M5 G - Brüche an der Zahlengeraden

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

M5 G - Brüche an der Zahlengeraden

Klasse 5 · G-Niveau · Mathematik

In diesem aiMOOC lernst Du, dass Brüche nicht nur Teile von Pizza, Kuchen oder Schokolade beschreiben. Brüche sind Zahlen. Deshalb hat jeder Bruch einen festen Platz auf der Zahlengerade.

$0<\frac{1}{4}<\frac{1}{2}<\frac{3}{4}<1$

Die Strecke von $0$ bis $1$ ist besonders wichtig. Sie heißt hier Einheitsstrecke. Wenn Du sie in gleich große Teile zerlegst, kannst Du Brüche genau eintragen.

Was Du am Ende kannst

Ich kann …	Beispiel
einen Bruch als Zahl verstehen	$\frac{3}{4}$ ist eine Zahl zwischen $0$ und $1$.
Stammbrüche auf der Zahlengeraden finden	$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
den Nenner zum Einteilen nutzen	Bei $\frac{3}{4}$ wird die Einheitsstrecke in $4$ gleich große Teilstrecken geteilt.
den Zähler zum Weitergehen nutzen	Bei $\frac{3}{4}$ gehst Du vom Nullpunkt $3$ Viertelschritte nach rechts.
einfache Brüche größer als $1$ eintragen	$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$
Fehler auf Zahlengeraden erkennen und verbessern	Gleiche Teilstrecken müssen gleich lang sein.

Einleitung

Brüche begegnen Dir überall: bei einer halben Stunde, einem Viertelliter, drei Vierteln einer Strecke oder beim Ablesen einer Messskala. Hinter all diesen Beispielen steckt dieselbe mathematische Idee:

Ein Bruch kann einen Anteil beschreiben – und zugleich ist er eine Zahl mit einer genauen Position auf der Zahlengeraden.

Die Bruchstreifen zeigen: Dieselbe ganze Länge kann in unterschiedlich viele gleich große Teile zerlegt werden. Ein Streifen kann zum Beispiel in Hälften, Drittel, Viertel oder Fünftel geteilt werden. Genau diese Idee brauchst Du auch an der Zahlengeraden.

Brüche sind Zahlen

Ein Bruch hat die Form

$\frac{a}{b}$

Dabei gilt für unsere einfachen positiven Brüche:

$b\ne 0$

Bestandteil	Bedeutung	Beispiel bei $\frac{3}{4}$
Zähler	Wie viele gleich große Teile werden gezählt?	$3$
Bruchstrich	Er bedeutet auch Division.	$\frac{3}{4}=3:4$
Nenner	In wie viele gleich große Teile wird ein Ganzes geteilt?	$4$

Wichtig ist der Wechsel der Vorstellung:

$\text{Anteil eines Ganzen}⟷\text{Zahl auf der Zahlengeraden}$

Beispiel:

$\frac{1}{2}$ bedeutet nicht nur „eine von zwei gleich großen Hälften“. Der Bruch ist auch genau die Zahl in der Mitte zwischen $0$ und $1$.

$0⟶\frac{1}{2}⟶1$

Die Einheitsstrecke von 0 bis 1

Auf einer Zahlengeraden brauchst Du zuerst eine feste Skala. Die Strecke von $0$ bis $1$ ist eine Einheit.

$\overline{01}=1$

Der Nenner sagt Dir, in wie viele gleich lange Teilstrecken diese Einheit zerlegt wird.

Beispiele:

Bruch	Teile die Strecke von $0$ bis $1$ in …	Länge eines Schrittes
$\frac{1}{2}$	$2$ gleich große Teilstrecken	$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$	$3$ gleich große Teilstrecken	$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}$	$4$ gleich große Teilstrecken	$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{5}$	$5$ gleich große Teilstrecken	$\frac{1}{5}$

Achtung: Bei Vierteln entstehen zwischen $0$ und $1$ vier Teilstrecken, aber zusammen mit den beiden Randpunkten siehst Du fünf Markierungen:

$0,\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4}=1$

Schritt für Schritt: Drei Viertel eintragen

Gesucht ist die Position von

$\frac{3}{4}$.

