M6 M - Proportionale Sachaufgaben selbstständig lösen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

M6 M - Proportionale Sachaufgaben selbstständig lösen

Zielgruppe: Klasse 6, M-Niveau

Lernziel: Du erkennst proportionale Strukturen auch in mehrschrittigen Sachsituationen, wählst selbstständig einen geeigneten Rechenweg und prüfst Dein Ergebnis auf Plausibilität.

Das kannst Du am Ende	Mathematisches Werkzeug	Typische Sachsituationen
proportionale Zusammenhänge erkennen	$y=k\cdot x$	Preise, Rezepte, Materialmengen
passende Rechenwege auswählen	Faktor, über $1$, Zerlegen, Dreisatz	Einkauf, Kochen, Basteln, Wege
mehrschrittige Aufgaben lösen	Einheiten umrechnen, Zwischenergebnisse nutzen	Packungen, Mengen, Gesamtkosten
Ergebnisse prüfen	Überschlag und Gegenprobe	Ist das Ergebnis realistisch?

Einleitung

Im Alltag musst Du oft aus bekannten Mengen neue Mengen berechnen: Für mehr Personen brauchst Du mehr Zutaten, für mehr Meter Stoff zahlst Du mehr Geld und für mehr gleiche Hefte steigt der Preis. Solche Situationen können proportional sein.

Bei einer proportionalen Zuordnung ändern sich zwei Größen immer mit demselben Faktor.

$\text{Wird }x\text{ mit }a\text{ multipliziert, dann wird auch }y\text{ mit }a\text{ multipliziert.}$

Die Grundform lautet:

$y=k\cdot x$

Dabei ist $k$ der Proportionalitätsfaktor.

Was bedeutet proportional?

Eine Zuordnung ist proportional, wenn der Quotient aus zusammengehörigen Werten gleich bleibt:

$k=\frac{y}{x}$

Beispiel: Drei gleiche Hefte kosten Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 4{,}50\,€} .

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle k=\frac{4{,}50\,€}{3}=1{,}50\,€/\text{Heft} }

Also kostet jedes Heft Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1{,}50\,€} . Für $x$ Hefte gilt:

$y=\mathrm{1,50}\cdot x$

Anzahl Hefte $x$	0	1	2	3	4	8
Preis $y$ in €	0	1,50	3,00	4,50	6,00	12,00

Faktorprobe:

$3⟶8$

Der Faktor ist:

$\frac{8}{3}$

Also:

$\mathrm{4,50}\cdot \frac{8}{3}=12$

Vier sichere Erkennungsmerkmale

Merkmal	Mathematischer Test	Beispiel
Beide Größen wachsen oder schrumpfen mit demselben Faktor.	$x\cdot a\Rightarrow y\cdot a$	Doppelt so viele gleiche Flaschen kosten doppelt so viel.
Der Quotient bleibt gleich.	$\frac{y}{x}=k$	$\frac{9}{6}=\frac{6}{4}=\mathrm{1,5}$
Zum Wert $0$ gehört ebenfalls $0$.	$x=0\Rightarrow y=0$	Kein gekaufter Artikel kostet Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 0\,€} .
Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.	$y=kx$	Preis gegen Anzahl bei festem Stückpreis

Achtung: „Je mehr, desto mehr“ reicht allein nicht aus. Wenn eine Taxifahrt zum Beispiel aus einer festen Grundgebühr und einem Preis pro Kilometer besteht, ist der Gesamtpreis nicht proportional zur Strecke, weil bei $0$ Kilometern bereits die Grundgebühr anfällt.

Dynamisches Diagramm: Proportionalität verändern

Im folgenden GeoGebra-Material kannst Du Zahlen verändern und beobachten, wie sich Wertetabelle und Graph ändern. Achte besonders auf den Ursprung und den konstanten Faktor.

Beobachtungsauftrag: Verändere die Werte. Prüfe jeweils:

$\frac{y_1}{x_1}\stackrel{?}{=}\frac{y_2}{x_2}$

Wenn die Quotienten gleich sind, passen die Werte zu derselben proportionalen Zuordnung.

