M6 G - Brüche auf der Zahlengeraden

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Ein Bruch wie $\frac{3}{4}$ ist nicht nur ein Teil einer Pizza, eines Kuchens oder eines Rechtecks. Ein Bruch ist eine Zahl. Deshalb hat jeder positive Bruch einen festen Platz auf der Zahlengeraden.

In diesem aiMOOC lernst Du, positive Brüche Punkten auf der Zahlengeraden zuzuordnen und umgekehrt an markierten Punkten abzulesen, welcher Bruch dort liegt. Dabei arbeitest Du mit Zahlengeraden, Bruchstreifen, beweglichen Punkten und interaktiven Übungen.

Das lernst Du	Beispiel
Einen Bruch als Zahl verstehen	$\frac{3}{4}$ ist eine Zahl zwischen $0$ und $1$.
Den Nenner auf der Zahlengeraden erkennen	Bei Vierteln wird jede Einheit in $4$ gleich große Abschnitte geteilt.
Den Zähler nutzen	$\frac{3}{4}$ bedeutet: vom Nullpunkt aus $3$ Viertelschritte gehen.
Brüche größer als $1$ eintragen	$\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$.
Gleichwertige Brüche erkennen	$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$ liegen am selben Punkt.
Brüche vergleichen	Weiter rechts bedeutet bei positiven Zahlen: größer.

Merksatz: Auf der Zahlengeraden wird ein Bruch als Position sichtbar. Der Bruch beschreibt also eine Zahl und nicht nur einen Anteil an einem Gegenstand.

Die Zahlengerade oben ist als SVG-Grafik verlustfrei vergrößerbar. Für dieses Thema betrachten wir vor allem den positiven Bereich ab $0$.

Lernziele auf G-Niveau

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Brüche als Zahlen auf einer Zahlengeraden deuten.
2. die Strecke von $0$ bis $1$ in gleich große Abschnitte teilen.
3. aus dem Nenner die passende Unterteilung bestimmen.
4. aus dem Zähler die Anzahl der Schritte vom Nullpunkt bestimmen.
5. positive Brüche kleiner als, gleich und größer als $1$ eintragen.
6. markierte Punkte als Brüche ablesen.
7. gleichwertige Brüche am gleichen Punkt erkennen.
8. Brüche durch ihre Lage auf der Zahlengeraden vergleichen.
9. typische Fehler beim Ablesen und Eintragen erklären.

Vom Anteil zur Zahl

Bei Brüchen denkst Du vielleicht zuerst an eine Torte oder an ein Rechteck. Solche Bilder sind nützlich. Für die Zahlengerade brauchst Du aber einen weiteren Gedanken:

Darstellung	Bedeutung von $\frac{3}{4}$
Anteil eines Ganzen	Drei von vier gleich großen Teilen sind gemeint.
Zahl	$\frac{3}{4}$ ist genau eine Stelle zwischen $0$ und $1$.
Rechenweg	$\frac{3}{4}=3\cdot \frac{1}{4}$
Division	$\frac{3}{4}=3:4$

Bruchstreifen helfen beim Übergang vom Anteil zur Zahl. Alle Streifen beginnen links an derselben Stelle. Stell Dir diese Stelle als $0$ vor und das rechte Ende als $1$. Dann werden aus den Teilstücken Abstände auf einer Zahlengeraden.

Die Einheit von 0 bis 1

Die Strecke zwischen $0$ und $1$ heißt hier eine Einheit. Sie ist besonders wichtig, weil der Nenner angibt, in wie viele gleich große Teile diese Einheit zerlegt wird.

Nenner	Unterteilung von $0$ bis $1$	Ein Schritt
$2$	zwei gleich große Abschnitte	$\frac{1}{2}$
$3$	drei gleich große Abschnitte	$\frac{1}{3}$
$4$	vier gleich große Abschnitte	$\frac{1}{4}$
$5$	fünf gleich große Abschnitte	$\frac{1}{5}$
$6$	sechs gleich große Abschnitte	$\frac{1}{6}$
$10$	zehn gleich große Abschnitte	$\frac{1}{10}$

Wichtig: Gezählt werden die Abschnitte zwischen zwei Teilstrichen, nicht die Teilstriche selbst.

