Arabic:النسب والتناسب

مقدمة

تظهر النسب والتناسب في مواقف كثيرة من حياتك: عندما تكبّر وصفة طعام لعدد أكبر من الأشخاص، أو تقارن سعر عبوتين، أو تقرأ مقياس خريطة، أو تحسب سرعة دراجة، أو تصمّم نموذجًا مصغرًا. الفكرة الأساسية بسيطة: أنت تقارن كميات، ثم تبحث عمّا إذا كانت هذه المقارنة ثابتة عندما تتغير القيم.

في هذا المساق ستتعلم كيف تكتب النسبة وتبسطها، وكيف تميز بين النسبة والمعدل ومعدل الوحدة، وكيف تتحقق من وجود تناسب، وكيف تستخدم الجداول والرسوم البيانية ومقياس الرسم. وستتدرب أيضًا على اكتشاف مواقف تبدو تناسبية لكنها ليست كذلك.

قبل أن تبدأ، من المفيد أن تكون مرتاحًا مع الضرب والقسمة، والكسور، والأعداد العشرية، وتحويل الوحدات البسيطة مثل السنتيمتر والمتر والكيلومتر. إذا احتجت مراجعة، فارجع إلى الكسور وتحويل الوحدات.

أهداف التعلم

1. أن تشرح معنى النسبة وتحدد ترتيب الكميتين فيها.
2. أن تبسط نسبًا وتكوّن نسبًا مكافئة باستخدام عامل ضرب أو قسمة مشترك.
3. أن تحسب المعدل ومعدل الوحدة وتفسرهما في سياق الحياة اليومية.
4. أن تتحقق من التناسب باستخدام الجداول أو عامل التغيير أو الضرب التبادلي أو الرسم البياني.
5. أن تستخدم مقياس الرسم في الخرائط والنماذج بعد توحيد الوحدات.
6. أن تطبق التفكير التناسبي في الوصفات والأسعار والسرعة والخلطات، وأن تميز المواقف غير التناسبية.

النسبة: مقارنة بين كميتين

النسبة مقارنة بين كميتين بالقسمة. إذا كان لديك 12 كرة زرقاء و8 كرات خضراء، فإن نسبة الزرقاء إلى الخضراء هي 12 إلى 8. ويمكن تبسيطها بقسمة العددين على 4، فتصبح 3 إلى 2.

ترتيب الكميتين مهم. نسبة الزرقاء إلى الخضراء ليست هي نفسها نسبة الخضراء إلى الزرقاء. كذلك تستطيع مقارنة جزء بالكل: عدد الكرات كله 20، ولذلك نسبة الزرقاء إلى جميع الكرات هي 12 إلى 20، أي 3 إلى 5 بعد التبسيط.

المقارنة	النسبة قبل التبسيط	النسبة المبسطة
الزرقاء إلى الخضراء	12 إلى 8	3 إلى 2
الخضراء إلى الزرقاء	8 إلى 12	2 إلى 3
الزرقاء إلى جميع الكرات	12 إلى 20	3 إلى 5

النسب المكافئة تمثل المقارنة نفسها. تحصل عليها عندما تضرب طرفي النسبة في العدد نفسه أو تقسمهما على العدد نفسه، بشرط ألا تقسم على الصفر. مثلًا: 3 إلى 2، و6 إلى 4، و15 إلى 10 كلها نسب مكافئة.

مستطيلات ذات نسب مختلفة بين الطول والعرض؛ يوضح الشكل أن النسبة يمكن أن تصف شكلًا هندسيًا أيضًا.

تظهر نسبة الطول إلى العرض في الصور والشاشات والمستطيلات. فإذا كان مستطيل أبعاده 12 سم و8 سم، فإن نسبة الطول إلى العرض 12 إلى 8، أي 3 إلى 2. وإذا ضاعفنا البعدين إلى 24 سم و16 سم، بقي الشكل بالنسبة نفسها.

انتبه إلى الوحدات

إذا قارنت كميتين من النوع نفسه، فوحّد الوحدات أولًا. لا تكتب نسبة 2 متر إلى 50 سنتيمتر مباشرة قبل التحويل. بما أن 2 متر تساوي 200 سنتيمتر، فالنسبة تصبح 200 إلى 50، أي 4 إلى 1.

