M5 E - Primfaktorzerlegung

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

Bei einer Primfaktorzerlegung zerlegst Du eine natürliche Zahl größer als $1$ vollständig in Primzahlen. Diese Primzahlen heißen Primfaktoren. Das Ziel ist also nicht irgendeine Zerlegung, sondern eine Zerlegung, bei der am Ende nur noch Primzahlen vorkommen.

Ein Beispiel:

$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5=2^2\cdot 3\cdot 5$

Die Zerlegung ist besonders nützlich, weil Du damit Teiler, Teilbarkeit, ggT und kgV besser verstehen kannst. Im E-Niveau geht es außerdem darum, aus der Primfaktorzerlegung begründet abzulesen, welche Zahlen Teiler einer gegebenen Zahl sind und welche nicht.

Lernziele: Nach diesem aiMOOC kannst Du zusammengesetzte natürliche Zahlen systematisch in Primfaktoren zerlegen, gleiche Primfaktoren mit Potenzen zusammenfassen, Deine Zerlegung durch Multiplikation überprüfen und aus der Zerlegung Aussagen über Teiler ableiten.

Primzahlen als Bausteine der natürlichen Zahlen

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als $1$, die genau zwei positive Teiler hat: $1$ und sich selbst.

Beispiele:

Zahl	Teiler	Primzahl?
$2$	$1,2$	Ja
$3$	$1,3$	Ja
$4$	$1,2,4$	Nein
$5$	$1,5$	Ja
$11$	$1,11$	Ja
$12$	$1,2,3,4,6,12$	Nein

Wichtig: Die Zahl $1$ ist keine Primzahl. Sie hat nur einen positiven Teiler.

Primzahlkarten bis 50

Nutze diese Übersicht wie einen Kartensatz. Wenn Du eine Zahl zerlegst, suchst Du zuerst nach kleinen Primzahlen.

$2$	$3$	$5$	$7$	$11$
$13$	$17$	$19$	$23$	$29$
$31$	$37$	$41$	$43$	$47$

Merke Dir besonders die kleinsten Primzahlen:

$2,3,5,7,11,13,\dots$

Sie helfen Dir, schnell passende erste Faktoren zu finden.

Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen als Rechtecke

Eine zusammengesetzte Zahl kann oft auf mehrere Arten als Rechteck aus gleich vielen Kästchen pro Reihe dargestellt werden. Bei einer Primzahl gibt es dagegen nur ein Rechteck mit einer Reihe beziehungsweise einer Spalte, wenn die Seitenlängen natürliche Zahlen sein sollen.

Das freie Bild auf Wikimedia Commons stellt natürliche Zahlen von $1$ bis $20$ als Rechteckanordnungen dar. So kannst Du Faktoren als Seitenlängen eines Rechtecks sehen.

Beispiel:

$12=3\cdot 4=2\cdot 6$

Dagegen besitzt $11$ keine Zerlegung

$11=a\cdot b$

mit natürlichen Zahlen $a>1$ und $b>1$. Deshalb ist $11$ eine Primzahl.

Dynamische Zahlengerade

Auf einer Zahlengeraden kannst Du natürliche Zahlen anordnen und markieren. Für die Primfaktorzerlegung ist das hilfreich, wenn Du Vielfache und Teilbarkeitsmuster untersuchst.

Untersuche zum Beispiel die Vielfachen von $2$, $3$ und $5$. Überlege: Welche Zahlen werden von mehreren dieser Primzahlen getroffen?

Von Faktoren zu Primfaktoren

Ein Faktor ist eine Zahl, die in einer Multiplikation vorkommt.

$6\cdot 10=60$

Hier sind $6$ und $10$ Faktoren von $60$. Aber beide Faktoren sind noch keine Primzahlen.

Deshalb zerlegen wir weiter:

$6=2\cdot 3$

und

$10=2\cdot 5$.

Damit folgt:

$60=(2\cdot 3)\cdot (2\cdot 5)$

also

$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$

und kurz:

$60=2^2\cdot 3\cdot 5$.

