M6 E - Periodische Dezimalzahlen entdecken

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC entdeckst Du, warum manche Brüche als Dezimalzahlen nicht abbrechen. Statt immer neue, zufällige Nachkommastellen zu erzeugen, taucht bei solchen Brüchen ein festes Ziffernmuster immer wieder auf. Dieses Muster heißt Periode.

Ein besonders wichtiges Beispiel ist:

$\frac{1}{3}=1:3=\mathrm{0,3333}\dots =\mathrm{0,}\bar{3}$

Die Schreibweise $\mathrm{0,}\bar{3}$ bedeutet: Die Ziffer $3$ wiederholt sich ohne Ende.

Die Abbildung zeigt ein Drittel eines Ganzen. Dieses eine Drittel lässt sich als Bruch exakt mit $\frac{1}{3}$ angeben. Bei der Dezimalschreibweise entsteht dagegen eine unendliche periodische Ziffernfolge.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du Zusammenhänge zwischen Brüchen, Division, Dezimaldarstellungen und periodischen Mustern erklären.

Du kannst ...	Beispiel
einen Bruch als Division deuten	$\frac{2}{3}=2:3$
eine schriftliche Division weiterführen	$1:3=\mathrm{0,333}\dots$
eine Periode erkennen	$\mathrm{0,272727}\dots =\mathrm{0,}\overline{27}$
rein periodische und gemischt periodische Dezimalzahlen unterscheiden	$\mathrm{0,}\bar{3}$ und $\mathrm{0,1}\bar{6}$
abbrechende und nicht abbrechende Dezimaldarstellungen vergleichen	$\frac{1}{8}=\mathrm{0,125}$, aber $\frac{1}{7}=\mathrm{0,}\overline{142857}$
aus wiederkehrenden Resten auf wiederkehrende Ziffern schließen	Rest $1$ taucht bei $1:3$ immer wieder auf

Vom Bruch zur Division

Ein Bruch ist zugleich eine Divisionsaufgabe:

$\frac{a}{b}=a:b$

Dabei ist $a$ der Zähler und $b$ der Nenner. Für $\frac{1}{3}$ gilt also:

$\frac{1}{3}=1:3$

Drei gleich große Drittel ergeben wieder ein Ganzes:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$

Daraus folgt auch:

$3\cdot \frac{1}{3}=1$

Die Dezimaldarstellung muss deshalb eine Zahl sein, die mit $3$ multipliziert wieder $1$ ergibt.

Entdeckerstation 1: Teile ein Ganzes in Drittel

Betrachte $1$ Ganzes. Beim Teilen durch $3$ lässt sich die Einerstelle nicht ohne Rest verteilen. Deshalb wechseln wir zu Zehnteln.

Schritt	Darstellung	Ergebnis	Rest
Einer teilen	$1:3$	$0$ ganze Einer	$1$
Einen Einer in zehn Zehntel tauschen	$10:3$	$3$ Zehntel	$1$ Zehntel
Das Rest-Zehntel in zehn Hundertstel tauschen	$10:3$	$3$ Hundertstel	$1$ Hundertstel
Das Rest-Hundertstel in zehn Tausendstel tauschen	$10:3$	$3$ Tausendstel	$1$ Tausendstel

Der gleiche Rest entsteht immer wieder. Deshalb entsteht auch immer wieder die gleiche Ziffer:

$\mathrm{0,3}\to \mathrm{0,33}\to \mathrm{0,333}\to \mathrm{0,3333}\to \dots$

Stellenwerte sichtbar machen

Du kannst Stellenwertmaterial unterschiedlich skalieren: Wird der größte Block als $1$ Ganzes festgelegt, können kleinere Teile Zehntel, Hundertstel und Tausendstel darstellen.

Für $\frac{1}{3}$ kannst Du Dir die Dezimaldarstellung so vorstellen:

$\mathrm{0,}\bar{3}=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{3}{10000}+\dots$

Es gibt dabei keine letzte Nachkommastelle.

Interaktives Stellenwertmodell: Verändere Einer, Zehntel, Hundertstel und Tausendstel und beobachte den Aufbau von Dezimalzahlen.

Schriftliche Division und periodische Muster

Die Verbindung zwischen Bruch und periodischer Dezimalzahl wird besonders deutlich bei der schriftlichen Division.