Schritt	Was Du tust	Mathematische Darstellung
1. Nenner ansehen	Der Nenner ist $4$. Teile die Einheitsstrecke in vier gleich lange Teile.	$1:4=\frac{1}{4}$
2. Schrittweite erkennen	Jeder kleine Abschnitt hat die Länge eines Viertels.	$\Delta x=\frac{1}{4}$
3. Zähler ansehen	Der Zähler ist $3$. Gehe drei Viertelschritte vom Nullpunkt nach rechts.	$3\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
4. Punkt markieren	Der dritte Viertelstrich ist die gesuchte Zahl.	$0<\frac{3}{4}<1$

Visueller Rechenweg:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 0 \xrightarrow{\frac14} \frac14 \xrightarrow{\frac14} \frac24 \xrightarrow{\frac14} \boxed{\frac34} \xrightarrow{\frac14} 1 }

So kannst Du Dir merken:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Nenner teilt – Zähler zählt}}}

Stammbrüche auf der Zahlengeraden

Ein Stammbruch hat den Zähler $1$.

$\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6}$

Je größer bei Stammbrüchen der Nenner wird, desto kleiner wird ein einzelner Teil.

$\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\frac{1}{4}>\frac{1}{5}>\frac{1}{6}$

Das siehst Du besonders gut mit Bruchstreifen:

Ein Viertel liegt also näher an $0$ als ein Drittel:

$0<\frac{1}{4}<\frac{1}{3}<\frac{1}{2}<1$

Eine bewegte Viertel-Vorstellung

Die folgende freie Animation zerlegt ein Ganzes schrittweise in Viertel. Beobachte dabei nicht nur die Flächen, sondern denke jeden sichtbaren Anteil als Zahl:

Übertrage die Bilder gedanklich auf die Zahlengerade:

$0,\frac{1}{4},\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{4}{4}=1$

Die Darstellungsform ändert sich, aber die Zahl bleibt gleich.

Weitere einfache Brüche zwischen 0 und 1

Nicht nur Stammbrüche lassen sich eintragen. Der Nenner legt weiter die Schrittweite fest, der Zähler sagt, wie viele Schritte Du gehst.

Bruch	Schrittweite	Anzahl der Schritte ab $0$	Lage
$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$	$2$	zwischen $0$ und $\frac{1}{2}$
$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$	$3$	zwischen $\frac{1}{2}$ und $1$
$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$	$2$	rechts von $\frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$	$3$	zwischen $\frac{1}{2}$ und $1$
$\frac{7}{8}$	$\frac{1}{8}$	$7$	kurz vor $1$

Ein Viertelraster sieht zum Beispiel so aus:

$0|\frac{1}{4}|\frac{2}{4}|\frac{3}{4}|\frac{4}{4}=1$

Gleicher Punkt – verschiedene Brüche

Manchmal sehen zwei Brüche verschieden aus, liegen aber am gleichen Punkt der Zahlengeraden.

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$

Das kannst Du an gleich langen Bruchstreifen erkennen.

Für Klasse 5 reicht zunächst die wichtige Beobachtung:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac12 \text{ und } \frac24 \text{ liegen an derselben Stelle}}}

Das ist später beim Erweitern und Kürzen von Brüchen wichtig.

Brüche größer als 1

Die Zahlengerade endet nicht bei $1$. Deshalb können auch Brüche rechts von $1$ liegen.

Beispiel:

$\frac{5}{4}$

Der Nenner $4$ bedeutet: Ein Schritt ist weiterhin ein Viertel lang.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 0 \xrightarrow{\frac14} \frac14 \xrightarrow{\frac14} \frac24 \xrightarrow{\frac14} \frac34 \xrightarrow{\frac14} \frac44=1 \xrightarrow{\frac14} \boxed{\frac54} }

Also:

$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$

Noch ein leichtes Beispiel:

$\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$

Auf der Zahlengeraden liegt $\frac{3}{2}$ genau in der Mitte zwischen $1$ und $2$.

Zahlengerade und Messskala

Eine Messskala funktioniert ähnlich wie eine Zahlengerade: Gleiche Abstände stehen für gleiche Zahlenabstände.

Zwischen zwei Zentimeterstrichen liegen zehn Millimeter.

$1\mathrm{c}\mathrm{m}=10\mathrm{m}\mathrm{m}$

Fünf Millimeter sind die Hälfte eines Zentimeters:

$5\mathrm{m}\mathrm{m}=\frac{5}{10}\mathrm{c}\mathrm{m}=\frac{1}{2}\mathrm{c}\mathrm{m}$

Damit kannst Du Brüche auch beim Messen entdecken.

