M6 G - Dezimalzahlen sicher verstehen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

Dezimalzahlen begegnen Dir jeden Tag: beim Geld, beim Messen von Längen, bei Gewichten, Zeiten und vielen anderen Größen. In diesem aiMOOC lernst Du, positive Dezimalzahlen sicher zu lesen, zu schreiben, in einer Stellenwerttafel darzustellen und zu zerlegen.

Das Ziel ist, dass Du besonders die Stellen Zehntel, Hundertstel und Tausendstel sicher unterscheiden kannst.

Eine Dezimalzahl besteht aus einem Teil vor dem Komma und einem Teil nach dem Komma.

$\mathrm{4,307}$

bedeutet:

$\mathrm{4,307}=4+\frac{3}{10}+\frac{0}{100}+\frac{7}{1000}$

oder:

$\mathrm{4,307}=4+\mathrm{0,3}+\mathrm{0,007}$

Wichtig: Eine Ziffer hat ihren Wert nicht nur durch ihre Form, sondern vor allem durch ihre Stelle.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Dezimalzahlen bis zu Tausendsteln lesen und schreiben.
2. Einer, Zehntel, Hundertstel und Tausendstel sicher unterscheiden.
3. Dezimalzahlen in einer Stellenwerttafel darstellen.
4. Dezimalzahlen in Stellenwerte zerlegen.
5. Dezimalzahlen mit Geld und Längen verbinden.
6. Dezimalzahlen auf einer Zahlengerade finden.
7. typische Fehler bei Nullen und Nachkommastellen erkennen.

Das Stellenwertsystem

Unser Zahlensystem ist ein Zehnersystem. Jede Stelle ist zehnmal so groß wie die Stelle rechts daneben.

$\dots \to 100\to 10\to 1\to \mathrm{0,1}\to \mathrm{0,01}\to \mathrm{0,001}$

Nach dem Komma geht es also immer durch Teilen durch 10 weiter:

$1:10=\mathrm{0,1}$

$\mathrm{0,1}:10=\mathrm{0,01}$

$\mathrm{0,01}:10=\mathrm{0,001}$

Stellenwerttafel bis Tausendstel

Hunderter	Zehner	Einer	,	Zehntel	Hundertstel	Tausendstel
H	Z	E	,	z	h	t
		$4$	,	$3$	$0$	$7$

Für $\mathrm{4,307}$ gilt:

$\mathrm{4,307}=4E+3z+0h+7t$

Dabei bedeutet:

$3z=\frac{3}{10}=\mathrm{0,3}$

$0h=\frac{0}{100}=0$

$7t=\frac{7}{1000}=\mathrm{0,007}$

Eine Stelle nach der anderen

Stelle	Bruch	Dezimalzahl	Bedeutung
Einer	$\frac{1}{1}$	$1$	ein Ganzes
Zehntel	$\frac{1}{10}$	$\mathrm{0,1}$	ein Ganzes in zehn gleiche Teile geteilt
Hundertstel	$\frac{1}{100}$	$\mathrm{0,01}$	ein Ganzes in hundert gleiche Teile geteilt
Tausendstel	$\frac{1}{1000}$	$\mathrm{0,001}$	ein Ganzes in tausend gleiche Teile geteilt

Merksatz:

$10$ Tausendstel $=1$ Hundertstel

$10$ Hundertstel $=1$ Zehntel

$10$ Zehntel $=1$ Ganzes

Dynamische Stellenwerttafel

Bewege in der folgenden interaktiven Darstellung die Stellenwerte. Beobachte besonders, was mit dem Wert einer Ziffer passiert, wenn sie eine Stelle nach links oder rechts wandert.

Probiere nacheinander diese Zahlen:

$\mathrm{2,4}$

$\mathrm{2,04}$

$\mathrm{2,004}$

Vergleiche:

$\mathrm{0,4}>\mathrm{0,04}>\mathrm{0,004}$

Die Ziffer $4$ bleibt gleich. Ihr Stellenwert verändert sich.

