Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

M5 G - Natürliche Zahlen entdecken

Einleitung

Willkommen im aiMOOC M5 G - Natürliche Zahlen entdecken!

Natürliche Zahlen begegnen Dir überall: beim Zählen von Personen, beim Ablesen von Besucherzahlen, bei Stückzahlen in einem Lager, bei Entfernungen oder bei sehr großen Einwohnerzahlen. In diesem Kurs entdeckst Du natürliche Zahlen mit Bildern, Stellenwertmaterial, Zahlengeraden, Tabellen, Animationen und interaktiven Modellen. Du arbeitest kleinschrittig und kannst Dein Ergebnis immer wieder sofort überprüfen.

Für diesen Kurs verwenden wir die natürlichen Zahlen mit Null: $ℕ_{0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, \dots}$

Manchmal wird in Mathematikbüchern $ℕ$ auch ohne die Null verwendet. Deshalb ist es wichtig, immer zu prüfen, welche Vereinbarung gilt. Hier gilt: Die 0 gehört dazu.

Das lernst Du	Das kannst Du danach
Mengen erfassen	Du kannst Anzahlen zählen und als natürliche Zahl notieren.
Zahlen darstellen	Du kannst Zahlen mit Mengenbildern, Stellenwertmaterial und auf dem Zahlenstrahl darstellen.
Stellenwerte verstehen	Du erkennst Einer, Zehner, Hunderter, Tausender, Millionen und weitere Stellen.
Zahlen vergleichen	Du verwendest $<$ , $>$ und $=$ sicher.
Große Zahlen nutzen	Du kannst Zahlen aus Alltag und Wissenschaft lesen, ordnen und beschreiben.

Mengen sehen und zählen

Eine natürliche Zahl kann beschreiben, wie viele Dinge zu einer Menge gehören.

Mengenbild	Anzahl	Zahl
●	ein Punkt	$1$
● ● ●	drei Punkte	$3$
● ● ● ● ●	fünf Punkte	$5$
	kein Punkt	$0$

Die Zahl $0$ beschreibt hier: Es ist kein Element vorhanden.

Eine Zahl kann aus einer oder mehreren Ziffern bestehen. Es gibt genau zehn Dezimalziffern:

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

Aus diesen Ziffern können sehr viele Zahlen gebaut werden, zum Beispiel:

$7, 42, 508, 12 604, 8 000 000$

Merke: Eine Ziffer ist ein einzelnes Zeichen. Eine Zahl kann aus mehreren Ziffern bestehen.

Mengenbild-Training

Zähle zuerst ohne zu rechnen.

Bild	Deine Zahl
● ● ● ●	?
● ● ● ● ● ● ●	?
● ● ● ● ● ● ● ● ●	?

Sofort-Feedback anzeigen

Erste Menge: $4$
Zweite Menge: $7$
Dritte Menge: $9$

Natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Auf einem Zahlenstrahl werden Zahlen in gleichen Abständen angeordnet. Nach rechts werden die Zahlen größer.

Das Grundprinzip lautet:

$0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < \dots$

Eine Zahl weiter rechts ist größer. Eine Zahl weiter links ist kleiner.

Wichtig: Die Abstände zwischen zwei benachbarten Markierungen müssen immer gleich groß sein.

Dynamischer Zahlenstrahl

Bewege im interaktiven Modell die Markierung. Beobachte, wie sich die Zahl verändert.

Auftrag:

Stelle nacheinander $25$ , $250$ , $2500$ und $25 000$ ein.
Beobachte, wie sich die Skalierung verändert.
Erkläre mit einem Satz, warum ein Zahlenstrahl nicht immer jede einzelne natürliche Zahl beschriften kann.

Schrittweite erkennen

Bei einem Zahlenstrahl musst Du zuerst herausfinden, wie groß ein Schritt ist.

Beispiel:

$0, 100, 200, 300, 400, \dots$

Die Schrittweite beträgt:

$200 - 100 = 100$

Ein anderes Beispiel:

$5 000, 10 000, 15 000, 20 000, \dots$

Hier beträgt die Schrittweite:

$10 000 - 5 000 = 5 000$

Sofort-Check: Welche Zahl fehlt?

