M5 E - Natürliche und ganze Zahlen vergleichen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 5-6, E-Niveau

Einleitung

M5 E - Natürliche und ganze Zahlen vergleichen ist ein aiMOOC für die Klasse 5 auf E-Niveau. Du wiederholst zunächst, wie Du natürliche Zahlen mithilfe des Stellenwertsystems vergleichst. Danach erweiterst Du Deinen Zahlenbereich zu den ganzen Zahlen und untersuchst, warum negative Zahlen überhaupt gebraucht werden.

Im Mittelpunkt stehen nicht lange Textblöcke, sondern mathematische Darstellungen: Zahlengeraden, Mengenmodelle, Stellenwerttafeln, Vergleichszeichen, Bilder aus Alltagssituationen und interaktive Übungen.

Lernziel	Das kannst Du am Ende
Zahlenmengen	$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$ erklären
Vergleichen	$<$, $>$ und $=$ sicher verwenden
Zahlengerade	Ganze Zahlen eintragen, ablesen und ordnen
Negative Zahlen	Situationen unterhalb eines Bezugspunktes mathematisch beschreiben
Transfer	erklären, warum z. B. $3-5$ in $\mathbb{N}$ nicht, aber in $\mathbb{Z}$ lösbar ist

Ein erster Blick auf die Zahlenmengen

Beim Zählen begegnest Du natürlichen Zahlen:

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\dots \}$

Ob die $0$ zu $\mathbb{N}$ gezählt wird, hängt von der verwendeten Konvention ab. Deshalb schreiben wir in diesem Kurs ausdrücklich

${\mathbb{N}}_0=\{0,1,2,3,4,\dots \}$,

wenn die Null sicher eingeschlossen sein soll. Unabhängig von dieser Konvention gilt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}}}

Die Menge der ganzen Zahlen lautet:

$\mathbb{Z}=\{\dots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\dots \}$

Leseidee für das Mengendiagramm: Konzentriere Dich auf die beiden inneren Mengen $\mathbb{N}$ und $\mathbb{Z}$. Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Aber nicht jede ganze Zahl ist natürlich, denn beispielsweise gilt

$-7\in \mathbb{Z}$, aber $-7\notin \mathbb{N}$.

Zahl	$\in \mathbb{N}$	$\in \mathbb{Z}$
$15$	ja	ja
$0$	je nach Konvention; sicher in ${\mathbb{N}}_0$	ja
$-4$	nein	ja
$-125$	nein	ja

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Natürliche Zahlen mit dem Stellenwertsystem vergleichen

Bei natürlichen Zahlen ist der Stellenwert entscheidend. Eine Ziffer hat je nach Position einen anderen Wert.

Beispiel:

$247306=2\cdot 100000+4\cdot 10000+7\cdot 1000+3\cdot 100+0\cdot 10+6\cdot 1$

HT	ZT	T	H	Z	E
2	4	7	3	0	6

Zum Vergleichen gehst Du von links nach rechts vor. Die erste unterschiedliche Stelle entscheidet.

Vergleich	Schritt 1	Schritt 2	Ergebnis
$247306$ und $247360$	HT, ZT, T und H sind gleich	An der Zehnerstelle gilt $0<6$	$247306<247360$
$53912$ und $7999$	Erste Zahl hat fünf Stellen	Zweite Zahl hat vier Stellen	$53912>7999$
$406080$ und $406080$	Alle Stellen stimmen überein	kein Unterschied	$406080=406080$

Merkschema:

$\text{gleiche Stellenzahl}⟶\text{von links vergleichen}⟶\text{erste verschiedene Ziffer entscheidet}$

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Interaktive Stellenwerttafel

In der folgenden dynamischen Darstellung kannst Du natürliche Zahlen über ihre Stellenwerte untersuchen. Achte darauf, welchen Wert eine Ziffer durch ihre Position erhält.