Doppelte Zahlengerade: zwei Größen gleichzeitig sehen

Eine doppelte Zahlengerade zeigt zwei proportionale Größen übereinander. Beispiel: $4$ Portionen benötigen $300g$ Nudeln.

Portionen	0	4	8	12	16	20
Nudeln	0 g	300 g	600 g	900 g	1200 g	1500 g

Du erkennst:

$4\cdot 3=12$

und deshalb:

$300g\cdot 3=900g$

Interaktive doppelte Zahlengerade:

Probiere verschiedene Ausgangspaare aus. Verschiebe beziehungsweise ändere die Werte und beschreibe, wie beide Zahlengeraden zusammenhängen.

Rechenwege selbstständig wählen

Nicht jede proportionale Sachaufgabe muss mit demselben Verfahren gelöst werden. Ein guter Rechenweg ist richtig, verständlich und möglichst günstig.

Rechenweg A: Mit einem einfachen Faktor rechnen

Situation: Für $5$ Trinkflaschen werden $2l$ Getränk benötigt. Wie viel Getränk braucht man für $15$ Flaschen?

Der Faktor ist sofort sichtbar:

$5\cdot 3=15$

Also muss auch die Getränkemenge mit $3$ multipliziert werden:

$2l\cdot 3=6l$

Flaschen	Getränk	Rechenschritt
5	2 l	Ausgangswert
15	6 l	$\cdot 3$

Dieser Weg ist besonders günstig, wenn der Veränderungsfaktor leicht erkennbar ist.

Rechenweg B: Erst auf 1, dann auf die Zielmenge

Situation: $6$ Meter Geschenkband kosten Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 9{,}60\,€} . Wie viel kosten $15$ Meter?

Zuerst auf $1m$:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 9{,}60\,€:6=1{,}60\,€ }

Dann auf $15m$:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1{,}60\,€\cdot 15=24{,}00\,€ }

Länge	Preis	Rechenweg
6 m	9,60 €	$:6$
1 m	1,60 €	Einheitswert
15 m	24,00 €	$\cdot 15$

Der Einheitswert ist hier zugleich der Proportionalitätsfaktor:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle k=1{,}60\,€/\text{m} }

Rechenweg C: Geschickt zerlegen

Situation: $4$ Eintrittskarten kosten Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 30\,€} . Wie viel kosten $14$ Karten?

Du kannst $14$ als $12+2$ zerlegen.

Aus $4$ Karten werden durch Verdreifachen $12$ Karten:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 30\,€\cdot 3=90\,€ }

Für $2$ Karten brauchst Du die Hälfte von Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 30\,€} :

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 30\,€:2=15\,€ }

Zusammen:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 90\,€+15\,€=105\,€ }

Gegenprobe über den Stückpreis:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 30\,€:4=7{,}50\,€ }

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 14\cdot 7{,}50\,€=105\,€ }

Rechenweg D: Mit dem Proportionalitätsfaktor

Wenn Du den Einheitswert kennst, kannst Du direkt mit

$y=k\cdot x$

rechnen.

Beispiel:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle k=2{,}40\,€/\text{kg} }

Für $\mathrm{3,5}kg$ gilt:

$y=\mathrm{2,40}\cdot \mathrm{3,5}=\mathrm{8,40}$

Also kosten $\mathrm{3,5}kg$ genau Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 8{,}40\,€} .

Entscheidungshilfe für Deinen Rechenweg

Situation	Günstiger Rechenweg	Beispiel
Der Faktor ist sofort sichtbar.	direkter Faktor	von 6 auf 18 bedeutet $\cdot 3$
Der Faktor ist unhandlich.	erst auf 1	von 6 m auf 15 m
Die Zielzahl lässt sich geschickt zusammensetzen.	zerlegen	$14=12+2$
Der Einheitswert ist schon bekannt.	$y=kx$	Preis pro Kilogramm
Du willst besonders übersichtlich dokumentieren.	Dreisatz-Tabelle	Ausgangswert → 1 → Zielwert

Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Aufgabe: $8$ gleiche Notizhefte kosten Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 11{,}20\,€} . Wie viel kosten $15$ Hefte?