Der Faktorbaum

Ein Faktorbaum zeigt die Zerlegung Schritt für Schritt. Jeder zusammengesetzte Faktor wird weiter zerlegt. Erst wenn an allen Enden Primzahlen stehen, ist die Zerlegung abgeschlossen.

Für $60$ kannst Du zum Beispiel mit

$60=6\cdot 10$

beginnen.

Dann gilt:

$6=2\cdot 3$

und

$10=2\cdot 5$.

Die Blätter des Faktorbaums sind damit

$2,3,2,5$.

Nach dem Sortieren erhältst Du:

$2,2,3,5$.

Also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{60=2^2\cdot3\cdot5}}

Verschiedene Faktorwege führen zum selben Ziel

Du musst nicht immer mit denselben Faktoren beginnen.

Weg A:

$60=6\cdot 10$

$60=(2\cdot 3)\cdot (2\cdot 5)$

$60=2^2\cdot 3\cdot 5$

Weg B:

$60=3\cdot 20$

$60=3\cdot 4\cdot 5$

$60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5$

$60=2^2\cdot 3\cdot 5$

Die Reihenfolge der Primfaktoren kann verschieden sein. Das Ergebnis enthält aber dieselben Primfaktoren mit denselben Häufigkeiten.

Das ist eine wichtige Eigenschaft: Jede natürliche Zahl größer als $1$ besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung, wenn man nur die Reihenfolge der Faktoren außer Acht lässt.

Ein zweiter Faktorbaum: 42

Rechnerisch:

$42=6\cdot 7$

$42=(2\cdot 3)\cdot 7$

also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{42=2\cdot3\cdot7}}

Kontrolle:

$2\cdot 3\cdot 7=6\cdot 7=42$.

Systematisches Zerlegen durch Division

Neben dem Faktorbaum kannst Du eine Zahl auch nacheinander durch kleine Primzahlen teilen.

Arbeite möglichst in dieser Reihenfolge:

$2,3,5,7,11,\dots$

Wenn die Zahl durch $2$ teilbar ist, teilst Du durch $2$. Prüfe danach erneut, ob der Rest noch einmal durch $2$ teilbar ist. Erst wenn das nicht mehr geht, versuchst Du die nächste Primzahl.

Teilbarkeitsregeln als Start-Hilfe

Primzahl	Schneller Test	Beispiel
$2$	Die letzte Ziffer ist gerade.	$84$ ist durch $2$ teilbar.
$3$	Die Quersumme ist durch $3$ teilbar.	$126$: $1+2+6=9$.
$5$	Die Zahl endet auf $0$ oder $5$.	$90$ ist durch $5$ teilbar.

Diese Regeln helfen Dir nur beim Finden eines passenden Primfaktors. Die vollständige Primfaktorzerlegung entsteht erst, wenn Du bis zu Primzahlen weiterzerlegst.

Beispiel: 84 schrittweise zerlegen

Schritt	Aktuelle Zahl	Primteiler	Rechnung	Rest
1	$84$	$2$	$84:2$	$42$
2	$42$	$2$	$42:2$	$21$
3	$21$	$3$	$21:3$	$7$
4	$7$	$7$	$7:7$	$1$

Die gefundenen Primfaktoren sind:

$2,2,3,7$.

Also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{84=2^2\cdot3\cdot7}}

Produktprobe:

$2^2\cdot 3\cdot 7=4\cdot 3\cdot 7=12\cdot 7=84$.

Die Probe bestätigt die Zerlegung.

Beispiel: 90 schrittweise zerlegen

$90=2\cdot 45$

$45=3\cdot 15$

$15=3\cdot 5$

Damit:

$90=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

und mit Potenzschreibweise:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{90=2\cdot3^2\cdot5}}

Produktprobe:

$2\cdot 3^2\cdot 5=2\cdot 9\cdot 5=18\cdot 5=90$.

Beispiel: 126 mit Teilbarkeitsregeln

Die Zahl $126$ ist gerade. Deshalb ist $2$ ein Primfaktor.

$126=2\cdot 63$

Für $63$ gilt:

$6+3=9$.

Also ist $63$ durch $3$ teilbar.

