2$.

In diesem aiMOOC arbeitest Du mit zwei Figuren:

Figur	Wichtige Größen	Ziel
Trapez	parallele Seiten $a$ und $c$, Höhe $h$	Flächenformel verstehen und sicher anwenden
Kreis	Radius $r$, Kreiszahl $\pi$	Kreisflächenformel durch Zerlegen und Umordnen verstehen

Du wirst besonders häufig mit diesen beiden Formeln arbeiten:

$A_{\text{Trapez}}=\frac{a+c}{2}\cdot h$

$A_{\text{Kreis}}=\pi r^2$

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, welche Seiten eines Trapezes parallel sind, die Höhe als senkrechten Abstand erkennen, geeignete Trapeze berechnen, Rechenwege mit Einheiten darstellen und Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.

Du kannst außerdem Radius und Durchmesser unterscheiden, die Kreisfläche mit $A=\pi r^2$ berechnen und anschaulich erläutern, warum beim Zerlegen eines Kreises in viele schmale Sektoren eine fast rechteckige Form entsteht.

Kompetenz	Das kannst Du am Ende
Erkennen	Trapeze, parallele Seiten, Höhe, Radius und Durchmesser in Skizzen markieren
Berechnen	$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$ und $A=\pi r^2$ passend einsetzen
Begründen	die Trapezformel durch Verdoppeln und die Kreisformel durch Zerlegen erklären
Darstellen	Rechenwege mit Formeln, Zwischenschritten und Flächeneinheiten übersichtlich notieren
Übertragen	Flächen in Sachaufgaben, Bildern und zusammengesetzten Figuren untersuchen

Das Trapez untersuchen

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander verlaufen. Diese beiden parallelen Seiten nennen wir hier $a$ und $c$.

Die Höhe $h$ ist nicht einfach irgendeine schräge Seite. Sie ist der senkrechte Abstand zwischen den beiden parallelen Seiten.

Die drei Größen für die Trapezfläche

Zeichen	Bedeutung	Wichtig
$a$	erste parallele Seite	Länge in cm, m oder einer anderen Längeneinheit
$c$	zweite parallele Seite	ebenfalls parallel zu $a$
$h$	Höhe	steht senkrecht auf den parallelen Seiten

Merksatz: Für die Fläche brauchst Du die beiden parallelen Seiten und die Höhe.

Warum gilt die Trapezformel? Verdoppeln und umordnen

Eine besonders anschauliche Idee ist das Verdoppeln. Stell Dir zwei gleich große Trapeze vor. Eines davon wird gedreht und passend an das andere gelegt. Zusammen entsteht eine Figur, die wie ein Parallelogramm behandelt werden kann.

Die neue Grundseite hat die Länge

$a+c$

und die Höhe bleibt

$h$.

Damit gilt für zwei gleiche Trapeze:

$2A=(a+c)\cdot h$

Teilst Du durch $2$, erhältst Du die Fläche eines Trapezes:

$A=\frac{(a+c)\cdot h}{2}$

Das ist gleichbedeutend mit

$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$.

Die Animation zeigt, dass ein Trapez seine Lage verändern kann, ohne dass seine wesentlichen Flächeneigenschaften verloren gehen. Entscheidend für die Formel bleiben die parallelen Seiten und ihre senkrechte Entfernung.

Ein Trapez zerlegen

Du kannst ein Trapez auch in ein Rechteck und zwei Dreiecke oder in zwei Dreiecke zerlegen. Die Teilflächen lassen sich einzeln berechnen und anschließend addieren.

Die Zerlegungen führen zur gleichen Flächenformel. Das ist ein wichtiger mathematischer Gedanke: Verschiedene Rechenwege können zum gleichen Ergebnis führen.

