M5 E - Eigene Sachaufgaben entwickeln und prüfen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

Eine gute Sachaufgabe ist mehr als eine Rechnung mit einer Geschichte. Du übersetzt eine reale oder erfundene Situation in Mathematik, rechnest, deutest das Ergebnis und prüfst anschließend, ob die Aufgabe eindeutig, lösbar und plausibel ist. Auf dem E-Niveau der Klasse 5 entwickelst Du mehrschrittige Aufgaben selbst und begründest Deine Entscheidungen.

In diesem aiMOOC arbeitest Du mit Preisen, Fahrplänen, Skizzen, Karten, Diagrammen, Tabellen und digitalen Werkzeugen. Die verwendeten Beispielpreise und Fahrkosten sind fiktive Übungsdaten und keine realen Angebote.

Du kannst am Ende ...	Woran man das erkennt
aus einer Rechnung eine Sachaufgabe entwickeln	Deine Geschichte passt zu jeder Zahl, Rechenoperation und Einheit.
aus einer Situation eine passende Rechnung bilden	Du wählst relevante Angaben aus und lässt unnötige Angaben bewusst weg.
eine mehrschrittige Lösung darstellen	Du notierst Rechnung, Einheit, Zwischenergebnisse und Antwort.
Eindeutigkeit prüfen	Du findest unklare Wörter, fehlende Angaben und Mehrdeutigkeiten.
Plausibilität prüfen	Du nutzt Überschlag, Größenordnung, Einheiten oder eine Gegenprobe.
eine Aufgabe überarbeiten	Deine zweite Fassung ist klarer, mathematisch stimmig und nur sinnvoll auf eine Weise deutbar.

Warum Sachaufgaben anspruchsvoll sind

Bei einer Sachaufgabe musst Du zwischen Sachebene und Mathematikebene wechseln. Eine Textaufgabe kann dabei nur eine Präsentationsform sein; auch ein Bild, eine Preisliste, ein Diagramm oder eine Karte kann die Ausgangssituation liefern.

Phase	Leitfrage	Beispiel
Situation verstehen	Was passiert?	Eine Klasse plant einen Ausflug.
Angaben auswählen	Welche Daten brauche ich?	Personenzahl, Plätze, Preise, Budget.
Mathematisieren	Welche Rechnung beschreibt die Situation?	$29:15=1\text{ Rest }14$
Rechnen	Was ergibt das Modell?	Es werden mindestens zwei Fahrzeuge benötigt.
Interpretieren	Was bedeutet das Ergebnis in der Situation?	Ein Rest bedeutet hier: Es braucht ein weiteres Fahrzeug.
Prüfen	Ist das Ergebnis sinnvoll und eindeutig?	Zwei Fahrzeuge bieten $2\cdot 15=30$ Fahrgastplätze für 29 Personen.

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E-Niveau: Was macht eine eigene Sachaufgabe anspruchsvoll?

Eine anspruchsvolle Aufgabe der Klasse 5 darf mehrere Schritte verbinden, aber sie soll mit bekannten mathematischen Mitteln lösbar bleiben. Besonders geeignet sind natürliche Zahlen, Geldbeträge, Größen, einfache Bruchteile, Tabellen und Diagramme.

Merkmal	E-Niveau-Beispiel
Mehrschrittigkeit	Erst Anzahl bestimmen, dann Kosten berechnen, danach Budget vergleichen.
Entscheidung im Kontext	Bei $31:15=2\text{ Rest }1$ werden drei Fahrzeuge benötigt.
Relevante und irrelevante Angaben	Du erkennst, welche Zahl für die Leitfrage wirklich gebraucht wird.
Wechsel der Darstellung	Text $\to$ Tabelle $\to$ Rechnung $\to$ Antwort.
Plausibilitätsprüfung	Exaktes Ergebnis wird mit einem Überschlag verglichen.
Sprachliche Überarbeitung	Wörter wie „jeder“, „insgesamt“, „pro Fahrt“ oder „noch“ werden präzisiert.