Zehntel verstehen

Teilst Du ein Ganzes in zehn gleich große Teile, dann ist jeder Teil ein Zehntel.

$\frac{1}{10}=\mathrm{0,1}$

$\frac{4}{10}=\mathrm{0,4}$

$\frac{9}{10}=\mathrm{0,9}$

Zehntel stehen an der ersten Stelle nach dem Komma.

Beispiel:

$\mathrm{5,7}=5+\frac{7}{10}$

Bewegliches Zehntel-Modell

Bewege den Schieberegler und beobachte, wie sich Zehntel als Dezimalzahlen verändern.

Achte darauf:

$\mathrm{0,1},\mathrm{0,2},\mathrm{0,3},\dots ,\mathrm{0,9},\mathrm{1,0}$

Nach zehn Zehnteln entsteht wieder ein Ganzes:

$10\cdot \mathrm{0,1}=1$

Hundertstel verstehen

Teilst Du ein Ganzes in hundert gleich große Teile, dann ist jeder Teil ein Hundertstel.

$\frac{1}{100}=\mathrm{0,01}$

$\frac{25}{100}=\mathrm{0,25}$

$\frac{83}{100}=\mathrm{0,83}$

Hundertstel stehen an der zweiten Stelle nach dem Komma.

Das 100er-Raster hilft Dir beim Sehen von Hundertsteln.

Beispiel:

$\mathrm{0,37}=\frac{37}{100}$

Das bedeutet: Von $100$ gleich großen Feldern entsprechen $37$ Felder dem Anteil $\mathrm{0,37}$.

Von Zehnteln zu Hundertsteln

Ein Zehntel kann in zehn Hundertstel zerlegt werden:

$\mathrm{0,1}=\mathrm{0,10}$

Daher gilt auch:

$\mathrm{0,5}=\mathrm{0,50}$

$\mathrm{0,7}=\mathrm{0,70}$

Eine Null am rechten Ende des Dezimalteils verändert den Wert nicht.

$\mathrm{3,4}=\mathrm{3,40}=\mathrm{3,400}$

Aber:

$\mathrm{3,4}\ne \mathrm{3,04}$

Denn die Ziffer $4$ steht einmal bei den Zehnteln und einmal bei den Hundertsteln.

Tausendstel verstehen

Teilst Du ein Ganzes in tausend gleich große Teile, dann ist jeder Teil ein Tausendstel.

$\frac{1}{1000}=\mathrm{0,001}$

$\frac{7}{1000}=\mathrm{0,007}$

$\frac{307}{1000}=\mathrm{0,307}$

Tausendstel stehen an der dritten Stelle nach dem Komma.

Stell Dir einen großen Würfel als ein Ganzes vor. Wird er in $10\cdot 10\cdot 10=1000$ gleich große kleine Würfel geteilt, entspricht ein kleiner Würfel:

$\frac{1}{1000}=\mathrm{0,001}$

Beispiel 4,307 Schritt für Schritt

$\mathrm{4,307}$

Ziffer	Stelle	Wert
$4$	Einer	$4$
$3$	Zehntel	$\mathrm{0,3}$
$0$	Hundertstel	$0$
$7$	Tausendstel	$\mathrm{0,007}$

Daraus folgt:

$\mathrm{4,307}=4+\mathrm{0,3}+0+\mathrm{0,007}$

und:

$\mathrm{4,307}=4+\frac{3}{10}+\frac{7}{1000}$

Falte den Lösungsweg auf:
Schritt 1: Suche das Komma.
Schritt 2: Lies links vom Komma die Einer.
Schritt 3: Lies rechts vom Komma zuerst Zehntel, dann Hundertstel, dann Tausendstel.
Schritt 4: Zerlege jede Ziffer nach ihrem Stellenwert.
Ergebnis: $\mathrm{4,307}=4+\mathrm{0,3}+\mathrm{0,007}$.

