M5 M - Schriftlich dividieren

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

M5 M - Schriftlich dividieren

Zielgruppe	Niveau	Schwerpunkt	Selbstkontrolle
Klasse 5	M-Niveau	Schriftliche Division, Stellenwertsystem, Multiplikation	Überschlag, Probe, Fehleranalyse

Dieser aiMOOC trainiert das schriftliche Dividieren mit natürlichen Zahlen. Du lernst nicht nur ein Rechenschema, sondern verstehst, warum jeder Teilungsschritt funktioniert. Besonders wichtig sind dabei der Stellenwert, die Verbindung zur Multiplikation und die Kontrolle mit Überschlag und Probe.

Einleitung

Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation. Beim schriftlichen Dividieren wird eine große Aufgabe in kleine, kontrollierbare Schritte zerlegt.

$\text{Dividend}:\text{Divisor}=\text{Quotient}$

Bei einer Division mit Rest gilt:

$\text{Dividend}=\text{Divisor}\cdot \text{Quotient}+\text{Rest}$

Dabei muss immer gelten:

$0\le \text{Rest}<\text{Divisor}$

Wichtig: Durch $0$ darf nicht dividiert werden.

Die Animation veranschaulicht Division als gleichmäßiges Verteilen. Übertrage die Idee auf $20:4=5$: Vier gleich große Gruppen enthalten jeweils fünf Elemente.

Fachwort	Bedeutung	Beispiel bei $972:4=243$
Dividend	Zahl, die geteilt wird	$972$
Divisor	Zahl, durch die geteilt wird	$4$
Quotient	Ergebnis der Division	$243$
Rest	Zahl, die nach dem letzten Teilungsschritt übrig bleibt	$0$

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du ...	Woran Du es erkennst
schriftliche Division sicher ausführen	Du kannst die Schritte Teilen – Multiplizieren – Subtrahieren – Herunterholen richtig wiederholen.
Stellenwerte beachten	Du kannst erklären, warum ein Resthunderter in zehn Zehner umgetauscht werden kann.
Division mit Multiplikation verbinden	Du kannst eine Division durch eine passende Multiplikation prüfen.
Ergebnisse abschätzen	Du findest eine nahe, gut teilbare Zahl für den Überschlag.
Fehler selbst finden	Du erkennst fehlende Nullen, zu große Quotientenziffern und unzulässige Reste.

Division als Teilen und Messen

Eine Division kann zwei Vorstellungen haben:

Vorstellung	Frage	Beispiel
Teilen	Wie groß ist jede Gruppe?	$24:6=4$: 24 Dinge werden auf 6 Gruppen verteilt.
Messen	Wie oft passt der Divisor in den Dividend?	$24:6=4$: Die 6 passt viermal in 24.

Auf einer Zahlengeraden kannst Du Division als wiederholtes Springen oder wiederholtes Subtrahieren verstehen. Bei $24:6$ führen vier Sprünge der Länge $6$ von $0$ bis $24$.

Dynamische Zahlengerade: Verändere Dividend und Divisor und beobachte, wie sich die Anzahl der Sprünge verändert.

Stellenwert verstehen: Warum wird heruntergeholt?

Unser Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem:

$1\text{Hunderter}=10\text{Zehner}$

$1\text{Zehner}=10\text{Einer}$

Betrachte $972:4$. Die Zahl $972$ besteht aus:

Hunderter	Zehner	Einer
$9$	$7$	$2$

Zuerst werden $9$ Hunderter durch $4$ geteilt. Jede Gruppe erhält $2$ Hunderter. Ein Hunderter bleibt übrig. Dieser eine Hunderter wird in $10$ Zehner umgetauscht. Zusammen mit den vorhandenen $7$ Zehnern entstehen $17$ Zehner.

$9=4\cdot 2+1$

$1\text{Hunderter}+7\text{Zehner}=17\text{Zehner}$

Danach gilt:

$17=4\cdot 4+1$

Der verbleibende eine Zehner wird in zehn Einer umgetauscht. Mit den zwei vorhandenen Einern entstehen $12$ Einer.

$12=4\cdot 3$

Damit ist:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{972:4=243}}

Interaktives Stellenwertmodell: Ordne gedanklich beim Rechnen immer den Rest zum nächstkleineren Stellenwert um.