$63=3\cdot 21$

Auch $21$ ist durch $3$ teilbar:

$21=3\cdot 7$.

Damit:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{126=2\cdot3^2\cdot7}}

Kontrolle:

$2\cdot 9\cdot 7=18\cdot 7=126$.

Beispiel: 72 und Potenzschreibweise

$72=2\cdot 36$

$36=2\cdot 18$

$18=2\cdot 9$

$9=3\cdot 3$

Also:

$72=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3$

und kurz:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{72=2^3\cdot3^2}} .

Kontrolle:

$2^3\cdot 3^2=8\cdot 9=72$.

Potenzen lesen

Wenn derselbe Primfaktor mehrfach vorkommt, kannst Du ihn als Potenz schreiben.

$2\cdot 2\cdot 2=2^3$

$3\cdot 3=3^2$

Deshalb gilt:

$72=2^3\cdot 3^2$.

Der Exponent zeigt an, wie oft der Primfaktor als Faktor vorkommt.

Bei

$60=2^2\cdot 3\cdot 5$

kommt der Faktor $2$ zweimal vor, der Faktor $3$ einmal und der Faktor $5$ einmal.

Was passiert bei einer Primzahl?

Ist die Ausgangszahl bereits eine Primzahl, ist sie nicht weiter in kleinere natürliche Faktoren größer als $1$ zerlegbar.

Beispiel:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{47=47}}

Die einzige Primfaktorzerlegung besteht also aus der Primzahl selbst.

Sonderfall 1

Die Zahl $1$ besitzt keine Primfaktoren. Deshalb schreiben wir für sie keine Primfaktorzerlegung als Produkt von Primzahlen.

Das passt dazu, dass $1$ keine Primzahl ist.

Primfaktorzerlegung und Teiler

Die Primfaktorzerlegung verrät Dir sehr viel über die Teiler einer Zahl.

Betrachte wieder:

$60=2^2\cdot 3\cdot 5$.

Ein Teiler von $60$ darf nur Primfaktoren verwenden, die in dieser Zerlegung vorkommen, und keinen davon häufiger, als er in $60$ vorkommt.

Teiler aus Primfaktoren zusammensetzen

Aus

$60=2^2\cdot 3\cdot 5$

kannst Du zum Beispiel bilden:

$2$

$3$

$5$

$2\cdot 2=4$

$2\cdot 3=6$

$2\cdot 5=10$

$2^2\cdot 3=12$

$3\cdot 5=15$

$2^2\cdot 5=20$

$2\cdot 3\cdot 5=30$

und natürlich $1$ sowie $60$ selbst.

Damit sind die positiven Teiler:

$1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60$.

Teiler schnell begründen

Aus

$60=2^2\cdot 3\cdot 5$

folgt:

Behauptung	Entscheidung	Begründung mit Primfaktoren
$4\mid 60$	Ja	$4=2^2$ und $2^2$ steckt in der Zerlegung.
$6\mid 60$	Ja	$6=2\cdot 3$ und beide Primfaktoren sind vorhanden.
$8\mid 60$	Nein	$8=2^3$, aber $60$ enthält nur $2^2$.
$15\mid 60$	Ja	$15=3\cdot 5$.
$9\mid 60$	Nein	$9=3^2$, aber $60$ enthält nur einen Faktor $3$.

Das Zeichen $a\mid b$ bedeutet: $a$ teilt $b$ ohne Rest.

E-Niveau: Anzahl der Teiler aus den Exponenten

Bei

$60=2^2\cdot 3^1\cdot 5^1$

kann ein Teiler den Faktor $2$ nullmal, einmal oder zweimal enthalten. Dafür gibt es also $3$ Möglichkeiten.

Der Faktor $3$ kann nullmal oder einmal vorkommen. Dafür gibt es $2$ Möglichkeiten.

Der Faktor $5$ kann ebenfalls nullmal oder einmal vorkommen. Auch dafür gibt es $2$ Möglichkeiten.

Insgesamt erhältst Du:

$(2+1)\cdot (1+1)\cdot (1+1)=3\cdot 2\cdot 2=12$

positive Teiler.