Beispiel: $\frac{1}{3}$

$\begin{array}{ccc}1:3& =& \mathrm{0,3333}\dots \\ 10:3& =& 3\text{Rest}1\\ 10:3& =& 3\text{Rest}1\\ 10:3& =& 3\text{Rest}1\\ & ⋮& \end{array}$

Immer wenn der Rest $1$ wieder auftaucht, beginnt genau die gleiche Rechensituation erneut. Deshalb wiederholt sich die Ziffer $3$:

$\frac{1}{3}=\mathrm{0,}\bar{3}$

Die Animation veranschaulicht den Ablauf einer schriftlichen Division. Entscheidend für periodische Dezimalzahlen ist besonders der Rest: Wiederholt sich ein Rest, wiederholt sich danach auch der weitere Rechenweg.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung

Rechenschritt	Rechnung	Ziffer hinter dem Komma	Neuer Rest
1	$10=3\cdot 3+1$	$3$	$1$
2	$10=3\cdot 3+1$	$3$	$1$
3	$10=3\cdot 3+1$	$3$	$1$
4	$10=3\cdot 3+1$	$3$	$1$

Das Muster ist jetzt eindeutig:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac13=0{,}\overline3}}

Beispiel: $\frac{2}{3}$

$\begin{array}{ccc}2:3& =& \mathrm{0,6666}\dots \\ 20:3& =& 6\text{Rest}2\\ 20:3& =& 6\text{Rest}2\\ 20:3& =& 6\text{Rest}2\end{array}$

Also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac23=0{,}\overline6}}

Prüfe den Zusammenhang:

$\mathrm{0,}\bar{3}+\mathrm{0,}\bar{3}=\mathrm{0,}\bar{6}$

und

$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Beispiel: $\frac{1}{6}$ – erst Vorperiode, dann Periode

Bei $\frac{1}{6}$ beginnt die Wiederholung nicht sofort:

$\begin{array}{ccc}1:6& =& \mathrm{0,1666}\dots \\ 10:6& =& 1\text{Rest}4\\ 40:6& =& 6\text{Rest}4\\ 40:6& =& 6\text{Rest}4\end{array}$

Daher gilt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac16=0{,}1\overline6}}

Die Ziffer $1$ gehört zur Vorperiode. Die Ziffer $6$ ist die Periode.

Was ist eine Periode?

Die Periode ist die kürzeste Ziffernfolge, die sich bei einer nicht abbrechenden periodischen Dezimaldarstellung immer wiederholt.

Lange Schreibweise	Periodenschreibweise	Periode	Periodenlänge
$\mathrm{0,333333}\dots$	$\mathrm{0,}\bar{3}$	$3$	eine Stelle
$\mathrm{0,272727}\dots$	$\mathrm{0,}\overline{27}$	$27$	zwei Stellen
$\mathrm{0,142857142857}\dots$	$\mathrm{0,}\overline{142857}$	$142857$	sechs Stellen
$\mathrm{0,166666}\dots$	$\mathrm{0,1}\bar{6}$	$6$	eine Stelle nach einer Vorperiode

Achte darauf, die kürzeste sich wiederholende Ziffernfolge zu markieren:

$\mathrm{0,333333}\dots =\mathrm{0,}\bar{3}$

und nicht unnötig

$\mathrm{0,}\overline{33}$.

Rein periodisch und gemischt periodisch

Art	Kennzeichen	Beispiel
rein periodisch	Die Periode beginnt direkt nach dem Komma.	$\frac{1}{3}=\mathrm{0,}\bar{3}$
gemischt periodisch	Vor der Periode stehen zunächst eine oder mehrere nicht wiederholte Nachkommastellen.	$\frac{1}{6}=\mathrm{0,1}\bar{6}$

Nicht verwechseln: periodisch, gerundet und abgeschnitten

$\mathrm{0,}\bar{3}$ ist eine exakte Schreibweise für $\frac{1}{3}$.

Dagegen sind

$\mathrm{0,3},\mathrm{0,33},\mathrm{0,333}$

nur endliche Näherungen.

Zahl	Als Bruch	Abstand zu $\frac{1}{3}$
$\mathrm{0,3}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$
$\mathrm{0,33}$	$\frac{33}{100}$	$\frac{1}{300}$
$\mathrm{0,333}$	$\frac{333}{1000}$	$\frac{1}{3000}$

Mit jeder weiteren $3$ wird die Näherung genauer. Die periodische Schreibweise erfasst jedoch alle Stellen auf einmal:

$\mathrm{0,}\bar{3}=\frac{1}{3}$

Periodische Dezimalzahlen auf der Zahlengeraden

Auf einer Zahlengeraden liegt $\frac{1}{3}$ zwischen $\mathrm{0,3}$ und $\mathrm{0,4}$.