Ordne den Stellenwertschritt zu.	Bedeutung
Resthunderter	wird in Zehner umgetauscht
Restzehner	wird in Einer umgetauscht
Herunterholen	verbindet den umgetauschten Rest mit der nächsten Ziffer
Quotientenziffer	steht an dem Stellenwert, der gerade geteilt wird

Interaktive Stellenwert-Tabelle:

Der Rechenweg: Teilen – Multiplizieren – Subtrahieren – Herunterholen

Merke Dir die wiederkehrende Schleife T–M–S–H:

Schritt	Leitfrage	Mathematische Bedeutung
Teilen	Wie oft passt der Divisor hinein?	nächste Quotientenziffer bestimmen
Multiplizieren	Wie viel wurde dadurch verteilt?	$\text{Divisor}\cdot \text{Quotientenziffer}$
Subtrahieren	Was bleibt übrig?	Rest des aktuellen Teils bestimmen
Herunterholen	Welche Ziffer kommt als Nächstes dazu?	Rest in den nächstkleineren Stellenwert übertragen

Beobachte die Animation mehrmals. Versuche dabei, jeden sichtbaren Teil des Rechenwegs einem der vier Schritte T–M–S–H zuzuordnen.

Schritt-für-Schritt-Beispiel: $972:4$

Schritt	betrachteter Teil	Rechnung	Quotient wächst
1	$9$ Hunderter	$9:4=2$ mit Rest $1$; $2\cdot 4=8$; $9-8=1$	$2\mathrm{\_}\mathrm{\_}$
2	$17$ Zehner	$17:4=4$ mit Rest $1$; $4\cdot 4=16$; $17-16=1$	$24\mathrm{\_}$
3	$12$ Einer	$12:4=3$; $3\cdot 4=12$; Rest $0$	$243$

Als Rechenstruktur:

$\begin{array}{ccc}972:4& =& 243\\ 9-8& =& 1\\ 17-16& =& 1\\ 12-12& =& 0\end{array}$

Die Quotientenziffern $2$, $4$ und $3$ gehören zu Hundertern, Zehnern und Einern. Genau deshalb ist die Stellenwertordnung so wichtig.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Die wichtige Null im Quotienten

Bei $824:4$ entsteht in der Zehnerstelle eine Null:

Stelle	Teilung	Was passiert?
Hunderter	$8:4=2$	Die Hunderterziffer des Quotienten ist $2$.
Zehner	$2:4=0$	In der Zehnerstelle muss $0$ stehen.
Einer nach dem Herunterholen	$24:4=6$	Die Einerziffer ist $6$.

Also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{824:4=206}}

Nicht richtig wäre $26$, denn dort würden die Stellenwerte verschoben. Die Probe zeigt den Fehler sofort:

$26\cdot 4=104\ne 824$

$206\cdot 4=824$

Division mit Rest

Nicht jede Division geht ohne Rest auf. Beispiel:

$1573:6=262\text{Rest}1$

Denn:

$6\cdot 262=1572$

und

$1573-1572=1$

Der Rest ist erlaubt, weil:

$0\le 1<6$

Merksatz: Ist der Rest mindestens so groß wie der Divisor, ist der Teilungsschritt noch nicht fertig.

Interaktive Übung zur Division mit Rest:

Zusammenhang mit der Multiplikation

Division und Multiplikation gehören zusammen:

$864:4=216$

genau dann, wenn

$216\cdot 4=864$.

Das kleine Einmaleins hilft Dir bei jeder Quotientenziffer. Wenn Du zum Beispiel $23:5$ im schriftlichen Verfahren bearbeiten musst, suchst Du das größte Vielfache von $5$, das nicht größer als $23$ ist:

$4\cdot 5=20$

aber

$5\cdot 5=25>23$.

Deshalb ist die passende Quotientenziffer $4$.

Die Probe: Dein eingebauter Fehlercheck

Ohne Rest:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Divisor}\cdot\text{Quotient}=\text{Dividend}}}

Mit Rest:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Divisor}\cdot\text{Quotient}+\text{Rest}=\text{Dividend}}}

Beispiel:

$1573:6=262\text{Rest}1$

Probe:

$6\cdot 262+1=1572+1=1573$

Interaktive Probe mit Rest:

Überschlag: Ist das Ergebnis überhaupt plausibel?