Beispiel 1: Trapezfläche Schritt für Schritt

Gegeben sind

$a=8\mathrm{c}\mathrm{m}$

$c=4\mathrm{c}\mathrm{m}$

$h=5\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Schritt	Rechnung	Bedeutung
1	$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$	Formel aufschreiben
2	$A=\frac{8+4}{2}\cdot 5$	Werte einsetzen
3	$A=\frac{12}{2}\cdot 5$	parallele Seiten addieren
4	$A=6\cdot 5$	durch zwei teilen
5	$A=30{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	Ergebnis mit Flächeneinheit

Ergebnis: Das Trapez hat den Flächeninhalt $30{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

Beispiel 2: Ein größeres Trapez

Gegeben sind $a=12\mathrm{m}$, $c=6\mathrm{m}$ und $h=7\mathrm{m}$.

$A=\frac{12+6}{2}\cdot 7$

$A=\frac{18}{2}\cdot 7$

$A=9\cdot 7$

$A=63{\mathrm{m}}^2$

Visueller Fehlercheck beim Trapez

Prüffrage	Richtiges Denken
Habe ich die parallelen Seiten verwendet?	Nur die beiden parallelen Seiten werden in $a+c$ addiert.
Habe ich wirklich die Höhe eingesetzt?	$h$ muss senkrecht zwischen den parallelen Seiten liegen.
Habe ich durch $2$ geteilt?	Die Summe der parallelen Seiten wird halbiert.
Habe ich eine Flächeneinheit?	Aus Zentimetern wird bei einer Fläche ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.
Ist das Ergebnis plausibel?	Die Fläche muss zu Größe und Höhe der Figur passen.

Freies Lernvideo zum Trapez

Das folgende Video liegt auf Wikimedia Commons vor und erklärt Flächeninhalt und Umfang von Rechteck, Parallelogramm und Trapez.

Datei:Flächeninhalt und Umfang von Parallelogramm und Trapez - kolleg24 Mathematik.webm

Als zusätzliche Erklärung kannst Du dieses YouTube-Video nutzen:

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Dynamische Geometrie: Verändere ein Trapez

Mit einer dynamischen Geometrie-Software kannst Du Punkte verschieben und beobachten, was mit der Fläche passiert.

Arbeitsauftrag:

1. Erzeuge zwei parallele Geraden.
2. Setze auf jede Gerade zwei Punkte und verbinde sie zu einem Trapez.
3. Miss die Längen der parallelen Seiten und die Höhe.
4. Berechne die Fläche mit $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$.
5. Verschiebe einen Eckpunkt auf seiner parallelen Geraden und beobachte die Veränderung der Fläche.

Den Kreis untersuchen

Beim Kreis ist der Radius $r$ die Strecke vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie. Der Durchmesser $d$ geht durch den Mittelpunkt von einer Seite des Kreises zur anderen.

Es gilt:

$d=2r$

und damit

$r=\frac{d}{2}$.

Die Kreiszahl π

Die Zahl $\pi$ wird ungefähr so angegeben:

$\pi \approx \mathrm{3,14159}$

Für viele Rechnungen in Klasse 6 reicht eine sinnvolle Näherung, zum Beispiel

$\pi \approx \mathrm{3,14}$.

Die Kreisfläche wird mit

$A=\pi r^2$

berechnet.

Warum gilt $A=\pi r^2$? Kreis zerlegen und umordnen

Die Formel soll nicht nur auswendig gelernt werden. Du kannst ihre Idee sichtbar machen.

Stell Dir vor, ein Kreis wird wie eine Pizza in viele gleich große, schmale Kreissektoren zerlegt. Danach legst Du die Stücke abwechselnd mit der Spitze nach oben und nach unten nebeneinander.

Wenn die Stücke noch grob sind, ist der Rand der neuen Figur deutlich gezackt. Je mehr und je schmalere Stücke Du verwendest, desto stärker ähnelt die neue Figur einem Rechteck oder Parallelogramm.

Die Höhe dieser fast rechteckigen Figur entspricht ungefähr dem Radius:

$h=r$.

Die obere und die untere lange Seite bestehen jeweils ungefähr aus der Hälfte des Kreisumfangs. Der Kreisumfang ist

$U=2\pi r$.

Die Hälfte davon ist

$\frac{U}{2}=\pi r$.

Damit entsteht für die Fläche:

$A\approx \pi r\cdot r$.

Je feiner die Zerlegung wird, desto genauer wird die rechteckige Form. Dadurch erhält man schließlich

$A=\pi r^2$.

