M6 G - Achsensymmetrie durchführen

Einleitung

M6 G - Achsensymmetrie durchführen richtet sich an Lernende der Klasse 6 auf G-Niveau. Du lernst, Achsensymmetrie zu erkennen, eine Spiegelachse sicher zu benutzen und Punkte sowie ganze Figuren an einer vorgegebenen Achse zu spiegeln. Du arbeitest dabei mit Spiegeln, Faltbildern, Geodreieck, Koordinatensystem und geeigneter Geometriesoftware.

Im Mittelpunkt steht eine einfache Idee:

Urpunkt	Spiegelachse	Bildpunkt
$P$	$a$	$P^{\prime }$
Abstand zur Achse: $d$	halbiert die Strecke $\overline{P{P}^{\prime }}$ rechtwinklig	Abstand zur Achse: $d$

Merksatz: $P$ und $P^{\prime }$ liegen auf verschiedenen Seiten der Spiegelachse und haben den gleichen Abstand zu ihr.

$d(P,a)=d(P^{\prime },a)$

Außerdem steht die Verbindungsstrecke senkrecht auf der Spiegelachse:

$\overline{P{P}^{\prime }}\perp a$

Das Bild zeigt genau diese Grundidee: Zwei Punkte liegen spiegelbildlich zu einer Geraden. Die Achse schneidet die Verbindung der beiden Punkte im rechten Winkel und genau in der Mitte.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du folgende Handlungen ausführen:

Kompetenz	Das kannst Du zeigen, indem Du ...
Achsensymmetrie erkennen	bei Figuren entscheidest, ob eine Spiegelachse existiert.
Spiegelachse prüfen	mit Faltprobe, Spiegel oder Abständen kontrollierst, ob zwei Seiten zusammenpassen.
Punkte spiegeln	durch einen Punkt ein Lot auf die Spiegelachse zeichnest und den Abstand auf die andere Seite überträgst.
Figuren spiegeln	alle wichtigen Eckpunkte spiegelst und anschließend in richtiger Reihenfolge verbindest.
Koordinaten nutzen	Spiegelbilder an $x$-Achse und $y$-Achse beschreibst.
Digital spiegeln	in GeoGebra oder einer ähnlichen Geometriesoftware das Werkzeug „Spiegle an Gerade“ verwendest und Dein Ergebnis überprüfst.

Achsensymmetrie entdecken

Spiegelbilder im Alltag

Ein Spiegel liefert Dir eine gute Vorstellung davon, was bei einer mathematischen Spiegelung geschieht: Ein Objekt erscheint auf der anderen Seite einer gedachten Spiegelgrenze. In der Mathematik wird diese Grenze durch eine Gerade dargestellt.

Beobachtungsauftrag: Stelle Dir in der Mitte des Bildes eine Gerade als Spiegelachse vor. Suche Bildteile, die durch Spiegelung entstehen könnten. Achte besonders auf gleiche Abstände und gleiche Formen.

Alltag	Mathematische Idee	Prüffrage
Wandspiegel	Spiegelbild	Liegt das Bild scheinbar gleich weit hinter dem Spiegel wie der Gegenstand davor?
gefaltetes Papier	Faltkante als mögliche Spiegelachse	Decken sich beide Hälften beim Falten?
Schmetterlingsform	häufig annähernde bilaterale Symmetrie	Gibt es eine Linie, die linke und rechte Formhälfte passend gegenüberstellt?
geometrische Figur	exakte Achsensymmetrie	Wird die Figur durch Spiegelung auf sich selbst abgebildet?

Wichtig: In der Natur sind Formen oft nur annähernd symmetrisch. In der Geometrie arbeiten wir mit exakten Figuren.

Faltprobe: Symmetrie mit den Händen prüfen

Eine sehr anschauliche Methode ist die Faltprobe.