Ein Überschlag ist keine genaue Rechnung. Du suchst eine nahe Zahl, die sich leicht durch den Divisor teilen lässt.

Beispiel:

$2418:6$

Nahe und gut teilbar ist $2400$:

$2400:6=400$

Das genaue Ergebnis $403$ liegt nahe bei $400$. Das ist plausibel.

Noch ein Beispiel:

$1785:5$

Überschlag:

$1800:5=360$

Genau:

$1785:5=357$

Auch hier liegen Überschlag und Ergebnis nah beieinander.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Drei-Stufen-Selbstkontrolle:

Kontrolle	Frage an Dich	Beispiel
Überschlag	In welcher Größenordnung muss das Ergebnis liegen?	$2418:6\approx 400$
Schriftliche Rechnung	Habe ich T–M–S–H sauber ausgeführt?	$2418:6=403$
Probe	Führt Quotient mal Divisor zurück zum Dividend?	$403\cdot 6=2418$

Fehlerdetektiv: typische Denkfehler erkennen

Fehler sind nützlich, wenn Du sie erklären kannst. Prüfe zuerst den Stellenwert, dann das Vielfache des Divisors, dann den Rest und zum Schluss die Probe.

Fehlerbild	Passende Diagnose
Null im Quotienten fehlt	Stellenwertfehler
Quotientenziffer ist zu groß	das gewählte Vielfache überschreitet den aktuellen Teil
Rest ist mindestens so groß wie der Divisor	der Teilungsschritt ist noch nicht vollständig
Probe ohne vorhandenen Rest	Rest wurde bei der Rückrechnung vergessen
Nächste Ziffer falsch angefügt	Herunterholen wurde nicht stellenwertgerecht ausgeführt

Beispiel 1:

$824:4=26$

Die Rechnung kann nicht stimmen, weil die Null in der Zehnerstelle fehlt.

Beispiel 2:

Für den aktuellen Teil $23$ bei Divisor $5$ wird die Quotientenziffer $5$ gewählt. Das ist zu groß, denn $5\cdot 5=25>23$. Richtig ist die Quotientenziffer $4$.

Beispiel 3:

Bei Divisor $6$ bleibt nach einem Schritt Rest $7$. Das ist unmöglich als fertiger Rest, weil $7\ge 6$.

Interaktive Fehleranalyse für Schulstufe 5–6:

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Rechenstrategie für das M-Niveau

Arbeite bei jeder Aufgabe in derselben Reihenfolge:

Phase	Handlung	Selbstfrage
Vorbereiten	Dividend und Divisor markieren, Überschlag bilden	Wie groß sollte der Quotient ungefähr sein?
Rechnen	T–M–S–H wiederholen	Welche Quotientenziffer passt jetzt?
Stellenwert prüfen	jede Quotientenziffer an der richtigen Stelle notieren	Fehlt vielleicht eine Null?
Kontrollieren	Restbedingung und Probe nutzen	Ist der Rest kleiner als der Divisor und stimmt die Rückrechnung?

Training A: sicher werden

Berechne schriftlich und mache anschließend die Probe.

Aufgabe	Ergebnis zur Selbstkontrolle
$864:4$	$216$
$936:3$	$312$
$1728:6$	$288$
$2448:8$	$306$
$3150:7$	$450$

Training B: Null und Rest beachten

Aufgabe	Ergebnis zur Selbstkontrolle
$824:4$	$206$
$1206:6$	$201$
$1573:6$	$262$ Rest $1$
$2507:8$	$313$ Rest $3$
$4305:5$	$861$

Training C: M-Plus-Herausforderung

Wenn Du die Grundschritte sicher beherrschst, kannst Du den gleichen Algorithmus auch mit zweistelligen Divisoren anwenden. Der Kern bleibt T–M–S–H.