أما إذا كانت الكميتان بوحدتين مختلفتين، مثل كيلومترات وساعات، فنحن عادة نتحدث عن معدل لا عن نسبة بلا وحدات.

المعدل ومعدل الوحدة

المعدل مقارنة بين كميتين بوحدتين مختلفتين. إذا قطعت دراجة 180 كيلومترًا في 3 ساعات، فالمعدل هو 180 كيلومترًا لكل 3 ساعات. وعندما نجعل الكمية الثانية تساوي وحدة واحدة نحصل على معدل الوحدة: 60 كيلومترًا في الساعة.

الموقف	المعدل	معدل الوحدة
180 كيلومترًا في 3 ساعات	180 كيلومترًا لكل 3 ساعات	60 كيلومترًا في الساعة
24 وحدة نقدية لستة دفاتر	24 وحدة نقدية لكل ستة دفاتر	4 وحدات نقدية للدفتر
750 مليلترًا من العصير لخمس أكواب	750 مليلترًا لكل خمسة أكواب	150 مليلترًا للكوب

معدل الوحدة مفيد للمقارنة. إذا كانت عبوة تحتوي 6 أقلام بسعر 18 وحدة نقدية، فالسعر لكل قلم 3 وحدات. وإذا كانت عبوة أخرى تحتوي 10 أقلام بسعر 35 وحدة نقدية، فالسعر لكل قلم 3 وحدات ونصف. عند ثبات الجودة، تكون العبوة الأولى أقل سعرًا لكل قلم.

التناسب: مساواة بين نسبتين

التناسب هو مساواة بين نسبتين. إذا كانت 3 إلى 4 مكافئة لـ 6 إلى 8، فنقول إن النسبتين متناسبتان لأن الطرفين تضاعفا بالعامل نفسه.

يمكنك التحقق من التناسب بعدة طرق. مثال: هل 5 إلى 7 و15 إلى 21 متكافئتان؟ نعم، لأن ضرب 5 و7 في 3 يعطي 15 و21. ويمكن أيضًا استخدام الضرب التبادلي: حاصل 5 في 21 يساوي حاصل 7 في 15.

إذا كتبنا النسب على صورة كسور، فإن المبدأ هو: في التناسب بين أ على ب، وج على د، يكون حاصل أ في د مساويًا لحاصل ب في ج، بشرط ألا يكون المقام صفرًا. الضرب التبادلي أداة مفيدة، لكن الأفضل أن تفهم لماذا تعمل: لأنها تحفظ تكافؤ النسبتين.

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

الفيديو السابق شرح عربي موجه إلى الصف الأول الإعدادي، ويمكنك استخدامه لمراجعة معنى النسبة والتناسب وحل أمثلة إضافية.

إيجاد قيمة مجهولة في تناسب

لنفترض أن 3 دفاتر تكلف 12 وحدة نقدية، ونريد تكلفة 5 دفاتر إذا كان السعر ثابتًا. أولًا نحسب معدل الوحدة: 12 مقسومة على 3 تساوي 4 وحدات للدفتر. ثم نضرب 5 في 4 فنحصل على 20 وحدة نقدية.

يمكن أيضًا بناء جدول نسب مكافئة:

عدد الدفاتر	التكلفة بوحدة نقدية
1	4
3	12
5	20
8	32

لاحظ أن قسمة التكلفة على عدد الدفاتر تعطي دائمًا 4. هذا العدد هو ثابت التناسب في هذا الموقف.

التفكير التناسبي: أكثر من طريقة للحل

التفكير التناسبي لا يعني حفظ قاعدة واحدة. من الأفضل أن تختار الطريقة التي توضح لك العلاقة بوضوح.

الطريقة	متى تكون مفيدة؟	الفكرة
عامل التغيير	عندما ترى بسهولة كيف تحولت كمية إلى أخرى	اضرب الكميتين بالعامل نفسه
معدل الوحدة	عند المقارنة أو إيجاد قيمة لكل عنصر واحد	اقسم للوصول إلى وحدة واحدة ثم اضرب
جدول النسب	عندما توجد قيم متعددة مترابطة	أنشئ صفوفًا من نسب مكافئة
الضرب التبادلي	عندما تكون لديك نسبتان وقيمة مجهولة	قارِن حاصلَي الضرب المتقابلين
الرسم البياني	عندما تدرس علاقة كاملة بين متغيرين	ابحث عن خط مستقيم يمر بنقطة الأصل

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

تمثيل بياني لعلاقات تناسبية؛ في العلاقة التناسبية يكون معدل التغير ثابتًا ويمر التمثيل الخطي بنقطة الأصل.