Animation: Kreisfläche wird umgeordnet

Die folgende Animation zeigt besonders anschaulich, wie ein Kreis in Flächenstücke zerlegt und neu angeordnet werden kann.

Beobachte beim Abspielen:

1. Welche Länge bleibt in allen Bildern gleich?
2. Wo erkennst Du den Radius $r$?
3. Warum verändert das Umordnen die Gesamtfläche nicht?
4. Welche bekannte Flächenform entsteht näherungsweise?

Beispiel 3: Kreisfläche mit Radius

Ein Kreis hat den Radius

$r=4\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Die Formel lautet:

$A=\pi r^2$.

Einsetzen:

$A=\pi \cdot 4^2$

$A=16\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Mit $\pi \approx \mathrm{3,14159}$:

$A\approx \mathrm{50,27}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

Darstellung	Ergebnis
Exakt	$16\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
Gerundet	$\mathrm{50,27}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Beispiel 4: Durchmesser gegeben

Ein Kreis hat den Durchmesser

$d=10\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Zuerst bestimmst Du den Radius:

$r=\frac{d}{2}=\frac{10}{2}=5\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Dann gilt:

$A=\pi r^2$

$A=\pi \cdot 5^2$

$A=25\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

$A\approx \mathrm{78,54}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

Was passiert, wenn der Radius größer wird?

Die Kreisfläche wächst nicht einfach im gleichen Verhältnis wie der Radius, denn der Radius wird quadriert.

Radius	Exakte Fläche	Näherungswert
$1\mathrm{c}\mathrm{m}$	$\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	$\mathrm{3,14}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
$2\mathrm{c}\mathrm{m}$	$4\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	$\mathrm{12,57}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
$3\mathrm{c}\mathrm{m}$	$9\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	$\mathrm{28,27}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
$4\mathrm{c}\mathrm{m}$	$16\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	$\mathrm{50,27}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Verdoppelst Du den Radius von $r$ auf $2r$, dann gilt:

$A_1=\pi r^2$

$A_2=\pi (2r{)}^2=4\pi r^2$.

Die Fläche wird also viermal so groß.

Dynamisches Kreis-Modell

Nutze die dynamische Geometrie-Ansicht und erzeuge einen Kreis mit Mittelpunkt und einem beweglichen Randpunkt. Miss den Radius und die Fläche. Verschiebe anschließend den Randpunkt.

Prüfe experimentell:

1. Was passiert mit $A$, wenn sich $r$ verdoppelt?
2. Was passiert mit $A$, wenn sich $r$ verdreifacht?
3. Vergleiche die Messwerte mit $A=\pi r^2$.

Ergänzendes Lernvideo zum Kreis

Das folgende Video behandelt die Berechnung von Kreisfläche und Kreisumfang:

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Nutze beim Anschauen die Pause-Taste und rechne gezeigte Beispiele zunächst selbst.

Trapez und Kreis vergleichen

Merkmal	Trapez	Kreis
Wichtige Längen	parallele Seiten $a$, $c$ und Höhe $h$	Radius $r$
Flächenformel	$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$	$A=\pi r^2$
Anschauliche Herleitung	verdoppeln, zerlegen, zu einem Parallelogramm umordnen	in Sektoren zerlegen und fast rechteckig anordnen
Flächeneinheit	zum Beispiel ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$	zum Beispiel ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
Typischer Fehler	schräge Seite statt Höhe einsetzen	Durchmesser statt Radius einsetzen

Visuelle Schritt-für-Schritt-Übungen

Übung A: Trapez

Gegeben sind $a=9\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=5\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $h=4\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Berechne den Flächeninhalt.

Lösung einblenden

$A=\frac{a+c}{2}\cdot h$

$A=\frac{9+5}{2}\cdot 4$

$A=\frac{14}{2}\cdot 4$

$A=7\cdot 4$

$A=28{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Übung B: Kreis

Ein Kreis hat $r=6\mathrm{c}\mathrm{m}$. Berechne die Fläche exakt und näherungsweise.