Schritt 1 ausklappen: Struktur prüfen

Wenn alle Hefte gleich viel kosten und es keinen Mengenrabatt gibt, ist die Situation proportional.

$\text{Anzahl}\uparrow \Rightarrow \text{Preis}\uparrow$

Schritt 2 ausklappen: Auf 1 Heft rechnen

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 11{,}20\,€:8=1{,}40\,€ }

Schritt 3 ausklappen: Auf 15 Hefte rechnen

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1{,}40\,€\cdot15=21{,}00\,€ }

Schritt 4 ausklappen: Plausibilität prüfen

$8<15<16$

Für $16$ Hefte wären es:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 11{,}20\,€\cdot2=22{,}40\,€ }

Also muss der Preis für $15$ Hefte knapp unter Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 22{,}40\,€} liegen. Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 21{,}00\,€} ist plausibel.

Sachaufgabe 1: Rezept anpassen

Ein Rezept für $4$ Personen benötigt:

Zutat	für 4 Personen
Nudeln	300 g
Tomatensoße	200 ml
Gemüse	240 g

Du möchtest für $18$ Personen kochen.

Der Vergrößerungsfaktor ist:

$\frac{18}{4}=\mathrm{4,5}=\frac{9}{2}$

Also:

$300g\cdot \mathrm{4,5}=1350g$

$200ml\cdot \mathrm{4,5}=900ml$

$240g\cdot \mathrm{4,5}=1080g$

Zutat	für 4 Personen	Faktor	für 18 Personen
Nudeln	300 g	$\cdot \mathrm{4,5}$	1350 g
Tomatensoße	200 ml	$\cdot \mathrm{4,5}$	900 ml
Gemüse	240 g	$\cdot \mathrm{4,5}$	1080 g

Plausibilitätsrahmen für die Nudeln:

$4\cdot 300g=1200g$

$5\cdot 300g=1500g$

Da $18$ Personen zwischen $16$ und $20$ Personen liegen, muss die Nudelmenge zwischen $1200g$ und $1500g$ liegen. $1350g$ passt.

Mehrschrittig: Rezeptmenge und Packungen

Nun werden die Nudeln nur in $500g$-Packungen verkauft.

Benötigt:

$1350g$

Anzahl rechnerischer Packungen:

$1350:500=\mathrm{2,7}$

Du kannst aber keine $\mathrm{0,7}$ Packung kaufen. Deshalb brauchst Du 3 Packungen.

Gekaufte Menge:

$3\cdot 500g=1500g$

Rest:

$1500g-1350g=150g$

Wichtig: Bis zur benötigten Nudelmenge war die Rechnung proportional. Beim Kauf ganzer Packungen kommt ein neuer Schritt hinzu: Du musst auf eine ganze Packungszahl aufrunden. Dadurch ist der tatsächlich bezahlte Preis nicht mehr exakt proportional zur benötigten Grammzahl.

Sachaufgabe 2: Preise vergleichen

Ein Bastelladen verkauft gleiche Holzleisten einzeln für Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1{,}80\,€} . Für ein Projekt brauchst Du $14$ Leisten.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 14\cdot1{,}80\,€=25{,}20\,€ }

Nun gibt es ein Sonderangebot: Ein Paket mit $10$ Leisten kostet Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 16\,€} , einzelne Leisten kosten weiterhin Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1{,}80\,€} .

Das Sonderangebot erzeugt eine mehrschrittige Situation.

Ein Paket und vier Einzelstücke:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 16\,€+4\cdot1{,}80\,€=16\,€+7{,}20\,€=23{,}20\,€ }

Ersparnis gegenüber dem reinen Einzelkauf:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 25{,}20\,€-23{,}20\,€=2{,}00\,€ }

Modellentscheidung: Der reine Einzelpreis ist proportional zur Stückzahl. Sobald verschiedene Paketpreise kombiniert werden, musst Du die Gesamtsituation in Teilprobleme zerlegen.

Sachaufgabe 3: Materialmenge

Für $5$ Geschenkverpackungen werden $\mathrm{1,25}m$ Band benötigt.