Dezimalzahlen lesen

Beim Lesen kannst Du zwei Wege nutzen.

Weg 1: Ziffern nach dem Komma einzeln lesen

$\mathrm{4,307}$ wird gelesen als:

vier Komma drei null sieben

Weg 2: Nach Stellenwerten lesen

$\mathrm{4,307}$ bedeutet:

vier Ganze, drei Zehntel, null Hundertstel und sieben Tausendstel

Weitere Beispiele:

Zahl	mögliche Lesart
$\mathrm{0,8}$	null Komma acht
$\mathrm{2,05}$	zwei Komma null fünf
$\mathrm{7,009}$	sieben Komma null null neun
$\mathrm{12,345}$	zwölf Komma drei vier fünf

Wichtig: Nullen zwischen dem Komma und einer späteren Ziffer dürfen beim Schreiben nicht weggelassen werden.

$\mathrm{2,05}\ne \mathrm{2,5}$

$\mathrm{7,009}\ne \mathrm{7,9}$

Dezimalzahlen schreiben

Wenn Du eine Zahl hörst, hilft die Stellenwerttafel.

Beispiel:

drei Ganze, zwei Zehntel und fünf Tausendstel

E	,	z	h	t
3	,	2	0	5

Also:

$\mathrm{3,205}$

Die fehlenden Hundertstel werden mit einer 0 besetzt.

Noch ein Beispiel:

acht Ganze und vier Hundertstel

E	,	z	h	t
8	,	0	4	0

Damit:

$\mathrm{8,04}$

Dezimalzahlen zerlegen

Beim Zerlegen schreibst Du eine Zahl als Summe ihrer Stellenwerte.

Beispiel:

$\mathrm{6,482}$

$\mathrm{6,482}=6+\mathrm{0,4}+\mathrm{0,08}+\mathrm{0,002}$

Als Brüche:

$\mathrm{6,482}=6+\frac{4}{10}+\frac{8}{100}+\frac{2}{1000}$

Mit Stellenwertnamen:

$\mathrm{6,482}=6E+4z+8h+2t$

Dynamisch zerlegen

Verändere die Einer, Zehntel, Hundertstel und Tausendstel mit den Schiebereglern. Beobachte, wie sich gleichzeitig die Dezimalzahl und ihre Zerlegung verändern.

Teste zum Beispiel:

$\mathrm{1,234}$

$\mathrm{4,307}$

$\mathrm{5,050}$

$\mathrm{0,708}$

Dezimalzahlen auf der Zahlengeraden

Eine Dezimalzahl zeigt auch einen Punkt auf der Zahlengerade.

Zwischen $2$ und $3$ liegen zum Beispiel:

$\mathrm{2,1},\mathrm{2,2},\mathrm{2,3},\dots ,\mathrm{2,9}$

Wenn ein Abschnitt von $2$ bis $3$ in zehn gleich große Teile geteilt wird, entspricht jeder Schritt:

$\mathrm{0,1}$

Wird ein Zehntel noch einmal in zehn Teile geteilt, entspricht jeder kleine Schritt:

$\mathrm{0,01}$

Dynamische Zahlengerade

Zoome, verschiebe und markiere Dezimalzahlen auf der Zahlengeraden.

Finde nacheinander:

$\mathrm{1,4}$

$\mathrm{1,33}$

$\mathrm{0,63}$

$\mathrm{2,14}$

Frage Dich dabei immer:

$\text{Wie groß ist ein Teilstrich?}$

Dezimalzahlen und Geld

Beim Euro sind Dezimalzahlen besonders anschaulich.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1\,€ = 100\,\text{ct}}

Daher:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 1\,\text{ct} = 0{,}01\,€}

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 10\,\text{ct} = 0{,}10\,€}

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 50\,\text{ct} = 0{,}50\,€}

Beispiel:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 4{,}37\,€ = 4\,€ + 37\,\text{ct}}

und:

$\mathrm{4,37}=4+\mathrm{0,3}+\mathrm{0,07}$

Die Zehntelstelle beschreibt hier Zehntel-Euro, die Hundertstelstelle Hundertstel-Euro.

