Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, G-Niveau

M6 G - Brüche erweitern

Einleitung

Beim Bruch beschreibt der Nenner, in wie viele gleich große Teile ein Ganzes geteilt wird. Der Zähler beschreibt, wie viele dieser Teile gemeint sind. Beim Erweitern veränderst Du die Einteilung, aber nicht den Wert des Bruchs.

Das zentrale Beispiel dieses aiMOOCs ist:

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

Du kannst Dir das so vorstellen: Zwei von drei gleich großen Teilen werden jeweils noch einmal halbiert. Dadurch entstehen sechs kleinere Teile. Die markierte Fläche bleibt gleich groß, aber statt zwei großen Teilen sind nun vier kleinere Teile markiert.

Die Bruchstreifen zeigen: Derselbe Anteil kann mit verschiedenen Brüchen beschrieben werden. Solche Brüche heißen gleichwertige Brüche.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Brüche mit Bruchstreifen, Flächenmodellen und am Zahlenstrahl vergleichen.
erklären, warum $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{6}$ denselben Wert haben.
Zähler und Nenner mit derselben natürlichen Zahl multiplizieren.
einfache Brüche mit $2$ , $3$ , $4$ , $5$ oder $10$ erweitern.
eine fehlende Erweiterungszahl finden.
prüfen, ob zwei Brüche gleichwertig sind.

Gleichwertige Brüche entdecken

Gleich groß, anders eingeteilt

Schau Dir zuerst die Bildidee an:

Die Animation stellt $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{6}$ gegenüber. Entscheidend ist nicht, wie viele Teilstücke gezeichnet sind, sondern wie groß der markierte Anteil am Ganzen ist.

Bruch	Ganze Einteilung	Markierte Teile	Wert
$\frac{2}{3}$	$3$ gleich große Teile	$2$	gleich
$\frac{4}{6}$	$6$ gleich große Teile	$4$	gleich

Die Einteilung wird feiner:

$3 \cdot 2 = 6$

Gleichzeitig verdoppelt sich die Anzahl der markierten Teile:

$2 \cdot 2 = 4$

Darum gilt:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$

Flächenmodell: Teile weiter unterteilen

Ein Flächenmodell macht das Erweitern sichtbar: Jeder vorhandene Teil wird in gleich viele kleinere Teile zerlegt. Wenn jeder Teil gleich behandelt wird, bleibt der Anteil unverändert.

Schritt	Zähler	Nenner	Bruch
Start	$2$	$3$	$\frac{2}{3}$
beide mit $2$ multiplizieren	$2 \cdot 2 = 4$	$3 \cdot 2 = 6$	$\frac{4}{6}$

Merksatz:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{a}{b}=\frac{a\cdot n}{b\cdot n}}}

Dabei gilt $b \neq 0$ und zum Erweitern in der Schule meist $n = 2, 3, 4, \dots$ . Mit $0$ darfst Du nicht erweitern, denn ein Bruch mit Nenner $0$ ist nicht definiert.

Interaktive Teilung: Verschiebe den Regler

Hier kannst Du eine gleich große Fläche unterschiedlich fein unterteilen. Vergleiche die gefärbten Flächen und suche die Erweiterungszahl.

Forscherauftrag: Stelle einen Bruch ein. Verdopple anschließend die Anzahl der Teilstücke. Beobachte, was mit Zähler und Nenner passiert.

Bewegliche Bruchdarstellung mit Erweiterungszahl

Mit dem nächsten Modell kannst Du Ausgangsbruch und Erweiterungszahl verändern.

Probiere nacheinander:

$\frac{1}{2}$ mit $2$ erweitern.
$\frac{2}{3}$ mit $2$ erweitern.
$\frac{3}{4}$ mit $3$ erweitern.

Kontrolliere jedes Ergebnis mit der Regel:

$\frac{a}{b} \overset{\cdot n}{\to} \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$

Erweitern Schritt für Schritt

Beispiel 1: Mit 2 erweitern

Gesucht ist eine gleichwertige Darstellung von $\frac{2}{3}$ mit dem Nenner $6$ .