Vom Rechenausdruck zur eigenen Sachaufgabe

Start mit einer Rechnung

Du kannst eine Sachaufgabe rückwärts entwickeln. Ausgangspunkt ist zum Beispiel:

$4\cdot \mathrm{2,40}+3\cdot \mathrm{1,75}+\mathrm{12,50}$

Zuerst klärst Du, welche Bedeutung die Zahlen erhalten sollen.

Übungsartikel	Einzelpreis	Anzahl	Teilbetrag
Fruchtsaft	2,40 €	4	$4\cdot \mathrm{2,40}=\mathrm{9,60}$ €
Müsliriegel	1,75 €	3	$3\cdot \mathrm{1,75}=\mathrm{5,25}$ €
Bastelset	12,50 €	1	$1\cdot \mathrm{12,50}=\mathrm{12,50}$ €
Gesamt			$\mathrm{9,60}+\mathrm{5,25}+\mathrm{12,50}=\mathrm{27,35}$ €

Fiktive Lern-Preisliste: Die Preise dienen ausschließlich dem Rechnen.

Eine passende Aufgabe lautet: Für eine Klassenaktion werden 4 Fruchtsäfte zu je 2,40 €, 3 Müsliriegel zu je 1,75 € und 1 Bastelset für 12,50 € gekauft. Wie viel kosten alle genannten Einkäufe zusammen?

Die Aufgabe ist eindeutig, weil festgelegt ist, wie viele Artikel gekauft werden, welcher Preis pro Stück gilt und was mit „zusammen“ gemeint ist.

Ein visueller Rechenweg

Schritt	Darstellung	Rechnung
1	🍹 🍹 🍹 🍹	$4\cdot \mathrm{2,40}=\mathrm{9,60}$
2	▮ ▮ ▮	$3\cdot \mathrm{1,75}=\mathrm{5,25}$
3	□	$1\cdot \mathrm{12,50}=\mathrm{12,50}$
4	Teilbeträge zusammenführen	$\mathrm{9,60}+\mathrm{5,25}+\mathrm{12,50}=\mathrm{27,35}$

Aufklappbare Gegenprobe

$\mathrm{27,35}-\mathrm{12,50}=\mathrm{14,85}$
$\mathrm{14,85}-\mathrm{5,25}=\mathrm{9,60}$
$\mathrm{9,60}:4=\mathrm{2,40}$
Die Rückrechnung führt wieder zum Einzelpreis des Fruchtsafts.

Schlechte Formulierung erkennen und verbessern

Problematische Fassung: „Vier Säfte kosten 2,40 €, drei Riegel 1,75 € und ein Bastelset 12,50 €. Was kostet das?“

Diese Fassung ist mehrdeutig: Kosten alle vier Säfte zusammen 2,40 € oder kostet ein Saft 2,40 €? Dasselbe Problem entsteht bei den Riegeln.

Überarbeitete Fassung: „Ein Fruchtsaft kostet 2,40 €. Ein Müsliriegel kostet 1,75 €. Ein Bastelset kostet 12,50 €. Für eine Klassenaktion werden 4 Fruchtsäfte, 3 Müsliriegel und 1 Bastelset gekauft. Wie hoch ist der Gesamtpreis?“

Von der Situation zur Rechnung

Beispiel: Klassenaktion mit Budget

Eine Klasse plant eine fiktive Lernfahrt. Es fahren 27 Schülerinnen und Schüler und 2 Lehrkräfte mit. Jeder eingesetzte Kleinbus hat 15 Sitzplätze für Fahrgäste; der Fahrerplatz zählt nicht dazu. Ein Kleinbus kostet für Hin- und Rückfahrt zusammen 72,00 €. Der Eintritt kostet pro Schülerin oder Schüler 6,50 €; die zwei Lehrkräfte haben in diesem Übungsbeispiel freien Eintritt. Für jede der 27 lernenden Personen wird ein Getränk zu 2,40 € gekauft. Das Budget beträgt 400,00 €.

Datei:School bus, Porbander, India.JPG

Hinweis zum Bild: Das Foto veranschaulicht nur den Sachkontext „Transport“. Die Fahrzeugdaten der Aufgabe sind fiktiv und beziehen sich nicht auf das abgebildete Fahrzeug.

