M5 M - Gleichwertige Brüche, Erweitern und Kürzen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, M-Niveau

M5 M - Gleichwertige Brüche, Erweitern und Kürzen

Dieser aiMOOC ist für Klasse 5 auf M-Niveau angelegt. Du lernst gleichwertige Brüche zuerst an Bildern, Bruchstreifen, Faltmodellen und am Zahlenstrahl kennen. Erst danach formulierst Du die Rechenregeln zum Erweitern und Kürzen.

Einleitung

Ein Bruch beschreibt, wie viele gleich große Teile eines Ganzen betrachtet werden. Beim Bruch

$\frac{a}{b}$

heißt $a$ Zähler und $b$ Nenner. Der Nenner sagt, in wie viele gleich große Teile das Ganze geteilt ist. Der Zähler sagt, wie viele dieser Teile gemeint sind.

Wichtig: Beim Vergleichen von Flächenbildern muss das Ganze gleich groß sein. Sonst kann ein gleich aussehender Anteil eine andere Größe haben.

Schreibweise	Bedeutung	Beispiel
$\frac{1}{2}$	1 von 2 gleich großen Teilen	die Hälfte
$\frac{2}{4}$	2 von 4 gleich großen Teilen	ebenfalls die Hälfte
$\frac{4}{8}$	4 von 8 gleich großen Teilen	ebenfalls die Hälfte

Damit gilt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}}}

Diese Brüche sehen verschieden aus, haben aber denselben Wert. Sie heißen gleichwertige Brüche.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Gleichwertige Brüche in Bruchstreifen, Flächenbildern und am Zahlenstrahl erkennen.
2. Erweitern aus einer feineren Unterteilung eines Ganzen erklären.
3. Kürzen aus dem Zusammenfassen gleich großer Teilstücke erklären.
4. Rechenwege mit $\cdot$ und $:$ korrekt notieren.
5. typische Fehler beim Erweitern und Kürzen begründen und verbessern.
6. einen Bruch so weit wie möglich kürzen.

Gleichwertige Brüche anschaulich verstehen

Bruchstreifen: dieselbe Fläche, andere Einteilung

Vergleiche drei gleich lange Streifen. Die gelb gedachte Fläche bleibt immer gleich groß; nur die Einteilung wird feiner.

Bruchstreifen zu $\frac{1}{2}$

gefärbt

Bruchstreifen zu $\frac{2}{4}$

gefärbt

gefärbt

Bruchstreifen zu $\frac{4}{8}$

gefärbt

gefärbt

gefärbt

gefärbt

Obwohl mehr Teilstücke entstehen, bleibt der gefärbte Anteil dieselbe Hälfte:

$\frac{1}{2}\to \frac{2}{4}\to \frac{4}{8}$

Beim ersten Pfeil wird jedes halbe Stück in $2$ gleich große Teile geteilt. Deshalb verdoppeln sich Zähler und Nenner:

$\frac{1\cdot 2}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}$

Beim nächsten Schritt wird wieder jedes Teilstück halbiert:

$\frac{2\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{4}{8}$

<details> <summary>Interaktive Überlagerung: Was bleibt gleich?</summary> Lege in Gedanken die drei Bruchstreifen genau übereinander. Die Grenzen der kleinen Teilstücke ändern sich. Die Grenze zwischen gefärbter und ungefärbter Hälfte liegt aber immer an derselben Stelle. Genau das bedeutet Gleichwertigkeit. </details>

Flächenbild und Bruchkreis

Ein Flächenbild macht sichtbar, dass sich die Form der Unterteilung ändern darf, solange der dargestellte Anteil gleich groß bleibt.

Auch bei einem Kreis kann dieselbe Fläche unterschiedlich fein zerlegt werden. Ein Kreis, dessen Hälfte markiert ist, zeigt zum Beispiel gleichzeitig

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}$.

Merksatz: Gleichwertige Brüche beschreiben denselben Anteil desselben Ganzen.

Faltmodell: aus einer Hälfte werden Viertel und Achtel

Nimm einen rechteckigen Papierstreifen. Markiere zuerst eine Hälfte. Falte den Streifen anschließend so, dass jedes vorhandene Teilstück wieder in zwei gleich große Teile zerlegt wird.

