M5 G - Division verstehen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, G-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du die Division auf dem G-Niveau der Klasse 5 anschaulich kennen. Du arbeitest mit Verteilbildern, Aufteilbildern, Punktefeldern, Zahlengeraden, Umkehraufgaben und einfachen Sachaufgaben. Im Mittelpunkt stehen natürliche Zahlen und Divisionen, die ohne Rest aufgehen.

Das wichtigste Beispiel dieses Kurses lautet:

$56:7=8$

Das bedeutet: $56$ wird durch $7$ geteilt. Das Ergebnis ist $8$.

Du lernst ...	Das erkennst Du an ...
Division als Teilen	$56:7=8$
Verteilen	Die Anzahl der Gruppen ist bekannt.
Aufteilen	Die Größe einer Gruppe ist bekannt.
Division als Umkehroperation	$7\cdot 8=56⟺56:7=8$
Probe	$8\cdot 7=56$

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Division: eine Divisionsaufgabe lesen und berechnen.
2. Verteilen: erklären, wie eine Gesamtmenge gleichmäßig auf eine bekannte Anzahl von Gruppen verteilt wird.
3. Aufteilen: erklären, wie eine Gesamtmenge in Gruppen mit bekannter Größe aufgeteilt wird.
4. Multiplikation: als Umkehroperation zur Division nutzen.
5. Zahlengerade: Division durch gleich große Sprünge darstellen.
6. Punktefeld: passende Mal- und Geteiltaufgaben in einem Punktefeld erkennen.
7. Sachaufgabe: entscheiden, ob eine Situation zum Verteilen oder zum Aufteilen gehört.

Division bedeutet Teilen

Die Division ist eine der vier Grundrechenarten. Beim Dividieren wird untersucht, wie eine Menge gleichmäßig geteilt oder in gleich große Gruppen zerlegt werden kann.

$\text{Dividend}:\text{Divisor}=\text{Quotient}$

Beim Beispiel

$56:7=8$

gilt:

Zahl	Bedeutung
$56$	Dividend: die Zahl, die geteilt wird
$7$	Divisor: die Zahl, durch die geteilt wird
$8$	Quotient: das Ergebnis der Division

Merksatz: Eine Divisionsaufgabe beantwortet eine Teilfrage. Entscheidend ist, was bekannt ist und was gesucht wird.

Zwei Bedeutungen: Verteilen und Aufteilen

Die Rechnung kann gleich aussehen, obwohl die Handlung verschieden ist.

$56:7=8$

Verteilen	Aufteilen
$56$ Plättchen werden auf $7$ Kinder verteilt.	$56$ Plättchen werden in Gruppen zu je $7$ Plättchen aufgeteilt.
Gesucht: Wie viele Plättchen bekommt jedes Kind?	Gesucht: Wie viele Gruppen entstehen?
Ergebnis: Jedes Kind bekommt $8$ Plättchen.	Ergebnis: Es entstehen $8$ Gruppen.

Verteilen: Die Anzahl der Gruppen ist bekannt

Stell Dir vor: $56$ Sticker werden gleichmäßig auf $7$ Kinder verteilt.

Frage: Wie viele Sticker bekommt jedes Kind?

Gruppe	Sticker
Kind A	● ● ● ● ● ● ● ●
Kind B	● ● ● ● ● ● ● ●
Kind C	● ● ● ● ● ● ● ●
Kind D	● ● ● ● ● ● ● ●
Kind E	● ● ● ● ● ● ● ●
Kind F	● ● ● ● ● ● ● ●
Kind G	● ● ● ● ● ● ● ●

$56:7=8$

Beim Verteilen kennst Du die Zahl der Gruppen. Du suchst die Menge in jeder Gruppe.

$\text{Gesamtmenge}:\text{Anzahl der Gruppen}=\text{Menge je Gruppe}$

Aufteilen: Die Größe der Gruppen ist bekannt

Jetzt werden dieselben $56$ Sticker in Päckchen zu je $7$ Stickern aufgeteilt.

Frage: Wie viele Päckchen entstehen?

Päckchen	Inhalt
A	● ● ● ● ● ● ●
B	● ● ● ● ● ● ●
C	● ● ● ● ● ● ●
D	● ● ● ● ● ● ●
E	● ● ● ● ● ● ●
F	● ● ● ● ● ● ●
G	● ● ● ● ● ● ●
H	● ● ● ● ● ● ●

$56:7=8$

Beim Aufteilen kennst Du die Größe einer Gruppe. Du suchst die Anzahl der Gruppen.