Übertrage die Idee:

$\text{Messskala}⟷\text{Zahlengerade}⟷\text{gleich große Teilstrecken}$

Typische Fehler erkennen

Fehler	Warum ist das falsch?	Besser
Bei $\frac{3}{4}$ werden nur drei Teilstrecken zwischen $0$ und $1$ gezeichnet.	Der Nenner ist $4$.	Erst in vier gleich große Teile teilen, dann drei Schritte zählen.
Die Striche haben unterschiedliche Abstände.	Eine Zahlengerade braucht eine gleichmäßige Skala.	Gleiche Zahlendifferenzen bekommen gleiche Abstände.
Man zählt die Markierungen statt der Teilstrecken.	Für den Bruch zählt die Schrittweite zwischen zwei Markierungen.	Vom Nullpunkt aus die Teilstrecken zählen.
$\frac{1}{5}$ wird rechts von $\frac{1}{4}$ gesetzt.	Bei Stammbrüchen wird ein einzelner Teil kleiner, wenn der Nenner größer wird.	$\frac{1}{5}<\frac{1}{4}$
Bei $\frac{5}{4}$ wird bei $1$ aufgehört.	Brüche sind Zahlen und können größer als $1$ sein.	Viertelschritte über $1$ hinaus fortsetzen.

Merksätze als Bild im Kopf

Denkbild	Merksatz
$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$	Nenner teilt – Zähler zählt.
$0⟶1$	Die Strecke von $0$ bis $1$ ist eine Einheit.
$\frac{1}{4}<\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$	Bei Stammbrüchen bedeutet ein größerer Nenner kleinere Teile.
$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$	Verschiedene Brüche können denselben Punkt darstellen.
$\frac{5}{4}>1$	Auch rechts von $1$ liegen Bruchzahlen.

Dynamische und bewegliche Lernmedien

Hier sollst Du Brüche nicht nur anschauen, sondern verschieben, prüfen und neu positionieren.

Dynamische Zahlengerade mit GeoGebra

Bei dieser interaktiven Aufgabe kannst Du Punkte auf einer Zahlengeraden verschieben und Deine Position kontrollieren:

Arbeitsauftrag:

1. Stelle zuerst $\frac{1}{2}$ ein.
2. Suche danach $\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{4}$.
3. Erkläre laut: „Der Nenner teilt, der Zähler zählt.“
4. Kontrolliere Deine Position.
5. Wiederhole die Aufgabe mit einem neuen Bruch.

Bewegliche Brüche auf der Zahlengeraden

Diese Übung ist für das Positionieren echter und unechter Brüche geeignet:

Vergleiche beim Verschieben immer drei Dinge:

$\text{Nenner}⟶\text{Schrittweite}$

$\text{Zähler}⟶\text{Schrittzahl}$

$\text{Punkt}⟶\text{Zahlwert}$

Video: Brüche am Zahlenstrahl

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Nutze das Video aktiv: Stoppe vor einer Lösung, zeichne die Zahlengerade selbst und vergleiche anschließend.

Video: Brüche auf der Zahlengeraden

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Achte besonders darauf, wie die Einheitsstrecke eingeteilt wird und wie der gesuchte Punkt gefunden wird.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was zeigt der Nenner eines Bruches an der Zahlengeraden? (In wie viele gleich große Teilstrecken eine Einheit geteilt wird) (!Wie viele Schritte immer nach links gegangen wird) (!Wie viele ganze Zahlen auf der Zahlengeraden stehen) (!Wie viele Pfeile gezeichnet werden müssen)

Wo liegt der Bruch ein Halb auf der Zahlengeraden zwischen null und eins? (Genau in der Mitte) (!Direkt bei null) (!Direkt bei eins) (!Rechts von eins)

Welche Aussage über Stammbrüche ist richtig? (Der Zähler ist eins) (!Der Nenner ist immer eins) (!Der Bruch ist immer größer als eins) (!Der Bruch liegt immer bei null)

Wie viele gleich große Teilstrecken brauchst Du von null bis eins für Viertel? (Vier) (!Drei) (!Fünf) (!Acht)

Welcher Bruch liegt am dritten Viertelschritt nach null? (Drei Viertel) (!Ein Viertel) (!Zwei Drittel) (!Fünf Viertel)