Gesucht ist die Bandlänge für $14$ Verpackungen.

Einheitswert:

$\mathrm{1,25}m:5=\mathrm{0,25}m$

Zielwert:

$14\cdot \mathrm{0,25}m=\mathrm{3,5}m$

Umrechnung:

$\mathrm{3,5}m=350cm$

Kontrolle mit einem anderen Rechenweg:

$10\text{ Verpackungen}\Rightarrow \mathrm{2,5}m$

$4\text{ Verpackungen}\Rightarrow \mathrm{1,0}m$

$\mathrm{2,5}m+\mathrm{1,0}m=\mathrm{3,5}m$

Beide Wege führen zum gleichen Ergebnis.

Sachaufgabe 4: Füllmenge und Zeit

Eine Maschine füllt gleichmäßig in $6$ Minuten $15l$ Saft ab. Wie viel wird in $18$ Minuten abgefüllt?

Da die Füllgeschwindigkeit konstant sein soll, liegt eine proportionale Situation vor.

Zeitfaktor:

$18:6=3$

Füllmenge:

$15l\cdot 3=45l$

Proportionalitätsfaktor:

$k=\frac{15l}{6min}=\mathrm{2,5}\frac{l}{min}$

Gegenprobe:

$18min\cdot \mathrm{2,5}\frac{l}{min}=45l$

Modellkritik: Würde die Maschine zwischendurch stoppen oder ihre Geschwindigkeit ändern, wäre die einfache proportionale Rechnung nicht mehr passend.

Nicht jede Sachsituation ist proportional

Situation	proportional?	Begründung
1 kg Äpfel kostet 2,40 €, jeder weitere Bruchteil wird zum selben Kilopreis berechnet.	ja	Der Quotient Preis durch Masse bleibt konstant.
Taxi: 4 € Grundgebühr plus 2 € je Kilometer	nein	Bei 0 km kostet die Fahrt bereits 4 €.
2 Kinokarten kosten 18 €, 4 Kinokarten kosten 36 €.	möglicherweise	Die beiden Werte passen zur Proportionalität, weitere Bedingungen müssen gleich bleiben.
1 T-Shirt kostet 12 €, ab 3 Stück gibt es Rabatt.	nein	Der Stückpreis verändert sich.
5 gleiche Schrauben wiegen 20 g, 20 gleiche Schrauben wiegen 80 g.	ja	Vervierfachung der Stückzahl führt zur Vervierfachung der Masse.
Ein Kind ist mit 6 Jahren 120 cm groß. Mit 12 Jahren ist es deshalb 240 cm groß.	nein	Körpergröße wächst nicht proportional zum Alter.

Der Graph einer proportionalen Zuordnung

Für

$y=\mathrm{1,5}x$

erhältst Du zum Beispiel:

$x$	0	1	2	3	4	5
$y$	0	1,5	3	4,5	6	7,5

Die Punkte

$(0|0),(1|\mathrm{1,5}),(2|3),(3|\mathrm{4,5}),\dots$

liegen auf einer Geraden durch den Ursprung.

Warum muss die Gerade durch den Ursprung gehen?

$y=k\cdot 0=0$

Wenn die erste Größe $0$ ist, muss bei einer proportionalen Zuordnung auch die zweite Größe $0$ sein.

Dynamisches Diagramm:

Verändere die Werte und prüfe, wie sich die Steigung verändert. Ein größerer Proportionalitätsfaktor bedeutet eine steilere Ursprungsgerade.

Geldbeträge und Stellenwerte sicher rechnen

Bei Preisen ist die Dezimalschreibweise wichtig.

Betrag	Euro	Zehntel Euro	Hundertstel Euro	als Cent
1,40 €	1	4	0	140 ct
2,35 €	2	3	5	235 ct
0,80 €	0	8	0	80 ct

Zum Beispiel:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1{,}40\,€\cdot15=21{,}00\,€ }

Du kannst zur Kontrolle in Cent rechnen:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 140\,ct\cdot15=2100\,ct=21\,€ }

Einheiten als Teil des Lösungswegs

Viele Sachaufgaben werden erst mehrschrittig, weil Du Einheiten umrechnen musst.