Fiktive Kostenübersicht

Posten	Übungsangabe
Kleinbus für Hin- und Rückfahrt	72,00 € pro eingesetztem Kleinbus
Eintritt Lernende	6,50 € pro Person
Eintritt Lehrkräfte	0,00 € pro Person
Getränk	2,40 € pro lernender Person
Gesamtbudget	400,00 €

Leitfrage: Reicht das Budget für Fahrt, Eintritt und je ein Getränk für die 27 Schülerinnen und Schüler? Wie viel Geld bleibt übrig oder fehlt?

Schritt 1: Wie viele Fahrgäste?

$27+2=29$

Es fahren 29 Fahrgäste mit.

Schritt 2: Wie viele Kleinbusse?

$29:15=1\text{ Rest }14$

Ein Kleinbus reicht nicht. Zwei Kleinbusse bieten:

$2\cdot 15=30$

Also werden 2 Kleinbusse benötigt.

Schritt 3: Fahrtkosten

$2\cdot \mathrm{72,00}=\mathrm{144,00}$

Die Fahrt kostet 144,00 €.

Schritt 4: Eintritt

$27\cdot \mathrm{6,50}=\mathrm{175,50}$

Der Eintritt kostet 175,50 €.

Schritt 5: Getränke

$27\cdot \mathrm{2,40}=\mathrm{64,80}$

Die Getränke kosten 64,80 €.

Schritt 6: Gesamtkosten und Restbudget

$\mathrm{144,00}+\mathrm{175,50}+\mathrm{64,80}=\mathrm{384,30}$

$\mathrm{400,00}-\mathrm{384,30}=\mathrm{15,70}$

Antwort: Das Budget reicht. Nach Fahrt, Eintritt und Getränken bleiben 15,70 € übrig.

Kosten als Balkendiagramm

Jeder Block steht hier ungefähr für 10 €. Das Diagramm ist bewusst gerundet und dient der schnellen Größenkontrolle.

Posten	Exakter Betrag	Gerundeter Balken
Fahrt	144,00 €	██████████████
Eintritt	175,50 €	██████████████████
Getränke	64,80 €	██████
Rest	15,70 €	██

Der längste Balken gehört zum Eintritt. Das passt zu den exakten Zahlen: $\mathrm{175,50}>\mathrm{144,00}>\mathrm{64,80}>\mathrm{15,70}$.

Schematische Lernkarte

Die folgende Karte ist nicht maßstabsgetreu. Sie ist eine selbst erstellte Lernskizze.

Schule	$\stackrel{\mathrm{1,2}\mathrm{k}\mathrm{m}}{\to }$	Park	$\stackrel{\mathrm{0,8}\mathrm{k}\mathrm{m}}{\to }$	Lernort
Start		Zwischenpunkt		Ziel

Eine mögliche Zusatzfrage lautet: Wie lang ist die Strecke von der Schule zum Lernort über den Park?

$\mathrm{1,2}\mathrm{k}\mathrm{m}+\mathrm{0,8}\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{2,0}\mathrm{k}\mathrm{m}$

Für Hin- und Rückweg auf derselben Route gilt:

$2\cdot \mathrm{2,0}\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{4,0}\mathrm{k}\mathrm{m}$

Eindeutigkeit systematisch prüfen

Die wichtigsten Prüfstellen

Prüfpunkt	Problematische Formulierung	Warum problematisch?	Verbesserte Formulierung
Personenkreis	„Jeder bekommt ein Getränk.“	Sind Lehrkräfte mitgemeint?	„Jede der 27 Schülerinnen und Schüler erhält ein Getränk.“
Sitzplätze	„Ein Bus hat 15 Plätze.“	Zählt der Fahrerplatz mit?	„Ein Kleinbus hat 15 Sitzplätze für Fahrgäste; der Fahrerplatz zählt nicht dazu.“
Preisbezug	„Der Bus kostet 72 €.“	Pro Strecke oder für Hin- und Rückfahrt?	„Ein Kleinbus kostet für Hin- und Rückfahrt zusammen 72 €.“
Zeitbezug	„Der Preis gilt am Tag.“	Für welchen Zeitraum oder welche Leistung?	„Der angegebene Übungspreis gilt für die gesamte Hin- und Rückfahrt.“
Gesuchte Größe	„Wie viel bleibt?“	Wovon soll etwas übrig bleiben?	„Wie viel vom Budget von 400 € bleibt nach allen drei Kostenposten übrig?“
Rundung	„Runde sinnvoll.“	Was bedeutet sinnvoll in diesem Kontext?	„Bestimme die kleinste ganze Anzahl an Fahrzeugen, sodass alle Fahrgäste einen Sitzplatz haben.“