Bei $20, 40, ◻, 80$ ist die Schrittweite $20$ . Deshalb fehlt $60$ .

Vorgänger und Nachfolger

Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.

Für eine Zahl $n$ gilt:

$Nachfolger = n + 1$

Beispiel:

$7 \to 8$

$999 \to 1000$

Fast jede natürliche Zahl in $ℕ_{0}$ hat auch einen Vorgänger:

$Vorgänger = n - 1$

Beispiel:

$8 \to 7$

$1000 \to 999$

Die Zahl $0$ hat in $ℕ_{0}$ keinen natürlichen Vorgänger.

Nachbarschaft einer Zahl

Die Zahl $4 582$ liegt zwischen ihrem Vorgänger und ihrem Nachfolger:

$4 581 < 4 582 < 4 583$

Sofort-Check zu 90 000

Vorgänger: $89 999$
Zahl: $90 000$
Nachfolger: $90 001$

Das Dezimalsystem und Stellenwertmaterial

Unser Zahlensystem ist ein Dezimalsystem. Je zehn Einheiten einer Stelle ergeben eine Einheit der nächsten Stelle.

$10 Einer = 1 Zehner$

$10 Zehner = 1 Hunderter$

$10 Hunderter = 1 Tausender$

Mit Stellenwertmaterial kannst Du Zahlen sichtbar machen:

Einerwürfel stehen für $1$ .
Zehnerstangen stehen für $10$ .
Hunderterplatten stehen für $100$ .
Tausenderwürfel stehen für $1000$ .

Die Idee ist immer gleich:

$1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000, \dots$

Das sind Zehnerpotenzen:

$1 0^{0} = 1$

$1 0^{1} = 10$

$1 0^{2} = 100$

$1 0^{3} = 1000$

$1 0^{4} = 10 000$

Stellenwerte mit einem Abakus sehen

Bei einem Stellenwertsystem hängt der Wert einer Ziffer davon ab, wo sie steht.

In der Zahl $5 274$ bedeutet:

$5 \cdot 1000 = 5000$

$2 \cdot 100 = 200$

$7 \cdot 10 = 70$

$4 \cdot 1 = 4$

Also:

$5 274 = 5 000 + 200 + 70 + 4$

Die Stellenwerttafel

Eine Stellenwerttafel hilft Dir dabei, große Zahlen sicher zu lesen.

HM	ZM	M	HT	ZT	T	H	Z	E
Hundertmillionen	Zehnmillionen	Millionen	Hunderttausender	Zehntausender	Tausender	Hunderter	Zehner	Einer

Für die Zahl $307 042 615$ sieht die Belegung so aus:

HM	ZM	M	HT	ZT	T	H	Z	E
3	0	7	0	4	2	6	1	5

Die Nullen sind wichtig. Sie halten Stellen frei.

$307 042 615 = 3 \cdot 100 000 000 + 0 \cdot 10 000 000 + 7 \cdot 1 000 000 + 0 \cdot 100 000 + 4 \cdot 10 000 + 2 \cdot 1000 + 6 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 5$

Interaktive Stellenwerttafel

Verschiebe oder verändere die Ziffern. Beobachte, wie stark sich die Zahl verändert, wenn eine Ziffer eine Stelle nach links oder rechts wandert.

Entdeckerfrage: Was passiert mit dem Wert einer Ziffer, wenn sie um eine Stelle nach links verschoben wird?

$7 \to 70 \to 700 \to 7000$

Der Wert wird jeweils mit $10$ multipliziert.

Sofort-Feedback

Eine Stelle nach links bedeutet: $\cdot 10$ .
Eine Stelle nach rechts bedeutet: $: 10$ , sofern wir im Bereich ganzer Stellen bleiben.

Große Zahlen lesen

Große Zahlen werden übersichtlicher, wenn Du sie von rechts in Dreiergruppen gliederst.