Zähler und Nenner auf der Zahlengeraden

Für einen positiven Bruch

$\frac{a}{b}$

gilt:

Teil des Bruchs	Aufgabe auf der Zahlengeraden
Nenner $b$	Teile jede Einheit in $b$ gleich große Abschnitte.
Zähler $a$	Gehe vom Nullpunkt aus $a$ dieser Abschnitte nach rechts.

Beispiel:

$\frac{3}{5}=3\cdot \frac{1}{5}$

Der Nenner $5$ erzeugt Fünftelschritte. Der Zähler $3$ sagt, dass Du drei Fünftelschritte vom Nullpunkt aus gehst.

$0$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{4}{5}$	$\frac{5}{5}=1$
●	●	●	●	●	●
$0⟶\frac{1}{5}⟶\frac{2}{5}⟶\frac{3}{5}⟶\frac{4}{5}⟶1$

Schritt für Schritt: Einen Bruch eintragen

Beispiel: Trage $\frac{5}{6}$ ein.

Schritt	Frage	Ergebnis
1	Wo liegen $0$ und $1$?	Markiere die Einheitsstrecke.
2	Was sagt der Nenner $6$?	Teile die Einheit in sechs gleich große Abschnitte.
3	Wie groß ist ein Schritt?	$\frac{1}{6}$
4	Was sagt der Zähler $5$?	Gehe fünf Sechstelschritte nach rechts.
5	Welcher Punkt ist erreicht?	$\frac{5}{6}$

Der Weg lässt sich als Rechenkette schreiben:

$0\stackrel{+\frac{1}{6}}{\to }\frac{1}{6}\stackrel{+\frac{1}{6}}{\to }\frac{2}{6}\stackrel{+\frac{1}{6}}{\to }\frac{3}{6}\stackrel{+\frac{1}{6}}{\to }\frac{4}{6}\stackrel{+\frac{1}{6}}{\to }\frac{5}{6}$

Interaktive, zoombare Zahlengerade

Ziehe die Punkte, verändere die Unterteilung und beobachte, wie sich Brüche als Positionen auf der Zahlengeraden verhalten.

Arbeitsauftrag: Stelle nacheinander $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{6}$ und einen Bruch größer als $1$ dar. Beschreibe jeweils, wie viele gleich große Schritte Du vom Nullpunkt aus gehen musst.

Brüche ablesen

Manchmal ist der Punkt schon eingezeichnet und Du sollst den Bruch herausfinden.

Gehe dabei immer in dieser Reihenfolge vor:

Schritt	Was Du prüfst
1	Finde $0$ und $1$.
2	Zähle die gleich großen Abschnitte zwischen $0$ und $1$. Diese Anzahl ist der Nenner.
3	Zähle die Abschnitte von $0$ bis zum gesuchten Punkt. Diese Anzahl ist der Zähler.
4	Schreibe den Bruch und prüfe, ob seine Größe zur Lage passt.

Beispiel: Zwischen $0$ und $1$ liegen $8$ gleich große Abschnitte. Ein Punkt liegt nach $5$ Abschnitten.

$\text{Nenner}=8$

$\text{Zähler}=5$

$\Rightarrow \frac{5}{8}$

Positionierungsaufgabe mit beweglichen Punkten

In dieser GeoGebra-Aktivität kannst Du Punkte auf die passende Position ziehen und Deine Lösung prüfen.

Tipp: Bestimme zuerst die Größe eines einzelnen Schrittes. Erst danach verschiebst Du den Punkt.

Brüche größer als 1

Die Zahlengerade endet nicht bei $1$. Auch Brüche wie $\frac{5}{4}$, $\frac{7}{6}$ oder $\frac{11}{5}$ sind Zahlen und haben eine eindeutige Position.

