المعادلات الخطية والمتباينات

مقدمة

تساعدك المعادلات الخطية والمتباينات على وصف مواقف كثيرة بلغة الرياضيات: ثمن رحلة سيارة أجرة، ميزانية شراء، سرعة تغيّر كمية، أو حدود يجب ألا تتجاوزها. في هذا المساق ستتعلم كيف تحول مسألة مكتوبة إلى تعبير جبري، وكيف تحافظ على توازن المعادلة، ولماذا يتغير اتجاه رمز المتباينة عند الضرب أو القسمة في عدد سالب، وكيف تمثل الحل على خط الأعداد أو في المستوى الإحداثي.

المعادلة تقول إن عبارتين لهما القيمة نفسها، أما المتباينة فتقارن بين عبارتين وتسمح غالباً بمجموعة من القيم بدلاً من قيمة واحدة فقط. الفكرة المركزية في الحالتين هي إجراء عمليات جبرية صحيحة تحفظ معنى المسألة.

أهداف التعلم

بعد إكمال هذا المساق، ينبغي أن تكون قادراً على:

التمييز بين التعبير الجبري والمعادلة والمتباينة.
تبسيط العبارات بجمع الحدود المتشابهة واستعمال الخاصية التوزيعية.
حل معادلات خطية بمتغير واحد والتحقق من الحل بالتعويض.
التعرف إلى الحالات التي يكون فيها للمعادلة حل واحد أو لا حل أو عدد لا نهائي من الحلول.
تفسير الميل والمقطع الصادي وتمثيل معادلة خطية على المستوى الإحداثي.
حل متباينات خطية بمتغير واحد وتمثيل مجموعة الحل على خط الأعداد.
بناء معادلات ومتباينات من مواقف حياتية وتفسير الحل في سياق المشكلة.

أدوات الجبر التي تحتاجها

المتغيرات والحدود والمعاملات

المتغير رمز يمثل عدداً يمكن أن تتغير قيمته، مثل س أو ص. في العبارة 3س + 5، العدد 3 هو معامل المتغير س، والعدد 5 حد ثابت. والحدود المتشابهة هي التي تحتوي المتغير نفسه بالقوة نفسها؛ لذلك يمكن جمع 4س و2س لنحصل على 6س، لكن لا يمكن جمع 4س و2ص في حد واحد لأن المتغيرين مختلفان.

مثال سريع: بسّط 5س + 3 - 2س + 7.
نجمع الحدود المتشابهة: 5س - 2س = 3س، و3 + 7 = 10.
إذن الناتج هو 3س + 10.

الخاصية التوزيعية وإزالة الأقواس

عندما يكون عدد خارج قوس نضربه في كل حد داخل القوس. مثلاً:
3(س + 4) = 3س + 12
-2(س - 5) = -2س + 10

انتبه إلى الإشارة السالبة. الخطأ الشائع هو ضرب الحد الأول فقط وترك الحد الثاني. يمكنك فحص عملك بسؤال بسيط: هل وزعت العدد الخارجي على جميع الحدود داخل القوس؟

العبارة الأصلية	خطوة التوزيع	العبارة المبسطة
4(س + 2)	4×س + 4×2	4س + 8
3(2س - 5)	3×2س - 3×5	6س - 15
-2(س + 6)	-2×س - 2×6	-2س - 12

العمليات العكسية وفكرة التوازن

حل المعادلة يشبه المحافظة على ميزان متوازن. إذا أضفت عدداً إلى طرف، فعليك إضافة العدد نفسه إلى الطرف الآخر. وإذا قسمت طرفاً على عدد غير صفر، فعليك قسمة الطرف الآخر على العدد نفسه. الهدف هو عزل المتغير مع الحفاظ على التكافؤ بين الطرفين.

الطرف الأيسر	العملية نفسها على الطرفين	الطرف الأيمن
2س + 3	طرح 3	11
2س	الناتج بعد الطرح	8
س	القسمة على 2	4

هذا النموذج يوضح لماذا لا يجوز نقل حد من طرف إلى آخر وتغيير إشارته بلا تفسير. ما نسميه أحياناً «النقل» هو في الحقيقة إضافة المعكوس أو طرح المقدار نفسه من الطرفين.

المعادلات الخطية خطوة بخطوة

ما المعادلة الخطية؟

المعادلة الخطية بمتغير واحد يمكن كتابتها بعد التبسيط في صورة تشبه أ س + ب = ج، حيث أ وب وج أعداد، وأ لا يساوي صفراً. أعلى قوة للمتغير فيها هي القوة الأولى. لذلك 3س + 5 = 20 معادلة خطية، بينما س² + 1 = 10 ليست خطية.