Beispiel:

$12 345 678$

Du kannst die Zahl so lesen:

zwölf Millionen dreihundertfünfundvierzigtausend sechshundertachtundsiebzig

Die Dreiergruppen helfen:

$12 ∣ 345 ∣ 678$

Gruppe	Bedeutung
$678$	Einergruppe
$345$	Tausendergruppe
$12$	Millionengruppe

Noch größer:

$1 000 = 1 0^{3}$

$1 000 000 = 1 0^{6}$

$1 000 000 000 = 1 0^{9}$

$1 000 000 000 000 = 1 0^{12}$

Im Deutschen heißen diese Zahlen:

Zahl	Name
$1 0^{3}$	Tausend
$1 0^{6}$	Million
$1 0^{9}$	Milliarde
$1 0^{12}$	Billion

Große Zahlen aus Alltag und Wissenschaft

Große natürliche Zahlen helfen uns, reale Mengen und Entfernungen zu beschreiben.

Einwohnerzahlen

Nimm diese Beispieldaten für zwei Städte:

Stadt	Einwohnerzahl
Stadt Nord	$128 450$
Stadt Süd	$127 980$

Vergleich:

$128 450 > 127 980$

Stadt Nord hat in diesem Beispiel mehr Einwohner.

Die Karte zeigt Größenklassen von Bevölkerungszahlen und macht sichtbar, warum wir Millionen und Milliarden benötigen. Sie ist eine historische Darstellung und nicht für aktuelle Einwohnerzahlen gedacht.

Entfernungen: Erde und Mond

Die mittlere Entfernung zwischen Erde und Mond beträgt ungefähr:

$384 400 km$

Die große Zahl $384 400$ kann in Stellenwerte zerlegt werden:

$384 400 = 3 \cdot 100 000 + 8 \cdot 10 000 + 4 \cdot 1000 + 4 \cdot 100$

Die Nullen an Zehner- und Einerstelle zeigen, dass dort kein zusätzlicher Wert steht.

Freie Animation zur großen Entfernung

Datei:Earth and Moon Size and Distance scale - with real-time light speed!.webm

Beobachte in der Animation:

Wie klein Erde und Mond im Vergleich zur Entfernung wirken.
Welche große Zahl für die Entfernung angegeben wird.
Warum eine reine Zahl ohne Einheit wenig aussagt.

Besucherzahlen

Ein Museum meldet für vier Wochen diese Beispieldaten:

Woche	Besucher
A	$12 480$
B	$11 905$
C	$13 102$
D	$12 099$

Ordne die Besucherzahlen vom kleinsten zum größten Wert:

$11 905 < 12 099 < 12 480 < 13 102$

Stückzahlen

Ein Lager enthält:

$245 000$ Schrauben,

$38 500$ Muttern und

$6 250$ Unterlegscheiben.

Alle drei Angaben sind natürliche Zahlen. Sie beschreiben Anzahlen von Gegenständen.

Zahlen vergleichen

Zum Vergleichen brauchst Du drei Zeichen:

$<$ bedeutet kleiner als.

$>$ bedeutet größer als.

$=$ bedeutet gleich.

Beispiele:

$48 < 52$

$700 > 699$

$12 500 = 12 500$

Strategie 1: Anzahl der Stellen vergleichen

$9 999$ hat vier Stellen.

$10 000$ hat fünf Stellen.

Deshalb gilt:

$9 999 < 10 000$

Bei natürlichen Zahlen ohne führende Nullen ist eine Zahl mit mehr Stellen größer.

Strategie 2: Von links nach rechts vergleichen

Vergleiche:

$483 721$ und $483 615$

Die ersten drei Ziffern sind gleich:

$483$

Dann vergleichen wir die nächste Stelle:

$7 > 6$

Deshalb:

$483 721 > 483 615$

Interaktives Vergleichen auf dem Zahlenstrahl

Sofort-Check: Vergleiche 74 205 und 74 250

Die Zehntausender, Tausender und Hunderter sind gleich. Bei den Zehnern gilt $0 < 5$ . Deshalb ist $74 205 < 74 250$ .

Zahlen ordnen

Beim Ordnen werden mehrere Zahlen der Größe nach sortiert.

