Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 5-6, M-Niveau

M5 M - Teilbarkeitsregeln für 3 und 9

Einleitung

Wie kannst Du bei einer großen Zahl schnell erkennen, ob sie durch $3$ oder $9$ teilbar ist, ohne die ganze Division auszurechnen?

In diesem aiMOOC für Klasse 5 auf M-Niveau entdeckst Du die Regeln selbst: zuerst über Vielfache, dann über Zahlenmuster, die Quersumme und schließlich über das Stellenwertsystem. Danach wendest Du die Regeln zunehmend selbstständig auf große Zahlen, Lückenzahlen und Knobelaufgaben an.

Das Ziel:

Du kannst …	Mathematisch
die Quersumme einer natürlichen Zahl sicher bestimmen	$Q (5 724) = 5 + 7 + 2 + 4 = 18$
Teilbarkeit durch $3$ prüfen	$3 ∣ n ⟺ 3 ∣ Q (n)$
Teilbarkeit durch $9$ prüfen	$9 ∣ n ⟺ 9 ∣ Q (n)$
Deine Entscheidung begründen	Zahl $\to$ Quersumme $\to$ Regel $\to$ Urteil
fehlende Ziffern gezielt ergänzen	z. B. $47 ◻ 2$

Die Einmaleinstafel hilft Dir, Vielfache von $3$ und $9$ als Muster zu sehen. Wikimedia Commons, CC0.

Vorwissen: Teiler und Vielfache

Eine natürliche Zahl $a$ ist ein Teiler einer Zahl $n$ , wenn die Division $n : a$ keinen Rest hat.

$a ∣ n$ bedeutet: $a$ teilt $n$ .

Beispiel:

$3 ∣ 24$ , denn $24 = 3 \cdot 8$ .

$9 ∤ 24$ , denn $24 : 9$ hat einen Rest.

Eine Zahl ist ein Vielfaches von $3$ , wenn sie als $3 \cdot k$ geschrieben werden kann. Entsprechend sind Vielfache von $9$ Zahlen der Form $9 \cdot k$ .

Faktor $k$	$3 \cdot k$	$9 \cdot k$
$1$	$3$	$9$
$2$	$6$	$18$
$3$	$9$	$27$
$4$	$12$	$36$
$5$	$15$	$45$
$6$	$18$	$54$
$7$	$21$	$63$
$8$	$24$	$72$
$9$	$27$	$81$
$10$	$30$	$90$

Freie Darstellung von Vielfachen; achte besonders auf die Reihe der Vielfachen von $3$ . Wikimedia Commons, CC0.

Dynamische Zahlengerade: Vielfache sehen

Auf einer Zahlengeraden liegen die Vielfachen von $3$ in gleich großen Abständen:

$0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, \dots$

Für $9$ erhältst Du:

$0, 9, 18, 27, 36, 45, \dots$

Untersuche das Muster interaktiv. Markiere zuerst Vielfache von $3$ und beschreibe, was sich an jedem dritten Schritt wiederholt.

Vergleiche anschließend die Vielfachen von $3$ und $9$ auf einer gemeinsamen dynamischen Zahlengeraden. Gib dort $3$ und $9$ ein.

Entdeckerfrage: Jedes Vielfache von $9$ ist auch ein Vielfaches von $3$ . Warum?

$9 \cdot k = 3 \cdot (3 k)$

Also gilt:

$9 ∣ n \Rightarrow 3 ∣ n$

Die Umkehrung stimmt nicht. Zum Beispiel ist $12$ durch $3$ , aber nicht durch $9$ teilbar.

Die Quersumme entdecken

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern.

Beispiel:

$Q (5 724) = 5 + 7 + 2 + 4 = 18$

Noch ein Beispiel:

$Q (80 307) = 8 + 0 + 3 + 0 + 7 = 18$

Nullen werden dabei ganz normal mitaddiert; sie verändern die Summe nicht.