Aufgabe	Ergebnis zur Selbstkontrolle
$2736:12$	$228$
$4752:18$	$264$
$6240:24$	$260$
$7315:25$	$292$ Rest $15$
$9828:36$	$273$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie heißt bei einer Division die Zahl, durch die geteilt wird? (Divisor) (!Dividend) (!Quotient) (!Rest)

Welcher Schritt folgt im T–M–S–H-Schema direkt auf das Teilen? (Multiplizieren) (!Herunterholen) (!Runden) (!Addieren)

Welche Bedingung muss ein fertiger Rest erfüllen? (Der Rest ist kleiner als der Divisor) (!Der Rest ist größer als der Dividend) (!Der Rest ist immer gleich null) (!Der Rest ist größer als der Divisor)

Warum steht bei 824 geteilt durch 4 im Quotienten eine Null an der Zehnerstelle? (Weil zwei Zehner keine volle Vierergruppe bilden) (!Weil jede Division eine Null enthalten muss) (!Weil der Dividend auf vier endet) (!Weil der Divisor gerade ist)

Welche Aussage beschreibt den Zusammenhang von Division und Multiplikation richtig? (Division ist die Umkehroperation der Multiplikation) (!Division ist dasselbe wie Addition) (!Multiplikation ist die Umkehroperation der Subtraktion) (!Division verändert keine Zahl)

Welche Probe passt zu 1573 geteilt durch 6 gleich 262 Rest 1? (6 mal 262 plus 1 ergibt 1573) (!6 plus 262 plus 1 ergibt 1573) (!262 geteilt durch 6 ergibt 1573) (!6 mal 262 ergibt 1573)

Welcher Überschlag passt gut zu 2418 geteilt durch 6? (2400 geteilt durch 6 ergibt 400) (!24 geteilt durch 6 ergibt 40) (!3000 geteilt durch 6 ergibt 50) (!2418 geteilt durch 2 ergibt 400)

Welches Ergebnis ist für 3150 geteilt durch 7 richtig? (450) (!45) (!405) (!540)

Was prüfst Du besonders, wenn im Quotienten eine Stelle den Wert null hat? (Ob die Null an der richtigen Stellenwertposition notiert wurde) (!Ob der Divisor auf null geändert werden kann) (!Ob der Dividend gestrichen werden darf) (!Ob die Probe weggelassen werden kann)

Durch welche Zahl darf nicht dividiert werden? (Null) (!Eins) (!Zwei) (!Zehn)

Memory

Dividend	zu teilende Zahl
Divisor	Zahl, durch die geteilt wird
Quotient	Ergebnis der Division
Rest	übrigbleibender Teil kleiner als der Divisor
Überschlag	grobe Größenkontrolle
Probe	Rückkontrolle durch Multiplikation
Stellenwert	Position einer Ziffer im Dezimalsystem

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Teilen	passende Quotientenziffer bestimmen
Multiplizieren	Quotientenziffer mit dem Divisor verknüpfen
Subtrahieren	aktuellen Rest bestimmen
Herunterholen	nächste Stelle mit dem Rest verbinden
Prüfen	Ergebnis durch Überschlag und Probe kontrollieren

Kreuzworträtsel

Dividend	Wie heißt die Zahl, die geteilt wird?
Divisor	Wie heißt die Zahl, durch die geteilt wird?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Stellenwert	Wie nennt man die Bedeutung einer Ziffer aufgrund ihrer Position?
Überschlag	Wie heißt die grobe Rechnung zur Größenkontrolle?
Multiplikation	Welche Rechenart nutzt Du für die Probe einer Division?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Zahl, die geteilt wird, heißt .

Die Zahl, durch die geteilt wird, heißt .

Das Ergebnis einer Division heißt .

Beim schriftlichen Dividieren hilft die Reihenfolge Teilen, Multiplizieren, Subtrahieren und .

Ein übriggebliebener Hunderter kann in zehn umgetauscht werden.

Die Division ist die Umkehroperation der .

Bei einer Division mit Rest muss der Rest kleiner als der sein.

Mit einem kontrollierst Du die ungefähre Größe des Ergebnisses.

Bei der Probe mit Rest wird zum Produkt aus Divisor und Quotient der addiert.

Wenn an einer Quotientenstelle keine volle Gruppe entsteht, kann dort eine nötig sein.