1. Zeichne oder schneide eine Form aus Papier aus.
2. Vermute eine mögliche Spiegelachse.
3. Falte das Papier genau entlang dieser Linie.
4. Prüfe, ob beide Hälften deckungsgleich aufeinanderliegen.
5. Wenn alle entsprechenden Punkte zusammenpassen, ist die Faltlinie eine Symmetrieachse.

Mini-Experiment:

Form	Vermutung	Faltprobe	Ergebnis
Rechteck	senkrechte Mittellinie	Hälften decken sich	Symmetrieachse
Quadrat	Diagonale	Dreieckshälften decken sich	Symmetrieachse
beliebiges schiefes Dreieck	Mittellinie	Hälften decken sich meist nicht	keine Symmetrieachse

Was bedeutet achsensymmetrisch?

Eine ebene Figur ist achsensymmetrisch, wenn sie durch Spiegelung an einer Geraden wieder genau auf sich selbst abgebildet wird. Diese Gerade heißt Symmetrieachse.

Mathematisch gilt für einen Punkt $P$ und seinen Bildpunkt $P^{\prime }$:

$\overline{P{P}^{\prime }}\perp a$

und wenn $M$ der Schnittpunkt von $\overline{P{P}^{\prime }}$ mit der Achse $a$ ist:

$\overline{PM}=\overline{M{P}^{\prime }}$

Damit ist $a$ die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{P{P}^{\prime }}$.

Symmetrieachsen bekannter Figuren

Figur	Anzahl der Symmetrieachsen	Woran erkennst Du sie?
beliebiges ungleichseitiges Dreieck	$0$	keine Faltlinie erzeugt zwei deckungsgleiche Hälften
gleichschenkliges Dreieck	$1$	durch Spitze und Mitte der Grundseite
gleichseitiges Dreieck	$3$	jeweils durch eine Ecke und die Mitte der gegenüberliegenden Seite
Rechteck	$2$	waagerechte und senkrechte Mittellinie
Quadrat	$4$	zwei Mittellinien und zwei Diagonalen
Kreis	unendlich viele	jeder Durchmesser kann Symmetrieachse sein

Beobachte die Animation: Beim Quadrat gibt es mehrere Bewegungen, die das Quadrat wieder auf sich selbst abbilden. Für dieses Thema interessieren besonders die vier Spiegelungen an seinen vier Symmetrieachsen.

Achsenspiegelung eines Punktes

Die wichtigste Konstruktion

Gegeben sind ein Punkt $P$ und eine Spiegelachse $a$. Gesucht ist der Bildpunkt $P^{\prime }$.

Schritt-für-Schritt:

Schritt	Handlung	Mathematische Kontrolle
1	Lege das Geodreieck so an, dass Du durch $P$ eine Senkrechte auf $a$ zeichnen kannst.	$\overline{P{P}^{\prime }}\perp a$
2	Markiere den Schnittpunkt der Senkrechten mit der Spiegelachse als $M$.	$M\in a$
3	Miss den Abstand von $P$ bis $M$.	$\overline{PM}=d$
4	Trage denselben Abstand von $M$ auf der anderen Seite der Achse ab.	$\overline{M{P}^{\prime }}=d$
5	Markiere den neuen Punkt als $P^{\prime }$.	$\overline{PM}=\overline{M{P}^{\prime }}$

Damit gilt gleichzeitig:

$M\text{ ist Mittelpunkt von }\overline{P{P}^{\prime }}$

und

$a\perp \overline{P{P}^{\prime }}$

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Das Video zeigt die Achsenspiegelung mit Geodreieck und Zirkel. Stoppe das Video nach einzelnen Schritten und führe die Konstruktion selbst auf Papier aus.

Spezialfall: Ein Punkt liegt auf der Spiegelachse

Liegt $P$ direkt auf $a$, dann verändert die Spiegelung den Punkt nicht.

$P=P^{\prime }$

Ein solcher Punkt heißt Fixpunkt.