في علاقة تناسبية، إذا سمينا الكمية الأولى س والكمية الثانية ص، فإن خارج قسمة ص على س يبقى ثابتًا عندما تكون س غير صفر. هذا الثابت هو ثابت التناسب. لذلك يمكن وصف العلاقة بعبارة: الكمية الثانية تساوي ثابت التناسب مضروبًا في الكمية الأولى.

مثال: إذا كان سعر الدفتر 4 وحدات نقدية، فالتكلفة تتغير دائمًا بمقدار 4 وحدات لكل دفتر. عند صفر دفاتر تكون التكلفة صفرًا، ولذلك يمثل الرسم خطًا مستقيمًا يمر بنقطة الأصل.

مقياس الرسم والخرائط والنماذج

مقياس الرسم يربط طولًا على خريطة أو رسم بطول حقيقي. إذا كان المقياس العددي 1 إلى 50000، فهذا يعني أن وحدة طول واحدة على الخريطة تقابل 50000 من الوحدة نفسها في الواقع.

إذا كانت الوحدة سنتيمترًا، فإن 1 سنتيمتر على الخريطة يقابل 50000 سنتيمتر في الواقع. و50000 سنتيمتر تساوي 500 متر. فإذا كانت المسافة على الخريطة 6 سنتيمترات، فالمسافة الحقيقية 6 في 500 متر، أي 3000 متر أو 3 كيلومترات.

شريط مقياس رسم لخريطة

شريط مقياس رسم؛ استخدم تقسيماته لربط طول على الخريطة بمسافة حقيقية.

عند قراءة شريط مقياس، لا تعتمد فقط على الرقم المكتوب؛ انتبه إلى الوحدة وإلى عدد الأقسام. وإذا كبرت الخريطة أو صغرتها بالطباعة، فقد يتغير المقياس العددي، بينما يظل شريط المقياس أكثر فائدة إذا تغير حجم الصورة معه.

مثال خريطة صفية

لنفترض أن كل سنتيمتر واحد على خريطة الحي يمثل 250 مترًا في الواقع.

المسار على الخريطة	الطول على الخريطة	المسافة الحقيقية
المدرسة إلى المكتبة	4 سنتيمترات	1000 متر
المدرسة إلى الحديقة	سنتيمتران ونصف	625 مترًا
المكتبة إلى الملعب	6 سنتيمترات	1500 متر

إذا قست طريق المدرسة إلى المكتبة ووجدته 4 سنتيمترات، تضرب 4 في 250 فتحصل على 1000 متر، أي كيلومتر واحد.

تحميل الفيديو

يوتيوب

قد يقوم يوتيوب بجمع البيانات الشخصية. سياسة الخصوصية

استمرار تجاهل

الفيديو السابق شرح عربي لمقياس الرسم لطلاب الصف الأول الإعدادي. بعد مشاهدته، جرّب أن تشرح بنفسك لماذا يجب توحيد الوحدات قبل كتابة مقياس عددي.

النماذج المصغرة

ينطبق المبدأ نفسه على نموذج سيارة أو مبنى. إذا كان مقياس نموذج سيارة 1 إلى 20 وكان طول السيارة الحقيقية 4 أمتار، فحوّل أولًا 4 أمتار إلى 400 سنتيمتر. طول النموذج يساوي 400 مقسومة على 20، أي 20 سنتيمترًا.

الوصفات والخلطات

الوصفة مثال رائع على التناسب عندما نريد الحفاظ على الطعم أو القوام نفسه. إذا كانت وصفة لأربعة أشخاص تحتاج إلى كوبين من الأرز وثلاثة أكواب من الماء وأربع حبات طماطم، ثم أردنا إعدادها لستة أشخاص، فإن عامل التكبير هو ستة مقسومة على أربعة، أي واحد ونصف. نضرب كل كمية في العامل نفسه.