Aufsteigend bedeutet: von klein nach groß.

$125 < 800 < 2 400 < 9 999$

Absteigend bedeutet: von groß nach klein.

$9 999 > 2 400 > 800 > 125$

Eine sichere Methode:

Vergleiche zuerst die Anzahl der Stellen.
Bei gleich vielen Stellen vergleichst Du von links nach rechts.
Finde die erste Stelle, an der sich die Zahlen unterscheiden.
Ordne nach dieser Stelle.

Schritt-für-Schritt-Beispiel

Ordne:

$45 700, 45 070, 40 750, 47 500$

Schritt 1: Alle Zahlen haben fünf Stellen.

Schritt 2: Die Zehntausenderstelle ist bei allen $4$ .

Schritt 3: Vergleiche die Tausenderstelle:

$0 < 5 < 7$

Schritt 4: Die beiden Zahlen mit $5$ Tausendern werden weiter verglichen:

$45 070 < 45 700$

Ergebnis:

$40 750 < 45 070 < 45 700 < 47 500$

Zahlen beschreiben statt nur nennen

Eine Zahl kann auf verschiedene Weise beschrieben werden.

Beispiel:

$506 340$

Du kannst sagen:

Die Zahl hat sechs Stellen.
Die größte Stelle ist die Hunderttausenderstelle.
Die Ziffer $5$ hat den Wert $500 000$ .
Die Ziffer $6$ hat den Wert $6 000$ .
An der Zehntausenderstelle steht $0$ .
Die Zahl liegt zwischen $506 000$ und $507 000$ .

Die ausführliche Zerlegung lautet:

$506 340 = 500 000 + 6 000 + 300 + 40$

Interaktive Entdeckung: Zahlen in der Stellenwerttabelle

Typische Fehler vermeiden

Typischer Fehler	So denkst Du richtig
Ziffer und Zahl werden verwechselt.	Die Ziffer $7$ ist ein Zeichen. Die Zahl $7 407$ besteht aus mehreren Ziffern.
Eine Null wird einfach weggelassen.	In $50 204$ halten Nullen Stellen frei.
Große Zahlen werden von links ungegliedert gelesen.	Teile von rechts in Dreiergruppen: $12 ∣ 345 ∣ 678$ .
Auf dem Zahlenstrahl werden ungleiche Abstände verwendet.	Gleiche Zahlenschritte brauchen gleiche grafische Abstände.
Beim Vergleichen wird nur auf die letzte Ziffer geschaut.	Vergleiche zuerst die Stellenzahl und danach von links nach rechts.

Lernweg im Überblick

Schritt	Frage	Werkzeug
Mengen erfassen	Wie viele sind es?	Mengenbild
Zahl darstellen	Welche Zahl passt?	Ziffern und Stellenwertmaterial
Zahl einordnen	Wo liegt sie?	Zahlenstrahl
Zahl zerlegen	Welchen Wert hat jede Ziffer?	Stellenwerttafel
Zahl vergleichen	Welche ist größer?	$<, >, =$
Zahl anwenden	Was beschreibt sie?	Einwohner, Entfernung, Besucher, Stückzahlen

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl gehört zu den natürlichen Zahlen? (508) (!minus 3) (!zwei Komma fünf) (!ein Halb)

Was beschreibt die Zahl 0 bei einer leeren Menge? (Es ist kein Element vorhanden) (!Es sind zehn Elemente vorhanden) (!Die Menge ist unendlich groß) (!Die Menge enthält eine negative Anzahl)

Welchen Wert hat die Ziffer 7 in der Zahl 47 215? (7000) (!700) (!70) (!7)

Welche Zahl ist größer? (72 150) (!72 105) (!71 999) (!70 250)

Wie lautet der Nachfolger von 9 999? (10 000) (!9 998) (!9 990) (!10 001)

Wie lautet der Vorgänger von 50 000? (49 999) (!50 001) (!49 000) (!40 999)