$\text{Gesamtmenge}:\text{Größe einer Gruppe}=\text{Anzahl der Gruppen}$

Entscheidungshilfe: Verteilen oder Aufteilen?

Frage	Dann denkst Du an ...	Beispiel
Auf wie viele Gruppen wird verteilt?	Verteilen	$24$ Bonbons auf $6$ Kinder
Wie viele sind in jeder Gruppe?	Aufteilen	$24$ Bonbons in Tüten zu je $6$
Was wird gesucht?	Beim Verteilen: Größe jeder Gruppe	$24:6=4$
Was wird gesucht?	Beim Aufteilen: Anzahl der Gruppen	$24:6=4$

Sprachsignal:

1. Verteilen: Wörter wie „auf sechs Kinder“, „gleichmäßig auf vier Kisten“ oder „auf acht Teams“.
2. Aufteilen: Wörter wie „zu je sechs“, „immer vier Stück“ oder „in Dreiergruppen“.

Interaktiv: Verteilen und Aufteilen sehen

Dieses dynamische GeoGebra-Modell zeigt beide Bedeutungen der Division visuell. Verändere die Mengen und beobachte, was bei Verteilen und Aufteilen jeweils gesucht wird.

Arbeite anschließend mit $56$ als Gesamtmenge und vergleiche:

1. $56$ auf $7$ Gruppen verteilen.
2. $56$ in Gruppen zu je $7$ aufteilen.

In beiden Fällen erhältst Du:

$56:7=8$

Die Bedeutung der $8$ ist aber verschieden: einmal Anzahl pro Gruppe, einmal Anzahl der Gruppen.

Division und Multiplikation gehören zusammen

Die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation. Wenn Du eine Division nicht sofort weißt, kannst Du eine passende Malaufgabe suchen.

$56:7=?$

Frage Dich:

$7\cdot ?=56$

Weil

$7\cdot 8=56$

gilt:

$56:7=8$

Die vier Aufgaben bilden eine Aufgabenfamilie:

Multiplikation	Division
$7\cdot 8=56$	$56:7=8$
$8\cdot 7=56$	$56:8=7$

Tipp: Nutze das Einmaleins rückwärts. Aus $6\cdot 7=42$ folgt direkt $42:6=7$ und $42:7=6$.

Interaktive Umkehroperation

Mit dieser interaktiven Aufgabenfamilie kannst Du Multiplikation und Division miteinander verbinden:

Probiere zum Beispiel die Zahlen $7$, $8$ und $56$ aus. Suche dazu zwei Malaufgaben und zwei Geteiltaufgaben.

Die Probe

Eine Division kannst Du mit einer Multiplikation prüfen.

$56:7=8$

Probe:

$8\cdot 7=56$

Stimmt die Multiplikation, dann stimmt bei einer Division ohne Rest auch die Division.

Division	Probe
$35:5=7$	$7\cdot 5=35$
$48:6=8$	$8\cdot 6=48$
$72:8=9$	$9\cdot 8=72$

Punktefelder: Malnehmen und Teilen sehen

Ein Punktefeld macht die Verbindung zwischen Multiplikation und Division sichtbar.

Punktefeld mit $56$ Punkten:

●	●	●	●	●	●	●
●	●	●	●	●	●	●
●	●	●	●	●	●	●
●	●	●	●	●	●	●
●	●	●	●	●	●	●
●	●	●	●	●	●	●
●	●	●	●	●	●	●
●	●	●	●	●	●	●

Du kannst das Feld auf zwei Arten lesen:

$8\cdot 7=56$ $56:7=8$

oder gedreht:

$7\cdot 8=56$ $56:8=7$

Visuelle Idee: Die Spalten können die Gruppengröße darstellen, die Zeilen die Anzahl der Gruppen. So wird aus einer Malaufgabe eine Geteiltaufgabe.

Zahlengerade: Division als gleich große Sprünge

Beim Aufteilen kannst Du fragen: Wie oft passt die $7$ in die $56$?

Auf der Zahlengeraden gehst Du in Sprüngen der Länge $7$:

$0\to 7\to 14\to 21\to 28\to 35\to 42\to 49\to 56$

Zähle die Sprünge:

$8\text{ Sprünge}$

Deshalb:

$56:7=8$

und zugleich:

$8\cdot 7=56$

Start	Sprungweite	Ziel	Anzahl der Sprünge
$0$	$7$	$56$	$8$

Dynamische Zahlengerade

Stelle in der interaktiven Zahlengerade eine Division ein und beobachte, wie Dividend, Divisor und Quotient zusammenhängen:

Versuche nacheinander:

1. $24:6$
2. $35:5$
3. $42:7$
4. $56:7$

Zahlengerade Schritt für Schritt

Die folgenden Wikimedia-Commons-Grafiken zeigen, wie eine Division auf einer Zahlengerade schrittweise aufgebaut werden kann.