Musterlabor: Was fällt Dir auf?

Untersuche die Quersummen der folgenden Zahlen.

Zahl	Quersumme	durch $3$ teilbar?	durch $9$ teilbar?
$12$	$1 + 2 = 3$	ja	nein
$18$	$1 + 8 = 9$	ja	ja
$27$	$2 + 7 = 9$	ja	ja
$30$	$3 + 0 = 3$	ja	nein
$42$	$4 + 2 = 6$	ja	nein
$45$	$4 + 5 = 9$	ja	ja
$81$	$8 + 1 = 9$	ja	ja
$90$	$9 + 0 = 9$	ja	ja
$111$	$1 + 1 + 1 = 3$	ja	nein
$117$	$1 + 1 + 7 = 9$	ja	ja

Muster:

Beobachtung	Vermutung
Bei Vielfachen von $3$ ist auch die Quersumme ein Vielfaches von $3$ .	Teilbarkeit durch $3$ kann über die Quersumme geprüft werden.
Bei Vielfachen von $9$ ist auch die Quersumme ein Vielfaches von $9$ .	Teilbarkeit durch $9$ kann über die Quersumme geprüft werden.

Teilbarkeitsregel für 3

Dreierregel:

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{3\mid n \iff 3\mid Q(n)}}

Beispiel 1:

$n = 4 572$

$Q (n) = 4 + 5 + 7 + 2 = 18$

$18 = 3 \cdot 6$

also:

$3 ∣ 4 572$

Beispiel 2:

$n = 7 421$

$Q (n) = 7 + 4 + 2 + 1 = 14$

$14$ ist kein Vielfaches von $3$ .

also:

$3 ∤ 7 421$

Visueller Vier-Schritt-Rechenweg

Schritt	Beispiel $6 381$	Frage
$1$	Ziffern sichtbar machen: $6, 3, 8, 1$	Welche Ziffern hat die Zahl?
$2$	$6 + 3 + 8 + 1 = 18$	Wie lautet die Quersumme?
$3$	$18 : 3 = 6$	Ist die Quersumme durch $3$ teilbar?
$4$	$3 ∣ 6 381$	Was folgt für die Ausgangszahl?

Kurzstrategie:

$6 381 \to 6 + 3 + 8 + 1 = 18 \to 18 = 3 \cdot 6 \to 3 ∣ 6 381$

Teilbarkeitsregel für 9

Neunerregel:

Eine natürliche Zahl ist genau dann durch $9$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{9\mid n \iff 9\mid Q(n)}}

Beispiel 1:

$n = 73 827$

$Q (n) = 7 + 3 + 8 + 2 + 7 = 27$

$27 = 9 \cdot 3$

also:

$9 ∣ 73 827$

Beispiel 2:

$n = 5 214$

$Q (n) = 5 + 2 + 1 + 4 = 12$

$12$ ist kein Vielfaches von $9$ .

also:

$9 ∤ 5 214$

Warum funktionieren die Regeln?

Die Teilbarkeitsregeln sind kein Zaubertrick. Sie entstehen aus unserem Stellenwertsystem.

Stellenwerte im Dezimalsystem. Wikimedia Commons, User000name, CC BY-SA 4.0.

Stellenwertdarstellung auf einem Abakus. Wikimedia Commons, Gisling, CC BY 3.0.

Betrachte die Zahl:

$5 724$

Im Stellenwertsystem gilt:

$5 724 = 5 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 4$

Nun zerlegen wir die Stellenwerte so:

$1000 = 999 + 1$

$100 = 99 + 1$

$10 = 9 + 1$

Damit:

$5 724 = 5 \cdot (999 + 1) + 7 \cdot (99 + 1) + 2 \cdot (9 + 1) + 4$

Ausmultipliziert:

$5 724 = 5 \cdot 999 + 7 \cdot 99 + 2 \cdot 9 + (5 + 7 + 2 + 4)$

Die ersten drei Teile sind alle durch $9$ teilbar:

$999 = 9 \cdot 111$

$99 = 9 \cdot 11$

$9 = 9 \cdot 1$

Für die Teilbarkeit bleibt deshalb nur die Ziffernsumme übrig:

$5 + 7 + 2 + 4 = 18$

Da $18$ durch $9$ teilbar ist, ist auch $5 724$ durch $9$ teilbar.