Schritt	Teile des Ganzen	markierte Teile	Bruch
Start	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$
einmal weiterfalten	$4$	$2$	$\frac{2}{4}$
noch einmal weiterfalten	$8$	$4$	$\frac{4}{8}$

Das Faltmodell zeigt nicht nur das Ergebnis, sondern warum Zähler und Nenner mit derselben Zahl verändert werden: Jedes bisherige Teilstück wird gleich oft weitergeteilt.

$\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 2}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{2\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{4}{8}$

Animation: Teilstücke verändern, Wert behalten

Die folgende freie Wikimedia-Animation zeigt eine sich verändernde Bruchdarstellung mit Vierteln.

Eine weitere Darstellung zeigt die Gleichwertigkeit von $\frac{4}{6}$ und $\frac{2}{3}$:

$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Gleichwertige Brüche am Zahlenstrahl

Gleichwertige Brüche liegen am selben Punkt des Zahlenstrahls. Das ist eine besonders wichtige Vorstellung: Nicht die Schreibweise entscheidet über die Größe, sondern der Wert.

Für die Hälfte gilt beispielsweise:

$0\frac{1}{4}\underset{\text{gleicher Punkt}}{\underbrace{\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}}}\frac{3}{4}1$

<details> <summary>Dynamische Denkaufgabe zur Zahlengeraden</summary> Stell Dir vor, Du schiebst drei Marken für $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ und $\frac{4}{8}$ auf einer Zahlengeraden von $0$ bis $1$. Alle drei Marken müssen exakt übereinander liegen. Begründe mit einem Bruchstreifen, warum. </details>

Erweitern

Beim Erweitern multiplizierst Du Zähler und Nenner mit derselben natürlichen Zahl.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}}} mit $k\in \mathbb{N}$ und $k>1$.

Die Zahl $k$ heißt Erweiterungszahl.

Erweitern aus dem Bild ableiten

Aus $\frac{2}{3}$ wird durch eine feinere Unterteilung zum Beispiel $\frac{10}{15}$. Jedes Drittel wird in fünf gleich große Stücke zerlegt:

$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{10}{15}$

Das Bild zeigt: Die Anzahl der Teilstücke verändert sich, der Anteil des Ganzen nicht.

Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Schritt	Rechnung	Gedanke
1	$\frac{3}{5}$	Ausgangsbruch
2	$\frac{3\cdot 4}{5\cdot 4}$	Zähler und Nenner mit $4$ multiplizieren
3	$\frac{12}{20}$	gleichwertiger Bruch

Also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{3}{5}=\frac{12}{20}}}

<details> <summary>Rechenweg aufklappen: Warum darf man das?</summary> Weil $\frac{4}{4}=1$ gilt: $\frac{3}{5}\cdot \frac{4}{4}=\frac{12}{20}$. Mit $1$ zu multiplizieren verändert den Wert nicht. </details>

Kürzen

Beim Kürzen dividierst Du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl, die beide ohne Rest teilt.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\frac{a}{b}=\frac{a:d}{b:d}}}

Dabei muss $d$ ein gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner sein.

Kürzen aus dem Bild ableiten

Wenn mehrere kleine Teilstücke zu gleich großen größeren Teilstücken zusammengefasst werden, kann ein Bruch einfacher geschrieben werden.

$\frac{10}{15}=\frac{10:5}{15:5}=\frac{2}{3}$

Das ist die umgekehrte Richtung zum Erweitern:

$\frac{2}{3}\stackrel{\cdot 5}{\to }\frac{10}{15}$

$\frac{10}{15}\stackrel{:5}{\to }\frac{2}{3}$

Vollständig kürzen

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als $1$ mehr besitzen.

Beispiel:

$\frac{18}{24}=\frac{18:2}{24:2}=\frac{9}{12}=\frac{9:3}{12:3}=\frac{3}{4}$

Direkt geht es mit dem größten gemeinsamen Teiler:

$\mathrm{ggT}(18,24)=6$

$\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}$

Für Klasse 5 reicht oft auch sicheres schrittweises Kürzen.

Erweitern und Kürzen gehören zusammen

Erweitern und Kürzen sind Gegenrichtungen innerhalb derselben Familie gleichwertiger Brüche.