Noch genauer gilt:

$\mathrm{0,33}<\frac{1}{3}<\mathrm{0,34}$

und:

$\mathrm{0,333}<\frac{1}{3}<\mathrm{0,334}$

und:

$\mathrm{0,3333}<\frac{1}{3}<\mathrm{0,3334}$

Die Intervalle werden immer enger.

Dynamische Zahlengerade

Verschiebe Punkte, vergrößere Abschnitte und beobachte, wie zwischen zwei sichtbaren Dezimalstellen immer weitere Stellen liegen.

Eine weitere bewegliche Bruchdarstellung verbindet Brüche direkt mit Positionen auf der Zahlengeraden:

Ein längeres Muster: $\frac{1}{7}$

Bei $\frac{1}{7}$ besteht die Periode nicht aus einer einzigen Ziffer.

Wir führen die Division Schritt für Schritt aus:

Schritt	Zu teilende Zahl	Rechnung	nächste Ziffer	Rest
1	$10$	$10=1\cdot 7+3$	$1$	$3$
2	$30$	$30=4\cdot 7+2$	$4$	$2$
3	$20$	$20=2\cdot 7+6$	$2$	$6$
4	$60$	$60=8\cdot 7+4$	$8$	$4$
5	$40$	$40=5\cdot 7+5$	$5$	$5$
6	$50$	$50=7\cdot 7+1$	$7$	$1$

Jetzt ist wieder der Rest $1$ erreicht. Genau mit diesem Rest begann der Nachkommateil. Der gesamte Ablauf startet also erneut:

$1\to 3\to 2\to 6\to 4\to 5\to 1\to \dots$

Deshalb wiederholen sich die Ziffern

$142857$

und es gilt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac17=0{,}\overline{142857}}}

Warum muss irgendwann etwas passieren?

Bei einer Division durch $7$ kann der Rest nur

$0,1,2,3,4,5$ oder $6$

sein.

Es gibt zwei Möglichkeiten:

Fall	Folge
Der Rest wird $0$.	Die Dezimaldarstellung bricht ab.
Ein früherer Rest erscheint erneut.	Ab diesem Punkt wiederholt sich der gleiche Rechenweg und damit die gleiche Ziffernfolge.

Diese Rest-Idee erklärt, warum ein Bruch aus ganzen Zahlen bei seiner Dezimaldarstellung entweder abbricht oder irgendwann periodisch wird.

Abbrechend oder periodisch?

Vergleiche:

Bruch	Dezimaldarstellung	Beobachtung
$\frac{1}{2}$	$\mathrm{0,5}$	bricht ab
$\frac{1}{4}$	$\mathrm{0,25}$	bricht ab
$\frac{1}{8}$	$\mathrm{0,125}$	bricht ab
$\frac{1}{5}$	$\mathrm{0,2}$	bricht ab
$\frac{1}{3}$	$\mathrm{0,}\bar{3}$	periodisch
$\frac{1}{6}$	$\mathrm{0,1}\bar{6}$	periodisch
$\frac{1}{7}$	$\mathrm{0,}\overline{142857}$	periodisch
$\frac{11}{12}$	$\mathrm{0,91}\bar{6}$	periodisch

E-Niveau: Vorhersagen mit dem Nenner

Kürze den Bruch zuerst vollständig.

Besteht der Nenner danach nur aus den Primfaktoren $2$ und $5$, dann kann die Dezimaldarstellung abbrechen.

Beispiele:

$8=2^3$

$20=2^2\cdot 5$

$125=5^3$

Daher brechen zum Beispiel $\frac{1}{8}$, $\frac{7}{20}$ und $\frac{3}{125}$ ab.

Enthält der vollständig gekürzte Nenner noch einen anderen Primfaktor, entsteht eine nicht abbrechende periodische Dezimaldarstellung.

Beispiele:

$3,6=2\cdot 3,7,12=2^2\cdot 3$

Deshalb sind $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{7}$ und $\frac{11}{12}$ periodisch.

Wichtig: Erst kürzen!

$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$

Obwohl $12$ den Faktor $3$ enthält, ist der gekürzte Nenner $4=2^2$. Deshalb bricht die Dezimaldarstellung ab.