Beispiel:

$\frac{7}{4}$

Jede Einheit wird in vier Teile geteilt. Vom Nullpunkt aus gehst Du sieben Viertelschritte:

$0$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{4}{4}=1$	$\frac{5}{4}$	$\frac{6}{4}$	$\frac{7}{4}$	$\frac{8}{4}=2$
●	●	●	●	●	●	●	●	●

Dabei gilt:

$\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$

Die beiden Schreibweisen $\frac{7}{4}$ und $1\frac{3}{4}$ bezeichnen dieselbe Zahl. Auf der Zahlengeraden liegen sie deshalb am selben Punkt.

Schritt-für-Schritt-Modell für unechte Brüche

Für $\frac{11}{5}$:

$\frac{11}{5}=\frac{10}{5}+\frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}=2\frac{1}{5}$

Visuell:

$0\to \frac{1}{5}\to \frac{2}{5}\to \frac{3}{5}\to \frac{4}{5}\to 1\to \frac{6}{5}\to \frac{7}{5}\to \frac{8}{5}\to \frac{9}{5}\to 2\to \frac{11}{5}$

Der Punkt $\frac{11}{5}$ liegt also ein Fünftel rechts von $2$.

Gleichwertige Brüche liegen am selben Punkt

Die Brüche

$\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\frac{4}{8}$

sehen verschieden aus, haben aber denselben Wert:

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$

Darum treffen sie sich auf der Zahlengeraden an derselben Stelle.

Das ist ein besonders wichtiger Unterschied zwischen Schreibweise und Zahl: Eine Zahl kann durch verschiedene Brüche dargestellt werden.

Bewegliche Bruchstreifen

Mit einer Streifentafel kannst Du gleichwertige Brüche visuell vergleichen und eine Linie verschieben.

Probiere zum Beispiel:

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}$

Beobachte, dass die Länge gleich bleibt, obwohl Zähler und Nenner wechseln.

Brüche vergleichen

Auf einer Zahlengeraden gilt bei positiven Zahlen:

Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.

Beispiel:

$\frac{2}{5}<\frac{3}{5}$

weil $\frac{2}{5}$ links von $\frac{3}{5}$ liegt.

Auch bei verschiedenen Nennern hilft die Position:

$\frac{1}{2}<\frac{3}{4}$

Bruch	Lage	Vergleich
$\frac{1}{4}$	nah bei $0$	kleiner
$\frac{1}{2}$	genau in der Mitte zwischen $0$ und $1$	größer als $\frac{1}{4}$
$\frac{3}{4}$	rechts von $\frac{1}{2}$	größer als $\frac{1}{2}$
$\frac{5}{4}$	rechts von $1$	größer als $1$

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Typischer Fehler	Beispiel	Bessere Strategie
Teilstriche statt Abschnitte zählen	Fünf Striche werden fälschlich als Nenner $5$ gedeutet.	Zähle die Lücken zwischen $0$ und $1$.
Ungleich große Abschnitte zeichnen	Die Viertel liegen nicht gleich weit auseinander.	Miss oder konstruiere gleiche Abstände.
Beim Zähler bei $1$ anfangen	$\frac{3}{4}$ wird rechts von $1$ eingezeichnet.	Starte bei positiven Brüchen vom Nullpunkt.
Nenner als Anzahl der Schritte verwenden	Bei $\frac{3}{5}$ werden fünf Schritte gegangen.	Der Nenner bestimmt die Schrittgröße, der Zähler die Schrittzahl.
Bei $\frac{7}{4}$ bei $1$ aufhören	Der Bruch wird nicht eingezeichnet.	Führe die Viertelschritte über $1$ hinaus fort.
Gleichwertige Brüche an verschiedene Punkte setzen	$\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$ werden getrennt markiert.	Prüfe durch Erweitern, Kürzen oder Bruchstreifen.

Merkhilfe

N	Z	R
Nenner	Zähler	Richtung
Nennt die Anzahl gleich großer Teile pro Einheit.	Zählt die Schritte vom Nullpunkt.	Positive Zahlen liegen rechts von $0$.

Kurz:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{\text{Schritte vom Nullpunkt}}{\text{gleich große Schritte pro Einheit}}}}

Video-Erklärungen

Brüche am Zahlenstrahl ablesen

Das folgende Lernvideo zeigt, wie Brüche an markierten Stellen des Zahlenstrahls erkannt werden.