Das stimmt mit der oben aufgelisteten Teilermenge überein.

Visuelle Schritt-für-Schritt-Zerlegung

Die folgende Animation zeigt das Prinzip einer fortschreitenden Faktorisierung an einer größeren Zahl. Entscheidend ist nicht, dass Du diese Zahl sofort im Kopf zerlegst, sondern dass Du beobachtest, wie zusammengesetzte Faktoren immer weiter aufgespalten werden.

Stoppe gedanklich an jeder Stufe und frage:

1. Sind alle sichtbaren Endfaktoren Primzahlen?
2. Falls nein: Welcher Faktor muss noch zerlegt werden?
3. Kann ich das bisherige Produkt durch Multiplikation kontrollieren?

Interaktive Zerlegung mit Faktorbaum

Mit diesem GeoGebra-Material kannst Du Zahlen auswählen, Faktorpaare untersuchen, einen Faktorbaum aufbauen und die Primfaktorzerlegung kontrollieren.

Arbeitsauftrag:

1. Wähle eine zusammengesetzte Zahl zwischen $20$ und $100$.
2. Baue einen Faktorbaum.
3. Notiere die Primfaktoren in aufsteigender Reihenfolge.
4. Schreibe gleiche Faktoren als Potenz.
5. Führe eine Produktprobe durch.

Interaktive Rechteckdarstellung von Faktoren

Faktoren lassen sich auch als Seitenlängen eines Rechtecks deuten. Diese Darstellung verbindet Teilbarkeit mit Geometrie.

Untersuche zum Beispiel $24$, $30$ und $49$. Vergleiche die möglichen Rechtecke mit den jeweiligen Faktorzerlegungen.

Vertiefende GeoGebra-Lernumgebung

Die Lernumgebung verbindet Primzahlen, Primzahlprüfung, Primfaktorzerlegung und Aufgaben zur Teilbarkeit.

Typische Fehler und wie Du sie erkennst

Fehler 1: Zu früh aufhören

Falsch:

$60=2\cdot 30$

Das ist noch keine Primfaktorzerlegung, weil $30$ keine Primzahl ist.

Weiter:

$30=2\cdot 15$

und

$15=3\cdot 5$.

Erst dann:

$60=2^2\cdot 3\cdot 5$.

Fehler 2: Einen zusammengesetzten Faktor stehen lassen

Falsch:

$84=2\cdot 6\cdot 7$

Der Faktor $6$ ist zusammengesetzt.

Richtig:

$6=2\cdot 3$

also:

$84=2^2\cdot 3\cdot 7$.

Fehler 3: Die Produktprobe vergessen

Angenommen, jemand schreibt:

$90=2\cdot 3\cdot 5$.

Die Produktprobe zeigt sofort:

$2\cdot 3\cdot 5=30$

und nicht $90$.

Damit ist klar: Es fehlt ein Primfaktor $3$.

Richtig ist:

$90=2\cdot 3^2\cdot 5$.

Fehler 4: Die 1 als Primfaktor verwenden

Eine Schreibweise wie

$30=1\cdot 2\cdot 3\cdot 5$

liefert zwar rechnerisch wieder $30$, aber $1$ ist kein Primfaktor. In der Primfaktorzerlegung wird sie deshalb nicht aufgeführt.

Merkschema

Schritt	Frage an Dich	Beispiel bei $60$
Start	Durch welche kleine Primzahl ist die Zahl teilbar?	$60$ ist durch $2$ teilbar.
Teilen	Was bleibt nach der Division?	$60:2=30$
Weiterteilen	Ist der Rest noch zusammengesetzt?	$30:2=15$, danach $15:3=5$
Stoppen	Ist der letzte Rest prim?	$5$ ist prim.
Ordnen	Welche Primfaktoren wurden gefunden?	$2,2,3,5$
Kurzschreibweise	Welche Faktoren wiederholen sich?	$2^2\cdot 3\cdot 5$
Probe	Ergibt die Multiplikation wieder die Ausgangszahl?	$4\cdot 3\cdot 5=60$

Erklärvideos

Das folgende Video ist ausdrücklich für die 5. Klasse angelegt und erklärt das Grundprinzip der Primfaktorzerlegung.