Welche Aussage stimmt bei Stammbrüchen? (Ein Fünftel ist kleiner als ein Viertel) (!Ein Fünftel ist größer als ein Viertel) (!Ein Fünftel ist gleich ein Viertel) (!Ein Fünftel liegt rechts von eins)

Welche beiden Brüche können denselben Punkt auf der Zahlengeraden beschreiben? (Ein Halb und zwei Viertel) (!Ein Halb und ein Viertel) (!Ein Drittel und zwei Drittel) (!Ein Viertel und drei Viertel)

Wo liegt fünf Viertel? (Rechts von eins) (!Zwischen null und einem Viertel) (!Genau bei null) (!Links von null)

Was muss bei einer korrekt gezeichneten Zahlengeraden gelten? (Gleiche Zahlenabstände haben gleiche Streckenlängen) (!Jeder Teilstrich hat einen anderen Abstand) (!Brüche dürfen nur zwischen null und eins stehen) (!Der Nenner bestimmt die Länge der ganzen Zahlengeraden)

Welche Strategie hilft beim Eintragen von drei Fünfteln? (Die Einheit in fünf gleiche Teile teilen und drei Schritte zählen) (!Die Einheit in drei gleiche Teile teilen und fünf Schritte zählen) (!Nur den Zähler betrachten) (!Den Punkt immer in die Mitte setzen)

Memory

Nenner	Anzahl gleich großer Teilstrecken einer Einheit
Zähler	Anzahl der gezählten Schritte
Stammbruch	Bruch mit einer Eins über dem Bruchstrich
Einheitsstrecke	Strecke vom Nullpunkt bis zur Eins
Halbierung	Zerlegung in zwei gleich lange Teile
Viertelschritt	Schrittweite bei einer Einteilung in vier gleiche Teile
Zahlengerade	Geordnete Darstellung von Zahlen als Punkte auf einer Geraden

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Position auf der Zahlengeraden
Halb	Mitte der Einheitsstrecke
Viertel	erster Viertelschritt nach dem Nullpunkt
Dreiviertel	dritter Viertelschritt nach dem Nullpunkt
Fünfviertel	ein Viertelschritt rechts von der Eins
Dreihalbe	Mitte zwischen der Eins und der Zwei

Kreuzworträtsel

Zahlengerade	Auf welcher Linie werden Zahlen ihrer Größe nach als Punkte angeordnet?
Nenner	Welcher Teil des Bruches bestimmt die Anzahl gleich großer Teilstrecken?
Zähler	Welcher Teil des Bruches bestimmt die Zahl der gezählten Schritte?
Stammbruch	Wie heißt ein Bruch mit einer Eins als Zähler?
Einheitsstrecke	Wie heißt die Strecke vom Nullpunkt bis zur Eins?
Markierung	Wie heißt ein eingezeichneter Strich oder Punkt auf einer Skala?

LearningApps

Zusätzliche passende Positionierungsübung: Brüche dem Zahlenstrahl zuordnen

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Bruch ist nicht nur ein Anteil, sondern auch eine auf der Zahlengeraden.

Die Strecke von null bis eins nennt man .

Der bestimmt, in wie viele gleich große Teilstrecken die Einheit zerlegt wird.

Der bestimmt, wie viele dieser Teilstrecken vom Nullpunkt aus gezählt werden.

Ein Bruch mit dem Zähler eins heißt .

Bei Stammbrüchen werden die Teile kleiner, wenn der größer wird.

Ein Halb und zwei Viertel liegen an derselben der Zahlengeraden.

Fünf Viertel liegt rechts von der Zahl .

Gleiche Zahlenabstände müssen auf einer korrekt skalierten Zahlengeraden gleich große besitzen.

Beim Eintragen eines Bruches hilft der Merksatz „Nenner teilt – Zähler “.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bruchstreifen: Schneide einen Papierstreifen aus. Falte ihn zuerst in Hälften und danach einen zweiten gleich langen Streifen in Viertel. Markiere $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{4}$.
2. Zahlengerade: Zeichne eine Strecke von $0$ bis $1$ und trage $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{4}$ ein.
3. Messskala: Suche zu Hause oder im Klassenraum drei Gegenstände mit Skalen, zum Beispiel Lineal, Messbecher oder Thermometer. Beschreibe, was den Teilstrichen einer Zahlengerade ähnelt.
4. Stammbruch: Zeichne $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{5}$ auf vier gleich langen Zahlengeraden und beschreibe, was Dir auffällt.