أكواب قياس مطبخ بأحجام مختلفة

أكواب قياس تساعد على تكبير الوصفات أو تصغيرها مع الحفاظ على النسب بين المكونات.

المكون	لأربعة أشخاص	لستة أشخاص
الأرز	كوبان	ثلاثة أكواب
الماء	ثلاثة أكواب	أربعة أكواب ونصف
الطماطم	أربع حبات	ست حبات

يمكنك أيضًا تصغير الوصفة. فإذا أردت نصف الكمية، اضرب كل مقدار في النصف. هذه الفكرة نفسها تستخدم في الخلطات البسيطة، مثل خلط مقدار من مركز عصير مع أربعة مقادير من الماء.

في مسائل الرياضيات نفترض غالبًا أن جميع مكونات الوصفة تتغير تناسبيًا. في الطبخ الحقيقي قد تحتاج بعض التوابل أو زمن الطهي إلى تعديل غير تناسبي، لذلك افصل بين النموذج الرياضي والقرار العملي.

مواقف يومية وتحقق من التناسب

ليس كل موقف فيه زيادة أو نقصان تناسبًا. استخدم الأسئلة الآتية: هل النسبة بين الكميتين ثابتة؟ هل الوصول إلى ضعف الكمية الأولى يؤدي إلى ضعف الثانية؟ هل تكون الكمية الثانية صفرًا عندما تكون الأولى صفرًا؟ هل التمثيل البياني خط مستقيم يمر بنقطة الأصل؟

الموقف	تناسبي؟	السبب
شراء تفاح بسعر ثابت لكل كيلوجرام	نعم	السعر الكلي يساوي عدد الكيلوجرامات مضروبًا في سعر ثابت
قطع مسافة بسرعة ثابتة	نعم	المسافة تتناسب مع الزمن ما دامت السرعة ثابتة
أجرة تتكون من رسم بدء ثابت ثم مبلغ لكل كيلومتر	لا	عند مسافة صفر لا تكون الأجرة صفرًا
عمر شخص وطوله	لا	نسبة الطول إلى العمر لا تبقى ثابتة
مساحة مربع وطول ضلعه	لا	عند مضاعفة الضلع تصبح المساحة أربعة أمثال لا مثلين

أخطاء شائعة وكيف تتجنبها

الخطأ الأول: تغيير طرف واحد فقط. إذا ضربت طرفًا من النسبة في عدد، فيجب أن تضرب الطرف الآخر في العدد نفسه للحفاظ على النسبة.

الخطأ الثاني: جمع العدد نفسه بدل الضرب بعامل. النسبة 2 إلى 3 لا تصبح نسبة مكافئة لمجرد إضافة 2 إلى الطرفين؛ 4 إلى 5 ليست مكافئة لـ2 إلى 3.

الخطأ الثالث: نسيان توحيد الوحدات. عند مقياس الرسم والنسب بين أطوال، حول الوحدات قبل التبسيط.

الخطأ الرابع: عكس ترتيب النسبة. اقرأ السؤال ببطء: نسبة أ إلى ب تختلف عن نسبة ب إلى أ.

الخطأ الخامس: افتراض أن كل علاقة خطية تناسبية. العلاقة التناسبية الخاصة التي ندرسها هنا تمر بنقطة الأصل، أما وجود مقدار ثابت يضاف دائمًا فيمنع التناسب المباشر.

فكر وانقل تعلمك

عندما تواجه مسألة جديدة، لا تبدأ بالضرب التبادلي تلقائيًا. اسأل أولًا: ما الكميتان؟ ما وحدتاهما؟ ما معنى النسبة في هذا السياق؟ هل يوجد معدل وحدة واضح؟ وهل النسبة ثابتة فعلًا؟ إذا استطعت شرح العلاقة بكلماتك ورسم جدول بسيط لها، فغالبًا أنك فهمت التناسب بدل أن تحفظ إجراءً فقط.