Und weil jedes Vielfache von $9$ auch ein Vielfaches von $3$ ist, funktioniert derselbe Gedanke auch für die Dreierregel.

Allgemein gilt:

$n - Q (n)$ ist durch $9$ und damit auch durch $3$ teilbar.

Deshalb haben $n$ und $Q (n)$ beim Teilen durch $3$ beziehungsweise $9$ denselben Rest.

Interaktives Stellenwertmodell und animierte Zerlegung

Gib im Applet verschiedene Zahlen ein. Lass zuerst nur die Darstellung anzeigen. Aktiviere danach die Zerlegung und schließlich die Teilbarkeitsprüfung.

Forscherauftrag: Teste mindestens je drei Zahlen aus den Gruppen

$3 ∣ n, 9 ∤ n$

und

$9 ∣ n$ .

Beobachte, welcher Teil der Stellenwertzerlegung immer ein Vielfaches von $9$ ist.

3 und 9 sicher unterscheiden

Quersumme $Q (n)$	durch $3$ ?	durch $9$ ?	Beispiel
kein Vielfaches von $3$	nein	nein	$Q (124) = 7$
Vielfaches von $3$ , aber nicht von $9$	ja	nein	$Q (123) = 6$
Vielfaches von $9$	ja	ja	$Q (729) = 18$

Merke:

$9 ∣ n \Rightarrow 3 ∣ n$

aber

$3 ∣ n ⇏ 9 ∣ n$

Ein Gegenbeispiel für die falsche Umkehrung ist:

$12$ , denn $Q (12) = 3$ .

Typische Fehler erkennen

Behauptung	Bewertung	Erklärung
„Die Zahl endet auf $3$ , also ist sie durch $3$ teilbar.“	falsch	Für $3$ entscheidet die Quersumme, nicht die letzte Ziffer. $13$ hat die Quersumme $4$ .
„Wenn die Quersumme $18$ ist, ist die Zahl durch $9$ teilbar.“	richtig	$18 = 9 \cdot 2$ .
„Ist eine Zahl durch $9$ teilbar, ist sie auch durch $3$ teilbar.“	richtig	$9 = 3 \cdot 3$ .
„Ist eine Zahl durch $3$ teilbar, ist sie immer auch durch $9$ teilbar.“	falsch	$12$ ist ein Gegenbeispiel.
„Nullen in einer Zahl dürfen bei der Quersumme weggelassen werden.“	richtig	Das Addieren von $0$ verändert die Summe nicht.

Mit fehlenden Ziffern knobeln

Beispiel: Welche Ziffern können in $47 ◻ 2$ eingesetzt werden, damit die Zahl durch $3$ teilbar ist?

Die bekannten Ziffern ergeben:

$4 + 7 + 2 = 13$

Gesucht ist eine Ziffer $x$ mit:

$13 + x$ ist durch $3$ teilbar.

Mögliche Ziffern:

$x \in {2, 5, 8}$

Denn:

$13 + 2 = 15, 13 + 5 = 18, 13 + 8 = 21$

Für Teilbarkeit durch $9$ müsste $13 + x$ ein Vielfaches von $9$ sein. Hier ist nur

$x = 5$

möglich, weil

$13 + 5 = 18$ .