Lösung einblenden

$A=\pi r^2$

$A=\pi \cdot 6^2$

$A=36\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

$A\approx \mathrm{113,10}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Übung C: Fehler finden

Eine Schülerin berechnet bei einem Trapez mit $a=10\mathrm{c}\mathrm{m}$, $c=6\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $h=3\mathrm{c}\mathrm{m}$:

$A=(10+6)\cdot 3=48{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

Lösung einblenden

Die Division durch $2$ fehlt.

Richtig ist:

$A=\frac{10+6}{2}\cdot 3$

$A=8\cdot 3$

$A=24{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

Übung D: Kreis mit Durchmesser

Ein Kreis hat $d=14\mathrm{c}\mathrm{m}$. Bestimme zuerst den Radius und dann den Flächeninhalt.

Lösung einblenden

$r=\frac{14}{2}=7\mathrm{c}\mathrm{m}$

$A=\pi r^2$

$A=49\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

$A\approx \mathrm{153,94}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

Medien und freie Lernmaterialien

Die Wikimedia-Commons-Medien wurden wegen ihrer nachvollziehbaren Datei- und Lizenzangaben ausgewählt. Durch Anklicken der Mediendatei kann die jeweilige Dateibeschreibung mit Urheber- und Lizenzinformationen aufgerufen werden.

Medium	Lernzweck	Lizenzangabe auf Wikimedia Commons
Trapezoid.svg	Grundform des Trapezes	gemeinfrei
Trapeze aire decoupage.svg	Zerlegung eines Trapezes	CC BY-SA 4.0
Trapeze decoupage 2 triangles.svg	Zerlegung in zwei Dreiecke	CC BY-SA 4.0
Moving-trapezoid.gif	animiertes Trapez	CC BY-SA 3.0
CircleArea.svg	Zerlegungsbeweis der Kreisfläche	gemeinfrei
Circle Area.svg	Darstellung von $A=\pi r^2$	gemeinfrei
Circle area by reassembly.svg	Kreisstücke werden neu angeordnet	CC BY 3.0
TriangleFromCircle.gif	animiertes Umformen einer Kreisfläche	CC BY-SA 3.0
Flächeninhalt und Umfang von Parallelogramm und Trapez - kolleg24 Mathematik.webm	freies deutschsprachiges Erklärvideo	CC BY-SA 4.0

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Seiten brauchst Du bei der Trapezformel zusätzlich zur Höhe? (Die beiden parallelen Seiten) (!Die beiden Diagonalen) (!Die beiden schrägen Seiten) (!Nur eine beliebige Seite)

Wie liegt die Höhe eines Trapezes zu den parallelen Seiten? (Senkrecht) (!Parallel) (!Immer schräg) (!Immer auf einer Diagonalen)

Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Trapezes? (A gleich Summe der parallelen Seiten geteilt durch zwei mal Höhe) (!A gleich erste Seite mal zweite Seite) (!A gleich Höhe mal Höhe) (!A gleich Summe aller vier Seiten)

Ein Trapez hat die parallelen Seiten 8 cm und 4 cm sowie die Höhe 5 cm. Wie groß ist seine Fläche? (30 Quadratzentimeter) (!20 Quadratzentimeter) (!40 Quadratzentimeter) (!60 Quadratzentimeter)

Welche Einheit ist eine Flächeneinheit? (Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Kubikzentimeter) (!Liter)

Welche Formel berechnet die Kreisfläche? (A gleich Pi mal Radius zum Quadrat) (!A gleich zwei mal Pi mal Radius) (!A gleich Pi mal Durchmesser) (!A gleich Radius plus Pi)

Welche exakte Fläche hat ein Kreis mit Radius 3 cm? (9 Pi Quadratzentimeter) (!3 Pi Quadratzentimeter) (!6 Pi Quadratzentimeter) (!18 Pi Quadratzentimeter)

Welche Länge bildet bei der Sektorenanordnung ungefähr die lange Seite der fast rechteckigen Figur? (Die Hälfte des Kreisumfangs) (!Der ganze Durchmesser) (!Ein Viertel des Radius) (!Die doppelte Kreisfläche)