Vorbereitung:

Erster Schritt:

Fertige Darstellung:

Die Bilder zeigen ein allgemeines Prinzip: Eine Strecke wird in gleich große Abschnitte zerlegt oder mit einer festen Länge abgemessen. Für Deine Aufgaben im G-Niveau arbeitest Du zunächst vor allem mit ganzen Ergebnissen wie $56:7=8$.

Visueller Rechenweg in vier Schritten

Beispiel:

$42:6=?$

Schritt	Rechenidee	Rechnung
1	Forme die Division in eine Malfrage um.	$6\cdot ?=42$
2	Suche im Einmaleins.	$6\cdot 7=42$
3	Lies die Division ab.	$42:6=7$
4	Prüfe mit der Multiplikation.	$7\cdot 6=42$

Klappbarer Rechenweg

Klicke zum Öffnen: $63:9$ Schritt für Schritt

1. Gesucht ist $63:9$.
2. Denke rückwärts: $9\cdot ?=63$.
3. Aus dem Einmaleins weißt Du: $9\cdot 7=63$.
4. Also gilt $63:9=7$.
5. Probe: $7\cdot 9=63$.

Stellenwertmodell: Größere Zahlen geschickt zerlegen

Auch bei größeren Zahlen hilft ein sichtbarer Rechenweg. Beispiel:

$84:4$

Zerlege $84$ in Zehner und Einer:

$84=80+4$

Dann:

$84:4=(80:4)+(4:4)$ $84:4=20+1=21$

Stellenwertbild: ▮ steht für einen Zehner, ● für einen Einer.

Gruppe	Zehner	Einer	Zahl
A	▮ ▮	●	$21$
B	▮ ▮	●	$21$
C	▮ ▮	●	$21$
D	▮ ▮	●	$21$

Probe:

$21\cdot 4=84$

Wichtig: Dieses Zerlegen funktioniert besonders gut, wenn die Teilrechnungen leicht sind.

Interaktives Stellenwertmodell

Nutze das animierte Stellenwertmodell und untersuche, wie Zahlen aus Zehnern und Einern zusammengesetzt sind:

Stelle $84$ dar. Zerlege anschließend gedanklich:

$84=80+4$

und verbinde die Darstellung wieder mit:

$84:4=21$

Division mit Rest: Ein kurzer Ausblick

Nicht jede Division geht in den natürlichen Zahlen genau auf. Beispiel:

$58:7$

Das größte passende Vielfache von $7$, das nicht größer als $58$ ist, lautet:

$7\cdot 8=56$

Es bleiben $2$ übrig:

$58:7=8\text{ Rest }2$

Die Probe lautet:

$8\cdot 7+2=58$

Für eine Division mit Rest gilt:

$\text{Dividend}=\text{Divisor}\cdot \text{Quotient}+\text{Rest}$

Der Rest ist immer kleiner als der Divisor.

Typische Fehler erkennen

Fehler	Warum ist das falsch?	Besser
$56:7=7$	Die Probe ergibt $7\cdot 7=49$, nicht $56$.	Suche $7\cdot ?=56$.
$7:56=8$	Bei der Division darfst Du die Zahlen nicht einfach vertauschen.	Achte auf die Reihenfolge: $56:7=8$.
Verteilen und Aufteilen werden verwechselt.	Die Rechnung kann gleich sein, aber die gesuchte Größe ist verschieden.	Frage: Ist die Anzahl der Gruppen oder die Gruppengröße bekannt?
$24:0$ wird berechnet.	Eine Division durch $0$ ist nicht definiert.	Dividiere niemals durch $0$.

Merkkasten

Merksatz	Beispiel
Beim Verteilen ist die Anzahl der Gruppen bekannt.	$30$ Karten auf $5$ Personen: $30:5=6$
Beim Aufteilen ist die Gruppengröße bekannt.	$30$ Karten in Stapel zu je $5$: $30:5=6$
Division und Multiplikation sind Umkehroperationen.	$5\cdot 6=30⟺30:5=6$
Die Probe zur Division ohne Rest ist eine Multiplikation.	$6\cdot 5=30$
Die Reihenfolge bei einer Division ist wichtig.	$30:5\ne 5:30$

Lernvideo

Dieses Lernvideo behandelt die Division in Klasse 5 und stellt die Verbindung zur Multiplikation als Umkehroperation her:

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Freie Medien zum Weiterentdecken

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien führen über ihre Dateiseiten zu Angaben über Urheber, Quelle und Lizenz.