Durch die Zahl darf nicht dividiert werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Stellenwertsystem: Lege mit selbst gezeichneten Hunderter-, Zehner- und Einerkarten die Zahl 972 und erkläre mit Fotos oder Skizzen, wie beim Teilen durch 4 umgetauscht wird.
2. Multiplikation: Erstelle zu fünf Divisionsaufgaben jeweils die passende Malaufgabe für die Probe.
3. Überschlagsrechnung: Finde zu sechs Divisionsaufgaben jeweils eine nahe, gut teilbare Zahl und begründe Deinen Überschlag.
4. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche schriftliche Division mit genau einem Fehler und markiere die Stelle, an der der Fehler entsteht.

Standard

1. Schriftliche Division: Erstelle ein Lernplakat zum T–M–S–H-Schema mit einem vollständig kommentierten Beispiel.
2. Zahlengerade: Zeichne für eine passende Division eine Zahlengerade und erkläre die Division als wiederholtes Springen.
3. Probe: Rechne drei Aufgaben mit Rest und zeige jeweils, wie die Probe den Rest einbezieht.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zu 824 geteilt durch 4 und erkläre besonders die Null im Quotienten.

Schwer

1. Algorithmus: Vergleiche zwei schriftliche Divisionen und untersuche, an welchen Stellen der Stellenwertwechsel den Rechenweg bestimmt.
2. Sachaufgabe: Erfinde eine Alltagssituation zu einer Division mit Rest und erkläre, was der Rest in der Situation bedeutet.
3. Mathematische Argumentation: Begründe allgemein, warum ein fertiger Rest niemals größer oder gleich dem Divisor sein kann.
4. Lernprodukt: Entwickle eine interaktive Fehlerdetektiv-Aufgabe mit mindestens vier typischen Fehlerarten und einer Selbstkontrolle durch Probe und Überschlag.

Lernkontrolle

1. Stellenwertsystem: Erkläre an $972:4$, warum aus einem Resthunderter zusammen mit sieben Zehnern siebzehn Zehner werden. Nutze eine Skizze oder eine Stellenwerttafel.
2. Fehleranalyse: Jemand rechnet $824:4=26$. Erkläre den Denkfehler, korrigiere die Rechnung und zeige mit einer Probe, warum $206$ richtig ist.
3. Überschlagsrechnung: Für $3984:8$ behauptet jemand, der Quotient sei ungefähr $50$. Beurteile die Behauptung mithilfe eines geeigneten Überschlags und begründe Deine Entscheidung.
4. Division mit Rest: Erfinde eine Division mit Rest, bei der der Rest $5$ ist. Zeige, wie Du sicherstellst, dass der Rest zulässig ist, und führe die Probe durch.
5. Multiplikation: Erkläre, warum die Suche nach der nächsten Quotientenziffer immer eine Multiplikationsfrage enthält. Verwende ein selbst gewähltes Zahlenbeispiel.
6. Transfer: Vergleiche $2400:6$ und $2418:6$. Erkläre, warum die erste Aufgabe als Überschlag für die zweite geeignet ist und was Du aus der Differenz der Dividenden über die Quotienten erwarten kannst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse notierst, sondern den Rechenweg nachvollziehbar machst.

1. Du verwendest die Fachbegriffe Dividend, Divisor, Quotient und Rest korrekt.
2. Du führst T–M–S–H bei mehrstelligen Dividenden sicher aus.
3. Du ordnest jede Quotientenziffer dem richtigen Stellenwert zu.
4. Du erkennst, wann im Quotienten eine Null notwendig ist.
5. Du beachtest bei Divisionen mit Rest die Bedingung $0\le \text{Rest}<\text{Divisor}$.
6. Du führst die Probe mit $\text{Divisor}\cdot \text{Quotient}+\text{Rest}$ durch.
7. Du nutzt einen passenden Überschlag, um die Größenordnung des Ergebnisses zu prüfen.
8. Du kannst typische Rechenfehler erklären und verbessern.

OERs zum Thema

Die eingebundenen Bilder und Animationen stammen aus Wikimedia Commons und sind dort mit freien Lizenzen beziehungsweise als gemeinfrei gekennzeichnet. Die interaktiven GeoGebra-Materialien öffnen öffentlich bereitgestellte Lernressourcen; Lizenz- und Autorenangaben stehen jeweils auf der Materialseite.

Verknüpfte Lernbereiche

Schriftliche Division Division Stellenwertsystem Multiplikation Einmaleins Subtraktion Überschlagsrechnung Probe Division mit Rest Zahlengerade Fehleranalyse