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Arbeite beim Zuschauen mit: Pausiere vor jeder Lösung und bestimme selbst zuerst den Nenner und dann den Zähler.

Brüche am Zahlenstrahl einzeichnen

Dieses Video behandelt das Einzeichnen von Brüchen und gemischten Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

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Erstelle parallel dazu eine eigene Zahlengerade und übertrage mindestens zwei Beispiele.

Mini-Training mit visuellen Zahlengeraden

Aufgabe A: Viertel

Welche Zahl liegt am markierten Punkt?

$0$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4}$	A	$1$
●	●	●	●	●

$A=\frac{3}{4}$

Aufgabe B: Sechstel

Ein Punkt $B$ liegt nach vier von sechs gleich großen Abschnitten.

$B=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Beide Brüche bezeichnen denselben Punkt.

Aufgabe C: Über die 1 hinaus

Ein Punkt $C$ liegt bei sieben Viertelschritten ab $0$.

$C=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$

Aufgabe D: Fehler finden

Eine Schülerin sagt: „Zwischen $0$ und $1$ sehe ich fünf Teilstriche. Also sind es Fünftel.“

Prüfe die Aussage. Entscheidend ist nicht die Anzahl aller sichtbaren Striche, sondern die Anzahl der gleich großen Abschnitte von $0$ bis $1$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bestimmt der Nenner eines Bruchs auf der Zahlengeraden? (Die Anzahl gleich großer Abschnitte pro Einheit) (!Die Entfernung des Punktes von der Zahlengeraden) (!Die Farbe des markierten Punktes) (!Die Anzahl aller Zahlen auf der Zahlengeraden)

Wo liegt der Bruch drei Viertel? (Zwischen null und eins beim dritten Viertelschritt) (!Genau bei drei) (!Genau bei vier) (!Links von null)

Wie viele Viertelschritte gehst Du für sieben Viertel vom Nullpunkt aus? (Sieben) (!Vier) (!Drei) (!Elf)

Welche Aussage über ein Halb und zwei Viertel stimmt? (Sie liegen auf derselben Stelle) (!Ein Halb liegt immer links von null) (!Zwei Viertel ist doppelt so groß wie ein Halb) (!Beide Zahlen liegen rechts von zwei)

Was musst Du beim Ablesen eines Bruchs zuerst bestimmen? (Die Einheitsstrecke von null bis eins) (!Die größte Zahl der Aufgabe) (!Die Farbe der Zahlengeraden) (!Die Anzahl der Buchstaben im Punktnamen)

Welche Zahl liegt rechts von eins? (Fünf Viertel) (!Drei Viertel) (!Ein Viertel) (!Ein Halb)

Welche Aussage ist für positive Zahlen richtig? (Weiter rechts bedeutet größer) (!Weiter links bedeutet immer größer) (!Alle Brüche liegen zwischen null und eins) (!Der Nenner bestimmt allein die Größe)

Was ist ein häufiger Fehler beim Bestimmen des Nenners? (Teilstriche statt Abschnitte zu zählen) (!Den Nullpunkt zu markieren) (!Gleiche Abstände zu verwenden) (!Den Bruch als Zahl zu betrachten)

Welche Zahl ist gleich sieben Viertel? (Eins drei Viertel) (!Eins ein Viertel) (!Zwei drei Viertel) (!Drei ein Viertel)

Welche Darstellung zeigt einen Bruch als Zahl? (Ein eindeutig markierter Punkt auf der Zahlengeraden) (!Nur die Farbe eines Kreises) (!Nur die Form eines Rechtecks) (!Nur die Anzahl von Gegenständen ohne Einteilung)

Memory

Nenner	Anzahl gleich großer Abschnitte pro Einheit
Zähler	Anzahl der Schritte vom Nullpunkt
Einheitsstrecke	Strecke von null bis eins
gleichwertige Brüche	gleicher Punkt auf der Zahlengeraden
unechter Bruch	Bruch mit Wert größer oder gleich eins
weiter rechts	größere positive Zahl
Viertelschritt	Schrittweite ein Viertel