Musteruntersuchung mit Ziffernkarten

Bilde mit den Ziffern $1, 2, 3, 4, 5, 6$ verschiedene dreistellige Zahlen. Untersuche:

Aufgabe	Mathematischer Blick
Finde möglichst viele Zahlen, die durch $3$ teilbar sind.	Wähle drei Ziffern mit einer durch $3$ teilbaren Summe.
Finde Zahlen, die durch $9$ teilbar sind.	Wähle drei Ziffern mit Quersumme $9$ oder $18$ .
Vertausche die Ziffern einer gefundenen Zahl.	Die Quersumme bleibt gleich; daher bleibt auch die Teilbarkeit durch $3$ und $9$ gleich.

Wichtige Entdeckung:

Wenn Du nur die Reihenfolge der Ziffern veränderst, ändert sich ihre Summe nicht.

Daher gilt zum Beispiel:

$Q (126) = Q (162) = Q (216) = 1 + 2 + 6 = 9$

Alle diese Zahlen sind durch $9$ und damit auch durch $3$ teilbar.

Selbstständig anwenden

Nutze ab jetzt möglichst die kurze Entscheidungskette:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{Zahl}\rightarrow\text{Quersumme}\rightarrow\text{Teilbarkeit der Quersumme}\rightarrow\text{Urteil}}}

Beispiel:

$84 513 \to 8 + 4 + 5 + 1 + 3 = 21 \to 3 ∣ 21, 9 ∤ 21$

also:

$3 ∣ 84 513$ und $9 ∤ 84 513$ .

Kopfrechen-Challenge: Entscheide möglichst ohne schriftliche Division.

Zahl	Quersumme	durch $3$ ?	durch $9$ ?
$4 302$	$9$	ja	ja
$7 125$	$15$	ja	nein
$32 411$	$11$	nein	nein
$90 999$	$36$	ja	ja
$123 456$	$21$	ja	nein

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist die Quersumme von 4 572? (18) (!16) (!19) (!20)

Wann ist eine Zahl durch 3 teilbar? (Wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist) (!Wenn ihre letzte Ziffer 3 ist) (!Wenn sie mindestens drei Ziffern hat) (!Wenn ihre erste Ziffer durch 3 teilbar ist)

Wann ist eine Zahl durch 9 teilbar? (Wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist) (!Wenn sie auf 9 endet) (!Wenn ihre Quersumme ungerade ist) (!Wenn sie durch 3 teilbar ist)

Welche Aussage zu 729 stimmt? (729 ist durch 3 und durch 9 teilbar) (!729 ist nur durch 3 teilbar) (!729 ist nur durch 9 teilbar) (!729 ist weder durch 3 noch durch 9 teilbar)

Welche Aussage zu 123 stimmt? (123 ist durch 3 aber nicht durch 9 teilbar) (!123 ist durch 9 aber nicht durch 3 teilbar) (!123 ist durch 3 und durch 9 teilbar) (!123 ist weder durch 3 noch durch 9 teilbar)

Warum ist 5 724 durch 9 teilbar? (Die Quersumme 18 ist durch 9 teilbar) (!Die letzte Ziffer 4 ist gerade) (!Die Zahl enthält eine 9) (!Die Tausenderziffer ist 5)

Welche Aussage ist immer richtig? (Jede durch 9 teilbare Zahl ist auch durch 3 teilbar) (!Jede durch 3 teilbare Zahl ist auch durch 9 teilbar) (!Jede Zahl mit einer 9 ist durch 9 teilbar) (!Jede dreistellige Zahl ist durch 3 teilbar)

Welche Ziffer macht 47?2 durch 9 teilbar? (5) (!2) (!6) (!8)

Was passiert mit der Teilbarkeit durch 3 und 9 wenn nur die Ziffern einer Zahl vertauscht werden? (Sie bleibt gleich weil die Quersumme gleich bleibt) (!Sie geht immer verloren) (!Nur die Teilbarkeit durch 3 bleibt gleich) (!Nur die Teilbarkeit durch 9 bleibt gleich)