Größe	Zusammenhang	Beispiel
Masse	$1kg=1000g$	$\mathrm{1,35}kg=1350g$
Länge	$1m=100cm$	$\mathrm{3,5}m=350cm$
Volumen	$1l=1000ml$	$\mathrm{0,9}l=900ml$
Geld	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1\,€=100\,ct}	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 2{,}40\,€=240\,ct}

Regel: Rechne möglichst zuerst mit einheitlichen Maßeinheiten.

Plausibilität prüfen

Ein Ergebnis ist erst dann wirklich gut, wenn Du es geprüft hast.

Prüfmethode	Leitfrage	Beispiel
Größenordnung	Ist das Ergebnis ungefähr so groß, wie ich erwarte?	Mehr Personen brauchen nicht weniger Zutaten.
Faktorprobe	Wurde auf beiden Seiten derselbe Faktor verwendet?	$\cdot 3$ bei Anzahl und Preis
Überschlag	Liegt das genaue Ergebnis nahe an einer einfachen Schätzung?	$\mathrm{1,98}\cdot 10\approx 20$
Einheit	Passt die Einheit zur Frage?	Gesuchter Preis muss in Euro angegeben werden.
Gegenprobe	Liefert ein zweiter Weg dasselbe Ergebnis?	Einheitswert und direkter Faktor stimmen überein.
Alltagssinn	Kann das Ergebnis in der Situation überhaupt vorkommen?	Man kann keine 2,7 geschlossenen Packungen kaufen.

Beispiel für einen Überschlag:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 7\cdot3{,}98\,€\approx7\cdot4\,€=28\,€ }

Wenn die genaue Rechnung Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 27{,}86\,€} ergibt, ist das plausibel. Ein Ergebnis von Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 278{,}60\,€} wäre offensichtlich um eine Zehnerstelle zu groß.

Ein Lösungsplan für selbstständiges Arbeiten

Schritt	Frage	Mathematische Aktion
1. Verstehen	Welche Größen gehören zusammen?	Angaben markieren und Einheiten notieren
2. Struktur prüfen	Ist die Zuordnung wirklich proportional?	gleicher Faktor oder konstanter Quotient
3. Ziel klären	Welche Größe ist gesucht?	Frage in einem kurzen Satz formulieren
4. Rechenweg wählen	Faktor, über 1, Zerlegen oder $y=kx$?	günstigen Weg auswählen
5. Rechnen	Sind die Einheiten einheitlich?	sauber mit Einheiten rechnen
6. Prüfen	Ist das Ergebnis realistisch?	Überschlag, Faktorprobe oder Gegenprobe
7. Antworten	Was bedeutet die Zahl im Sachzusammenhang?	Antwortsatz mit Einheit

Video: Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Beobachtungsauftrag: Notiere während des Videos, an welcher Stelle zuerst auf den Wert $1$ gerechnet wird und wie anschließend der Zielwert entsteht.

Video: Fehlende Werte berechnen

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Transferauftrag: Erfinde nach dem Video eine eigene Sachsituation mit zwei Größen und löse sie auf zwei verschiedenen Wegen.

Interaktive Vertiefung mit GeoGebra

Das folgende Material beschäftigt sich mit proportionalen Zuordnungen in einer Sachsituation beim Tanken. Nutze die Regler, verändere Preis und Menge und beobachte gleichzeitig den Rechnungsbetrag und den Graphen.