$\frac{3}{4}\stackrel{\cdot 2}{\to }\frac{6}{8}\stackrel{\cdot 3}{\to }\frac{18}{24}$

und rückwärts:

$\frac{18}{24}\stackrel{:3}{\to }\frac{6}{8}\stackrel{:2}{\to }\frac{3}{4}$

Kontrollstrategie für gleichwertige Brüche

Prüfe zuerst anschaulich oder mit einem Erweiterungs- beziehungsweise Kürzungsfaktor.

Beispiel:

$\frac{4}{6}\stackrel{?}{=}\frac{10}{15}$

Von $4$ zu $10$ gibt es keinen ganzzahligen gemeinsamen Faktor, der gleichzeitig $6$ zu $15$ macht. Die Brüche sind trotzdem gleichwertig, denn beide lassen sich zu $\frac{2}{3}$ kürzen:

$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

und

$\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$.

Als spätere Kontrolle kann auch das Kreuzprodukt helfen:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺a\cdot d=b\cdot c$.

Für das Beispiel:

$4\cdot 15=60$ und $6\cdot 10=60$.

Typische Fehler und wie Du sie erkennst

Fehler	Falsche Idee	Korrektur
nur den Zähler verändern	$\frac{2}{3}\to \frac{4}{3}$	$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$
nur den Nenner verändern	$\frac{2}{3}\to \frac{2}{6}$	$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$
dieselbe Zahl addieren	$\frac{2}{3}\to \frac{4}{5}$	Erweitern bedeutet multiplizieren: $\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}$
mit einer ungeeigneten Zahl kürzen	$\frac{6}{10}:4$	Kürze nur durch einen gemeinsamen Teiler, zum Beispiel $2$
verschieden große Ganze vergleichen	zwei verschieden große Pizzen	zuerst prüfen, ob das Ganze gleich groß ist

Visuelle Lernstrecke

Schritt 1: Sehen

Schau auf Bruchstreifen und Flächenbilder. Frage Dich: Ist dieselbe Fläche markiert?

$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}$

Schritt 2: Überlagern

Denk Dir die Darstellungen übereinander. Die innere Einteilung wird feiner oder gröber, aber die äußere Größe des markierten Anteils bleibt gleich.

Schritt 3: Rechnen

Erweitern:

$\frac{a}{b}\stackrel{\cdot k}{\to }\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$

Kürzen:

$\frac{a}{b}\stackrel{:d}{\to }\frac{a:d}{b:d}$

Schritt 4: Prüfen

Prüfe, ob dieselbe Zahl auf Zähler und Nenner angewendet wurde. Vergleiche zusätzlich mit einem Bild oder der Position auf dem Zahlenstrahl.

Lernvideos

Das folgende Video erklärt Erweitern und Kürzen mit Beispielen:

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Ein zweites Erklärvideo bietet weitere Rechenbeispiele und eine Wiederholung:

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Freie Medien und Lizenzhinweise

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien sind über ihre Dateiseiten mit Urheber- und Lizenzangaben dokumentiert. Besonders passend zu diesem aiMOOC sind:

1. Bruchstreifen, Free Art License.
2. Erweitern und Kürzen, CC0.
3. gleichwertige Brüche am Zahlenstrahl, CC BY-SA 4.0.
4. $\frac{4}{6}$ und $\frac{2}{3}$, CC BY-SA 4.0.
5. Bruchteile an einem Kuchenmodell, gemeinfrei.
6. animierte Viertel-Darstellung, gemeinfrei.
7. gleich große Ganze in unterschiedlichen Zerlegungen, unter anderem CC BY-SA 3.0.
8. Kreis in Viertel zerlegt, unter anderem CC BY-SA 3.0.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Aussage beschreibt gleichwertige Brüche? (Sie haben denselben Wert) (!Sie haben immer denselben Zähler) (!Sie haben immer denselben Nenner) (!Sie bestehen immer aus geraden Zahlen)

Welche Gleichung ist richtig? (1/2 = 2/4) (!1/2 = 2/3) (!1/2 = 3/4) (!1/2 = 4/6)