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Ein zweites Video zeigt eine kurze Einführung mit Beispielen wie $36$ und $105$.

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Zur Vertiefung kannst Du Dir weitere Beispiele ansehen:

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was kennzeichnet eine Primzahl? (Sie ist größer als eins und hat genau zwei positive Teiler.) (!Sie ist immer ungerade.) (!Sie hat genau drei positive Teiler.) (!Sie lässt sich immer durch fünf teilen.)

Welche Primfaktorzerlegung gehört zu 60? (2 mal 2 mal 3 mal 5) (!2 mal 3 mal 10) (!3 mal 4 mal 5) (!2 mal 5 mal 6)

Welche Zerlegung gehört zu 84? (2 hoch 2 mal 3 mal 7) (!2 mal 3 mal 7) (!2 hoch 3 mal 3 mal 7) (!2 hoch 2 mal 5 mal 7)

Wann ist ein Faktorbaum fertig? (Wenn an allen Enden Primzahlen stehen.) (!Wenn genau zwei Äste gezeichnet wurden.) (!Wenn die Ausgangszahl gerade ist.) (!Wenn irgendwo die Zahl zehn vorkommt.)

Welcher Wert ist ein Teiler von 60 und lässt sich direkt aus 2 hoch 2 mal 3 mal 5 zusammensetzen? (12) (!8) (!9) (!25)

Welche Primfaktorzerlegung gehört zu 72? (2 hoch 3 mal 3 hoch 2) (!2 hoch 2 mal 3 hoch 2) (!2 hoch 3 mal 3) (!2 mal 3 hoch 3)

Welche Aussage über die Zahl 1 ist richtig? (Sie ist keine Primzahl.) (!Sie ist die kleinste Primzahl.) (!Sie besitzt genau zwei positive Teiler.) (!Sie ist ein Primfaktor jeder Zahl.)

Warum ist 8 kein Teiler von 60? (Weil 8 drei Zweierfaktoren braucht, 60 aber nur zwei Zweierfaktoren enthält.) (!Weil 8 keine gerade Zahl ist.) (!Weil 60 keinen Zweierfaktor enthält.) (!Weil jeder Teiler von 60 eine Primzahl sein muss.)

Welche Primfaktorzerlegung gehört zu 90? (2 mal 3 hoch 2 mal 5) (!2 hoch 2 mal 3 mal 5) (!2 mal 3 mal 5) (!3 hoch 2 mal 10)

Was bleibt bei verschiedenen richtigen Faktorwegen gleich? (Die Primfaktoren und ihre Häufigkeiten.) (!Die Form des gezeichneten Faktorbaums.) (!Die Reihenfolge aller Zwischenschritte.) (!Der zuerst gewählte Faktor.)

Memory

Primzahl	Natürliche Zahl größer als eins mit genau zwei positiven Teilern
Primfaktor	Primzahl, die eine gegebene Zahl ohne Rest teilt
Faktorbaum	Verzweigte Darstellung einer vollständigen Zerlegung
Produktprobe	Kontrolle durch Rückmultiplikation der gefundenen Primfaktoren
Potenz	Kurzschreibweise für wiederholte gleiche Faktoren
Teilbarkeit	Division ohne Rest
Quersumme	Hilfsmittel zur Prüfung auf Teilbarkeit durch drei
Exponent	Gibt an, wie oft ein gleicher Primfaktor vorkommt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Gerade Endziffer	Zweierfaktor
Endziffer Null oder Fünf	Fünferfaktor
Durch drei teilbare Quersumme	Dreierfaktor
Nur Primzahlen an den Blättern	Fertiger Faktorbaum
Rückrechnung durch Multiplikation	Produktprobe

Kreuzworträtsel

Primzahl	Wie heißt eine natürliche Zahl größer als eins mit genau zwei positiven Teilern?
Faktorbaum	Wie heißt die verzweigte Darstellung einer schrittweisen Zerlegung?
Produktprobe	Wie heißt die Kontrolle durch Rückmultiplikation?
Quersumme	Welche Rechengröße hilft bei der Teilbarkeit durch drei?
Exponent	Wie heißt die hochgestellte Zahl in einer Potenz?
Teilbarkeit	Wie heißt die Eigenschaft, wenn eine Division ohne Rest möglich ist?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Primzahl besitzt genau positive Teiler.