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Nenner	teilt die Einheit in gleich große Abschnitte
Zähler	gibt die Zahl der Schritte vom Nullpunkt an
Nullpunkt	Ausgangspunkt für positive Brüche
Einheitsstrecke	Strecke zwischen null und eins
gleichwertig	verschiedene Bruchschreibweisen für dieselbe Zahl

Kreuzworträtsel

Nenner	Welcher Teil eines Bruchs bestimmt die Anzahl gleich großer Abschnitte pro Einheit?
Zaehler	Welcher Teil eines Bruchs bestimmt die Zahl der Schritte vom Nullpunkt?
Einheit	Wie heißt die Strecke von null bis eins in diesem Modell?
Abschnitte	Was musst Du zwischen null und eins zählen, um den Nenner zu finden?
rechts	In welche Richtung werden positive Zahlen größer?
Bruchzahl	Wie nennt man eine Zahl, die als Bruch dargestellt werden kann?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Bruch ist nicht nur ein Anteil, sondern auch eine .

Die Strecke von null bis eins nennt man hier eine .

Der gibt an, in wie viele gleich große Abschnitte eine Einheit geteilt wird.

Der gibt an, wie viele dieser Abschnitte Du vom Nullpunkt aus gehst.

Bei dem Bruch drei Viertel hat ein Schritt die Länge .

Der Bruch fünf Viertel liegt rechts von .

Gleichwertige Brüche liegen auf der Zahlengeraden am .

Beim Ablesen des Nenners musst Du die gleich großen zählen.

Bei positiven Zahlen ist ein weiter rechts liegender Punkt .

Sieben Viertel kann auch als eins drei geschrieben werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Eigene Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $2$. Teile jede Einheit in Viertel und markiere $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{4}$ und $\frac{7}{4}$.
2. Bruchstreifen legen: Stelle mit Papierstreifen $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ und $\frac{4}{8}$ dar. Lege die Streifen übereinander und beschreibe, was Du erkennst.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde eine falsche Zahlengerade zu $\frac{3}{5}$. Markiere den Fehler und erkläre, wie man ihn verbessert.
4. 60-Sekunden-Erklärung: Nimm eine kurze Audio- oder Videoerklärung auf: „Wie finde ich $\frac{5}{6}$ auf der Zahlengeraden?“

Standard

1. Zahlengerade im Schulhof: Markiert mit Kreide eine große Zahlengerade von $0$ bis $2$. Eine Person nennt einen Bruch, eine andere stellt sich an die passende Stelle.
2. Bruch-Duell: Wähle zehn Bruchpaare. Entscheide jeweils mithilfe einer selbst gezeichneten Zahlengeraden, welcher Bruch größer ist.
3. Mathe-Interview: Befrage zwei Mitschülerinnen oder Mitschüler dazu, warum $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$ am selben Punkt liegen. Vergleiche die Erklärungen.
4. Digitale Positionierungsaufgabe: Nutze eine interaktive Zahlengerade und erstelle fünf eigene Aufgaben mit Brüchen kleiner und größer als $1$. Tausche die Aufgaben mit einer anderen Person.

Schwer

1. Erklärvideo produzieren: Produziere ein zweiminütiges Lernvideo mit drei Beispielen: ein echter Bruch, ein Bruch gleich $1$ und ein unechter Bruch.
2. Punktfamilien: Finde zu drei Punkten auf einer Zahlengeraden jeweils mindestens vier verschiedene Brüche, die genau dort liegen. Begründe durch Erweitern oder Kürzen.
3. Regel entwickeln: Formuliere eine allgemeine Regel, wie man $\frac{a}{b}$ auf der Zahlengeraden findet. Teste Deine Regel an fünf Beispielen.
4. Eigenes Lernspiel: Entwickle ein Karten- oder Bewegungsspiel, bei dem Brüche passenden Positionen auf einer Zahlengeraden zugeordnet werden. Lass eine Gruppe spielen und verbessere die Regeln anhand des Feedbacks.