Was geschieht mit dem Wert einer Ziffer, wenn sie im Dezimalsystem eine Stelle nach links rückt? (Der Wert wird zehnmal so groß) (!Der Wert wird halbiert) (!Der Wert bleibt gleich) (!Der Wert wird um eins kleiner)

Welche Aussage über den Zahlenstrahl ist richtig? (Weiter rechts liegen größere natürliche Zahlen) (!Weiter rechts liegen kleinere natürliche Zahlen) (!Die Abstände dürfen beliebig sein) (!Jede natürliche Zahl liegt an derselben Stelle)

Welche Schreibweise ordnet die Zahlen aufsteigend? (305 kleiner 350 kleiner 503) (!503 kleiner 350 kleiner 305) (!350 kleiner 305 kleiner 503) (!503 kleiner 305 kleiner 350)

Welche Größenordnung passt ungefähr zur mittleren Entfernung zwischen Erde und Mond? (384 400 Kilometer) (!384 Kilometer) (!3 844 Kilometer) (!38 Kilometer)

Memory

Ziffer	Zeichen von null bis neun
Zahl	aus Ziffern gebildeter Wert
Einer	Wert eins
Zehner	Wert zehn
Hunderter	Wert hundert
Tausender	Wert tausend
Vorgänger	direkt kleinere natürliche Nachbarzahl
Nachfolger	direkt größere natürliche Nachbarzahl

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Einerstelle	Einer
Zehnerstelle	Zehner
Hunderterstelle	Hunderter
Tausenderstelle	Tausender
Millionenstelle	Million

Kreuzworträtsel

Zahlenstrahl	Wie heißt die Darstellung, auf der Zahlen der Größe nach angeordnet werden?
Stellenwert	Wie heißt der Wert, den eine Ziffer durch ihre Position erhält?
Nachfolger	Wie heißt die direkt größere natürliche Nachbarzahl?
Vorgaenger	Wie heißt die direkt kleinere natürliche Nachbarzahl?
Million	Wie heißt die Zahlengröße mit sechs Nullen?
Ziffer	Wie heißt ein einzelnes Zeichen von null bis neun?

LearningApps

Lückentext

Natürliche Zahlen werden unter anderem zum

verwendet.

Die Zahl

kann eine leere Menge beschreiben.

Auf dem Zahlenstrahl werden Zahlen nach rechts immer

.

Der direkt größere Nachbar einer natürlichen Zahl heißt

.

Im Dezimalsystem ergeben zehn Einer einen

.

Der Wert einer Ziffer hängt von ihrem

ab.

Große Zahlen können von rechts in

gegliedert werden.

Das Zeichen größer als wird zum

von Zahlen verwendet.

Einwohnerzahlen und Stückzahlen sind Beispiele für

.

Die mittlere Entfernung zwischen Erde und Mond wird ungefähr in

angegeben.

Offene Aufgaben

Leicht

Mengenbild: Lege mit Knöpfen, Bausteinen oder Papierpunkten fünf verschiedene Mengen. Fotografiere oder zeichne jede Menge und notiere die passende natürliche Zahl.
Zahlenstrahl: Zeichne einen Zahlenstrahl von $0$ bis $100$ mit Schrittweite $10$ . Markiere anschließend $20$ , $50$ und $90$ .
Stellenwerttafel: Wähle drei fünfstellige Zahlen und trage sie in eine selbst gezeichnete Stellenwerttafel ein.
Zahlen im Alltag: Suche zu Hause oder in der Schule fünf natürliche Zahlen, zum Beispiel auf Verpackungen, Raumplänen oder Anzeigen. Erkläre jeweils, was die Zahl beschreibt.

Standard

Einwohnerzahlen: Recherchiere die Einwohnerzahlen von drei Orten aus einer verlässlichen Quelle. Notiere das Datum der Quelle und ordne die Zahlen aufsteigend.
Besucherzahlen: Erfinde eine realistische Tabelle mit Besucherzahlen für vier Tage. Erstelle dazu eine Rangfolge und erkläre, wie Du verglichen hast.
Entfernungen: Vergleiche drei große Entfernungen, zum Beispiel zwischen Städten oder Himmelskörpern. Stelle die Zahlen in einer Stellenwerttafel dar.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes eigenes Lernvideo zum Unterschied zwischen Ziffer und Zahl. Verwende mindestens ein Mengenbild und eine Stellenwerttafel.