Lage von $P$	Ergebnis der Spiegelung
nicht auf $a$	neuer Bildpunkt $P^{\prime }$ auf der anderen Seite
auf $a$	$P^{\prime }=P$

Merke: Jeder Punkt der Spiegelachse ist ein Fixpunkt.

Eine ganze Figur spiegeln

Von Eckpunkt zu Eckpunkt

Eine Figur wird nicht „nach Gefühl“ umgedreht. Du spiegelst ihre entscheidenden Punkte einzeln.

Für ein Dreieck $ABC$ entsteht das Bilddreieck $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$:

$A\mapsto A^{\prime }$

$B\mapsto B^{\prime }$

$C\mapsto C^{\prime }$

Danach verbindest Du:

$A^{\prime }\to B^{\prime }\to C^{\prime }\to A^{\prime }$

Arbeitsplan:

1. Spiegle zuerst $A$ an der Achse.
2. Spiegle danach $B$.
3. Spiegle danach $C$.
4. Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie bei der Urfigur.
5. Kontrolliere für jeden Punkt den rechten Winkel und den gleichen Abstand.

Eigenschaften der Spiegelung

Bei einer Achsenspiegelung bleiben wichtige Größen erhalten.

Eigenschaft	Bedeutung	Kontrollidee
Längentreue	Eine Strecke und ihre Bildstrecke sind gleich lang.	$\overline{AB}=\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$
Winkeltreue	Ein Winkel und sein Bildwinkel sind gleich groß.	$\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$
Formtreue	Urfigur und Bildfigur haben dieselbe Form und Größe.	Sie sind deckungsgleich.
Abstandstreue zur Achse	Urpunkt und Bildpunkt liegen gleich weit von der Spiegelachse entfernt.	$d(P,a)=d(P^{\prime },a)$
Fixpunkte	Punkte auf der Spiegelachse bleiben an ihrer Stelle.	$P\in a\Rightarrow P^{\prime }=P$

Fehlerdetektiv: Was kann schiefgehen?

Fehler	Woran erkennst Du ihn?	So verbesserst Du ihn
Der Bildpunkt liegt nicht auf dem Lot.	$\overline{P{P}^{\prime }}$ ist nicht senkrecht zur Achse.	Zeichne das Lot mit dem rechten Winkel des Geodreiecks neu.
Die Abstände sind verschieden.	$\overline{PM}\ne \overline{M{P}^{\prime }}$	Miss den Abstand erneut oder übertrage ihn mit dem Zirkel.
Bildpunkte wurden falsch verbunden.	Die Figur ist verdreht oder hat andere Kanten.	Übernimm die Reihenfolge der Eckpunkte.
Ein Punkt auf der Achse wurde verschoben.	Ein Fixpunkt liegt plötzlich neben der Achse.	Lasse den Punkt unverändert.

Spiegeln im Koordinatensystem

Orientierung im Koordinatensystem

Im Koordinatensystem wird ein Punkt zum Beispiel als

$P(4|2)$

geschrieben. Die erste Zahl ist die $x$-Koordinate, die zweite die $y$-Koordinate.

Spiegelung an der y-Achse

Die $y$-Achse ist die senkrechte Achse mit

$x=0$.

Beim Spiegeln an der $y$-Achse ändert sich nur das Vorzeichen der $x$-Koordinate:

$P(x|y)\mapsto P^{\prime }(-x|y)$

Beispiel:

$P(4|2)\mapsto P^{\prime }(-4|2)$

Visuelle Kontrolle:

Urpunkt	Abstand zur y-Achse	Bildpunkt	Abstand zur y-Achse
$P(4|2)$	$4$	$P^{\prime }(-4|2)$	$4$

Spiegelung an der x-Achse

Die $x$-Achse ist die waagerechte Achse mit

$y=0$.