Prüfe bei mehreren Einstellungen:

$\frac{\text{Preis}}{\text{Liter}}\stackrel{?}{=}\text{konstant}$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Woran erkennst Du eine proportionale Zuordnung besonders sicher? (Der Quotient zusammengehöriger Werte bleibt konstant) (!Beide Größen werden größer) (!Eine Größe bleibt immer gleich) (!Der Graph startet irgendwo auf der y Achse)

Was passiert bei einer proportionalen Zuordnung wenn eine Größe verdoppelt wird? (Die zugeordnete Größe wird ebenfalls verdoppelt) (!Die zugeordnete Größe wird halbiert) (!Die zugeordnete Größe bleibt unverändert) (!Zur zugeordneten Größe wird immer zwei addiert)

Drei gleiche Hefte kosten 4 Euro 50. Wie viel kosten sechs Hefte? (9 Euro) (!6 Euro) (!7 Euro 50) (!13 Euro 50)

Warum ist ein Preis mit fester Grundgebühr normalerweise nicht proportional zur Menge? (Bei der Menge null ist der Preis nicht null) (!Der Preis kann in Euro angegeben werden) (!Die Menge kann größer werden) (!Man kann den Preis addieren)

Ein Rezept für vier Personen wird auf zehn Personen vergrößert. Welcher Faktor wird verwendet? (2 Komma 5) (!2) (!4) (!6)

Wann ist der Rechenweg über den Wert eins besonders nützlich? (Wenn der direkte Veränderungsfaktor unhandlich ist) (!Wenn keine Größen gegeben sind) (!Wenn die Zuordnung sicher nicht proportional ist) (!Wenn man keine Einheit kennt)

Wie verläuft der Graph einer proportionalen Zuordnung? (Als Gerade durch den Ursprung) (!Als Kreis) (!Als waagerechte Gerade) (!Als beliebige Kurve)

Welche Prüfung zeigt direkt ob ein Ergebnis zur Größenordnung passt? (Ein Überschlag) (!Das Abschreiben der Aufgabe) (!Das Weglassen der Einheit) (!Das Vertauschen der Größen)

Du brauchst 1350 Gramm Nudeln und eine Packung enthält 500 Gramm. Wie viele ganze Packungen musst Du kaufen? (3 Packungen) (!2 Packungen) (!2 Komma 7 Packungen) (!4 Packungen)

Sechs Meter Band kosten 9 Euro 60. Wie hoch ist der Preis pro Meter? (1 Euro 60) (!60 Cent) (!2 Euro 40) (!3 Euro 60)

Memory

Proportionalitätsfaktor	konstanter Multiplikationsfaktor
Einheitswert	Wert für genau eine Einheit
Ursprungsgerade	Graph einer proportionalen Zuordnung
Überschlag	grobe Rechnung zur Plausibilitätsprüfung
Dreisatz	Rechenweg über eine Zwischenstufe
Quotient	Ergebnis einer Division

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Struktur prüfen	Veränderungsfaktoren vergleichen
Einheiten klären	gleichartige Maßeinheiten herstellen
Rechenweg wählen	Faktor oder Einheitswert bestimmen
Ergebnis berechnen	mathematische Operationen ausführen
Plausibilität prüfen	Überschlag oder Gegenprobe verwenden

Kreuzworträtsel

Proportionalität	Wie heißt ein Zusammenhang mit konstantem Verhältnis zusammengehöriger Werte?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Dreisatz	Wie heißt der bekannte Rechenweg über eine Zwischenstufe?
Ursprung	Durch welchen besonderen Punkt verläuft der Graph einer proportionalen Zuordnung?
Plausibilität	Welcher Begriff bezeichnet die Prüfung ob ein Ergebnis sinnvoll sein kann?
Einheit	Was muss bei einem Ergebnis wie Meter Gramm oder Euro immer passend angegeben werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer proportionalen Zuordnung verändern sich beide Größen mit demselben . Der Quotient aus zusammengehörigen Werten bleibt . Der Wert für genau eine Einheit heißt . Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft durch den . Bei einem Rechenweg über den Wert eins kann zuerst durch die gegebene Anzahl werden. Danach wird mit der gesuchten Anzahl . Vor dem Rechnen sollten unterschiedliche Maßeinheiten passend werden. Ein grobes Rechnen zur Kontrolle nennt man . Bei Packungsgrößen kann es nötig sein auf eine ganze Packungszahl . Am Ende gehört zur berechneten Zahl immer eine passende .

Zusätzliche Übungsaufgaben mit Lösungen zum Aufklappen

Übung A: Obstpreis

$\mathrm{2,5}kg$ Äpfel kosten Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 6{,}00\,€} . Wie viel kosten $4kg$ bei gleichem Kilopreis?