Lernkontrolle

1. Vergleich begründen: Auf einer Zahlengeraden liegt Punkt A bei $\frac{3}{5}$ und Punkt B bei $\frac{4}{5}$. Erkläre ohne Dezimalzahlen, warum B weiter rechts liegt.
2. Fehler analysieren: Eine Zahlengerade von $0$ bis $1$ hat vier gleich große Abschnitte. Jemand nennt den dritten Teilstrich $\frac{3}{5}$. Erkläre den Denkfehler und gib die richtige Zahl an.
3. Neue Unterteilung: Ein Punkt liegt genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{2}$ und $1$. Bestimme einen passenden Bruch und erkläre Deinen Weg mit einer Zahlengeraden.
4. Gleicher Punkt: Begründe mit einer Zeichnung und einer Rechnung, warum $\frac{3}{6}$ und $\frac{1}{2}$ dieselbe Position besitzen.
5. Über die Eins hinaus: Erkläre, wie Du $\frac{9}{5}$ einträgst, wenn nur $0$, $1$ und $2$ markiert sind.
6. Aufgabe konstruieren: Zeichne eine Zahlengerade mit einem markierten Punkt, zu dem mindestens zwei verschiedene Brüche passen. Lass eine andere Person beide Brüche finden und erkläre anschließend die Lösung.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennen, sondern Dein Vorgehen erklären kannst.

1. Du erkennst die Einheitsstrecke von $0$ bis $1$.
2. Du teilst die Einheit passend zum Nenner in gleich große Abschnitte.
3. Du nutzt den Zähler als Anzahl der Schritte vom Nullpunkt.
4. Du kannst echte und unechte positive Brüche eintragen.
5. Du kannst markierte Punkte als Brüche ablesen.
6. Du erkennst, dass gleichwertige Brüche dieselbe Position haben.
7. Du vergleichst positive Brüche mithilfe ihrer Lage.
8. Du erkennst und erklärst typische Fehler beim Zählen von Teilstrichen und Abschnitten.
9. Du verwendest mathematische Sprache wie Zähler, Nenner, Einheit, Abschnitt und Position passend.
10. Du kannst eine Lösung durch Zahlengerade, Bruchschreibweise und kurze Begründung darstellen.

OERs zum Thema

Als frei zugängliche Vertiefung kann der Wikipedia-Artikel zur Bruchrechnung genutzt werden:

Freie und offene Medien

Die folgenden Wikimedia-Commons-Dateien werden im aiMOOC verwendet. Die jeweilige Dateibeschreibungsseite enthält Urheber- und Lizenzangaben.

1. Simple number line.svg
2. FractionStrips.PNG
3. Gleichwertige Brueche am Zahlenstrahl.svg
4. Unechter und gemischter Bruch.svg

Die GeoGebra-Übungen werden als externe interaktive Lernmaterialien eingebettet. Dadurch können Punkte bewegt, Zahlengeraden vergrößert und Bruchdarstellungen dynamisch untersucht werden.

Verknüpfte Lernbereiche

Bruchrechnung Bruch Zähler Nenner Zahlengerade Zahlenstrahl Gemischte Zahl Unechter Bruch Gleichwertige Brüche Brüche vergleichen Erweitern und Kürzen

Zusammenfassung

Grundidee	Kurzform
Brüche sind Zahlen	Jeder positive Bruch hat einen festen Punkt auf der Zahlengeraden.
Nenner	Anzahl gleich großer Abschnitte pro Einheit.
Zähler	Anzahl der Schritte vom Nullpunkt.
Bruch größer als eins	Die Zahlengerade wird einfach über $1$ hinaus fortgesetzt.
Gleichwertige Brüche	Verschiedene Schreibweisen können denselben Punkt bezeichnen.
Vergleichen	Weiter rechts bedeutet bei positiven Zahlen größer.

Kernsatz:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{ \frac{a}{b} = a\cdot\frac{1}{b} } }

Du teilst also die Einheit in $b$ gleich große Schritte und gehst davon $a$ Schritte vom Nullpunkt aus.