مثال أول: عمليتان عكسيتان

حل المعادلة 3س + 5 = 20.
الخطوة الأولى: اطرح 5 من الطرفين: 3س = 15.
الخطوة الثانية: اقسم الطرفين على 3: س = 5.
التحقق: نعوض س = 5 في المعادلة الأصلية فنحصل على 3×5 + 5 = 20، أي 20 = 20. إذن الحل صحيح.

مثال ثان: متغير في كسر

حل س ÷ 4 - 2 = 3.
أضف 2 إلى الطرفين: س ÷ 4 = 5.
اضرب الطرفين في 4: س = 20.
التحقق: 20 ÷ 4 - 2 = 5 - 2 = 3.

مثال ثالث: المتغير في الطرفين

حل 2(س - 3) = س + 5.
وزع 2: 2س - 6 = س + 5.
اطرح س من الطرفين: س - 6 = 5.
أضف 6 إلى الطرفين: س = 11.
بالتحقق: 2(11 - 3) = 16، والطرف الآخر 11 + 5 = 16.

معادلات لها كل القيم أو لا حل لها

ليست كل معادلة خطية ذات حل واحد. عند التبسيط قد تختفي المتغيرات.

الحالة الأولى: هوية صحيحة دائماً.
2(س + 3) = 2س + 6
بعد التوزيع: 2س + 6 = 2س + 6. هذه مساواة صحيحة لكل قيمة حقيقية لس، لذلك مجموعة الحل هي جميع الأعداد الحقيقية.

الحالة الثانية: تناقض.
2(س + 3) = 2س + 5
بعد التوزيع وطرح 2س من الطرفين نحصل على 6 = 5، وهي عبارة خاطئة. لذلك لا يوجد حل.

هذه الملاحظة مهمة: لا تتوقف عند اختفاء المتغير، بل افحص العبارة العددية التي بقيت.

التمثيل البياني للعلاقات الخطية

من المعادلة إلى المستقيم

علاقة مثل ص = 2س - 4 تمثل خطاً مستقيماً على المستوى الإحداثي. العدد 2 هو الميل، وهو مقدار تغير ص عندما تزيد س بمقدار وحدة واحدة. والعدد -4 هو المقطع الصادي، أي قيمة ص عندما س = 0.

لرسم ص = 2س + 1 يمكنك إنشاء جدول قيم:

س	-2	-1	0	1	2
ص = 2س + 1	-3	-1	1	3	5

ضع النقاط الناتجة على المستوى ثم صل بينها بخط مستقيم. يمكنك أيضاً البدء من المقطع الصادي ثم استعمال الميل لتحديد نقطة ثانية.

مقارنة الميول بصرياً

عندما يكون الميل موجباً يرتفع الخط من اليسار إلى اليمين، وعندما يكون سالباً ينخفض، وعندما يكون الميل صفراً يكون الخط أفقياً. كلما كبرت القيمة المطلقة للميل كان الخط أشد انحداراً.

فكر: خطان لهما الميل نفسه ومقطعان صاديان مختلفان لا يتقاطعان، لأنهما متوازيان. أما إذا اختلف الميلان فقد يتقاطع الخطان في نقطة واحدة.

المتباينات الخطية

الرموز ومعناها

المتباينة تقارن بين كميتين باستخدام أحد الرموز الآتية:
س > 3 تعني أن س أكبر من 3.
س < 3 تعني أن س أصغر من 3.
س ≥ 3 تعني أن س أكبر من أو يساوي 3.
س ≤ 3 تعني أن س أصغر من أو يساوي 3.

على خط الأعداد نستخدم دائرة مفتوحة عندما لا تدخل قيمة الحد في الحل، كما في س > 3، ودائرة مغلقة عندما تدخل قيمة الحد، كما في س ≥ 3. يمتد السهم نحو جميع القيم التي تحقق المتباينة.

المتباينة	حالة نقطة الحد	اتجاه الحل
س > 3	مفتوحة	إلى القيم الأكبر
س ≥ 3	مغلقة	إلى القيم الأكبر
س < 3	مفتوحة	إلى القيم الأصغر
س ≤ 3	مغلقة	إلى القيم الأصغر

حل متباينة دون عدد سالب

حل 3س - 4 ≤ 11.
أضف 4 إلى الطرفين: 3س ≤ 15.
اقسم الطرفين على 3: س ≤ 5.
مجموعة الحل تشمل 5 وكل عدد أصغر منه.