Mehrdeutigkeit durch zwei Deutungen sichtbar machen

Nimm die Formulierung: „Vier Säfte kosten 2,40 €.“

Deutung A: 2,40 € ist der Einzelpreis.

$4\cdot \mathrm{2,40}=\mathrm{9,60}$

Deutung B: 2,40 € ist der Gesamtpreis für vier Säfte.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 4\text{ Säfte zusammen}=2{,}40\,€}

Weil zwei sinnvolle mathematische Deutungen entstehen, ist die Formulierung nicht eindeutig. Eine gute Überarbeitung macht den Preisbezug ausdrücklich.

Plausibilität prüfen

Überschlag

Ein Überschlag liefert eine grobe Größenordnung. Für die Klassenaktion kannst Du rechnen:

$144\approx 140$

$\mathrm{175,50}\approx 180$

$\mathrm{64,80}\approx 65$

$140+180+65=385$

Das exakte Ergebnis $\mathrm{384,30}$ liegt sehr nahe beim Überschlag. Deshalb wirkt es plausibel.

Einheitencheck

Einheiten helfen Dir, falsche Rechnungen zu entdecken.

Sinnvolle Rechnung	Warum?
$27\cdot \mathrm{6,50}=\mathrm{175,50}$ €	Personenanzahl mal Preis pro Person ergibt Geld.
$\mathrm{1,2}\mathrm{k}\mathrm{m}+\mathrm{0,8}\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{2,0}\mathrm{k}\mathrm{m}$	Gleiche Längeneinheiten werden addiert.
$29:15=1\text{ Rest }14$	Personenzahl wird mit Fahrgastplätzen pro Fahrzeug verglichen.

Eine Rechnung wie 400 € − 2 km ist in diesem Kontext nicht sinnvoll, weil Geld und Länge nicht dieselbe Größe sind.

Größenordnung und Kontext

Manchmal ist ein rechnerisch korrektes Runden sachlich falsch. Beispiel:

31 Fahrgäste sollen in Kleinbussen mit je 15 Fahrgastplätzen fahren.

$31:15=2\text{ Rest }1$

Zwei Kleinbusse bieten nur:

$2\cdot 15=30$

Also werden 3 Kleinbusse benötigt. Der Rest von einer Person erzwingt ein weiteres Fahrzeug.

Gegenprobe

Bei Geldaufgaben kann eine Gegenprobe sehr schnell sein:

$\mathrm{384,30}+\mathrm{15,70}=\mathrm{400,00}$

Gesamtkosten plus Restbudget ergeben wieder das Ausgangsbudget. Das beweist noch nicht automatisch, dass jede Annahme der Sachaufgabe richtig ist, aber es stützt die Rechenkontrolle.

Vom ersten Entwurf zur guten Aufgabe

Die Fünf-Finger-Prüfung

Finger	Prüffrage	Mathematischer Blick
1	Was genau ist gefragt?	Die Antwort hat eine klar bestimmte Größe und Einheit.
2	Sind alle nötigen Angaben vorhanden?	Keine Zahl fehlt, keine notwendige Bedingung bleibt verborgen.
3	Gibt es nur eine sinnvolle Deutung?	Preisbezüge, Personenkreise und Zeiträume sind eindeutig.
4	Passt der Rechenweg?	Operationen und Zwischenergebnisse passen zum Kontext.
5	Ist das Ergebnis plausibel?	Überschlag, Einheitencheck, Größenordnung oder Gegenprobe passen.