Achtung: Bei Geld werden normalerweise zwei Nachkommastellen geschrieben, weil ein Cent ein Hundertstel Euro ist.

Dezimalzahlen und Längen

Auch beim Messen helfen Dezimalzahlen.

$1\text{m}=10\text{dm}=100\text{cm}=1000\text{mm}$

Daraus folgt:

$1\text{dm}=\mathrm{0,1}\text{m}$

$1\text{cm}=\mathrm{0,01}\text{m}$

$1\text{mm}=\mathrm{0,001}\text{m}$

Beispiel:

$\mathrm{1,307}\text{m}$

besteht aus:

$1\text{m}+3\text{dm}+0\text{cm}+7\text{mm}$

Das passt genau zu den Stellen:

Einer	Zehntel	Hundertstel	Tausendstel
Meter	Dezimeter	Zentimeter	Millimeter

Stellenwertverschiebungen verstehen

Wenn eine Ziffer eine Stelle nach links rückt, wird ihr Stellenwert zehnmal so groß.

Wenn eine Ziffer eine Stelle nach rechts rückt, wird ihr Stellenwert zehnmal so klein.

Beispiel mit der Ziffer $6$:

$6$

$\mathrm{0,6}$

$\mathrm{0,06}$

$\mathrm{0,006}$

Vergleiche:

$6:10=\mathrm{0,6}$

$\mathrm{0,6}:10=\mathrm{0,06}$

$\mathrm{0,06}:10=\mathrm{0,006}$

Visuelle Schrittfolge:

$6\stackrel{:10}{\to }\mathrm{0,6}\stackrel{:10}{\to }\mathrm{0,06}\stackrel{:10}{\to }\mathrm{0,006}$

und zurück:

$\mathrm{0,006}\stackrel{\cdot 10}{\to }\mathrm{0,06}\stackrel{\cdot 10}{\to }\mathrm{0,6}\stackrel{\cdot 10}{\to }6$

Typische Fehler vermeiden

Fehler 1: Nullen weglassen

Falsch:

$\mathrm{3,04}=\mathrm{3,4}$

Richtig:

$\mathrm{3,04}\ne \mathrm{3,4}$

Denn:

$\mathrm{3,04}=3+\frac{4}{100}$

aber:

$\mathrm{3,4}=3+\frac{4}{10}$

Fehler 2: Mehr Nachkommastellen bedeutet nicht automatisch größer

Vergleiche:

$\mathrm{0,8}$

und:

$\mathrm{0,75}$

Schreibe gleich viele Nachkommastellen:

$\mathrm{0,80}$

$\mathrm{0,75}$

Dann siehst Du:

$\mathrm{0,80}>\mathrm{0,75}$

also:

$\mathrm{0,8}>\mathrm{0,75}$

Fehler 3: Das Komma verrutscht

Bei $\mathrm{4,307}$ steht:

$3$ bei den Zehnteln,

$0$ bei den Hundertsteln,

$7$ bei den Tausendsteln.

Aus $\mathrm{4,307}$ darf nicht versehentlich $\mathrm{43,07}$ oder $\mathrm{4,037}$ werden.

Erklärvideos

Das folgende Video erklärt Dezimalzahlen in der Stellenwerttafel.