Beim Spiegeln an der $x$-Achse ändert sich nur das Vorzeichen der $y$-Koordinate:

$P(x|y)\mapsto P^{\prime }(x|-y)$

Beispiel:

$P(4|2)\mapsto P^{\prime }(4|-2)$

Spiegelachse	Regel	Beispiel
$y$-Achse	$(x|y)\to (-x|y)$	$(3|5)\to (-3|5)$
$x$-Achse	$(x|y)\to (x|-y)$	$(3|5)\to (3|-5)$

Zahlengerade als Mini-Spiegelung

Auf einer Zahlengeraden kannst Du die Idee des gleichen Abstandes besonders einfach sehen.

$-5-4-3-2-1012345$

Spiegle an $0$:

$3\leftrightarrow -3$

Beide Zahlen liegen gleich weit von $0$ entfernt:

$|3|=|-3|=3$

Diese eindimensionale Vorstellung hilft Dir später beim Spiegeln an der $y$-Achse.

Arbeitsauftrag zur dynamischen Zahlengeraden: Erzeuge mehrere Zahlen und ihre Gegenzahlen. Beschreibe jeweils, was beim Abstand zu $0$ gleich bleibt.

Pluswissen: Spiegelung an parallelen Achsen

Wenn eine senkrechte Spiegelachse die Gleichung

$x=c$

hat, dann bleibt $y$ gleich und für die neue $x$-Koordinate gilt:

$x^{\prime }=2c-x$

Beispiel mit $x=2$ und $P(5|1)$:

$x^{\prime }=2\cdot 2-5=-1$

also

$P(5|1)\mapsto P^{\prime }(-1|1)$.

Kontrolle:

$|5-2|=3$

und

$|-1-2|=3$.

Für eine waagerechte Spiegelachse $y=c$ gilt entsprechend:

$y^{\prime }=2c-y$.

Dynamische Geometrie mit GeoGebra

Spiegelung mit einem Werkzeug durchführen

Mit GeoGebra kannst Du eine Achsenspiegelung nicht nur ausführen, sondern auch durch Ziehen untersuchen.

Arbeitsweg in GeoGebra:

1. Erzeuge eine Gerade als Spiegelachse $a$.
2. Erzeuge drei Punkte $A$, $B$ und $C$.
3. Verbinde sie zu einem Dreieck.
4. Wähle das Werkzeug Spiegle an Gerade.
5. Klicke zuerst die Figur und danach die Spiegelachse an.
6. Beobachte die Bildfigur $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.
7. Ziehe einen Eckpunkt der Urfigur und beobachte, wie sich sein Bildpunkt bewegt.
8. Verschiebe oder drehe die Spiegelachse und prüfe erneut die Abstände.

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Fixpunkte dynamisch untersuchen

Forscherfrage: Ziehe einen Punkt der Figur auf die Spiegelachse. Was geschieht mit seinem Bildpunkt?

Erwartung:

$P\in a\Rightarrow P^{\prime }=P$

Diesen unveränderten Punkt nennt man Fixpunkt.

Koordinaten beim Ziehen beobachten

Achte beim Ziehen besonders auf die Koordinaten. Formuliere eine Regel:

Beobachtung	Vermutete Regel
Spiegelung an der $y$-Achse	Vorzeichen von $x$ wechselt, $y$ bleibt gleich.
Spiegelung an der $x$-Achse	$x$ bleibt gleich, Vorzeichen von $y$ wechselt.
Punkt auf der Spiegelachse	Koordinaten bleiben unverändert.

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Digitales Kontrollieren statt bloßes Klicken

GeoGebra soll Dir nicht nur das Ergebnis liefern. Nutze die Software als Kontrollwerkzeug.

Prüfe bei einem Punktpaar $P,P^{\prime }$:

$\overline{P{P}^{\prime }}\perp a$

und

$d(P,a)=d(P^{\prime },a)$.

Wenn beide Bedingungen erfüllt sind, ist die Konstruktion korrekt.