Entdeckertabelle zur Nennerregel

Bruch	vollständig gekürzt?	Nennerfaktoren	Vorhersage	Dezimaldarstellung
$\frac{3}{8}$	ja	$2^3$	abbrechend	$\mathrm{0,375}$
$\frac{7}{20}$	ja	$2^2\cdot 5$	abbrechend	$\mathrm{0,35}$
$\frac{5}{6}$	ja	$2\cdot 3$	periodisch	$\mathrm{0,8}\bar{3}$
$\frac{4}{15}$	ja	$3\cdot 5$	periodisch	$\mathrm{0,2}\bar{6}$
$\frac{6}{15}$	nein, zunächst $\frac{2}{5}$	$5$	abbrechend	$\mathrm{0,4}$

Musterlabor

Untersuche verschiedene Brüche mit einem Taschenrechner oder durch schriftliche Division. Ein Taschenrechner zeigt nur endlich viele Stellen an. Du musst daher unterscheiden zwischen einer Anzeige und einer mathematisch exakten periodischen Schreibweise.

Bruch	mögliche Rechneranzeige	mathematisch exakt
$\frac{1}{3}$	$\mathrm{0,333333333}$	$\mathrm{0,}\bar{3}$
$\frac{2}{9}$	$\mathrm{0,222222222}$	$\mathrm{0,}\bar{2}$
$\frac{10}{11}$	$\mathrm{0,909090909}$	$\mathrm{0,}\overline{90}$
$\frac{1}{7}$	$\mathrm{0,142857143}$	$\mathrm{0,}\overline{142857}$

Interaktives Periodenmuster

Verändere Brüche und beobachte, ob die Dezimaldarstellung abbricht oder sich ein Muster wiederholt.

Interaktiver Dezimal-Visualisierer

Mit diesem Stellenwertmodell kannst Du Zehntel und Hundertstel verändern. Nutze es, um endliche Näherungen wie $\mathrm{0,3}$, $\mathrm{0,33}$ und $\mathrm{0,34}$ zu vergleichen.

Lernvideo: Periodische Dezimalzahlen

Das folgende Video behandelt abbrechende und periodische Dezimalzahlen auf dem Niveau der 6. Klasse.

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Lernvideo: Brüche in Dezimalzahlen umwandeln

Achte beim Ansehen besonders darauf, wie aus der Division eine Dezimaldarstellung entsteht und woran sich periodische Stellen erkennen lassen.

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Vertiefungsvideo: Periodische Dezimalzahlen als Brüche

Wenn Du die Richtung umkehren möchtest, kannst Du untersuchen, wie sich eine periodische Dezimalzahl wieder als Bruch darstellen lässt.

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Merkkasten

Merksatz	Mathematisches Beispiel
Ein Bruch bedeutet Division.	$\frac{a}{b}=a:b$
Endet die Division mit Rest $0$, kann die Dezimaldarstellung abbrechen.	$\frac{1}{8}=\mathrm{0,125}$
Taucht bei der Division ein früherer Rest erneut auf, wiederholt sich danach auch die Ziffernfolge.	$\frac{1}{3}=\mathrm{0,}\bar{3}$
Die kürzeste wiederholte Ziffernfolge heißt Periode.	$\mathrm{0,}\overline{27}=\mathrm{0,272727}\dots$
Eine Periode wird mit einem Überstrich markiert.	$\mathrm{0,}\overline{142857}$
Bei einer gemischt periodischen Zahl steht vor der Periode eine Vorperiode.	$\mathrm{0,1}\bar{6}$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Dezimaldarstellung gehört zu $\frac{1}{3}$? (0,333... mit sich ständig wiederholender 3) (!0,3 und danach endet die Zahl) (!0,13) (!3,0)

Was bedeutet der Überstrich bei $\mathrm{0,}\bar{7}$? (Die Ziffer 7 wiederholt sich ohne Ende) (!Die Ziffer 7 wird gerundet) (!Die Zahl endet nach der 7) (!Die 7 wird mit 10 multipliziert)

Warum entsteht bei $1:3$ immer wieder die Ziffer 3? (Der gleiche Rest 1 entsteht immer wieder) (!Der Divisor wird jedes Mal kleiner) (!Nach dem Komma dürfen nur Dreien stehen) (!Weil 3 eine Primzahl ist)

Welche Zahl ist rein periodisch? (0,272727...) (!0,16666...) (!0,125) (!0,45)

Welche Zahl ist gemischt periodisch? (0,16666...) (!0,33333...) (!0,125) (!0,75)

Welche Dezimaldarstellung bricht ab? (0,375) (!0,33333...) (!0,272727...) (!0,142857142857...)