Autorenwerkstatt: Baue eine Aufgabe rückwärts

Starte mit einer Zielrechnung, zum Beispiel:

$(18\cdot \mathrm{3,50})+(4\cdot \mathrm{2,25})$

Berechne zuerst das Ziel:

$18\cdot \mathrm{3,50}=\mathrm{63,00}$

$4\cdot \mathrm{2,25}=\mathrm{9,00}$

$\mathrm{63,00}+\mathrm{9,00}=\mathrm{72,00}$

Entwickle anschließend eine Situation, in der 18 gleiche Dinge zu je 3,50 € und 4 gleiche Dinge zu je 2,25 € vorkommen. Prüfe danach, ob Deine Frage wirklich auf 72,00 € zielt. So verhinderst Du, dass Geschichte und Rechnung auseinanderlaufen.

Autorenwerkstatt: Baue eine Aufgabe vorwärts

Starte mit einer Situation und notiere zunächst die Daten.

Situation	Gegebene Daten	Mögliche Leitfrage
Schulfest	Preise, Mengen, Budget	Reicht das Budget?
Wandertag	Streckenabschnitte, Hin- und Rückweg	Wie weit wird insgesamt gegangen?
Bücherei	Bücher pro Kiste, Anzahl Bücher	Wie viele Kisten werden mindestens benötigt?
Klassenumfrage	Stimmen in Kategorien	Welche Kategorie ist am häufigsten und um wie viele Stimmen?

Danach entscheidest Du, welche Daten wirklich benötigt werden. Eine anspruchsvolle Aufgabe darf eine zusätzliche Zahl enthalten, die nicht gebraucht wird. Sie muss aber fair formuliert sein: Die Lernenden sollen erkennen können, dass diese Angabe für die Leitfrage irrelevant ist.

Medienwerkstatt und interaktive Autorentools

Dynamische Zahlengerade

Nutze eine Zahlengerade, wenn Deine Sachaufgabe Entfernungen, Temperaturen, Zeitpunkte oder Größenvergleiche enthält. Verschiebe Markierungen und prüfe, ob Deine Zahlenwerte sinnvoll verteilt sind.

Interaktives Stellenwertmodell

Stellenwerte helfen bei großen Zahlen, bei Geldbeträgen und beim Überschlagen. Prüfe zum Beispiel, warum $384$ näher bei $400$ als bei $300$ liegt.

Bewegliche Bruchdarstellungen

Wenn Deine Sachaufgabe mit Anteilen arbeitet, kannst Du Bruchstreifen verschieben, zerlegen und vergleichen. Verwende Brüche nur dann, wenn sie natürlich zur Situation passen.

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Dynamische Geometrie

Für Sachaufgaben zu Wegen, Flächen, Umfängen oder Plänen kannst Du eine Skizze konstruieren, Punkte verschieben und prüfen, welche Größen sich ändern.

Drehbare und untersuchbare 3D-Körper

Wenn Du eine Sachaufgabe zu Verpackungen, Würfeln, Quadern oder Rauminhalten entwickelst, kannst Du einen Körper drehen und aus verschiedenen Blickrichtungen betrachten.

Dynamische Diagramme

Übertrage Daten aus einer Tabelle in ein Diagramm. Verändere danach einzelne Werte und beobachte, wie sich die Darstellung ändert. So kannst Du testen, ob Deine Leitfrage auch zu den Daten passt.

Digitales mathematisches Legematerial

Polypad bietet digitale Bausteine, Bruchstreifen, Würfel, 3D-Körper und weitere bewegliche Darstellungen. Nutze ein solches Modell als Ausgangspunkt für eine eigene Sachaufgabe.

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Video: Sachaufgaben mit Zeichnungen und Listen strukturieren

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Reale Belege lesen, aber eigene Daten sauber kennzeichnen

Ein Kassenbon oder eine Preisliste kann Ausgangspunkt für Mathematik sein. Bei realen Belegen musst Du genau lesen, welcher Preis zu welchem Artikel gehört und ob Mengen, Rabatte oder Steuern eine Rolle spielen.