1. Grundrechenzeichen
2. Divisionszeichen
3. Animation zur Division
4. Animierter Divisionsablauf
5. Interaktive Einmaleins-Darstellung
6. Division auf der Zahlengerade

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welches Ergebnis hat 56 : 7? (8) (!6) (!7) (!9)

56 Sticker werden gleichmäßig auf 7 Kinder verteilt. Was wird gesucht? (Die Anzahl der Sticker pro Kind) (!Die Gesamtzahl der Sticker) (!Die Anzahl aller Kinder der Schule) (!Die Zahl der verschiedenen Stickerfarben)

30 Perlen werden in Beutel zu je 5 Perlen aufgeteilt. Was wird gesucht? (Die Anzahl der Beutel) (!Die Gesamtzahl der Perlen) (!Der Preis der Perlen) (!Die Farbe der Beutel)

Welche Rechenart ist die Umkehroperation der Division? (Multiplikation) (!Addition) (!Subtraktion) (!Runden)

Welche Probe passt zu 42 : 6 = 7? (7 mal 6 ergibt 42) (!7 plus 6 ergibt 42) (!42 minus 6 ergibt 7) (!42 plus 7 ergibt 6)

Welches Ergebnis hat 63 : 9? (7) (!6) (!8) (!9)

Welche Malaufgabe hilft bei 72 : 8? (8 mal 9 ergibt 72) (!8 mal 8 ergibt 72) (!7 mal 9 ergibt 72) (!6 mal 9 ergibt 72)

Welche Zahl ist bei 48 : 6 = 8 der Divisor? (6) (!48) (!8) (!54)

Welche Frage beschreibt Aufteilen? (Wie viele Sechsergruppen kann ich aus 42 bilden) (!Wie viele Stück bekommt jedes von sechs Kindern) (!Wie viele Dinge sind insgesamt vorhanden) (!Wie viele Kinder sind heute in der Schule)

Was gilt für eine Division durch 0? (Sie ist nicht definiert) (!Das Ergebnis ist immer 0) (!Das Ergebnis ist immer 1) (!Das Ergebnis ist immer der Dividend)

Memory

Division	Teilen
Dividend	Ausgangsmenge
Divisor	Zahl durch die geteilt wird
Quotient	Ergebnis
Verteilen	Gruppenzahl bekannt
Aufteilen	Gruppengröße bekannt
Umkehroperation	Multiplikation
Probe	Rückrechnung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Verteilen	Gruppenanzahl bekannt
Aufteilen	Gruppengröße bekannt
Dividend	Gesamtmenge
Divisor	Teilzahl
Quotient	Ergebnis
Multiplikation	Umkehroperation

Kreuzworträtsel

Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division?
Dividend	Wie heißt die Zahl, die geteilt wird?
Divisor	Wie heißt die Zahl, durch die geteilt wird?
Verteilen	Wie heißt das Teilen, bei dem die Anzahl der Gruppen bekannt ist?
Aufteilen	Wie heißt das Teilen, bei dem die Gruppengröße bekannt ist?
Multiplikation	Welche Rechenart ist die Umkehroperation der Division?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Division ist eine der vier .

Bei $56:7=8$ heißt die Zahl $56$ .

Die Zahl $7$ ist in dieser Aufgabe der .

Das Ergebnis $8$ heißt .

Beim Verteilen ist die Anzahl der bekannt.

Beim Aufteilen ist die Größe jeder bekannt.

Die Umkehroperation der Division ist die .

Zur Probe von $56:7=8$ rechnest Du $8\cdot 7$ und erhältst .

Auf der Zahlengerade entsprechen $56:7$ acht Sprüngen der Länge .

Bei $84:4$ kann man $84$ als $80+4$ .

Bei einer Division mit Rest ist der Rest kleiner als der .

Durch die Zahl Null darf man nicht .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Verteilbild: Zeichne $24$ Punkte und verteile sie gleichmäßig auf $6$ Kreise. Schreibe die passende Divisions- und Malaufgabe dazu.
2. Aufteilbild: Zeichne $24$ Punkte und bilde Gruppen zu je $4$ Punkten. Notiere, wie viele Gruppen entstehen.
3. Punktefeld: Lege oder zeichne $35$ Punkte als Rechteck. Finde zwei Malaufgaben und zwei passende Geteiltaufgaben.
4. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $42$. Markiere Sprünge der Länge $6$ und erkläre $42:6$.