القاعدة المهمة عند العدد السالب

إذا ضربت أو قسمت طرفي المتباينة في عدد سالب، فيجب عكس اتجاه رمز المتباينة. السبب أن ترتيب الأعداد ينعكس عند الضرب في عدد سالب. مثلاً 2 < 5، لكن بعد الضرب في -1 نحصل على -2 > -5.

حل -2س + 3 > 7.
اطرح 3 من الطرفين: -2س > 4.
اقسم الطرفين على -2، واعكس الرمز: س < -2.

المتباينات المركبة

أحياناً يجب أن تحقق القيمة شرطين في الوقت نفسه. مثال:
1 < 2س + 3 ≤ 9
اطرح 3 من الأجزاء الثلاثة: -2 < 2س ≤ 6
اقسم على 2: -1 < س ≤ 3

هذا يعني أن س أكبر من -1 من دون تضمينه، وأصغر من أو يساوي 3 مع تضمين 3.

امتداد بصري: متباينة بمتغيرين

في متباينة مثل ص ≤ س + 2 يكون الخط ص = س + 2 هو الحد الفاصل. إذا كان الرمز ≤ أو ≥ يكون الخط جزءاً من الحل، أما مع < أو > فلا يكون الحد نفسه ضمن الحل. بعد رسم الحد نختبر نقطة مناسبة لتحديد الجهة التي تحقق المتباينة، ثم نظللها.

تطبيقات من الحياة اليومية

تكلفة رحلة

لنفترض أن أجرة بدء رحلة هي 5 وحدات نقدية، وتضاف وحدتان لكل كيلومتر. إذا رمزنا للمسافة بالمتغير د وللتكلفة بالمتغير ك، فيمكن كتابة:
ك = 5 + 2د

إذا كانت المسافة 7 كيلومترات فالتكلفة ك = 5 + 2×7 = 19. وإذا كانت التكلفة 25 وأردت معرفة المسافة، تحل 25 = 5 + 2د، فتجد د = 10 كيلومترات.

ميزانية شراء

معك 60 وحدة نقدية. تريد شراء غرض ثابت ثمنه 12، ثم دفاتر ثمن الواحد منها 6. إذا كان ن عدد الدفاتر، فإن شرط عدم تجاوز الميزانية هو:
6ن + 12 ≤ 60
6ن ≤ 48
ن ≤ 8

لكن السياق يضيف قيداً مهماً: عدد الدفاتر يجب أن يكون عدداً صحيحاً غير سالب. لذلك القيم الممكنة هي 0 إلى 8 دفاتر.

معدل تغير ثابت

خزان يحتوي في البداية على 100 لتر، ويزداد حجمه بمقدار 15 لتراً كل دقيقة. بعد ز دقيقة يكون الحجم ح = 100 + 15ز. العدد 15 هو معدل التغير، وهو يماثل الميل في التمثيل البياني.

إذا كان الحد الأقصى للخزان 250 لتراً، فنكتب 100 + 15ز ≤ 250. بعد الحل نحصل على ز ≤ 10. هذا يعني أن التعبئة وفق هذا المعدل لا ينبغي أن تستمر أكثر من 10 دقائق إذا أردنا عدم تجاوز السعة.

استراتيجية حل ومراجعة الأخطاء

خطة من خمس خطوات

يمكنك استعمال الخطة الآتية في معظم مسائل هذا الدرس:

حدّد المتغير وما الذي يمثله في السياق.
اكتب المعادلة أو المتباينة من المعطيات.
بسّط الأقواس والحدود المتشابهة أولاً.
استعمل العمليات العكسية نفسها على الطرفين، واعكس رمز المتباينة فقط عند الضرب أو القسمة في عدد سالب.
تحقق من الحل بالتعويض أو بمراجعته في سياق المسألة وتمثيله بيانياً عند الحاجة.

أخطاء شائعة وكيف تصححها

الخطأ الأول: توزيع العدد على حد واحد داخل القوس. التصحيح: اضرب كل حد داخل القوس.

الخطأ الثاني: تغيير إشارة حد عند «نقله» دون إجراء العملية نفسها على الطرفين. التصحيح: اكتب خطوة الطرح أو الجمع صراحة حتى تتأكد من التكافؤ.