Was passiert mit der Kreisfläche, wenn der Radius verdoppelt wird? (Sie wird viermal so groß) (!Sie wird doppelt so groß) (!Sie bleibt gleich) (!Sie wird halb so groß)

Ein Kreis hat den Durchmesser 10 cm. Welchen Radius setzt Du in die Flächenformel ein? (5 cm) (!10 cm) (!20 cm) (!2 cm)

Memory

Trapez	Viereck mit parallelen Gegenseiten
Höhe	Senkrechter Abstand der parallelen Seiten
Radius	Strecke vom Mittelpunkt zur Kreislinie
Durchmesser	Doppelte Länge des Radius
Kreiszahl	Pi
Kreissektor	Tortenstück einer Kreisfläche

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Trapezhöhe	senkrechter Abstand zwischen den parallelen Seiten
Kreisradius	halber Durchmesser
Trapezfläche	Mittelwert der parallelen Seiten mal Höhe
Kreisfläche	Kreiszahl mal Radius zum Quadrat
Flächeneinheit	Einheit mit hochgestellter Zwei

Kreuzworträtsel

Trapez	Welches Viereck besitzt ein Paar paralleler Gegenseiten?
Radius	Wie heißt die Strecke vom Kreismittelpunkt zur Kreislinie?
Hoehe	Welche Länge steht beim Trapez senkrecht zwischen den parallelen Seiten?
Durchmesser	Welche Kreisstrecke ist doppelt so lang wie der Radius?
Kreiszahl	Wie heißt die Zahl Pi mit einem Wort?
Sektor	Wie heißt ein tortenstückförmiger Teil eines Kreises?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem Trapez sind zwei gegenüberliegende Seiten .

Die Höhe eines Trapezes steht zu diesen Seiten .

Für die Trapezfläche wird die Summe der parallelen Seiten zunächst durch geteilt.

Der Radius führt vom Kreismittelpunkt bis zur .

Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der .

Die Kreiszahl wird mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet.

Bei der Kreisflächenformel wird der Radius .

Beim Umordnen vieler schmaler Kreissektoren entsteht näherungsweise ein .

Ein Flächeninhalt in Zentimetern wird in angegeben.

Wenn der Radius verdoppelt wird, wird die Kreisfläche so groß.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Trapez-Puzzle: Zeichne ein Trapez auf Papier, schneide es zweimal aus, drehe eine Kopie und lege beide Teile zu einer möglichst einfachen Gesamtfigur. Fotografiere Deine Anordnung und beschrifte $a$, $c$ und $h$.
2. Kreis-Pizza: Zeichne einen Kreis, teile ihn in mindestens acht gleich große Sektoren, schneide sie aus und ordne sie abwechselnd mit der Spitze nach oben und unten. Beschreibe, welche Form entsteht.
3. Formen-Suche: Suche in Deiner Umgebung drei Gegenstände oder Abbildungen, die annähernd trapezförmig oder kreisförmig sind. Erstelle eine kleine Bildersammlung und markiere die für eine Flächenberechnung nötigen Maße.
4. Rechenplakat: Gestalte ein Lernplakat mit je einem vollständig gerechneten Beispiel für $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$ und $A=\pi r^2$.

Standard

1. Dynamisches Trapez: Erzeuge in einer dynamischen Geometrie-Software ein Trapez. Verschiebe Eckpunkte, miss $a$, $c$ und $h$ und dokumentiere mindestens vier unterschiedliche Flächeninhalte.
2. Radius-Tabelle: Erstelle für $r=1\mathrm{c}\mathrm{m}$ bis $r=10\mathrm{c}\mathrm{m}$ eine Tabelle mit $A=\pi r^2$. Beschreibe das Wachstum der Werte in eigenen Worten.
3. Erklärvideo Kreisfläche: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du einen Kreis in Sektoren zerlegst und anschaulich erklärst, weshalb die umgeordnete Figur zu $A=\pi r^2$ führt.
4. Fehlerdetektiv: Erfinde je zwei typische falsche Rechnungen zur Trapezfläche und zur Kreisfläche. Tausche sie mit einem Lernpartner und verbessert gegenseitig die Fehler.