Strategie: So löst Du Spiegelaufgaben sicher

Phase	Leitfrage	Handlung
1. Verstehen	Was ist gegeben?	Markiere Spiegelachse und Urfigur.
2. Planen	Welche Punkte bestimmen die Figur?	Kennzeichne alle Eckpunkte.
3. Konstruieren	Wo liegt jeder Bildpunkt?	Lot zeichnen und Abstand übertragen.
4. Verbinden	In welcher Reihenfolge gehören die Punkte zusammen?	Bildpunkte entsprechend der Urfigur verbinden.
5. Kontrollieren	Ist jeder Bildpunkt korrekt?	Rechter Winkel und gleiche Abstände prüfen.
6. Begründen	Warum ist die Zeichnung richtig?	Mit $\perp$ und gleichen Abständen argumentieren.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Kontrolle

Für einen Punkt $A$:

$A\to \text{Lot auf }a\to M\to \text{gleichen Abstand übertragen}\to A^{\prime }$

Für ein Dreieck:

$A,B,C\to A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }\to A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Für die Kontrolle:

$\overline{AM}=\overline{M{A}^{\prime }}$

$\overline{B{M}_B}=\overline{M_B{B}^{\prime }}$

$\overline{C{M}_C}=\overline{M_C{C}^{\prime }}$

und alle drei Verbindungsstrecken stehen senkrecht auf $a$.

Übungsstationen

Station 1: Spiegel und Falten

Material: kleiner Spiegel, kariertes Papier, Schere, Bleistift.

1. Zeichne eine halbe einfache Figur neben eine gerade Linie.
2. Stelle den Spiegel genau auf die Linie.
3. Vergleiche Spiegelbild und fehlende Hälfte.
4. Zeichne die zweite Hälfte.
5. Falte anschließend an der Linie und kontrolliere.

Station 2: Punktspiegelbilder an einer Achse

Gegeben sei eine senkrechte Spiegelachse $a$. Zeichne mehrere Punkte mit unterschiedlichen Abständen zur Achse.

Für jeden Punkt gilt:

$d(P,a)=d(P^{\prime },a)$.

Markiere die Lotstrecken gestrichelt. Kennzeichne gleiche Abstände mit gleichen Strichen.

Station 3: Figuren auf Karopapier

Nutze die Kästchen als Messhilfe.

Beispiel:

$A(2|1),B(4|1),C(3|4)$

Spiegle an der $y$-Achse:

$A^{\prime }(-2|1)$

$B^{\prime }(-4|1)$

$C^{\prime }(-3|4)$

Verbinde $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Station 4: GeoGebra-Zugmodus

Erzeuge ein Vieleck und eine Spiegelachse. Spiegle das Vieleck. Verändere dann die Lage der Achse.

Untersuche:

Was veränderst Du?	Was beobachtest Du?
einen Eckpunkt	sein Bildpunkt bewegt sich passend mit
die Spiegelachse	alle Bildpunkte ändern ihre Lage
einen Punkt auf der Achse	er bleibt sein eigener Bildpunkt
Form der Urfigur	Bildfigur bleibt jeweils deckungsgleich zur Urfigur

Begriffe auf einen Blick

Begriff	Bedeutung	Kurzformel oder Bildidee
Achsensymmetrie	Eine Figur wird durch Spiegelung an einer Geraden auf sich selbst abgebildet.	„Falten und decken“
Spiegelachse	Gerade, an der gespiegelt wird.	$a$
Urpunkt	Punkt vor der Spiegelung.	$P$
Bildpunkt	Punkt nach der Spiegelung.	$P^{\prime }$
Lot	Senkrechte Gerade auf die Spiegelachse.	$\perp$
Mittelsenkrechte	Gerade, die eine Strecke rechtwinklig halbiert.	Achse von $\overline{P{P}^{\prime }}$
Fixpunkt	Punkt, der bei der Spiegelung unverändert bleibt.	$P=P^{\prime }$
Kongruenz	Deckungsgleichheit von Figuren.	gleiche Form und Größe