الخطأ الثالث: نسيان عكس رمز المتباينة عند القسمة على عدد سالب. التصحيح: ضع علامة تذكير بجانب كل خطوة قسمة أو ضرب في قيمة سالبة.

الخطأ الرابع: قبول حل غير منطقي في المسألة الواقعية. التصحيح: اسأل هل يمكن أن يكون عدد الأشخاص سالباً؟ وهل يجب أن يكون عدد العناصر صحيحاً؟

الخطأ الخامس: الخلط بين المعادلة الخطية والرسم الخطي. ليس كل جدول صغير يبدو منتظماً كافياً لإثبات علاقة خطية؛ العلاقة الخطية ذات معدل تغير ثابت ضمن النموذج الذي تدرسه.

مهام تفاعلية

اختبار: اختبر معرفتك

أي وصف يعبّر عن المعادلة؟ (مساواة بين عبارتين رياضيتين) (!مقارنة تسمح بقيم أكبر فقط) (!قائمة أعداد مرتبة) (!رسم بياني بلا رموز)

ما حل المعادلة 3س + 5 = 20؟ (س = 5) (!س = 3) (!س = 15) (!س = 25)

ما العملية الصحيحة للحفاظ على تكافؤ س + 7 = 12؟ (طرح 7 من الطرفين) (!طرح 7 من الطرف الأيسر فقط) (!ضرب الطرف الأيسر في 7 فقط) (!تبديل الطرفين ثم حذف 7)

ما ناتج توزيع 2 على س + 3؟ (2س + 6) (!2س + 3) (!س + 6) (!2س + 5)

ما شكل التمثيل البياني لمعادلة خطية بمتغيرين؟ (خط مستقيم) (!دائرة) (!قطع مكافئ) (!منحنى مغلق دائماً)

في العلاقة ص = 4س - 2، ما الميل؟ (4) (!-2) (!2) (!-4)

ما حل المتباينة 3س - 4 ≤ 11؟ (س ≤ 5) (!س ≥ 5) (!س < 15) (!س > 3)

متى يجب عكس اتجاه رمز المتباينة؟ (عند الضرب أو القسمة في عدد سالب) (!عند جمع عدد موجب) (!عند طرح العدد نفسه من الطرفين) (!عند تبسيط الحدود المتشابهة)

ميزانية مقدارها 60 وثمن ثابت 12 وثمن كل دفتر 6؛ ما أكبر عدد دفاتر يمكن شراؤه؟ (8 دفاتر) (!6 دفاتر) (!10 دفاتر) (!12 دفتراً)

ما مجموعة حل المعادلة 2س + 6 = 2س + 6؟ (جميع الأعداد الحقيقية) (!لا يوجد حل) (!س = 0 فقط) (!س = 6 فقط)

لعبة الذاكرة

المعادلة	مساواة بين عبارتين رياضيتين
المتباينة	مقارنة بين عبارتين باستخدام رمز ترتيب
المتغير	رمز يمثل قيمة يمكن أن تتغير
الميل	معدل تغير ص بالنسبة إلى س في علاقة خطية
المقطع الصادي	قيمة ص عندما تكون س صفراً
الخاصية التوزيعية	ضرب العامل الخارجي في كل حد داخل القوس
مجموعة الحل	جميع القيم التي تجعل العبارة الرياضية صحيحة

السحب والإفلات

طابق المصطلح أو الإجراء مع وصفه الصحيح.	الفكرة المرتبطة به
إضافة العدد نفسه للطرفين	تحافظ على تكافؤ المعادلة
القسمة على عدد سالب	تعكس اتجاه رمز المتباينة
جمع الحدود المتشابهة	يبسط العبارة قبل الحل
الميل الموجب	يجعل المستقيم يرتفع من اليسار إلى اليمين
الدائرة المفتوحة	تدل على أن قيمة الحد غير مشمولة
التحقق بالتعويض	يختبر صحة الحل في العبارة الأصلية

كلمات متقاطعة

المعادلة	ما اسم المساواة التي تحتوي تعبيرات رياضية ويمكن حلها؟
المتباينة	ما اسم العبارة التي تقارن بين كميتين برمز ترتيب؟
الميل	ما المصطلح الذي يصف معدل تغير ص بالنسبة إلى س في المستقيم؟
المتغير	ما اسم الرمز الذي يمثل قيمة يمكن أن تتغير؟
المستقيم	ما الشكل البياني الأساسي للعلاقة الخطية؟
التوزيع	ما اسم العملية التي تضرب العامل الخارجي في كل حد داخل القوس؟