مهام تفاعلية

اختبار: اختبر معرفتك

ما أبسط صورة للنسبة 12 إلى 18؟ (2 إلى 3) (!3 إلى 2) (!6 إلى 9) (!12 إلى 6)

قطعت دراجة 240 كيلومترًا في أربع ساعات بسرعة ثابتة. ما معدل الوحدة؟ (60 كيلومترًا في الساعة) (!40 كيلومترًا في الساعة) (!80 كيلومترًا في الساعة) (!120 كيلومترًا في الساعة)

إذا كانت 3 إلى 5 مكافئة لقيمة ما إلى 20، فما القيمة المجهولة؟ (12) (!8) (!15) (!18)

ثمن أربعة أقلام هو 12 وحدة نقدية. إذا كان السعر متناسبًا، فما ثمن سبعة أقلام؟ (21 وحدة نقدية) (!18 وحدة نقدية) (!24 وحدة نقدية) (!28 وحدة نقدية)

يمثل سنتيمتر واحد على خريطة 500 متر في الواقع. كم تمثل ثلاثة سنتيمترات؟ (1500 متر) (!1000 متر) (!2000 متر) (!2500 متر)

أي وصف يدل على علاقة تناسبية؟ (سعر ثابت لكل كيلوجرام دون رسم إضافي) (!أجرة تبدأ بمبلغ ثابت ثم تزيد) (!العمر والطول) (!طول ضلع مربع ومساحته)

وصفة لأربعة أشخاص ستصبح لستة أشخاص. ما عامل التكبير؟ (واحد ونصف) (!نصف) (!اثنان) (!ثلاثة)

ما العلامة المهمة في الرسم البياني لعلاقة تناسب مباشر؟ (خط مستقيم يمر بنقطة الأصل) (!خط منحني لا يمر بنقطة الأصل) (!خط أفقي دائمًا) (!نقاط عشوائية غير مترابطة)

إذا كان مقياس الرسم واحدًا إلى مئة ألف، فماذا يمثل سنتيمتر واحد في الواقع؟ (كيلومتر واحد) (!مئة متر) (!عشرة كيلومترات) (!عشرة أمتار)

أي طريقة لا تحافظ عادة على نسبة مكافئة؟ (إضافة العدد نفسه إلى طرفي النسبة) (!ضرب الطرفين في العدد نفسه) (!قسمة الطرفين على عامل مشترك) (!تبسيط الطرفين بالعامل نفسه)

لعبة الذاكرة

النسبة	مقارنة بين كميتين بالقسمة
المعدل	مقارنة بين كميتين بوحدتين مختلفتين
معدل الوحدة	معدل تكون فيه الكمية الثانية وحدة واحدة
التناسب	مساواة بين نسبتين مكافئتين
النسب المكافئة	نسب مختلفة في الكتابة لكنها تمثل المقارنة نفسها
مقياس الرسم	علاقة بين طول في خريطة أو نموذج وطول حقيقي
ثابت التناسب	قيمة ثابتة تنتج من قسمة كمية على أخرى في علاقة تناسبية
عامل التغيير	العدد الذي نضرب به كميتين معًا للانتقال إلى نسبة مكافئة

السحب والإفلات

طابق طريقة التفكير مع وصفها الصحيح.	النسب والتناسب
تبسيط نسبة	قسمة طرفيها على عامل مشترك
إيجاد معدل وحدة	الوصول إلى مقدار يقابل وحدة واحدة
التحقق بعامل التغيير	التأكد من ضرب الكميتين بالعامل نفسه
استخدام الضرب التبادلي	مقارنة حاصلَي الضرب بين الطرفين المتقابلين
قراءة مقياس رسم	تحويل طول على الرسم إلى مسافة حقيقية بعد مراعاة الوحدات
فحص الرسم البياني	البحث عن خط مستقيم يمر بنقطة الأصل

كلمات متقاطعة

النسبة	مقارنة بين كميتين بالقسمة
التناسب	مساواة بين نسبتين مكافئتين
المعدل	مقارنة بين كميتين بوحدتين مختلفتين
المقياس	علاقة بين طول مرسوم وطول حقيقي
الخريطة	تمثيل مصغر لمكان يمكن أن يستخدم مقياس رسم
الثابت	وصف لقيمة لا تتغير في علاقة تناسبية

مهام مفتوحة

سهل

1. صيد النسب في المنزل: ابحث عن ثلاثة أمثلة آمنة في المنزل أو الصف يمكن وصفها بنسبة، وارسمها أو اكتبها دون إظهار أي بيانات شخصية.
2. تكبير وصفة بسيطة: اختر وصفة بسيطة لأربعة أشخاص، ثم احسب المقادير لستة أشخاص واشرح عامل التكبير الذي استخدمته.
3. خريطة صفية مصغرة: ارسم مخططًا بسيطًا للفصل أو لطاولة الدراسة بمقياس تختاره، واكتب كيف حولت الأطوال الحقيقية إلى أطوال على الورق.
4. معدل من يومك: اختر نشاطًا مثل قراءة صفحات أو قطع مسافة أو تعبئة زجاجات، واحسب معدل الوحدة له مع توضيح الوحدات.