Welche Ziffernfolge ist die Periode von 0,142857142857...? (142857) (!14) (!857) (!142)

Was muss vor der Nennerregel zuerst geschehen? (Der Bruch muss vollständig gekürzt werden) (!Der Zähler muss verdoppelt werden) (!Der Nenner muss auf 100 erweitert werden) (!Die Nachkommastellen müssen gerundet werden)

Welche Nennerfaktoren erlauben nach vollständigem Kürzen eine abbrechende Dezimaldarstellung? (Nur 2 und 5) (!Nur 3 und 7) (!Nur 2 und 3) (!Nur 5 und 7)

Was geschieht, wenn bei einer schriftlichen Division ein früherer Rest wieder auftaucht? (Der weitere Rechenweg wiederholt sich) (!Die Division ist falsch) (!Die Dezimalzahl muss sofort abgebrochen werden) (!Der Nenner wird zu null)

Memory

Periode	kürzeste Ziffernfolge, die sich wiederholt
Vorperiode	Nachkommastellen vor Beginn der Wiederholung
Bruchstrich	kann als Divisionszeichen gelesen werden
Rest	entscheidet beim schriftlichen Dividieren über den nächsten Schritt
Überstrich	kennzeichnet die sich wiederholenden Ziffern
abbrechend	Dezimaldarstellung mit endlich vielen notwendigen Nachkommastellen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
rein periodisch	Periode beginnt direkt nach dem Komma
gemischt periodisch	Vorperiode steht vor der Periode
schriftliche Division	macht wiederkehrende Reste sichtbar
Überstrich	markiert die Periode
abbrechend	Rest wird schließlich null

Kreuzworträtsel

Periode	Wie heißt die kürzeste Ziffernfolge, die sich ständig wiederholt?
Division	Welche Rechenart steckt hinter einem Bruchstrich?
Rest	Was bleibt bei einer Division möglicherweise nach einem Rechenschritt übrig?
Nenner	Welcher Teil des Bruchs bestimmt, durch welche Zahl geteilt wird?
Ueberstrich	Wie heißt die Markierung über einer sich wiederholenden Ziffernfolge?
Rational	Wie nennt man eine Zahl, die als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Bruch kann als gelesen werden.

Bei $\frac{1}{3}$ entsteht bei jedem weiteren Divisionsschritt wieder derselbe .

Eine sich wiederholende Ziffernfolge heißt .

Bei einer rein periodischen Dezimalzahl beginnt die Wiederholung direkt nach dem .

Bei einer gemischt periodischen Dezimalzahl steht vor der Periode eine .

Die Periode wird häufig mit einem markiert.

Wird der Rest bei der Division null, kann die Dezimaldarstellung .

Vor der Untersuchung der Primfaktoren des Nenners sollte ein Bruch vollständig werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Periodenmuster finden: Berechne $\frac{1}{9}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{3}{9}$ und $\frac{4}{9}$ als Dezimalzahlen. Markiere bei jeder Zahl die Periode und beschreibe ein Muster.
2. Bruchbild gestalten: Zeichne einen Kreis oder ein Rechteck, markiere $\frac{1}{3}$ und erkläre mit einem kurzen Rechenweg, warum die passende Dezimaldarstellung nicht nach einer festen Zahl von Stellen endet.
3. Zahlengerade untersuchen: Zeichne den Bereich von $\mathrm{0,3}$ bis $\mathrm{0,4}$. Trage $\mathrm{0,33}$, $\mathrm{0,333}$ und $\mathrm{0,334}$ ein und beschreibe, wo $\frac{1}{3}$ liegen muss.
4. Periodenkarte erstellen: Gestalte eine Lernkarte zu $\mathrm{0,}\overline{27}$. Zeige lange Schreibweise, Periodenschreibweise und Periodenlänge.