Für eigene Schulaufgaben ist es oft sinnvoller, fiktive Übungsdaten zu verwenden. So vermeidest Du Werbung, veraltete Preise und unnötige personenbezogene Daten. Schreibe dann sichtbar dazu: „Fiktive Lern-Preisliste“.

Muster einer rechtssicheren fiktiven Lern-Preisliste

Neutraler Artikel	Fiktiver Lernpreis
Heft	1,80 €
Zeichenblock	3,60 €
Stift	0,90 €
Lineal	2,20 €
Ordner	4,50 €

Aufgabenidee: Erstelle eine Einkaufsliste mit mindestens drei Artikeln, einem Budget und einer klaren Frage. Sorge dafür, dass mindestens zwei Rechenoperationen nötig sind.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was macht eine selbst entwickelte Sachaufgabe eindeutig? (Alle nötigen Angaben und Begriffe sind so präzise, dass nur eine sinnvolle Deutung entsteht) (!Die Aufgabe enthält möglichst viele Zahlen) (!Die Aufgabe ist besonders lang) (!Die Lösung steht im Aufgabentext)

31 Fahrgäste sollen in Kleinbussen mit je 15 Fahrgastplätzen fahren. Wie viele Kleinbusse werden mindestens benötigt? (3) (!2) (!15) (!31)

Wie groß ist der Wert von 4 mal 2,40 Euro plus 3 mal 1,75 Euro plus 12,50 Euro? (27,35 Euro) (!25,60 Euro) (!29,75 Euro) (!31,10 Euro)

Wozu dient ein Überschlag bei einer Sachaufgabe vor allem? (Zur schnellen Prüfung der Größenordnung eines Ergebnisses) (!Zum Ersetzen jeder genauen Rechnung) (!Zum Erfinden zusätzlicher Angaben) (!Zum Weglassen der Einheit)

Welche Formulierung ist am eindeutigsten? (Jede der 27 Schülerinnen und Schüler erhält genau ein Getränk) (!Jeder bekommt etwas) (!Die Klasse bekommt Getränke) (!Es werden Getränke verteilt)

Warum sollte eine selbst erfundene Preisliste als fiktiv gekennzeichnet werden? (Damit klar ist, dass es sich um Übungsdaten und nicht um ein reales Angebot handelt) (!Damit keine Rechnung nötig ist) (!Damit alle Preise gleich sein müssen) (!Damit nur ganze Zahlen verwendet werden)

Die Gesamtkosten betragen 384,30 Euro bei einem Budget von 400,00 Euro. Wie viel bleibt? (15,70 Euro) (!14,70 Euro) (!16,30 Euro) (!84,30 Euro)

Welche Rechnung ist wegen der Einheiten in diesem Kontext sinnvoll? (1,2 Kilometer plus 0,8 Kilometer) (!400 Euro minus 2 Kilometer) (!27 Personen plus 6,50 Euro) (!15 Plätze mal 1,2 Kilometer als Geldbetrag)

Was gilt für zusätzliche Angaben in einer anspruchsvollen Sachaufgabe? (Sie müssen nicht automatisch für die Leitfrage gebraucht werden) (!Sie müssen immer addiert werden) (!Sie müssen immer die größte Zahl sein) (!Sie dürfen nie vorkommen)

Was ist der wichtigste Zweck einer Überarbeitung problematischer Formulierungen? (Die Aufgabe mathematisch und sprachlich eindeutiger zu machen) (!Die Aufgabe möglichst kompliziert klingen zu lassen) (!Alle Einheiten zu entfernen) (!Die Lösung unauffindbar zu machen)

Memory

Sachkontext	Alltagssituation
Leitfrage	gesuchte Größe
Eindeutigkeit	nur eine sinnvolle Deutung
Überschlag	grobe Kontrollrechnung
Einheit	Euro Meter oder Stück
Modell	vereinfachte mathematische Darstellung
Plausibilität	Ergebnis passt zum Kontext
Überarbeitung	problematische Formulierung verbessern

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Situation verstehen	Bedeutung der Aufgabe erfassen
Mathematisieren	passende Rechnung oder Darstellung bilden
Rechnen	mathematische Operationen ausführen
Interpretieren	Ergebnis auf die Situation beziehen
Prüfen	Eindeutigkeit und Plausibilität kontrollieren

...