Welche Quersumme zeigt dass eine Zahl durch 3 aber nicht durch 9 teilbar ist? (15) (!18) (!27) (!36)

Memory

Quersumme	Summe aller Ziffern
Dreierregel	Quersumme ist durch drei teilbar
Neunerregel	Quersumme ist durch neun teilbar
Vielfaches	Produkt einer Zahl mit einer natürlichen Zahl
Stellenwert	Wert einer Zifferposition
Gegenbeispiel	widerlegt eine allgemeine Behauptung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Dreierregel	Quersumme ist durch drei teilbar
Neunerregel	Quersumme ist durch neun teilbar
Quersumme	Summe aller Ziffern
Vielfaches	entsteht durch Multiplikation mit einer natürlichen Zahl
Gegenbeispiel	widerlegt eine falsche allgemeine Aussage

Kreuzworträtsel

Quersumme	Wie heißt die Summe aller Ziffern einer Zahl?
Teilbarkeit	Wie heißt die Eigenschaft ohne Rest durch eine Zahl teilbar zu sein?
Vielfaches	Wie heißt ein Ergebnis das durch Multiplikation einer Zahl mit einer natürlichen Zahl entsteht?
Ziffer	Wie heißt ein einzelnes Zeichen einer Zahl von null bis neun?
Stellenwert	Wie heißt der Wert den eine Ziffer durch ihre Position erhält?
Gegenbeispiel	Wie heißt ein Beispiel das eine allgemeine Behauptung widerlegt?

LearningApps

Lückentext

Die Summe aller Ziffern einer Zahl heißt

.

Eine Zahl ist durch drei teilbar, wenn ihre Quersumme durch

teilbar ist.

Eine Zahl ist durch neun teilbar, wenn ihre Quersumme durch

teilbar ist.

Die Quersumme von 5724 beträgt

.

Ist eine Zahl durch neun teilbar, dann ist sie auch durch

teilbar.

Beim Vertauschen der Ziffern bleibt die

gleich.

Im Dezimalsystem ist 100 gleich 99 plus

.

Der Unterschied zwischen einer Zahl und ihrer Quersumme ist durch

teilbar.

Eine Zahl mit der Quersumme 15 ist durch drei, aber nicht durch

teilbar.

Eine schriftliche Division ist für die Quersummenregel meistens nicht

.

Offene Aufgaben

Leicht

Quersummen-Karten: Erstelle zehn Zahlenkarten. Schreibe auf die Rückseite jeweils die Quersumme und ob die Zahl durch $3$ beziehungsweise $9$ teilbar ist.
Zahlengeraden-Muster: Zeichne eine Zahlengerade von $0$ bis $60$ . Markiere Vielfache von $3$ und $9$ unterschiedlich und beschreibe das Muster.
Stellenwert-Plakat: Stelle eine vierstellige Zahl in einer Stellenwerttafel dar und zeige daneben ihre Quersumme.
Fehlerdetektiv: Erfinde drei falsche Aussagen zu Teilbarkeit durch $3$ oder $9$ und korrigiere sie mit passenden Beispielen.

Standard

Ziffernrätsel: Erfinde fünf Aufgaben mit einer fehlenden Ziffer, sodass eine Zahl durch $3$ oder $9$ teilbar werden soll. Gib Lösungen und Begründungen an.
Musterexperiment: Untersuche mindestens zwanzig aufeinanderfolgende natürliche Zahlen. Notiere Zahl, Quersumme und Teilbarkeit und formuliere mindestens zwei Muster.
Mini-Erklärvideo: Produziere ein höchstens zweiminütiges Erklärvideo, in dem Du an zwei Beispielen die Dreierregel und die Neunerregel erklärst.
Zifferntausch: Begründe an mindestens vier Beispielen, warum das Vertauschen von Ziffern die Teilbarkeit durch $3$ und $9$ nicht verändert.