Medienhinweis

Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Besonders verwendete Dateien wie „Two axially symmetric points.svg“, „Simetria-reflexion.svg“, „Paper butterfly.jpg“ und „Animated symmetries of square.gif“ sind dort als CC0 beziehungsweise gemeinfrei gekennzeichnet. Das Foto „Mirror Reflection Symmetry Exhibit.jpg“ steht unter CC BY 4.0. Die YouTube-Inhalte werden eingebettet und nicht als eigene Dateien vervielfältigt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist eine Figur achsensymmetrisch? (Wenn sie durch Spiegelung an einer Geraden auf sich selbst abgebildet wird) (!Wenn alle Seiten gleich lang sind) (!Wenn sie genau vier Ecken hat) (!Wenn sie nur aus geraden Linien besteht)

Wie liegen ein Urpunkt und sein Bildpunkt zur Spiegelachse? (Sie haben den gleichen Abstand zur Spiegelachse) (!Der Bildpunkt liegt immer doppelt so weit entfernt) (!Der Urpunkt liegt immer auf der Spiegelachse) (!Beide Punkte müssen dieselben Koordinaten haben)

Wie verläuft die Verbindung von Urpunkt und Bildpunkt zur Spiegelachse? (Senkrecht) (!Parallel) (!Beliebig schräg) (!Immer waagerecht)

Was geschieht mit einem Punkt, der auf der Spiegelachse liegt? (Er bleibt an derselben Stelle) (!Er verschwindet) (!Er wird doppelt so weit entfernt eingezeichnet) (!Er wandert zum Ursprung)

Wozu dient die Faltprobe? (Zum Prüfen, ob sich zwei Hälften decken) (!Zum Messen eines Kreisradius) (!Zum Bestimmen einer Flächeneinheit) (!Zum Addieren von Koordinaten)

Wie viele Symmetrieachsen hat ein Quadrat? (Vier) (!Eine) (!Zwei) (!Keine)

Was geschieht beim Spiegeln an der y-Achse mit dem Punkt P 3 Strich 5? (Die x-Koordinate wechselt das Vorzeichen) (!Die y-Koordinate wechselt das Vorzeichen) (!Beide Koordinaten bleiben immer gleich) (!Beide Koordinaten werden verdoppelt)

Was geschieht beim Spiegeln an der x-Achse? (Die y-Koordinate wechselt das Vorzeichen) (!Die x-Koordinate wechselt das Vorzeichen) (!Beide Koordinaten werden vertauscht) (!Die x-Koordinate wird immer null)

Welches Werkzeug passt in einer Geometriesoftware zur Aufgabe? (Spiegle an Gerade) (!Kreis durch drei Punkte) (!Winkel messen) (!Textfeld einfügen)

Welche Kontrolle zeigt eine richtige Punktspiegelung? (Die Achse halbiert die Verbindung rechtwinklig) (!Die Verbindung liegt auf der Spiegelachse) (!Der Bildpunkt liegt immer rechts) (!Urpunkt und Bildpunkt haben immer gleiche Koordinaten)

Memory

Spiegelachse	Gerade, an der gespiegelt wird
Urpunkt	Ausgangspunkt vor der Spiegelung
Bildpunkt	Ergebnis eines gespiegelten Punktes
Lot	Senkrechte zur Spiegelachse
Fixpunkt	Punkt, der unverändert bleibt
Mittelsenkrechte	Halbiert eine Strecke rechtwinklig
Faltprobe	Prüfen durch deckungsgleiches Zusammenfalten
Kongruenz	Gleiche Form und gleiche Größe

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Spiegelachse	Gerade, an der gespiegelt wird
Lot	Senkrechte Verbindung zur Achse
Bildpunkt	Punkt nach der Spiegelung
Fixpunkt	Punkt auf der Achse, der unverändert bleibt
Faltprobe	Praktische Prüfung auf Deckungsgleichheit
y-Achse	Beim Spiegeln wechselt das Vorzeichen der x-Koordinate
x-Achse	Beim Spiegeln wechselt das Vorzeichen der y-Koordinate