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Ein weiteres Beispiel zur Stellenwerttabelle für die 6. Klasse:

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Arbeite beim Anschauen aktiv mit: Pausiere vor einem Beispiel, löse es selbst und vergleiche danach.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Stelle ist die erste Stelle nach dem Komma? (Zehntelstelle) (!Hundertstelstelle) (!Tausendstelstelle) (!Einerstelle)

Welchen Wert hat die Ziffer 3 in 4,307? (0,3) (!3) (!0,03) (!0,003)

Welche Zahl entspricht sieben Tausendsteln? (0,007) (!0,07) (!0,7) (!7,000)

Welche Zerlegung passt zu 5,204? (5 plus 0,2 plus 0,004) (!5 plus 0,02 plus 0,4) (!5 plus 0,2 plus 0,04) (!5 plus 2 plus 0,004)

Welche Zahl ist gleich groß wie 3,4? (3,40) (!3,04) (!3,004) (!34,0)

Welche Zahl beschreibt acht Ganze und vier Hundertstel? (8,04) (!8,4) (!8,004) (!84,0)

Wie viel Euro sind 37 Cent? (0,37 Euro) (!3,7 Euro) (!0,037 Euro) (!37 Euro)

Wie viel Meter sind 7 Millimeter? (0,007 Meter) (!0,07 Meter) (!0,7 Meter) (!7 Meter)

Welche Zahl ist größer? (0,8) (!0,75) (!Beide sind gleich groß) (!Keine der beiden Zahlen)

Was geschieht mit dem Stellenwert einer Ziffer, wenn sie eine Stelle nach rechts rückt? (Er wird zehnmal so klein) (!Er wird zehnmal so groß) (!Er bleibt immer gleich) (!Er wird hundertmal so groß)

Memory

Zehntel	erste Stelle nach dem Komma
Hundertstel	zweite Stelle nach dem Komma
Tausendstel	dritte Stelle nach dem Komma
Stellenwerttafel	ordnet Ziffern nach ihrem Wert
Zahlengerade	zeigt die Lage einer Zahl
Dezimeter	ein Zehntel Meter
Zentimeter	ein Hundertstel Meter
Millimeter	ein Tausendstel Meter

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zehntelstelle	erste Stelle rechts vom Komma
Hundertstelstelle	zweite Stelle rechts vom Komma
Tausendstelstelle	dritte Stelle rechts vom Komma
Stellenwerttafel	Hilfsmittel zum Ordnen von Ziffern
Zahlengerade	Darstellung der Lage von Dezimalzahlen

Kreuzworträtsel

Zehntel	Wie heißt die erste Stelle nach dem Komma?
Hundertstel	Wie heißt die zweite Stelle nach dem Komma?
Tausendstel	Wie heißt die dritte Stelle nach dem Komma?
Komma	Welches Zeichen trennt den ganzzahligen Teil vom Dezimalteil?
Stellenwert	Wie nennt man den Wert einer Ziffer aufgrund ihrer Position?
Zahlengerade	Worauf kann man die Lage einer Dezimalzahl markieren?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die erste Stelle nach dem Komma heißt .

Die zweite Stelle nach dem Komma heißt .

Die dritte Stelle nach dem Komma heißt .

Ein Zehntel entspricht als Dezimalzahl .

Ein Hundertstel entspricht als Dezimalzahl .

Ein Tausendstel entspricht als Dezimalzahl .

Bei der Zahl 4,307 steht die Ziffer 7 an der .

Hundert Cent entsprechen einem .

Ein Millimeter ist ein Tausendstel .

Eine Stellenwerttafel hilft dabei, den Wert jeder zu erkennen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Stellenwerttafel: Zeichne eine Stellenwerttafel von den Einern bis zu den Tausendsteln und trage $\mathrm{2,405}$, $\mathrm{7,08}$ und $\mathrm{0,319}$ ein.
2. Dezimalzahl: Schreibe fünf eigene Dezimalzahlen mit drei Nachkommastellen und lies sie einer Partnerin oder einem Partner laut vor.
3. Geld: Suche drei Preise in einem Prospekt oder Onlineshop und zerlege jeden Preis in Euro, Zehntel-Euro und Hundertstel-Euro.
4. Länge: Miss fünf Gegenstände in Metern und schreibe die Ergebnisse möglichst als Dezimalzahlen auf.