Lösung

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 6{,}00\,€:2{,}5=2{,}40\,€/\text{kg} }

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 4\cdot2{,}40\,€=9{,}60\,€ }

Antwort: $4kg$ kosten Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 9{,}60\,€} .

Übung B: Farbe

Für $12m^2$ Wandfläche werden $3l$ Farbe benötigt. Wie viel Farbe brauchst Du für $30m^2$ unter gleichen Bedingungen?

Lösung

$30:12=\mathrm{2,5}$

$3l\cdot \mathrm{2,5}=\mathrm{7,5}l$

Antwort: Du brauchst rechnerisch $\mathrm{7,5}l$ Farbe.

Übung C: Nicht proportional

Ein Fahrradverleih verlangt Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 5\,€} Startgebühr und Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 3\,€} pro Stunde. Ist der Preis proportional zur Mietdauer?

Lösung

Nein. Für $0$ Stunden wären bereits Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 5\,€} zu zahlen. Eine proportionale Zuordnung müsste durch $(0|0)$ gehen.

Übung D: Mehrschrittig mit Packungen

Für $24$ Bastelsterne brauchst Du $360cm$ Draht. Du möchtest $70$ Sterne herstellen. Der Draht wird in Rollen zu $5m$ verkauft. Wie viele Rollen brauchst Du?

Lösung

Zuerst Draht pro Stern:

$360cm:24=15cm$

Für $70$ Sterne:

$70\cdot 15cm=1050cm$

Umrechnen:

$1050cm=\mathrm{10,5}m$

Rollenanzahl:

$\mathrm{10,5}m:5m=\mathrm{2,1}$

Da nur ganze Rollen gekauft werden können, brauchst Du 3 Rollen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Preise vergleichen: Fotografiere oder notiere fünf Stückpreise aus einem Prospekt oder einem Geschäft. Erstelle zu einem Produkt eine proportionale Wertetabelle mit mindestens vier Mengen.
2. Rezept: Wähle ein einfaches Rezept für vier Personen und rechne alle Zutaten auf sechs Personen um. Markiere den verwendeten Faktor.
3. Proportionalität im Alltag: Finde drei Alltagssituationen, von denen zwei proportional und eine nicht proportional sind. Begründe Deine Entscheidung.
4. Wertetabelle: Erfinde eine proportionale Zuordnung mit einem selbst gewählten Einheitswert und gestalte dazu eine übersichtliche Tabelle.

Standard

1. Doppelte Zahlengerade: Stelle eine Preis-Mengen-Situation als doppelte Zahlengerade dar und erkläre schriftlich, wie Du einen fehlenden Wert abliest oder berechnest.
2. Dreisatz: Löse dieselbe Sachaufgabe einmal mit einem direkten Faktor und einmal über den Wert eins. Vergleiche beide Wege.
3. Materialbedarf: Plane für ein Klassenprojekt den Materialbedarf für 8, 14 und 25 gleiche Werkstücke. Dokumentiere die Proportionalitätsfaktoren und Einheiten.
4. Plausibilitätsprüfung: Erstelle drei absichtlich falsche Lösungen zu proportionalen Sachaufgaben. Zeige jeweils mit Überschlag oder Gegenprobe, woran der Fehler erkannt werden kann.

Schwer

1. Mehrschrittige Sachaufgabe: Entwickle eine Aufgabe, bei der zuerst proportional gerechnet und anschließend wegen Packungsgrößen aufgerundet werden muss. Gib eine vollständige Musterlösung an.
2. Kostenmodell: Vergleiche zwei Angebote, von denen eines einen festen Grundpreis und das andere einen reinen Stückpreis besitzt. Erkläre, welcher Teil proportional ist und welcher nicht.
3. Diagramm: Erhebe selbst Daten zu einer möglichst proportionalen Alltagssituation, stelle sie als Wertetabelle und Graph dar und untersuche, ob die Punkte tatsächlich auf einer Ursprungsgeraden liegen.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du eine proportionale Sachaufgabe löst, den Rechenweg begründest und am Ende eine Plausibilitätsprüfung durchführst.