Mini-Auftrag: Stelle nacheinander $4305$, $4350$ und $4503$ dar. Entscheide danach ohne Taschenrechner:

$4305<4350<4503$

Erkläre Dir selbst, an welcher Stelle jeweils die Entscheidung fällt.

Vom Zahlenstrahl zur Zahlengeraden

Für natürliche Zahlen genügt oft die Vorstellung eines Zahlenstrahls, der bei $0$ beginnt und nach rechts weiterläuft:

$0<1<2<3<4<5<\dots$

Doch manche Situationen verlangen Zahlen links von $0$. Dann erweitern wir zur Zahlengeraden:

$\dots <-5<-4<-3<-2<-1<0<1<2<3<4<5<\dots$

Auf einer üblichen waagerechten Zahlengeraden gilt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{weiter rechts} \Longleftrightarrow \text{größer}}}

und

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{\text{weiter links} \Longleftrightarrow \text{kleiner}}}

Damit wird sofort sichtbar:

$-6<-2$

$-2<0$

$0<5$

$-3<4$

Warum reichen natürliche Zahlen nicht immer aus?

Stell Dir die Aufgabe

$3-5=?$

vor. In den natürlichen Zahlen findest Du kein Ergebnis, denn keine natürliche Zahl liegt zwei Schritte unter $0$.

Als Gleichung geschrieben:

$5+x=3$

Innerhalb von $\mathbb{N}$ gibt es dafür keine passende Zahl $x$. Erweitern wir den Zahlenbereich, erhalten wir

$x=-2$,

denn

$5+(-2)=3$.

Die ganzen Zahlen schließen diese Lücke:

$\mathbb{N}⟶\mathbb{Z}=\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}.$

Die Erweiterung löst also ein grundsätzliches Problem: Subtraktionen wie

$2-7=-5$

oder

$18-25=-7$

haben nun ein Ergebnis im betrachteten Zahlenbereich.

Problem	In natürlichen Zahlen	In ganzen Zahlen
$7-3$	$4$ möglich	$4$ möglich
$3-7$	kein Ergebnis in $\mathbb{N}$	$-4$
Vorgänger von $0$	nicht in ${\mathbb{N}}_0$	$-1$
Werte unter einem Bezugspunkt	nicht direkt darstellbar	mit negativen Zahlen darstellbar

Negative Zahlen im Alltag

Negative Zahlen sind besonders nützlich, wenn es einen Bezugspunkt $0$ gibt und Werte auf zwei Seiten dieses Bezugspunktes liegen.

Temperatur

Bei der Celsius-Skala liegt $-6^{\circ }\mathrm{C}$ unter $0^{\circ }\mathrm{C}$. Deshalb gilt

$-6<0<4$.

Vergleich zweier Minustemperaturen:

$-3^{\circ }\mathrm{C}>-8^{\circ }\mathrm{C}$,

denn $-3$ liegt auf der Zahlengeraden weiter rechts als $-8$.

Stockwerke unter dem Erdgeschoss

Ein Gebäude kann Geschosse unterhalb der Ebene $0$ besitzen. Sie können mit $-1$, $-2$ usw. bezeichnet werden.

Eine Fahrt von Ebene $-2$ zu Ebene $1$ führt auf der Zahlengeraden nach rechts:

$-2<-1<0<1$.

Höhen unter dem Meeresspiegel

Der Meeresspiegel kann als Bezugshöhe $0\mathrm{m}$ gewählt werden. Eine Stelle unterhalb davon erhält dann eine negative Höhenangabe.

So kann beispielsweise eine Höhe unter dem Meeresspiegel als

$-a\mathrm{m}$

notiert werden, während eine Höhe oberhalb des Bezugspunktes als

$+b\mathrm{m}$

gedacht werden kann.

Kontostand und Schuldenmodell

Auch Geldsituationen können einen Nullpunkt besitzen:

$\text{Guthaben}>0,\text{ausgeglichen}=0,\text{Schulden}<0.$

Ein Kontostand von Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle -20\,€} liegt unter Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle -5\,€} :

$-20<-5$.