Kreuzworträtsel

Spiegelachse	Wie heißt die Gerade, an der gespiegelt wird?
Bildpunkt	Wie heißt der Punkt, der durch die Spiegelung eines Urpunktes entsteht?
Fixpunkt	Wie heißt ein Punkt, der bei einer Spiegelung unverändert bleibt?
Senkrechte	Wie nennt man eine Gerade, die im rechten Winkel auf einer anderen steht?
Mittelsenkrechte	Welche Gerade halbiert eine Strecke im rechten Winkel?
Deckungsgleich	Wie nennt man zwei Figuren mit gleicher Form und gleicher Größe?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Gerade, an der eine Figur gespiegelt wird, heißt .

Der Punkt vor der Spiegelung heißt .

Der zugehörige Punkt nach der Spiegelung heißt .

Die Verbindung zwischen Urpunkt und Bildpunkt steht auf der Spiegelachse.

Urpunkt und Bildpunkt haben zur Spiegelachse den gleichen .

Der Schnittpunkt der Verbindung mit der Spiegelachse ist der der Verbindungsstrecke.

Ein Punkt direkt auf der Spiegelachse heißt bei der Spiegelung .

Beim Spiegeln an der y-Achse wechselt die ihr Vorzeichen.

Beim Spiegeln an der x-Achse wechselt die ihr Vorzeichen.

Mit einer Faltprobe kann man prüfen, ob zwei Hälften sind.

Mit GeoGebra kann die Lage einer Spiegelachse dynamisch werden.

Bei einer korrekten Achsenspiegelung bleiben Streckenlängen und Winkelgrößen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Spiegel-Safari: Suche in Deinem Klassenraum oder zu Hause fünf Gegenstände, bei denen Du eine mögliche Symmetrieachse vermutest. Skizziere sie und zeichne die vermutete Achse ein.
2. Faltbild: Falte ein Blatt, schneide eine einfache Form an der Faltkante aus und öffne das Blatt. Markiere die Faltkante als Spiegelachse und erkläre, warum die Form achsensymmetrisch ist.
3. Punktspiegelung an einer Achse: Zeichne fünf Punkte neben eine Gerade und konstruiere jeweils den Bildpunkt. Markiere gleiche Abstände.
4. Fehlerbild: Erfinde eine absichtlich falsche Achsenspiegelung und markiere den Fehler so, dass eine andere Person ihn finden kann.

Standard

1. Symmetrisches Muster: Entwirf auf Karopapier ein Muster mit mindestens sechs Punkten, das an einer senkrechten Achse gespiegelt wird. Gib zu allen Punkten die Koordinaten an.
2. Spiegelachsen untersuchen: Zeichne Quadrat, Rechteck, gleichseitiges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck und ein beliebiges ungleichseitiges Dreieck. Bestimme alle Symmetrieachsen und prüfe sie durch Falten oder Messen.
3. GeoGebra-Spiegelung: Erzeuge in GeoGebra ein Vieleck und spiegle es an einer beweglichen Geraden. Dokumentiere mit drei Bildschirmbildern, wie sich die Bildfigur beim Verschieben der Achse verändert.
4. Erklärvideo Achsenspiegelung: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du eine Punktspiegelung mit Geodreieck ausführst und die beiden Kontrollbedingungen erklärst.