مهام مفتوحة

سهل

اصنع نموذج ميزان جبري: ارسم ميزاناً بطرفين ومثّل عليه المعادلة 2س + 3 = 11، ثم وضح بالرسم كيف تؤدي العمليات نفسها على الطرفين إلى س = 4.
ارسم حل متباينة: اختر متباينتين من النوع س > أ و س ≤ ب، وارسم لكل منهما خط أعداد يوضح الفرق بين الدائرة المفتوحة والمغلقة.
أنشئ جدول قيم: أنشئ جدولاً لخمس قيم من س في العلاقة ص = 2س + 1، ثم ارسم النقاط ووصلها بمستقيم.
اكتب مسألة قصيرة: اكتب موقفاً من الحياة اليومية يقود إلى معادلة خطية بمتغير واحد، ثم حل المعادلة وتحقق من جوابك.

متوسط

قارن طريقتين للحل: حل معادلة خطية واحدة بطريقتين منظمتين، وفسر أي ترتيب للخطوات تراه أوضح ولماذا.
صمم ملصقاً تعليمياً: أنشئ ملصقاً ورقياً أو رقمياً يشرح رموز المتباينات، الدوائر المفتوحة والمغلقة، وقاعدة عكس الرمز عند القسمة على عدد سالب.
سجل شرحاً قصيراً: أنشئ مقطعاً تعليمياً لا يكشف بيانات شخصية تشرح فيه مثالاً على معادلة ومثالاً على متباينة خطوة بخطوة.
أجر مقابلة تعليمية: اسأل معلماً أو شخصاً بالغاً عن موقف يستخدم فيه حدود ميزانية أو أسعاراً أو معدلات تغير، ثم حوّل أحد الأمثلة إلى معادلة أو متباينة.

متقدم

ابن نموذج تكلفة: اختر خدمة ذات رسم ثابت وتكلفة لكل وحدة، واكتب علاقة خطية للتكلفة، ثم مثلها بيانياً وفسر الميل والمقطع الصادي في السياق.
حلل ميزانية متعددة القيود: أنشئ سيناريو شراء بسيطاً فيه ميزانية قصوى وسعر ثابت وسعر لكل عنصر، ثم اكتب متباينة وحدد القيم الصحيحة الممكنة للمتغير.
استكشف أثر الميل: ارسم ثلاث علاقات خطية لها مقطع صادي واحد وميول مختلفة، ثم اكتب تفسيراً بصرياً لكيف يتغير اتجاه المستقيم وانحداره.
أنشئ مشروع قرار: صمم مسألة تجمع معادلة ومتباينة، مثل مقارنة خطتي تكلفة مع وجود حد أعلى للميزانية، وقدّم حلاً مكتوباً ورسماً بيانياً وتوصية مبررة.

مجالات تعلم مرتبطة

المعادلات الخطية والمتباينات

ترتبط هذه الموضوعات أيضاً بالرياضيات المالية البسيطة، وقراءة الرسوم البيانية في العلوم، وتحليل البيانات، والتخطيط للميزانيات. إذا فهمت معنى المتغير ومعدل التغير ومجموعة الحل فستكون مستعداً لموضوعات أعمق مثل الأنظمة الخطية، والدوال، والبرمجة الخطية في مراحل لاحقة.

مسرد

المصطلح	التعريف
التعبير الجبري	أعداد ومتغيرات وعمليات حسابية من دون علامة مساواة إلزامية
المعادلة	مساواة بين عبارتين رياضيتين
المتباينة	مقارنة بين عبارتين باستخدام أكبر أو أصغر أو الرمزين مع المساواة
المتغير	رمز يمثل عدداً مجهولاً أو قيمة قابلة للتغير
المعامل	العدد المضروب في متغير
الحدود المتشابهة	حدود تحتوي المتغير نفسه بالقوة نفسها ويمكن جمع معاملاتها
الخاصية التوزيعية	قاعدة لضرب عامل في كل حد داخل قوس
مجموعة الحل	جميع القيم التي تحقق المعادلة أو المتباينة
الميل	معدل التغير في ص عند تغير س في علاقة خطية
المقطع الصادي	قيمة ص عند س = 0
التحقق	اختبار الحل بإعادته إلى العبارة الأصلية أو إلى سياق المسألة
التكافؤ	بقاء عبارتين أو خطوتين لهما مجموعة الحل نفسها بعد إجراء صحيح