Die Zahl $-20$ ist also kleiner, obwohl in ihr die natürliche Zahl $20$ steckt.

Ganze Zahlen vergleichen

Beim Vergleichen ganzer Zahlen hilft immer die Zahlengerade.

Fall	Beispiel	Begründung
beide Zahlen positiv	$8>3$	wie bei natürlichen Zahlen
positiv und negativ	$5>-2$	positive Zahl liegt rechts von $0$
Null und negativ	$0>-7$	$0$ liegt rechts von jeder negativen ganzen Zahl
beide Zahlen negativ	$-3>-8$	$-3$ liegt weiter rechts

Besonders wichtig:

$8>3$, aber $-8<-3$.

Das Minuszeichen kehrt nicht einfach ein Vergleichszeichen um. Entscheidend ist die Position auf der Zahlengeraden.

Betrag und Gegenzahl als Denkwerkzeuge

Die Zahlen $5$ und $-5$ liegen gleich weit von $0$ entfernt, aber auf verschiedenen Seiten.

Sie sind Gegenzahlen:

$-(5)=-5$

und

$-(-5)=5$.

Der Betrag beschreibt den Abstand zur Null:

$|5|=5$

$|-5|=5$

$|0|=0$.

Bei zwei negativen Zahlen hilft diese Vorstellung:

$|-9|=9$ und $|-4|=4$.

Da $-9$ weiter links liegt, gilt

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{-9<-4}} .

Zahl	Abstand zu $0$	Lage
$-7$	$7$	7 Einheiten links
$-2$	$2$	2 Einheiten links
$0$	$0$	Nullpunkt
$3$	$3$	3 Einheiten rechts

Vergleichszeichen richtig lesen

Die drei wichtigsten Zeichen sind:

Zeichen	Bedeutung	Beispiel	Lies
$<$	kleiner als	$-4<2$	minus vier ist kleiner als zwei
$>$	größer als	$-1>-6$	minus eins ist größer als minus sechs
$=$	gleich	$0=0$	null ist gleich null

Eine zuverlässige Strategie ist:

Schritt	Frage	Beispiel mit $-7$ und $-2$
1	Wo liegt jede Zahl auf der Zahlengeraden?	$-7$ liegt links von $-2$
2	Welche Zahl liegt weiter rechts?	$-2$
3	Setze das Zeichen.	$-7<-2$
4	Lies den Satz laut.	minus sieben ist kleiner als minus zwei

Dynamische Zahlengerade: vergleichen und ordnen

Mit dieser interaktiven Zahlengeraden kannst Du ganze Zahlen vergleichen und Deine Entscheidung unmittelbar überprüfen.

Probiere besonders Vergleiche wie

$-9◻-6$,

$-5◻-7$

und

$3◻-2$.

Ersetze $◻$ jeweils durch $<$, $>$ oder $=$.

Visueller Schritt-für-Schritt-Vergleich

Beispiel: Vergleiche $-12$ und $-5$.

Schritt	Darstellung
Start	$-12-5$
Bezugspunkt	Beide Zahlen liegen links von $0$.
Zahlengerade	$-12<-11<-10<\dots <-6<-5<0$
Richtung	Von $-12$ musst Du nach rechts gehen, um $-5$ zu erreichen.
Ergebnis	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{-12<-5}}

Jetzt umgekehrt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{-5>-12}} .

Vom Alltag zur mathematischen Zahl

Situation	Bezugspunkt	Mathematische Darstellung	Vergleichsidee
Temperatur	$0^{\circ }\mathrm{C}$	$-8^{\circ }\mathrm{C}$	kälter als $-2^{\circ }\mathrm{C}$
Tiefgarage	Erdgeschoss $0$	Ebene $-2$	unter Ebene $-1$
Meereshöhe	Meeresspiegel $0\mathrm{m}$	$-35\mathrm{m}$	tiefer als $-10\mathrm{m}$
Kontostand	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 0\,€}	Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle -15\,€}	kleiner als Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle 5\,€}