Schwer

1. Gleiche Fläche: Konstruiere ein Trapez und einen Kreis mit möglichst ähnlichem Flächeninhalt. Dokumentiere Maße, Rechnungen und die Abweichung der beiden Flächen.
2. Sektoren-Experiment: Vergleiche Kreiszerlegungen mit 6, 12, 24 und 48 Sektoren. Beschreibe, wie sich die umgeordnete Form verändert und warum die Näherung immer besser wird.
3. Flächen-Design: Entwirf ein Logo, das aus mindestens einem Trapez und einem Kreis oder Halbkreis besteht. Lege Maße fest und bestimme die Gesamtfläche durch sinnvolles Zerlegen oder Ergänzen.
4. Messprojekt Schulhof: Finde eine reale trapezförmige oder kreisförmige Fläche auf dem Schulgelände oder in Deiner Umgebung. Entwickle einen Messplan, ermittle notwendige Maße, schätze mögliche Messfehler ab und berechne die Fläche.

Lernkontrolle

1. Formelwahl begründen: Du erhältst drei Skizzen mit verschiedenen Maßangaben. Entscheide jeweils, ob genügend Informationen für eine Flächenberechnung vorliegen, und begründe Deine Entscheidung.
2. Fehleranalyse Trapez: Eine Rechnung verwendet bei einem Trapez eine schräge Seitenlänge als Höhe. Erkläre geometrisch, warum das falsch ist, und zeichne die richtige Höhe ein.
3. Kreisvergleich: Zwei runde Beete haben Radien von $2\mathrm{m}$ und $4\mathrm{m}$. Vergleiche ihre Flächen ohne zuerst Dezimalwerte von $\pi$ zu berechnen und begründe den Zusammenhang.
4. Zerlegungsargument: Erkläre mit einer eigenen Skizze, warum das Umordnen von Kreisstücken den Flächeninhalt nicht verändert und weshalb die neue Figur bei vielen Sektoren fast rechteckig wird.
5. Sachproblem Trapez: Ein trapezförmiges Beet soll mit Rasen bedeckt werden. Formuliere selbst sinnvolle Maße, berechne die Fläche und erkläre, welche Maße in der Realität tatsächlich gemessen werden müssten.
6. Modellkritik: Eine runde Tischplatte wird mit $A=2\pi r$ berechnet. Untersuche die Aussage, finde die Verwechslung und erkläre den Unterschied zwischen Umfang und Flächeninhalt.
7. Transferaufgabe: Entwirf zwei verschieden aussehende Trapeze mit demselben Flächeninhalt. Zeige rechnerisch, warum die Flächen gleich groß sind.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du mathematische Darstellungen lesen, passende Größen aus Skizzen entnehmen und vollständige Rechenwege dokumentieren kannst.

Wichtig sind insbesondere:

1. Trapez erkennen: parallele Seiten und Höhe korrekt kennzeichnen.
2. Trapezfläche berechnen: $A=\frac{a+c}{2}\cdot h$ richtig einsetzen und mit einer Flächeneinheit angeben.
3. Trapezformel erklären: die Formel durch Verdoppeln, Zerlegen oder Umordnen begründen.
4. Kreisgrößen unterscheiden: Radius und Durchmesser sicher auseinanderhalten.
5. Kreisfläche berechnen: $A=\pi r^2$ mit gegebenem Radius oder nach Umrechnung eines Durchmessers anwenden.
6. Kreisformel erklären: die Idee der Sektorenzerlegung und Umordnung verständlich darstellen.
7. Plausibilität prüfen: typische Fehler erkennen und Ergebnisse in Bezug auf Größe und Einheit bewerten.
8. Transfer: Trapez- und Kreisflächen in neuen Sachzusammenhängen nutzen.

OERs zum Thema

Wikipedia zum Trapez:

Wikipedia zum Kreis:

Wikipedia zum Flächeninhalt:

Verknüpfte Lernbereiche

Flächeninhalt Trapez Kreis Radius Durchmesser Kreiszahl Parallelogramm Viereck Flächeneinheit Geometrie