Schwer

Datenvergleich: Sammle mindestens acht natürliche Zahlen aus einem echten Datensatz, zum Beispiel Einwohnerzahlen oder Besucherzahlen. Ordne sie und beschreibe auffällige Größenunterschiede.
GeoGebra: Erstelle einen eigenen dynamischen Zahlenstrahl mit einem verschiebbaren Punkt und einer veränderbaren Schrittweite. Teste ihn mit Mitschülerinnen und Mitschülern.
Fehleranalyse: Erfinde drei typische Fehler beim Lesen oder Vergleichen großer Zahlen. Erstelle jeweils ein falsches Beispiel, eine Erklärung und eine richtige Lösung.
OER-Infografik: Gestalte eine frei lizenzierte Infografik zum Stellenwertsystem. Verwende nur eigenes Material oder frei lizenzierte Medien und gib die Lizenz korrekt an.

Lernkontrolle

Stellenwert verstehen: Eine Schülerin behauptet, die Ziffer $4$ habe in jeder Zahl den Wert vier. Widerlege die Aussage mit zwei selbst gewählten Beispielen und erkläre den Stellenwert.
Zahlen vergleichen: Zwei Städte haben $408 950$ und $409 005$ Einwohner. Erkläre ohne Taschenrechner, welche Zahl größer ist und an welcher Stelle die Entscheidung fällt.
Zahlenstrahl übertragen: Auf einem Zahlenstrahl liegen die Markierungen $20 000$ und $50 000$ drei gleich große Schritte auseinander. Bestimme die Schrittweite und beschreibe Deinen Denkweg.
Alltagsdaten beurteilen: Ein Plakat nennt für ein kleines Klassenzimmer eine Besucherzahl von $2 500 000$ an einem Tag. Beurteile, ob die Angabe plausibel ist, und begründe mit einer passenden Größenordnung.
Darstellungen verbinden: Stelle die Zahl $304 070$ als Zahl, in einer Stellenwerttafel, als Zerlegung und mit einer ungefähren Position auf einem Zahlenstrahl von $0$ bis $500 000$ dar.
Transferaufgabe große Zahlen: Erkläre, warum die Zahl $384 400$ bei einer Entfernung eine andere Bedeutung hat als dieselbe Zahl bei einer Stückzahl. Gehe auf Einheit und Sachzusammenhang ein.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig, dass Du zeigen kannst:

Natürliche Zahlen sicher als Anzahlen erkennen und verwenden.
Ziffer und Zahl voneinander unterscheiden.
Zahlenstrahl lesen, passende Schrittweiten erkennen und Zahlen eintragen.
Vorgänger und Nachfolger bestimmen.
Stellenwertsystem bis mindestens in den Millionenbereich nutzen.
Zerlegung einer Zahl als Summe ihrer Stellenwerte darstellen.
Große Zahlen lesen und in Dreiergruppen gliedern.
Zahlen vergleichen mit $<$ , $>$ und $=$ .
Zahlen ordnen aufsteigend und absteigend.
Sachzusammenhang einer natürlichen Zahl erklären, zum Beispiel Einwohnerzahl, Entfernung, Besucherzahl oder Stückzahl.
Plausibilität großer Zahlen in einfachen Alltagssituationen beurteilen.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel bietet eine weiterführende mathematische Einordnung der natürlichen Zahlen. Beachte dort besonders, dass es unterschiedliche Vereinbarungen dazu gibt, ob die Null zu $ℕ$ gehört.

Freie und interaktive Medien dieses Kurses

Die direkt eingebetteten Bilder und Animationen stammen aus Wikimedia Commons. Die jeweilige Dateiseite enthält Urheber- und Lizenzangaben. Die interaktiven Zahlenmodelle stammen aus GeoGebra und wurden passend zu natürlichen Zahlen und zur Schulstufe 5 bis 6 ausgewählt.