Die mathematische Struktur ist jedes Mal ähnlich:

$\text{unterhalb des Bezugspunktes}⟹\text{negative Zahl}.$

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Typische Denkfehler

Denkfehler	Korrektur
„$-8$ ist größer als $-3$, weil $8>3$.“	Auf der Zahlengeraden liegt $-8$ weiter links. Deshalb $-8<-3$.
„$0$ ist eine negative Zahl.“	$0$ ist weder positiv noch negativ.
„Jede ganze Zahl ist natürlich.“	Nur die nichtnegativen beziehungsweise positiven ganzen Zahlen gehören – je nach Konvention – zu $\mathbb{N}$.
„Eine Zahl mit Minuszeichen kann nicht im Alltag vorkommen.“	Temperaturen, Tiefen, Untergeschosse und negative Kontostände liefern natürliche Anwendungen.
„Bei $3-5$ gibt es gar kein Ergebnis.“	In $\mathbb{N}$ nicht, aber in $\mathbb{Z}$ gilt $3-5=-2$.

Medienhinweis

Die eingebundenen Bilder stammen aus Wikimedia Commons und sind über die jeweilige Dateiseite mit ihren freien beziehungsweise dort ausgewiesenen Lizenzen dokumentiert. Die interaktiven mathematischen Materialien sind als eingebettete GeoGebra-Lernobjekte eingebunden. Die YouTube-Videos dienen als ergänzende Erklärmedien.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahl ist größer? (43218) (!43182) (!-43218) (!0)

Was bedeutet $a<b$ auf einer üblichen waagerechten Zahlengeraden? (a liegt links von b) (!a liegt rechts von b) (!a und b sind immer positiv) (!a und b haben denselben Betrag)

Welche Zahl gehört zu $\mathbb{Z}$, aber nicht zu $\mathbb{N}$? (-6) (!6) (!14) (!25)

Welche Beziehung zwischen natürlichen und ganzen Zahlen ist richtig? (Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl) (!Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl) (!Natürliche und ganze Zahlen haben keine gemeinsamen Elemente) (!Negative Zahlen sind natürliche Zahlen)

Welcher Vergleich ist richtig? (-3 ist größer als -8) (!-8 ist größer als -3) (!-3 ist gleich -8) (!-3 ist kleiner als jede ganze Zahl)

Welche Aussage über die Zahl Null ist richtig? (Null ist weder positiv noch negativ) (!Null ist immer negativ) (!Null ist kleiner als jede negative Zahl) (!Null gehört nicht zu den ganzen Zahlen)

Welche Angabe ist ein typisches Beispiel für eine negative Zahl im Alltag? (-4 Grad Celsius) (!4 Äpfel) (!8 Hefte) (!12 Fahrräder)

Welches Ergebnis hat $3-5$ in der Menge der ganzen Zahlen? (-2) (!2) (!8) (!0)

Was ist der Vorgänger von Null in der Menge der ganzen Zahlen? (-1) (!1) (!0) (!10)

Wie groß ist der Betrag von $-7$? (7) (!-7) (!0) (!14)

Memory

Natürliche Zahl	12
Negative ganze Zahl	-9
Zahlengerade	Zahlen werden nach ihrer Größe räumlich geordnet
Gegenzahl	gleiche Entfernung von Null auf der anderen Seite
Betrag	Abstand einer Zahl von Null
Vergleichszeichen	kleiner gleich oder größer ausdrücken

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Positive ganze Zahlen	liegen rechts von Null
Negative ganze Zahlen	liegen links von Null
Gegenzahlen	besitzen denselben Abstand zur Null
Natürliche Zahlen	dienen unter anderem zum Zählen
Ganze Zahlen	erweitern den Zahlenbereich um negative Zahlen

Interaktive Zuordnung: Alltag und Vorzeichen

Ordne die Situation zu.	Bedeutung
Untergeschoss	Lage unterhalb des Erdgeschosses
Minustemperatur	Temperatur unter null Grad Celsius
Guthaben	positiver Kontostand
Schulden	negativer Kontostand
Meeresspiegel	möglicher Bezugspunkt für Höhenangaben