Was geschieht beim Erweitern eines Bruchs? (Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert) (!Nur der Zähler wird multipliziert) (!Nur der Nenner wird multipliziert) (!Zu Zähler und Nenner wird dieselbe Zahl addiert)

Was geschieht beim Kürzen eines Bruchs? (Zähler und Nenner werden durch denselben gemeinsamen Teiler dividiert) (!Nur der Zähler wird dividiert) (!Zähler und Nenner werden vertauscht) (!Der Nenner wird vergrößert)

Welche Erweiterung von 3/5 mit 4 ist richtig? (12/20) (!7/9) (!12/5) (!3/20)

Welche Kürzung von 12/18 mit 6 ist richtig? (2/3) (!6/12) (!2/18) (!12/3)

Was gilt auf dem Zahlenstrahl für gleichwertige Brüche? (Sie liegen am selben Punkt) (!Sie liegen immer nebeneinander) (!Der Bruch mit größerem Nenner liegt weiter rechts) (!Der Bruch mit größerem Zähler liegt immer weiter links)

Warum bleibt der Wert beim Erweitern gleich? (Weil Zähler und Nenner mit demselben Faktor verändert werden) (!Weil nur der Nenner wächst) (!Weil jede Multiplikation einen Bruch verkleinert) (!Weil der Zähler unverändert bleibt)

Wann ist ein Bruch vollständig gekürzt? (Zähler und Nenner haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1) (!Der Nenner ist gerade) (!Der Zähler ist kleiner als der Nenner) (!Zähler und Nenner sind gleich groß)

Welche Aussage zu 4/6 und 10/15 ist richtig? (Beide sind gleichwertig zu 2/3) (!Beide sind gleichwertig zu 1/2) (!Nur 4/6 kann gekürzt werden) (!Nur 10/15 liegt zwischen 0 und 1)

Memory

Gleichwertiger Bruch	gleicher Wert
Erweitern	multiplizieren mit gleichem Faktor
Kürzen	dividieren durch gemeinsamen Teiler
Zähler	Anzahl markierter Teile
Nenner	Anzahl gleich großer Teile
Erweiterungszahl	gemeinsamer Multiplikationsfaktor
Gemeinsamer Teiler	Kürzungszahl
Zahlenstrahl	gleicher Punkt bei gleicher Größe

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Erweitern	Zähler und Nenner mit demselben Faktor multiplizieren
Kürzen	Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler dividieren
Gleichwertigkeit	verschiedene Schreibweisen mit demselben Wert
Bruchstreifen	Anteil eines gleich langen Ganzen sichtbar machen
Zahlenstrahl	gleichwertige Brüche am selben Punkt darstellen

Kreuzworträtsel

Zähler	Wie heißt die Zahl über dem Bruchstrich?
Nenner	Wie heißt die Zahl unter dem Bruchstrich?
Erweitern	Wie heißt das Multiplizieren von Zähler und Nenner mit derselben Zahl?
Kürzen	Wie heißt das Dividieren von Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler?
Teiler	Wie heißt eine Zahl, durch die eine andere Zahl ohne Rest teilbar ist?
Gleichwertig	Wie nennt man Brüche, die denselben Wert haben?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Bruch nennt man die Zahl über dem Bruchstrich . Die Zahl unter dem Bruchstrich heißt . Gleichwertige Brüche besitzen denselben . Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit demselben multipliziert. Beim Kürzen werden beide Zahlen durch denselben gemeinsamen dividiert. Die Brüche ein Halb und zwei Viertel liegen auf dem Zahlenstrahl am selben . Durch das Erweitern wird die Einteilung eines Ganzen . Durch das Kürzen kann die Schreibweise eines Bruchs werden. Ein vollständig gekürzter Bruch hat keinen gemeinsamen Teiler größer als . Beim Vergleichen von Flächenbildern muss das dargestellte Ganze gleich sein.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Bruchstreifen: Zeichne drei gleich lange Bruchstreifen zu $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ und $\frac{4}{8}$. Markiere jeweils denselben Anteil und beschreibe Deine Beobachtung.
2. Faltmodell: Falte einen Papierstreifen zuerst in Hälften, dann in Viertel und Achtel. Fotografiere oder zeichne die Faltlinien und notiere die passende Bruchkette.
3. Flächenbild: Gestalte ein Rechteck, das gleichzeitig $\frac{3}{6}$ und $\frac{1}{2}$ sichtbar macht.
4. Fehlersuche: Erkläre, warum $\frac{2}{3}\ne \frac{4}{3}$, obwohl der Zähler verdoppelt wurde.