Standard

1. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Zahlengerade zu $\frac{3}{4}$, bei der die Teilstrecken ungleich lang sind. Markiere den Fehler und zeichne die richtige Version daneben.
2. Bruch und Bild: Gestalte zu $\frac{2}{5}$ zwei Darstellungen: einen Bruchstreifen und eine Zahlengerade. Erkläre, warum beide dieselbe Zahl zeigen.
3. Messung: Miss eine Strecke von $10$ Zentimetern. Markiere die Hälfte, ein Viertel und drei Viertel der Strecke und beschrifte die Punkte zusätzlich in Zentimetern.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video oder eine Stop-Motion-Sequenz zum Merksatz „Nenner teilt – Zähler zählt“ und verwende als Beispiel $\frac{3}{5}$.

Schwer

1. Gleichwertige Brüche: Zeige mit zwei übereinanderliegenden Zahlengeraden, dass $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}$ gilt. Begründe die gleiche Lage der Punkte.
2. Brüche größer als eins: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $2$ und trage $\frac{5}{4}$, $\frac{3}{2}$ und $\frac{7}{4}$ ein. Beschreibe Deine Strategie.
3. Forscherauftrag: Untersuche, welche Einheitslänge besonders praktisch ist, wenn Du gleichzeitig Drittel und Viertel auf einer Zahlengerade darstellen möchtest. Begründe Deine Wahl.
4. Interview: Frage mindestens zwei Personen, wie sie erklären würden, wo $\frac{3}{7}$ auf einer Zahlengerade liegt. Vergleiche die Erklärungen und formuliere anschließend eine möglichst klare eigene Anleitung.

Lernkontrolle

1. Strategie erklären: Eine Mitschülerin möchte $\frac{4}{7}$ eintragen. Erkläre ihr ohne fertige Zeichnung, welche zwei Entscheidungen sie treffen muss und warum.
2. Fehler übertragen: Auf einer Zahlengerade sind die Abstände zwischen den Teilstrichen unterschiedlich. Erkläre, warum dadurch nicht nur ein einzelner Bruch, sondern die ganze Skala problematisch wird.
3. Darstellungen verbinden: Ein Bruchstreifen zeigt drei von fünf gleich großen Teilen. Beschreibe, wie Du daraus die Position auf der Zahlengerade gewinnst.
4. Vergleichen: Entscheide ohne Dezimalzahlen, ob $\frac{1}{4}$ oder $\frac{1}{5}$ näher an $0$ liegt. Begründe mit der Einteilung der Einheitsstrecke.
5. Transfer zum Messen: Auf einem Messbecher ist ein Liter in vier gleich große Abschnitte geteilt. Erkläre, wie Du die Markierung für drei Viertel Liter als Punkt auf einer Zahlengerade darstellen könntest.
6. Weiterdenken: Begründe, warum $\frac{5}{4}$ kein „unmöglicher Anteil“ ist, sondern eine ganz normale Zahl auf der Zahlengerade.

Lernnachweis

Für einen sicheren Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du nicht nur einzelne Brüche auswendig erkennst, sondern das Verfahren verstanden hast.

1. Du erklärst, warum Brüche Zahlen sind und deshalb Punkte auf der Zahlengerade besitzen.
2. Du bestimmst aus dem Nenner die Anzahl gleich großer Teilstrecken der Einheitsstrecke.
3. Du nutzt den Zähler, um vom Nullpunkt aus die passende Zahl an Schritten zu gehen.
4. Du positionierst einfache Stammbrüche wie $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{5}$.
5. Du positionierst weitere einfache Brüche wie $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{3}{4}$ und $\frac{5}{4}$.
6. Du erkennst, dass $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{4}$ am gleichen Punkt liegen.
7. Du prüfst, ob Teilstrecken gleich lang sind und ob die Skala korrekt aufgebaut ist.
8. Du kannst eine Zahlengeraden-Darstellung auf Messskalen und andere Alltagssituationen übertragen.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur Zahlengerade bietet Hintergrundinformationen zum mathematischen Modell:

Passend dazu: Bruchrechnung und Wikipedia: Bruchrechnung.

Verknüpfte Lernbereiche

Bruchrechnung Zahlengerade Brüche Stammbruch Zähler Nenner Erweitern Kürzen Rationale Zahl Messen