Schwer

1. Spiegelachse rekonstruieren: Zeichne zwei zueinander gespiegelte Figuren ohne eingezeichnete Achse. Tausche das Blatt mit einer anderen Person und lass die Spiegelachse durch Mittelsenkrechten rekonstruieren.
2. Koordinatenregel erforschen: Untersuche mit mehreren Punkten die Spiegelung an $x=2$. Formuliere aus Deinen Beobachtungen die Regel $x^{\prime }=2\cdot 2-x$ und prüfe sie an drei Beispielen.
3. Symmetrie in Kunst und Architektur: Fotografiere oder recherchiere ein frei nutzbares Beispiel mit sichtbarer Achsensymmetrie. Zeichne mögliche Spiegelachsen ein und unterscheide zwischen exakter und nur angenäherter Symmetrie.
4. GeoGebra-Forschungsauftrag: Konstruiere ein Dreieck, dessen eine Ecke auf der Spiegelachse liegt. Verändere die beiden anderen Ecken und erkläre, welche Punkte Fixpunkte bleiben und welche Eigenschaften der Spiegelung unverändert sind.

Lernkontrolle

1. Begründe eine Spiegelung: Eine Schülerin behauptet, ein Punkt $P^{\prime }$ sei das Spiegelbild von $P$. Der Abstand beider Punkte zur Achse ist gleich, aber ihre Verbindung steht nicht senkrecht auf der Achse. Entscheide mit Begründung, ob die Spiegelung korrekt ist.
2. Fehleranalyse im Koordinatensystem: Ein Punkt $A(4|3)$ soll an der $y$-Achse gespiegelt werden. Jemand notiert $A^{\prime }(4|-3)$. Erkläre den Denkfehler und gib den richtigen Bildpunkt an.
3. Strategievergleich: Vergleiche die Faltprobe mit der Konstruktion per Geodreieck. Beschreibe, welche Methode sich besser zum Prüfen und welche besser zum genauen Zeichnen eignet.
4. Transfer auf eine neue Achse: Ein Punkt $P(7|2)$ wird an der Geraden $x=4$ gespiegelt. Bestimme $P^{\prime }$ und begründe das Ergebnis mit gleichen Abständen.
5. GeoGebra als Prüfwerkzeug: Beschreibe, wie Du mit einer dynamischen Geometriesoftware überprüfen kannst, ob eine von Hand gezeichnete Spiegelung richtig ist. Nenne mindestens zwei überprüfbare Eigenschaften.
6. Spiegelachse finden: Du kennst ein Punktpaar $A$ und $A^{\prime }$, aber nicht die Spiegelachse. Erkläre, wie Du die Achse konstruieren kannst und warum Deine Konstruktion eindeutig ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu M6 G - Achsensymmetrie durchführen ist wichtig:

1. Du erkennst achsensymmetrische und nicht achsensymmetrische Figuren.
2. Du kannst eine mögliche Spiegelachse durch Faltprobe, Spiegel oder geometrische Eigenschaften überprüfen.
3. Du kennst die Begriffe Urpunkt, Bildpunkt, Spiegelachse, Lot, Fixpunkt und Mittelsenkrechte.
4. Du konstruierst einen Bildpunkt so, dass die Spiegelachse die Strecke zwischen Urpunkt und Bildpunkt rechtwinklig halbiert.
5. Du spiegelst ganze Figuren, indem Du ihre Eckpunkte korrekt spiegelst und verbindest.
6. Du kontrollierst gleiche Abstände und rechte Winkel.
7. Du spiegelst Punkte an $x$-Achse und $y$-Achse im Koordinatensystem.
8. Du kannst eine Achsenspiegelung mit geeigneter Geometriesoftware durchführen.
9. Du kannst durch Ziehen in einer dynamischen Geometrie erkennen, welche Eigenschaften trotz veränderter Lage erhalten bleiben.
10. Du kannst Fehler in Spiegelkonstruktionen erklären und verbessern.

OERs zum Thema

Zusätzliche freie und interaktive Lernmedien sind im Kurs bereits eingebunden: Wikimedia-Commons-Grafiken, eine frei nutzbare Animation zur Symmetrie eines Quadrats sowie GeoGebra-Materialien zum Spiegeln und Prüfen.

Verknüpfte Lernbereiche

Achsensymmetrie Spiegelung Spiegelachse Symmetrie Mittelsenkrechte Senkrechte Koordinatensystem Kongruenz Geometrische Konstruktion GeoGebra