Kreuzworträtsel

Zahlengerade	Wie heißt das Modell, auf dem Zahlen nach ihrer Größe angeordnet werden?
Betrag	Wie heißt der Abstand einer Zahl von Null?
Gegenzahl	Wie heißt die Zahl mit gleichem Betrag und entgegengesetztem Vorzeichen?
Vorzeichen	Wie heißt das Zeichen, das eine Zahl als positiv oder negativ kennzeichnet?
Untergeschoss	Wie nennt man ein Stockwerk unterhalb des Erdgeschosses?
Thermometer	Welches Messgerät zeigt Temperaturen und damit auch Werte unter Null?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Menge der ganzen Zahlen wird mit bezeichnet. Die natürlichen Zahlen sind eine der ganzen Zahlen. Auf einer üblichen waagerechten Zahlengeraden werden Zahlen nach rechts immer . Negative Zahlen liegen links von . Die Zahl $-3$ ist deshalb als $-8$. Der Abstand einer Zahl von Null heißt . Zwei Zahlen mit gleichem Betrag und entgegengesetztem Vorzeichen heißen . Die Rechnung $3-5$ hat in den ganzen Zahlen das Ergebnis . Ein Wert unter dem Meeresspiegel kann mit einer Zahl beschrieben werden. Die Null ist weder positiv noch .

Zahlen ordnen

Bringe die Aussagen in die passende Ordnung.	Vergleich
am weitesten links	minus neun
links von Null	minus drei
Bezugspunkt	Null
rechts von Null	zwei
am weitesten rechts	sieben

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zahlengeraden-Plakat: Zeichne eine große Zahlengerade von $-10$ bis $10$. Markiere $-8,-3,0,4,9$ und formuliere fünf Vergleiche mit $<$ oder $>$.
2. Stellenwertkarten: Erstelle Karten für HT, ZT, T, H, Z und E. Lege damit drei sechsstellige Zahlen und erkläre jeweils, welche zuerst unterschiedliche Stelle beim Vergleichen entscheidet.
3. Alltagsfoto-Suche: Suche in Deiner Umgebung nach einer Darstellung mit positiven, negativen oder auf einen Nullpunkt bezogenen Zahlen, zum Beispiel Thermometer oder Aufzug. Beschreibe mathematisch, was die Zahlen bedeuten.
4. Spiegelpaare: Zeichne die Paare $-1$ und $1$, $-4$ und $4$ sowie $-7$ und $7$ auf einer Zahlengeraden. Erkläre die Gemeinsamkeit jedes Paares.

Standard

1. Temperaturtagebuch: Erfinde Temperaturen für sieben Wintertage zwischen $-10^{\circ }\mathrm{C}$ und $8^{\circ }\mathrm{C}$. Ordne sie und bestimme den kältesten sowie den wärmsten Tag.
2. Höhenmodell: Entwirf ein Bild mit Berg, Meeresspiegel und Tauchstation. Vergib ganzzahlige Höhen und Tiefen und formuliere mindestens sechs korrekte Vergleiche.
3. Aufzug-Modell: Plane ein Gebäude mit drei Untergeschossen und fünf Obergeschossen. Beschreibe fünf Fahrten als Bewegungen auf einer Zahlengeraden.
4. Mengenposter: Gestalte ein Mengendiagramm, das $\mathbb{N}$ als Teilmenge von $\mathbb{Z}$ zeigt. Ergänze mindestens sechs Beispielzahlen und begründe ihre Position.