متوسط

1. متجر مصغر للأسعار: أنشئ جدولًا لثلاث عبوات افتراضية من المنتج نفسه، واحسب سعر الوحدة وحدد الأفضل قيمة مع تفسير قرارك.
2. خلطة ألوان تناسبية: استخدم ماءً ملونًا آمنًا أو قصاصات ورق ملونة لصنع ثلاث خلطات تحافظ على النسبة نفسها، وصوّر النتيجة أو ارسمها.
3. شرح مصور للتناسب: أنشئ ملصقًا أو فيديو قصيرًا يشرح الفرق بين النسبة والمعدل والتناسب بمثال واحد لكل مفهوم، من دون نشر معلومات شخصية.
4. مقابلة عن النسب: اسأل شخصًا بالغًا كيف يستخدم النسب أو المعدلات في عمله أو حياته اليومية، ثم لخّص الإجابة في خمس جمل وحدد أين يظهر التفكير التناسبي.

متقدم

1. تحقيق في خطأ تناسبي: صمّم مثالًا يبدو تناسبيًا لكنه ليس كذلك، ثم اشرح كيف تكشف الخطأ باستخدام جدول أو رسم بياني أو اختبار ثابت التناسب.
2. تصميم خريطة بمقياس رسم: قس مسارًا آمنًا داخل المدرسة أو المنزل، وأنشئ خريطة بمقياس رسم مع مفتاح واضح وحساب مسافة حقيقية واحدة على الأقل.
3. بناء نموذج مصغر: اختر جسمًا بسيطًا مثل صندوق أو طاولة، وحدد مقياسًا مناسبًا ثم اصنع نموذجًا ورقيًا أو كرتونيًا يحافظ على الأبعاد النسبية.
4. مشروع بيانات تناسبية: اجمع ستة أزواج من القياسات في تجربة آمنة، مثل كمية الماء وزمن التعبئة بمعدل ثابت، ثم مثلها بجدول ورسم وحدد هل العلاقة تناسبية وما ثابت التناسب.

مجالات تعلم مرتبطة

النسب والتناسب الكسور الأعداد العشرية النسبة المئوية تحويل الوحدات مقياس الرسم العلاقات الخطية السرعة ومعدلاتها الخرائط والقياس

ترتبط هذه الموضوعات أيضًا بالتعلم في الرياضيات والجغرافيا والعلوم والتقنية، وبمهن تستخدم القياس والتصميم مثل الهندسة والعمارة والطهي والخرائط.

مسرد

المصطلح	المعنى
النسبة	مقارنة بين كميتين باستخدام القسمة مع الانتباه إلى ترتيب الكميتين
النسب المكافئة	نسب تحصل من ضرب الطرفين أو قسمتهما بالعامل نفسه وتمثل المقارنة نفسها
المعدل	مقارنة بين كميتين لهما وحدتان مختلفتان
معدل الوحدة	معدل تكون فيه إحدى الكميتين مساوية لوحدة واحدة
التناسب	مساواة بين نسبتين مكافئتين
ثابت التناسب	مقدار ثابت يربط كميتين في علاقة تناسبية
عامل التغيير	عامل الضرب أو القسمة الذي يحول نسبة إلى نسبة مكافئة
مقياس الرسم	نسبة تربط طولًا في رسم أو خريطة بالطول الحقيقي بعد توحيد الوحدات
الضرب التبادلي	طريقة للتحقق من تكافؤ نسبتين بمقارنة حاصلَي الضرب المتقابلين
العلاقة التناسبية	علاقة يبقى فيها خارج قسمة كمية على أخرى ثابتًا وتُمثّل بخط مستقيم يمر بنقطة الأصل