Standard

1. Aufgabenfamilie: Erstelle vier Karten zu den Zahlen $6$, $8$ und $48$: zwei Multiplikationen und zwei Divisionen.
2. Sachaufgabe: Erfinde zwei verschiedene Geschichten zu $56:7=8$: eine Geschichte zum Verteilen und eine zum Aufteilen.
3. Fehlerdetektiv: Eine Person behauptet $54:6=8$. Zeige mit einer Probe, warum das nicht stimmen kann, und verbessere die Rechnung.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo mit Papierpunkten oder Bauklötzen. Zeige darin den Unterschied zwischen Verteilen und Aufteilen.

Schwer

1. Rechenschieber: Baue aus Papier einen Schieber, mit dem Du Aufgabenfamilien wie $7\cdot 8=56$ und $56:7=8$ sichtbar machen kannst.
2. Fotoprojekt: Fotografiere selbst gelegte gleich große Gruppen aus Alltagsgegenständen. Ergänze zu jedem Foto eine Multiplikation und eine Division. Fotografiere keine Personen ohne Erlaubnis.
3. Lernspiel: Entwickle ein Brett- oder Kartenspiel, bei dem Divisionsaufgaben nur dann Punkte bringen, wenn zusätzlich die passende Umkehraufgabe genannt wird.
4. Mathematische Erklärung: Vergleiche $72:8$ und $72:9$. Erkläre mit einem Punktefeld oder einer Zahlengerade, warum die Ergebnisse verschieden sind.

Lernkontrolle

1. Verteilen und Aufteilen vergleichen: Schreibe zu $40:5=8$ zwei Sachgeschichten. In einer Geschichte soll $5$ die Anzahl der Gruppen sein, in der anderen die Gruppengröße. Erkläre den Unterschied.
2. Darstellungen verbinden: Stelle $42:7=6$ zuerst als Punktefeld, dann als Zahlengerade und zuletzt als Umkehraufgabe dar. Beschreibe, was in allen drei Darstellungen gleich bleibt.
3. Fehler analysieren: Sam rechnet $64:8=6$. Erkläre ohne Taschenrechner, wie Du den Fehler mit dem Einmaleins erkennst und wie die richtige Probe lautet.
4. Strategie übertragen: Nutze die Zerlegung $96=80+16$, um $96:4$ zu berechnen. Erkläre, warum beide Teilzahlen durch $4$ teilbar sein müssen.
5. Sachproblem entscheiden: In einer Sporthalle liegen $54$ Markierungsteller. Sie sollen in Stapel zu je $6$ Tellern gelegt werden. Entscheide, ob es sich um Verteilen oder Aufteilen handelt, und begründe Deine Entscheidung.
6. Eigene Aufgabe entwickeln: Erfinde eine Divisionsaufgabe mit Ergebnis $9$. Gib die passende Malaufgabe, ein Punktefeld und eine kurze Sachgeschichte an.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deine Rechenidee sichtbar machst.

1. Du kannst eine Division wie $56:7=8$ richtig lesen.
2. Du kannst Dividend, Divisor und Quotient benennen.
3. Du kannst Verteilen und Aufteilen unterscheiden.
4. Du kannst eine Division mit Punkten, Gruppen oder einer Zahlengerade darstellen.
5. Du kannst die passende Multiplikation als Umkehroperation finden.
6. Du kannst eine Division ohne Rest mit einer Multiplikation prüfen.
7. Du kannst einfache Sachaufgaben zur Division verstehen und selbst formulieren.
8. Du kannst einen Rechenfehler mit einer Probe erklären und verbessern.

OERs zum Thema

Wikipedia bietet einen Überblick zur Division als Grundrechenart:

Weitere offene beziehungsweise frei zugängliche Lernmedien:

1. Wikimedia Commons: Division
2. GeoGebra: Interaktive Übungen zur Division
3. GeoGebra: Verteilen und Aufteilen
4. GeoGebra: Division auf der Zahlengerade
5. GeoGebra: Animiertes Stellenwertmodell

Verknüpfte Lernbereiche

Die Division ist eng mit dem Einmaleins, der Multiplikation, Sachaufgaben und Darstellungen von Zahlen verbunden.

Division Grundrechenarten Multiplikation Einmaleins Natürliche Zahlen Zahlengerade Punktefeld Sachaufgaben Division mit Rest