Schwer

1. Warum neue Zahlen?: Untersuche die Rechnungen $8-3$, $3-8$, $0-5$ und $5-0$. Erkläre, bei welchen Rechnungen die natürlichen Zahlen nicht ausreichen und wie $\mathbb{Z}$ das Problem löst.
2. Fehleranalyse: Eine Person behauptet $-12>-5$, weil $12>5$. Erstelle eine visuelle Widerlegung mit Zahlengerade, Betrag und einem passenden Alltagsbeispiel.
3. Eigenes Erklärvideo: Produziere ein ein- bis zweiminütiges Lernvideo zu Zahl, Gegenzahl und Betrag. Nutze mindestens eine selbst gezeichnete Zahlengerade und drei korrekte Formeln mit $\mathrm{...}$.
4. Vergleichsmaschine: Entwirf auf Papier oder digital einen Entscheidungsbaum, der für zwei ganze Zahlen zuverlässig bestimmt, welche größer ist. Teste ihn an mindestens zehn Zahlenpaaren, darunter fünf Paare mit zwei negativen Zahlen.

Lernkontrolle

1. Zahlbereich erklären: Begründe anhand der Gleichung $4+x=1$, warum eine Erweiterung von $\mathbb{N}$ zu $\mathbb{Z}$ sinnvoll ist. Stelle Deine Erklärung zusätzlich auf einer Zahlengeraden dar.
2. Temperaturen vergleichen: Um 7 Uhr werden $-6^{\circ }\mathrm{C}$, um 12 Uhr $-1^{\circ }\mathrm{C}$ und um 18 Uhr $3^{\circ }\mathrm{C}$ gemessen. Ordne die Werte und erkläre mit der Zahlengeraden, wie Du die Reihenfolge erkennst.
3. Falsche Regel prüfen: Beurteile die Aussage „Bei negativen Zahlen ist die Zahl mit dem größeren Betrag immer größer.“ Finde ein Gegenbeispiel und formuliere eine korrekte Regel.
4. Bezugspunkt wählen: Ein Parkhaus besitzt Ebenen unter und über der Straße. Entwickle eine sinnvolle ganzzahlige Beschriftung und begründe, warum die Zahl $0$ als Bezugspunkt nützlich ist.
5. Strategien vergleichen: Vergleiche $305407$ mit $305470$ und anschließend $-407$ mit $-470$. Erkläre, warum beim zweiten Vergleich eine reine Übertragung der Stellenwertregel zu einem Denkfehler führen kann.
6. Eigenes Anwendungsproblem: Erfinde eine reale Situation, in der mindestens drei positive, drei negative und die Zahl $0$ vorkommen. Ordne alle Werte und begründe jeden Vergleich.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig, dass Du nicht nur Ergebnisse nennst, sondern Deine Entscheidungen mathematisch begründen kannst.

1. Natürliche Zahlen: Du vergleichst natürliche Zahlen sicher mit Stellenwerten.
2. Ganze Zahlen: Du erkennst positive, negative und die Zahl $0$ als Elemente von $\mathbb{Z}$.
3. Zahlenmengen: Du erklärst $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$ mit Beispielen und Gegenbeispielen.
4. Zahlengerade: Du liest ganze Zahlen ab, trägst sie ein und nutzt die Rechts-links-Ordnung zum Vergleichen.
5. Betrag und Gegenzahl: Du verwendest Abstand und Spiegelung an $0$ als Denkwerkzeuge.
6. Negative Zahlen: Du modellierst Temperaturen, Untergeschosse, Höhen oder Kontostände sinnvoll.
7. Zahlbereichserweiterung: Du erklärst, warum Aufgaben wie $3-5$ die Erweiterung zu $\mathbb{Z}$ motivieren.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel zu den ganzen Zahlen bietet eine weiterführende Übersicht:

Passende interne Lernwege sind außerdem Natürliche Zahl, Ganze Zahl, Positive und negative Zahlen, Zahlengerade, Betrag einer Zahl und Stellenwertsystem.

Verknüpfte Lernbereiche

M5 E - Natürliche und ganze Zahlen vergleichen Natürliche Zahl Ganze Zahl Zahlenmenge Stellenwertsystem Zahlengerade Positive und negative Zahlen Vergleichszeichen Betrag einer Zahl Gegenzahl Subtraktion