Die Zahl ist keine Primzahl.

Bei einer Primfaktorzerlegung werden zusammengesetzte Zahlen vollständig in zerlegt.

Ein Faktorbaum ist fertig, wenn an allen Enden nur noch stehen.

Gleiche Primfaktoren können mit einer abgekürzt werden.

Bei der Zahl sechzig kommt der Primfaktor zwei vor.

Die Zerlegung von sechzig enthält außerdem die Primfaktoren drei und .

Mit einer kontrollierst Du die Zerlegung durch Multiplikation.

Ein Teiler darf keinen Primfaktor häufiger benötigen, als er in der vorkommt.

Die Quersumme hilft besonders beim Prüfen der Teilbarkeit durch .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Primzahlkarten: Gestalte eigene Karten für alle Primzahlen bis $50$. Notiere auf der Rückseite jeweils, warum die Zahl prim ist.
2. Faktorbaum zeichnen: Zeichne einen Faktorbaum für $36$ und kontrolliere Dein Ergebnis durch Multiplikation.
3. Produktprobe: Zerlege $45$, $50$ und $70$ in Primfaktoren und führe zu jeder Zahl eine Produktprobe durch.
4. Teiler entdecken: Nutze die Zerlegung $30=2\cdot 3\cdot 5$ und finde alle positiven Teiler von $30$.

Standard

1. Zwei Faktorwege: Zerlege $72$ auf zwei verschiedenen Wegen mit Faktorbaum. Erkläre, warum beide Wege dieselbe Primfaktorzerlegung ergeben.
2. Fehlerdetektiv: Eine Person schreibt $84=2\cdot 6\cdot 7$ als fertige Primfaktorzerlegung. Erkläre den Fehler und verbessere die Lösung.
3. Teilbarkeit begründen: Entscheide mithilfe von $120=2^3\cdot 3\cdot 5$, ob $8$, $9$, $10$, $12$, $15$ und $25$ Teiler von $120$ sind.
4. Erklärplakat: Erstelle ein übersichtliches Lernplakat mit Faktorbaum, Potenzschreibweise, Teilbarkeitsregeln und Produktprobe am Beispiel einer selbst gewählten Zahl.

Schwer

1. Teilerstruktur untersuchen: Zerlege $180$ in Primfaktoren und entwickle ein System, mit dem Du alle positiven Teiler findest, ohne einen Teiler zu vergessen.
2. Vergleich zweier Zahlen: Zerlege $84$ und $126$. Markiere gemeinsame Primfaktoren und erkläre, wie sich daraus gemeinsame Teiler erkennen lassen.
3. Eigenes Lernvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo, in dem Du eine Zahl mit mindestens drei verschiedenen Primfaktoren zerlegst, die Potenzschreibweise erklärst und eine Produktprobe ausführst.
4. Forscherauftrag: Untersuche Zahlen der Form $2^a\cdot 3^b$ für kleine natürliche Exponenten. Beschreibe, wie sich die Anzahl möglicher Teiler verändert, wenn ein Exponent erhöht wird.