Schritt	Rechnung
1. Erweiterungszahl finden	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 3\cdot\boxed{2}=6}
2. Nenner erweitern	$3 \cdot 2 = 6$
3. Zähler mit derselben Zahl erweitern	$2 \cdot 2 = 4$
4. Ergebnis	$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

Kurzschreibweise:

$\frac{2}{3} \overset{\cdot 2}{\to} \frac{4}{6}$

Beispiel 2: Mit 3 erweitern

$\frac{2}{5} \overset{\cdot 3}{\to} \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$

Kontrolle:

$5 \cdot 3 = 15$

und

$2 \cdot 3 = 6$

Also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{2}{5}=\frac{6}{15}}}

Beispiel 3: Zielnenner finden

Erweitere $\frac{3}{4}$ auf den Nenner $12$ .

Zuerst fragst Du:

$4 \cdot ? = 12$

Die Erweiterungszahl ist $3$ . Deshalb:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$

Wichtig: Die Erweiterungszahl wird oben und unten verwendet.

Fehlerdetektiv

Welche Rechnung ist falsch?

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

$\frac{2}{3} \neq \frac{4}{3}$

$\frac{2}{3} \neq \frac{2}{6}$

Nur wenn Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert werden, bleibt der Wert gleich.

Rechnung	Bewertung	Warum?
$\frac{3}{5} \to \frac{6}{10}$	richtig	oben und unten $\cdot 2$
$\frac{3}{5} \to \frac{6}{5}$	falsch	nur der Zähler wurde verändert
$\frac{3}{5} \to \frac{3}{10}$	falsch	nur der Nenner wurde verändert
$\frac{3}{5} \to \frac{9}{15}$	richtig	oben und unten $\cdot 3$

Bruchstreifen, Kreis und Zahlenstrahl

Bruchstreifen vergleichen

Bruchstreifen helfen Dir besonders gut, gleichwertige Brüche zu sehen. Suche zum Beispiel Streifen, bei denen die markierte Strecke gleich lang ist.

$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$

und

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

Auch $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ : Eine feinere Einteilung verändert den Anteil nicht.

Beim Erweitern entstehen mehr, aber kleinere Teilstücke. Der gesamte markierte Anteil bleibt gleich.

Kreisflächen und gleichwertige Anteile

Stell Dir vor, jedes Drittel wird noch einmal halbiert. Dann werden aus drei Dritteln sechs Sechstel und aus zwei markierten Dritteln vier markierte Sechstel.

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$

Eine bewegliche Kreisdarstellung kannst Du hier untersuchen:

Verändere die Regler so, dass dieselbe markierte Kreisfläche mit mehr Teilstücken beschrieben wird.

Gleichwertige Brüche am Zahlenstrahl

Gleichwertige Brüche liegen auf dem Zahlenstrahl an derselben Stelle. Das ist eine wichtige Kontrolle: Wenn sich durch Dein „Erweitern“ die Position ändern würde, hast Du den Wert des Bruchs verändert.

Beispiel:

$\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = \frac{9}{15}$

Alle drei Brüche markieren denselben Punkt.

Dynamisch üben:

Animation: Ein Ganzes wird immer feiner geteilt

Achte darauf, dass beim feineren Unterteilen die Größe des Ganzen unverändert bleibt. Genau diese Idee nutzt Du beim Erweitern.

Vom Bruch zur Stellenwertidee

Erweitern kann auch helfen, einen Bruch als Zehntel oder Hundertstel zu schreiben.

$\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{50}{100}$

Darstellung	Ganze	Zehntel	Hundertstel
$\frac{1}{2}$	derselbe Wert
$\frac{5}{10}$		$5$ von $10$
$\frac{50}{100}$			$50$ von $100$

Damit erkennst Du später leichter den Zusammenhang zu Dezimalbrüchen und Prozenten:

$\frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{50}{100} = 0,5 = 50 %$

Für das Erweitern selbst reicht hier die Kernidee: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert.

Erweiterungszahl finden

Manchmal steht das Ergebnis schon teilweise da:

$\frac{3}{5} = \frac{?}{20}$

Frage zuerst beim Nenner:

$5 \cdot ? = 20$

Also ist die Erweiterungszahl $4$ .

Nun oben ebenfalls mit $4$ multiplizieren:

$3 \cdot 4 = 12$

Ergebnis:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{3}{5}=\frac{12}{20}}}

Noch ein Beispiel:

$\frac{4}{7} = \frac{20}{?}$

Da $4 \cdot 5 = 20$ , muss auch der Nenner mit $5$ multipliziert werden:

$7 \cdot 5 = 35$

Also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{4}{7}=\frac{20}{35}}}

Erweitern kontrollieren

Du kannst eine Erweiterung auf drei Arten kontrollieren:

Gleiche Erweiterungszahl: Wurde oben und unten mit derselben Zahl multipliziert?
Gleiche Fläche: Ist im Bild derselbe Anteil markiert?
Gleiche Stelle: Liegen beide Brüche am selben Punkt?