Standard

1. Zahlenstrahl: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $1$ und trage $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$, $\frac{3}{6}$ und $\frac{4}{8}$ ein. Erkläre die Überlagerung.
2. Erweitern von Brüchen: Erstelle eine visuelle Schrittfolge, in der $\frac{2}{5}$ mit $3$ erweitert wird. Zeige zuerst das Bild, dann die Rechnung.
3. Kürzen von Brüchen: Finde drei verschiedene Kürzungswege von $\frac{24}{36}$ bis zum vollständig gekürzten Bruch und vergleiche die Wege.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du mit Papier, Bausteinen oder einer Zeichnung erklärst, warum beim Erweitern Zähler und Nenner verändert werden müssen.

Schwer

1. Gleichwertige Brüche: Entwickle ein eigenes Kartenspiel mit mindestens zwölf Bruchkarten, bei dem immer mehrere gleichwertige Brüche zu einer Familie gehören. Begründe die Zuordnungen.
2. Transfer: Eine Schülerin behauptet: „Je größer der Nenner, desto größer der Bruch.“ Widerlege die Aussage mit mindestens zwei Bildern und passenden Rechnungen.
3. Beweisidee: Erkläre mit $\frac{k}{k}=1$, warum $\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}$ gilt. Formuliere die Erklärung so, dass sie ein Kind aus Klasse 5 verstehen kann.
4. Lernstation: Plane eine Lernstation aus Bruchstreifen, Faltmodell, Zahlenstrahl und Kürzungsaufgabe. Gib zu jeder Darstellung eine Kontrollmöglichkeit an.

Lernkontrolle

1. Darstellungen verknüpfen: Zeige mit einem Bruchstreifen und einer Rechnung, warum $\frac{3}{4}$ und $\frac{6}{8}$ gleichwertig sind. Erkläre, welche Information beide Darstellungen gemeinsam zeigen.
2. Fehleranalyse: Ein Schüler schreibt $\frac{5}{6}=\frac{10}{6}$ und nennt das Erweitern mit $2$. Analysiere den Fehler und verbessere den Rechenweg mit einer anschaulichen Begründung.
3. Strategievergleich: Vergleiche zwei Kürzungswege für $\frac{30}{45}$. Entscheide, welcher Weg effizienter ist, und begründe Deine Entscheidung.
4. Transfer auf den Zahlenstrahl: Ohne zuerst zu rechnen: Begründe, wo $\frac{4}{8}$ auf einer Zahlengeraden liegen muss. Bestätige anschließend durch Kürzen.
5. Eigene Regel: Formuliere aus einem Faltmodell eine Regel für das Erweitern. Prüfe Deine Regel an $\frac{3}{7}$ mit einem selbst gewählten Faktor.
6. Gegenbeispiel: Finde ein Beispiel, das zeigt, dass das Addieren derselben Zahl zu Zähler und Nenner den Bruchwert normalerweise verändert. Stelle Ausgangs- und Ergebnisbruch zusätzlich als Flächenbild dar.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Zusammenhänge sichtbar machst.

1. Du erkennst gleichwertige Brüche in mindestens zwei Darstellungen.
2. Du erklärst $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}$ an einem Modell.
3. Du erweiterst Brüche korrekt und notierst den gemeinsamen Faktor.
4. Du kürzt Brüche korrekt und verwendest einen gemeinsamen Teiler.
5. Du begründest, warum sich der Wert beim Erweitern oder Kürzen nicht verändert.
6. Du findest und verbesserst typische Fehler.
7. Du ordnest gleichwertige Brüche am Zahlenstrahl demselben Punkt zu.
8. Du kannst einen Bruch vollständig kürzen und Deinen Weg erklären.

Verknüpfte Lernbereiche

Bruchrechnung Bruch Zähler und Nenner Gleichwertige Brüche Erweitern von Brüchen Kürzen von Brüchen Zahlenstrahl Teiler Größter gemeinsamer Teiler