Kreuzworträtsel

Modellieren	Wie heißt das Übersetzen einer Sachsituation in Mathematik?
Überschlag	Wie heißt eine grobe Kontrollrechnung?
Eindeutigkeit	Welches Merkmal verhindert mehrere sinnvolle Deutungen?
Plausibilität	Wie nennt man die Nachvollziehbarkeit und Glaubwürdigkeit eines Ergebnisses?
Einheit	Was gehört zu einem Ergebnis wie Euro Kilometer oder Stück?
Kontext	Wie heißt der Sachzusammenhang einer Aufgabe?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine gute Sachaufgabe verbindet eine Situation mit einem mathematischen .

Die Frage muss so formuliert sein, dass die gesuchte klar ist.

Ein Preis pro Stück muss vom unterschieden werden.

Eine grobe Kontrollrechnung nennt man .

Bei einem Ergebnis muss die passende beachtet werden.

Wenn mehrere sinnvolle Deutungen möglich sind, fehlt .

Ein Ergebnis wird auf seine geprüft.

Eine problematische Formulierung sollte anschließend werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Preisgeschichte: Wähle drei Preise aus der fiktiven Lern-Preisliste und schreibe eine eindeutige Sachaufgabe mit mindestens zwei Rechenschritten. Notiere Rechnung und Antwort.
2. Formulierungsdetektiv: Verbessere die Sätze „Jeder bekommt zwei“, „Der Bus kostet 70 Euro“ und „Wie viel bleibt?“, sodass jede Aussage eindeutig wird.
3. Überschlagskarte: Erstelle vier Karten mit je einer exakten Rechnung und einem passenden Überschlag. Tausche die Karten mit einer Partnerperson und prüft gegenseitig die Größenordnung.
4. Bild-Sachaufgabe: Nutze das Bild eines Einkaufswagens aus diesem aiMOOC als Ideengeber. Erfinde dazu eine neutrale, fiktive Einkaufssituation mit klaren Mengen und Preisen.

Standard

1. Budget-Aufgabe: Entwickle eine Aufgabe mit mindestens drei Kostenposten und einem Budget. Löse sie exakt und prüfe das Ergebnis mit einem Überschlag.
2. Karten-Aufgabe: Zeichne eine einfache Wegkarte mit drei Orten und zwei Streckenlängen. Entwickle dazu eine Aufgabe mit Hin- und Rückweg und gib alle Einheiten korrekt an.
3. Diagramm-Aufgabe: Erfinde fünf Datenwerte, stelle sie als Säulen- oder Balkendiagramm dar und formuliere zwei Fragen, von denen eine mehrschrittig ist.
4. Partnerprüfung: Tausche eine eigene Sachaufgabe mit einer anderen Person. Markiert jeweils unklare Wörter, fehlende Angaben und unnötige Zahlen. Überarbeitet anschließend die Aufgabe.

Schwer

1. Rückwärtsdesign: Beginne mit $(24\cdot \mathrm{2,75})+\mathrm{18,50}$. Entwickle eine anspruchsvolle Sachaufgabe, deren Lösung genau zu diesem Term passt, und begründe jede Zahl.
2. Mehrdeutigkeitsanalyse: Schreibe absichtlich eine Aufgabe, die zwei sinnvolle Deutungen zulässt. Löse beide Deutungen und überarbeite den Text danach so, dass nur noch eine Lösung möglich ist.
3. Datenredaktion: Entwickle eine Aufgabe mit sechs Angaben, von denen genau zwei für die Leitfrage nicht gebraucht werden. Begründe, warum die Aufgabe trotzdem fair und lösbar bleibt.
4. Interaktive Autorenstation: Erstelle mit einer Zahlengerade, einem Stellenwertmodell, Polypad oder GeoGebra eine bewegliche Darstellung und entwickle dazu eine eigene Sachaufgabe. Dokumentiere Ausgangsversion, Lösung, Plausibilitätsprüfung und Überarbeitung.