Standard

1. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $2$ und markiere $\mathrm{0,4}$, $\mathrm{0,75}$, $\mathrm{1,2}$ und $\mathrm{1,95}$.
2. Zerlegung: Erstelle zu sechs selbst gewählten Dezimalzahlen jeweils drei Darstellungen: Zahl, Stellenwertzerlegung und Bruchzerlegung.
3. Fehleranalyse: Erfinde drei typische Fehler zu Dezimalzahlen, zum Beispiel $\mathrm{3,04}=\mathrm{3,4}$, und erkläre jeweils, warum die Aussage falsch ist.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du $\mathrm{4,307}$ mit einer Stellenwerttafel erklärst.

Schwer

1. Forscherauftrag: Untersuche, warum $\mathrm{0,5}=\mathrm{0,50}=\mathrm{0,500}$ gilt, und erkläre dies mit Bruchdarstellungen.
2. Modell: Baue aus Papier oder Würfeln ein Modell, das Zehntel, Hundertstel und Tausendstel eines Ganzen sichtbar macht. Dokumentiere Dein Modell mit Fotos und mathematischen Beschriftungen.
3. Interview: Befrage drei Personen, wo sie im Alltag Dezimalzahlen verwenden, und ordne die Beispiele den Bereichen Geld, Länge, Masse, Zeit oder Sonstiges zu.
4. Lernprodukt: Gestalte ein Lernposter oder eine digitale Lernseite mit Stellenwerttafel, Zahlengerade, Geldbeispiel, Längenbeispiel und mindestens fünf eigenen Übungsaufgaben samt Lösungen.

Lernkontrolle

1. Stellenwert erklären: Sam sagt: „Bei $\mathrm{6,205}$ bedeutet die 2 zwei Hundertstel.“ Prüfe die Aussage und begründe mit einer Stellenwerttafel.
2. Darstellungen verbinden: Erkläre, warum $\mathrm{3,407}$, $3+\frac{4}{10}+\frac{7}{1000}$ und „drei Ganze, vier Zehntel, null Hundertstel und sieben Tausendstel“ dieselbe Zahl beschreiben.
3. Alltag übertragen: Eine Strecke ist $\mathrm{1,305}\text{m}$ lang. Zerlege die Länge in Meter, Dezimeter, Zentimeter und Millimeter und erkläre die Verbindung zur Stellenwerttafel.
4. Fehler finden: Eine Schülerin schreibt „acht Ganze und sechs Hundertstel“ als $\mathrm{8,6}$. Beschreibe ihren Denkfehler und verbessere die Zahl.
5. Vergleichen begründen: Entscheide, ob $\mathrm{0,7}$ oder $\mathrm{0,68}$ größer ist. Begründe nicht nur mit einer Regel, sondern auch mit einer passenden Darstellung.
6. Eigenes Beispiel: Erfinde eine Dezimalzahl mit einer Null an der Hundertstelstelle. Zerlege sie und erkläre, warum die Null trotzdem wichtig ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können:

1. Du liest positive Dezimalzahlen bis zu Tausendsteln korrekt.
2. Du schreibst gehörte oder beschriebene Dezimalzahlen richtig auf.
3. Du ordnest Ziffern sicher den Stellen Einer, Zehntel, Hundertstel und Tausendstel zu.
4. Du zerlegst Dezimalzahlen in Stellenwerte.
5. Du wechselst zwischen Dezimalzahl, Bruchdarstellung und Stellenwertdarstellung.
6. Du erklärst die Bedeutung von Nullen in Dezimalzahlen.
7. Du nutzt Geld und Längen als Modelle für Hundertstel und Tausendstel.
8. Du findest Dezimalzahlen auf einer Zahlengeraden.
9. Du kannst typische Fehler erkennen, verbessern und begründen.

Verknüpfte Lernbereiche

Dezimalzahlen Stellenwertsystem Stellenwerttafel Dezimalbruch Bruchrechnung Zahlengerade Geld Länge Maßeinheiten