Beispiel:

$\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$

Prüfung:

$3 \cdot 2 = 6$

und

$4 \cdot 2 = 8$

Beide Rechnungen benutzen dieselbe Erweiterungszahl $2$ . Die Erweiterung stimmt.

Videos

Das folgende Video erklärt das Erweitern mit mehreren Beispielen und Zielnennern:

Eine weitere Erklärung für die 6. Klasse:

Videotipp: Pausiere vor jedem Ergebnis und rechne den nächsten Schritt selbst.

Mini-Training

Rechne zuerst ohne Taschenrechner.

Aufgabe	Erweiterungszahl	Ergebnis
$\frac{1}{3}$ mit $2$	$2$	$\frac{2}{6}$
$\frac{2}{5}$ mit $3$	$3$	$\frac{6}{15}$
$\frac{3}{4}$ mit $2$	$2$	$\frac{6}{8}$
$\frac{4}{7}$ mit $5$	$5$	$\frac{20}{35}$
$\frac{5}{6}$ mit $4$	$4$	$\frac{20}{24}$

Decke die Ergebnisspalte mit einem Blatt ab und kontrolliere erst danach.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet Brüche erweitern? (Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren) (!Nur den Zähler vergrößern) (!Nur den Nenner vergrößern) (!Zähler und Nenner addieren)

Welcher Bruch entsteht, wenn Du zwei Drittel mit 2 erweiterst? (4 Sechstel) (!2 Sechstel) (!4 Drittel) (!3 Sechstel)

Welche Erweiterungszahl führt von drei Viertel zu sechs Achtel? (2) (!3) (!4) (!8)

Welcher Bruch ist zu ein Halb gleichwertig? (2 Viertel) (!1 Viertel) (!3 Viertel) (!2 Drittel)

Was bleibt beim richtigen Erweitern gleich? (Der Wert des Bruchs) (!Die Anzahl der Teilstücke) (!Der Nenner) (!Der Zähler)

Mit welcher Zahl musst Du drei Fünftel erweitern, um den Nenner 20 zu erhalten? (4) (!2) (!3) (!5)

Welcher Bruch entsteht aus zwei Siebtel beim Erweitern mit 3? (6 Einundzwanzigstel) (!5 Zehntel) (!6 Zehntel) (!2 Einundzwanzigstel)

Welche Rechnung ist eine richtige Erweiterung? (3 Fünftel gleich 9 Fünfzehntel) (!3 Fünftel gleich 6 Fünftel) (!3 Fünftel gleich 3 Zehntel) (!3 Fünftel gleich 8 Zehntel)

Wo liegen gleichwertige Brüche auf dem Zahlenstrahl? (An derselben Stelle) (!Immer bei null) (!Immer bei eins) (!An verschiedenen Stellen)

Warum darfst Du beim Erweitern nicht nur den Nenner verändern? (Der Wert des Bruchs würde sich ändern) (!Der Bruchstrich würde verschwinden) (!Der Zähler wäre dann immer null) (!Der Nenner müsste kleiner werden)

Memory

Erweitern	Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren
Erweiterungszahl	gemeinsamer Multiplikationsfaktor
Gleichwertige Brüche	verschiedene Schreibweisen desselben Werts
Bruchstreifen	gleich lange Ganze mit verschieden feiner Teilung
Zahlenstrahl	gleichwertige Brüche liegen am selben Punkt
Flächenmodell	gleich großer markierter Anteil trotz neuer Einteilung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Feinere Einteilung	mehr kleinere gleich große Teilstücke
Zähler und Nenner	mit demselben Faktor multiplizieren
Gleichwertige Brüche	gleicher Wert bei anderer Schreibweise
Flächenmodell	gleich großer markierter Anteil
Zahlenstrahl	derselbe Punkt für gleichwertige Brüche