Lernkontrolle

1. Unklare Busaufgabe: Eine Aufgabe lautet „31 Personen fahren mit Bussen mit 15 Plätzen.“ Überarbeite sie so, dass eindeutig ist, welche Plätze gemeint sind, und begründe anschließend mathematisch, wie viele Fahrzeuge mindestens benötigt werden.
2. Zwei Geschichten ein Term: Entwickle zu $6\cdot \mathrm{4,50}+\mathrm{8,00}$ zwei inhaltlich unterschiedliche Sachaufgaben. Erkläre, warum beide dieselbe mathematische Struktur besitzen.
3. Plausibilitätsfehler: Eine Person berechnet für 27 Eintritte zu je 6,50 € den Betrag 1 755 €. Zeige ohne vollständige schriftliche Multiplikation, warum das Ergebnis nicht plausibel ist, und bestimme anschließend den korrekten Wert.
4. Diagrammtransfer: Erstelle aus einer selbst gewählten Tabelle ein Balkendiagramm. Formuliere daraus eine Frage, deren Lösung nicht direkt abgelesen werden kann, sondern mindestens einen zusätzlichen Rechenschritt benötigt.
5. Überarbeitung mit Begründung: Nimm eine eigene Sachaufgabe aus diesem aiMOOC und verfasse eine zweite Fassung. Markiere mindestens drei Änderungen und erkläre jeweils, welches Problem Du damit löst.
6. Modellkritik: Erfinde eine Situation, in der mathematisches Runden allein zu einer sachlich falschen Entscheidung führen würde. Zeige den Rechenweg und erkläre die richtige Entscheidung im Kontext.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur ein richtiges Ergebnis abgibst, sondern den gesamten Entwicklungs- und Prüfprozess sichtbar machst.

Bestandteil	Erwartung
Eigene Sachaufgabe	Mehrschrittig, altersgerecht, E-Niveau, klarer Sachkontext.
Mathematisches Modell	Passende Rechnung, Tabelle, Skizze, Karte oder Diagramm.
Vollständige Lösung	Zwischenschritte, Einheiten und Antwortsatz.
Eindeutigkeitsprüfung	Mindestens zwei mögliche Stolperstellen werden geprüft.
Plausibilitätsprüfung	Überschlag, Einheitencheck, Größenordnung oder Gegenprobe.
Überarbeitung	Erste und verbesserte Fassung werden gegenübergestellt.
Reflexion	Kurze Begründung, warum die zweite Fassung besser ist.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel Sachaufgabe erläutert Sachaufgaben, ihre Präsentationsformen und die Bedeutung der Überprüfung im Sachkontext.

Freie und offene Medien

Die hier eingebetteten Commons-Dateien wurden auf Wikimedia Commons mit freien Lizenzen oder als gemeinfrei veröffentlicht. Die jeweilige Dateiseite enthält Urheber- und Lizenzangaben.

1. Shopping cart with food clip art 2.svg: Public Domain, Quelle CDC.
2. Italian supermarket receipt showing value-added tax IVA categories.jpg: CC BY-SA 4.0.
3. Abacus PSF.png: Public Domain.
4. Calculator-standard.svg: CC0.
5. School bus, Porbander, India.JPG: CC0.

Weiterführende interaktive OER

1. GeoGebra Natürliche Zahlen: Interaktive Materialien für Klasse 5–6, darunter Zahlenstrahl und Stellenwertideen.
2. GeoGebra Bruchzahlen: Interaktive Bruchdarstellungen für Klasse 5–6.
3. Polypad: Digitales mathematisches Legematerial mit Bruchstreifen, 3D-Körpern und weiteren Manipulativen.
4. LearningApps: Autorentool für interaktive Lernbausteine.

Verknüpfte Lernbereiche

Sachaufgaben Mathematisches Modellieren Problemlösen Überschlagsrechnung Plausibilitätsprüfung Größen und Einheiten Dezimalzahlen Diagramme Tabellen Runden Mathematisch argumentieren