Schwer

Stellenwert-Begründung: Erkläre mit $1000 = 999 + 1$ , $100 = 99 + 1$ und $10 = 9 + 1$ , warum die Quersummenregel funktioniert.
Aussagen prüfen: Untersuche die Aussage „Wenn eine Zahl durch $3$ teilbar ist, ist sie auch durch $9$ teilbar.“ Widerlege sie und formuliere die richtige Beziehung.
Prüfverfahren: Entwirf ein Ablaufdiagramm, das für eine eingegebene natürliche Zahl entscheidet, ob sie durch $3$ , durch $9$ , durch beide oder durch keine der beiden Zahlen teilbar ist.
Eigene Forschungsfrage: Untersuche, welche Quersummen bei sechsstelligen Zahlen auftreten können, die durch $9$ teilbar sind. Formuliere eine Vermutung und überprüfe sie an Beispielen.

Lernkontrolle

Zahlenfamilie untersuchen: Die Zahlen $126$ , $162$ , $216$ , $261$ , $612$ und $621$ bestehen aus denselben Ziffern. Erkläre ohne sechs einzelne Divisionen, welche dieser Zahlen durch $3$ und $9$ teilbar sind.
Regel begründen: Erkläre mit einer dreistelligen Zahl $100 a + 10 b + c$ , warum für die Teilbarkeit durch $9$ nur $a + b + c$ entscheidend ist.
Fehlende Ziffer: Bestimme alle Ziffern $x$ , für die $58 x 4$ durch $3$ teilbar ist. Bestimme danach diejenigen, für die die Zahl sogar durch $9$ teilbar ist. Begründe systematisch.
Falscher Lösungsweg: Jemand behauptet: „ $7 431$ ist nicht durch $3$ teilbar, weil die letzte Ziffer $1$ ist.“ Analysiere den Fehler und ersetze die Begründung durch einen korrekten Rechenweg.
Regeln verknüpfen: Finde eine fünfstellige Zahl, die durch $3$ , aber nicht durch $9$ teilbar ist, und eine zweite fünfstellige Zahl, die durch $9$ teilbar ist. Begründe beide Entscheidungen ausschließlich mit Quersummen.
Zifferntausch erklären: Zeige, warum jede Zahl, die durch Umordnen der Ziffern einer durch $9$ teilbaren Zahl entsteht, ebenfalls durch $9$ teilbar ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen, dass Du die Regeln nicht nur aufsagen, sondern sicher anwenden und begründen kannst.

Quersumme: Du bestimmst Quersummen auch bei großen Zahlen und Zahlen mit Nullen korrekt.
Teilbarkeit durch 3: Du entscheidest mit der Quersumme und formulierst eine vollständige Begründung.
Teilbarkeit durch 9: Du entscheidest mit der Quersumme und formulierst eine vollständige Begründung.
Zusammenhang 3 und 9: Du weißt, dass $9 ∣ n$ immer $3 ∣ n$ zur Folge hat, aber nicht umgekehrt.
Stellenwertsystem: Du kannst an einem Beispiel erklären, warum die Quersummenregeln aus $10 = 9 + 1$ , $100 = 99 + 1$ und $1000 = 999 + 1$ entstehen.
Problemlösen: Du kannst fehlende Ziffern so bestimmen, dass eine Zahl die gewünschte Teilbarkeit besitzt.
Argumentieren: Du kannst Behauptungen mit Beispielen, Gegenbeispielen oder einer Stellenwertzerlegung überprüfen.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zur Teilbarkeit bietet weiterführende Informationen:

Eine interaktive GeoGebra-Entdeckung speziell zur Teilbarkeit durch $3$ und $9$ :

Für zusätzliche Übungsmuster:

Das letzte Video vertieft die Begründung der Quersummenregel und eignet sich besonders, wenn Du wissen möchtest, warum die Regel allgemein gilt.

Verknüpfte Lernbereiche

Teilbarkeit

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