Standard

1. Schriftliche Division dokumentieren: Führe $2:3$, $1:6$ und $4:11$ schriftlich aus. Markiere gleiche Reste mit gleichen Symbolen und erkläre den Zusammenhang zur Periode.
2. Brüche sortieren: Untersuche $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{6}$, $\frac{7}{20}$, $\frac{2}{9}$ und $\frac{4}{15}$. Sortiere in abbrechend und periodisch und begründe Deine Entscheidung.
3. Erklärvideo produzieren: Erstelle ein höchstens zweiminütiges Lernvideo zu $\frac{1}{3}=\mathrm{0,}\bar{3}$. Zeige dabei Bruchbild, Division und periodische Schreibweise.
4. Rechneranzeige prüfen: Gib mehrere periodische Brüche in einen Taschenrechner ein. Vergleiche die endliche Anzeige mit der exakten Periodenschreibweise und erkläre, warum die Anzeige nicht alle Stellen zeigen kann.

Schwer

1. Nennerregel erforschen: Erstelle eine Tabelle für die Nenner von $2$ bis $20$. Prüfe bei gekürzten Stammbrüchen $\frac{1}{n}$, welche Dezimaldarstellungen abbrechen, und formuliere eine Regel zu den Primfaktoren des Nenners.
2. Restkreislauf visualisieren: Stelle die Restfolge von $1:7$ als Kreislaufdiagramm dar. Verbinde jeden Rest mit der jeweils erzeugten Ziffer und erkläre, warum die Periode sechs Stellen hat.
3. Eigene Forscherfrage: Suche zwei verschiedene Brüche mit derselben Periodenlänge, aber unterschiedlichen Perioden. Dokumentiere Deine Suche und begründe die Ergebnisse durch schriftliche Division.
4. Perioden-Ausstellung: Entwickle mit einer Gruppe eine kleine Ausstellung mit Bruchbildern, Zahlengeraden, schriftlichen Divisionen, Stellenwertmodellen und digitalen Interaktionen. Jede Station soll denselben Bruch aus mindestens zwei Darstellungsformen erklären.

Lernkontrolle

1. Darstellungen verbinden: Erkläre an $\frac{1}{6}$, wie Bruch, schriftliche Division, Restfolge und Schreibweise $\mathrm{0,1}\bar{6}$ zusammenhängen.
2. Fehleranalyse: Eine Schülerin schreibt $\frac{1}{3}=\mathrm{0,33}$. Erkläre genau, was daran falsch ist und wie die Aussage korrekt formuliert werden kann.
3. Vorhersage begründen: Entscheide ohne vollständige Division, ob $\frac{7}{40}$ und $\frac{7}{30}$ abbrechende oder periodische Dezimaldarstellungen besitzen. Begründe mit den gekürzten Nennern.
4. Restmuster übertragen: Bei einer Division taucht nach mehreren Schritten derselbe Rest erneut auf. Erkläre allgemein, warum ab diesem Zeitpunkt die nachfolgenden Ziffern wiederholt werden müssen.
5. Vergleich von Näherungen: Ordne $\mathrm{0,3}$, $\mathrm{0,33}$, $\mathrm{0,333}$ und $\frac{1}{3}$. Begründe Deine Reihenfolge und beschreibe, was beim Anhängen weiterer Dreien geschieht.
6. Muster erklären: Untersuche $\frac{1}{9}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{4}{9}$ und $\frac{8}{9}$. Formuliere eine Vermutung und begründe sie mit der Bedeutung des Bruchs als Division.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern die Zusammenhänge zwischen den Darstellungen erklären kannst.

Kompetenz	Das solltest Du zeigen können
Bruch und Division verbinden	$\frac{a}{b}=a:b$ deuten und anwenden
Schriftlich dividieren	Rechenschritte korrekt fortsetzen und Reste notieren
Perioden erkennen	kürzeste Wiederholungsfolge bestimmen
Periodenschreibweise verwenden	Überstrich an der richtigen Stelle setzen
Darstellungen vergleichen	Bruch, Dezimalzahl, Zahlengerade und Stellenwertdarstellung aufeinander beziehen
Abbrechend oder periodisch unterscheiden	Entscheidung begründen statt nur abzulesen
Nennerregel auf E-Niveau anwenden	Bruch zuerst kürzen und anschließend Primfaktoren des Nenners untersuchen
Zusammenhänge erklären	Wiederkehrende Reste mit wiederkehrenden Ziffern verbinden

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zu Dezimalbrüchen bietet eine weiterführende Darstellung zu endlichen und periodischen Dezimalentwicklungen:

Verknüpfte Lernbereiche

Periodische Dezimalzahlen Bruch Division Schriftliche Division Dezimalzahl Stellenwertsystem Zahlengerade Rationale Zahl Primfaktorzerlegung Bruchrechnung