Lernkontrolle

1. Strategiewahl: Du sollst $294$ zerlegen. Begründe, mit welcher Primzahl Du beginnen würdest, führe die Zerlegung vollständig aus und kontrolliere sie.
2. Fehleranalyse: Jemand behauptet $108=2^2\cdot 3^2$. Zeige mit einer Produktprobe, warum die Aussage falsch ist, und bestimme die richtige Zerlegung.
3. Transfer Teilbarkeit: Gegeben ist $n=2^3\cdot 3^2\cdot 5$. Entscheide begründet, ob $24$, $40$, $45$, $72$ und $90$ Teiler von $n$ sind.
4. Vergleich von Faktorwegen: Erstelle zwei verschiedene Faktorwege für $120$. Erkläre, warum die Primfaktorzerlegung trotz unterschiedlicher Zwischenschritte übereinstimmt.
5. Unbekannte Zahl: Eine Zahl hat die Primfaktorzerlegung $2^2\cdot 3\cdot 7$. Bestimme die Zahl und erkläre, welche Teiler Du sofort erkennen kannst.
6. Gegenbeispiel: Prüfe die Aussage „Wenn zwei Zahlen beide durch $6$ teilbar sind, enthalten beide mindestens die Primfaktoren $2$ und $3$.“ Begründe Deine Entscheidung mit Primfaktorzerlegungen.
7. Muster erkennen: Vergleiche die Zerlegungen von $18$, $36$, $72$ und $144$. Beschreibe, wie sich die Exponenten verändern und welche Teilbarkeitseigenschaften daraus folgen.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse angibst, sondern Deine Zerlegung nachvollziehbar darstellst.

1. Primzahlen erkennen: Du kannst entscheiden, ob eine kleine natürliche Zahl eine Primzahl ist.
2. Faktorbaum anwenden: Du kannst eine zusammengesetzte Zahl vollständig bis zu Primzahlen zerlegen.
3. Systematisch dividieren: Du kannst kleine Primzahlen der Reihe nach als mögliche Teiler prüfen.
4. Potenzschreibweise verwenden: Du kannst wiederholte gleiche Primfaktoren korrekt als Potenz schreiben.
5. Produktprobe durchführen: Du kannst Deine Zerlegung durch Multiplikation kontrollieren.
6. Teiler begründen: Du kannst aus einer Primfaktorzerlegung entscheiden, ob eine Zahl Teiler ist.
7. Fehler erklären: Du kannst unvollständige oder falsche Primfaktorzerlegungen erkennen und verbessern.
8. Zusammenhänge darstellen: Du kannst Primfaktoren, Teilbarkeit und Teiler miteinander verbinden.

OERs zum Thema

Wikipedia bietet einen ausführlichen Überblick zur Primfaktorzerlegung:

Weitere freie beziehungsweise offene Lernressourcen:

1. Wikimedia Commons: Kategorie Prime factorization – freie Abbildungen und Animationen zu Faktorzerlegungen.
2. GeoGebra: Primality and Prime Factorization – interaktive Primzahlprüfung und Faktorbaum.
3. GeoGebra: Primfaktorzerlegung – deutschsprachige Lernumgebung.
4. GeoGebra: Primfaktorzerlegung, Schulstufe 5–6 – Aufgaben zur eigenständigen Zerlegung.

Medienhinweise

Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien wurden wegen ihres direkten Lernbezugs ausgewählt. Die Lizenzinformationen sind jeweils auf der zugehörigen Dateiseite dokumentiert. Die Datei „Factor Tree 60.svg“ ist unter CC0 veröffentlicht. „Factorization.gif“ ist gemeinfrei. „PrimeDecompositionExample.svg“ und „Number factorization and primes visualized.svg“ sind ebenfalls als freie Commons-Medien verfügbar. Bei eingebetteten YouTube- und GeoGebra-Inhalten verbleiben Rechte und technische Bereitstellung bei den jeweiligen Plattformen und Urheberinnen beziehungsweise Urhebern.

Erweiterung: Größere Zerlegung lesen

Die Abbildung zeigt eine Zerlegung von $864$. Du musst eine solche Zahl im E-Niveau nicht immer vollständig im Kopf zerlegen. Du solltest aber den Aufbau lesen können.

Eine mögliche Rechnung ist:

$864=32\cdot 27$

mit

$32=2^5$

und

$27=3^3$.

Also:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{864=2^5\cdot3^3}} .

Produktprobe:

$2^5\cdot 3^3=32\cdot 27=864$.

Verknüpfte Lernbereiche

Primfaktorzerlegung Primzahl Faktor Faktorbaum Teilbarkeit Teiler Potenz Quersumme Produkt Größter gemeinsamer Teiler Kleinstes gemeinsames Vielfaches