Kreuzworträtsel

Zaehler	Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?
Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Erweitern	Wie heißt das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben Zahl?
Faktor	Wie nennt man eine Zahl, mit der multipliziert wird?
Bruchstreifen	Welches Modell zeigt gleich lange Ganze in verschieden feiner Teilung?
Zahlenstrahl	Auf welcher Darstellung liegen gleichwertige Brüche am selben Punkt?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Bruchstreifen basteln: Falte drei gleich lange Papierstreifen einmal in Drittel, einmal in Sechstel und einmal in Zwölftel. Markiere jeweils denselben Anteil wie $\frac{2}{3}$ .
Erweiterungskarten: Erstelle sechs Karten. Auf die Vorderseite kommt ein Bruch, auf die Rückseite eine richtige Erweiterung mit $2$ oder $3$ .
Fehlerbild: Zeichne eine richtige und eine falsche Erweiterung von $\frac{1}{2}$ . Markiere, woran man den Fehler sieht.
Zahlenstrahl-Plakat: Trage $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{4}$ und $\frac{3}{6}$ auf denselben Zahlenstrahl ein.

Standard

Erklärvideo: Produziere ein höchstens einminütiges Video, in dem Du $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$ mit einem Flächenmodell erklärst.
Brüche fotografieren: Finde im Alltag eine Situation mit gleich großen Teilstücken, fotografiere oder zeichne sie und notiere zwei gleichwertige Brüche dazu.
Partner-Interview: Erkläre einer Mitschülerin oder einem Mitschüler das Erweitern. Lass Dir danach in eigenen Worten zurückerklären, warum der Wert gleich bleibt.
Interaktives Modell: Nutze ein GeoGebra-Modell aus diesem aiMOOC und dokumentiere drei verschiedene Brüche vor und nach dem Erweitern.

Schwer

Regel begründen: Erkläre mit Bild und Rechnung, warum $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$ gilt, wenn $n \neq 0$ .
Zielnenner-Challenge: Erstelle zehn Aufgaben, bei denen ein Bruch auf einen vorgegebenen Nenner erweitert werden muss. Tausche die Aufgaben mit einer anderen Person.
Gleichwertigkeits-Galerie: Wähle einen Bruch und finde mindestens fünf gleichwertige Darstellungen. Stelle sie als Bruchstreifen, Kreis, Zahlenstrahl und Rechnung dar.
Mini-Unterricht: Plane eine fünfminütige Erklärung für eine 5. Klasse. Beginne mit einem Bild, leite daraus die Rechenregel ab und beende mit einer Kontrollfrage.

Lernkontrolle

Modell und Rechnung verbinden: Erkläre an einem selbst gezeichneten Bruchstreifen, warum $\frac{2}{3}$ und $\frac{4}{6}$ gleichwertig sind. Deine Erklärung muss Bild und Rechnung miteinander verbinden.
Fehler analysieren: Jemand schreibt $\frac{3}{4} = \frac{6}{4}$ . Erkläre den Denkfehler und verbessere die Rechnung.
Transfer Zielnenner: Bestimme den fehlenden Zähler in $\frac{4}{5} = \frac{?}{25}$ und begründe, wie Du die Erweiterungszahl gefunden hast.
Zahlenstrahl begründen: Erkläre, warum $\frac{3}{5}$ , $\frac{6}{10}$ und $\frac{9}{15}$ am gleichen Punkt des Zahlenstrahls liegen müssen.
Darstellungen vergleichen: Wähle Flächenmodell oder Zahlenstrahl. Begründe, welches Modell Dir besser hilft, das Erweitern zu verstehen, und nenne einen Vorteil des anderen Modells.
Alltagsübertragung: Eine Pizza ist zu $\frac{3}{4}$ belegt. Sie wird statt in vier nun in acht gleich große Stücke geschnitten. Formuliere den passenden gleichwertigen Bruch und erkläre den Zusammenhang.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können, dass Du:

die Begriffe Zähler, Nenner, Erweitern und Erweiterungszahl sicher verwendest.
an einem Bruchstreifen oder Flächenmodell erkennst, dass zwei Brüche gleichwertig sind.
einfache Brüche mit vorgegebener Erweiterungszahl korrekt erweiterst.
zu einem Zielnenner die passende Erweiterungszahl bestimmst.
fehlerhafte Erweiterungen erkennst und begründest.
gleichwertige Brüche auf einem Zahlenstrahl als denselben Wert erklärst.
eine Rechnung wie $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$ schrittweise erläutern kannst.