Lernkontrolle

1. Modellieren: Ein Getränkerezept für 6 Personen enthält 900 ml Saft. Eine Klasse mit 26 Personen soll versorgt werden. Entwickle einen geeigneten Rechenweg, berechne die benötigte Saftmenge und begründe, warum Dein Modell proportional ist.
2. Rechenwege vergleichen: Für 8 gleiche Artikel werden 14,40 € bezahlt. Bestimme den Preis für 18 Artikel einmal über den Einheitswert und einmal durch geschicktes Zerlegen. Vergleiche die Effizienz beider Verfahren.
3. Fehleranalyse: Jemand rechnet bei einer proportionalen Aufgabe von 5 auf 20 mit dem Faktor 4, multipliziert den zugehörigen Wert aber mit 5. Erkläre den Fehler und entwickle eine Kontrolle, die ihn sicher entdeckt.
4. Modellkritik: Ein Kopierladen verlangt eine Startgebühr plus einen Preis pro Kopie. Erkläre, warum die Gesamtkosten nicht proportional zur Kopienzahl sind und welcher Teil der Kosten dennoch proportional beschrieben werden kann.
5. Mehrschrittiges Problemlösen: Für 16 Werkstücke braucht man 2,4 m Material. Das Material wird in 1-m-Stücken verkauft. Bestimme den Bedarf für 55 Werkstücke, die Zahl der zu kaufenden Stücke und den Materialrest.
6. Plausibilität: Erfinde zu einem Ergebnis von 48 € mindestens zwei unterschiedliche Überschlags- oder Gegenproben, mit denen Du zeigen könntest, dass der Wert in einer konkreten Preissituation realistisch ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deine Entscheidungen begründest.

1. Du erkennst proportionale Strukturen und kannst sie von nur scheinbar proportionalen Situationen unterscheiden.
2. Du erklärst die Bedeutung des konstanten Quotienten $k=\frac{y}{x}$.
3. Du wählst passend zwischen direktem Faktor, Einheitswert, Zerlegen und Dreisatz.
4. Du rechnest sicher mit Größen wie Euro, Cent, Gramm, Kilogramm, Milliliter, Liter, Zentimeter und Meter.
5. Du löst mehrschrittige Aufgaben, in denen nach einer proportionalen Rechnung weitere Entscheidungen nötig sind.
6. Du stellst proportionale Zusammenhänge in Tabellen, Zahlengeraden und Graphen dar.
7. Du prüfst Ergebnisse mit Überschlag, Faktorprobe, Einheit und Gegenprobe.
8. Du formulierst einen vollständigen Antwortsatz, der zur Sachsituation passt.

Medien und Lizenzhinweise

Die verwendeten Bilder stammen aus Wikimedia Commons. Für die Nachnutzung gelten die Lizenzangaben auf den jeweiligen Dateiseiten.

Medium	Einsatz im aiMOOC	Lizenz laut Wikimedia Commons
	Rezept und Zutaten	CC0 1.0
	Preise	Public Domain
	Massen und Rezeptmengen	CC0 1.0
	Längen und Materialmengen	Public Domain
	Längeneinheiten	CC BY-SA 4.0
	Einkaufssituationen	CC0 1.0
	Geld und Dezimalstellen	CC0 1.0

Die YouTube-Videos werden über die Plattform eingebettet. Die Einbettung bedeutet nicht, dass das Videomaterial selbst unter einer freien OER-Lizenz steht. Für eine Bearbeitung oder anderweitige Weiterverwendung des Videoinhalts müssen die jeweiligen Rechte des Videos beachtet werden.

OERs zum Thema

Wikipedia: Proportionalität

GeoGebra: Proportionalität für die Sekundarstufe

Interaktive Sachaufgabe mit veränderbaren Werten

Verknüpfte Lernbereiche

Proportionalität Proportionale Zuordnung Dreisatz Wertetabelle Proportionalitätsfaktor Sachaufgaben Größen und Einheiten Diagramme Plausibilitätsprüfung Dezimalzahlen Brüche