Rechtwinklige Dreiecke und Satz des Pythagoras

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Rechtwinklige Dreiecke und Satz des Pythagoras

Einleitung

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von 90°. Die Seite gegenüber diesem Winkel heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

Mit dem Satz des Pythagoras berechnest Du fehlende Seitenlängen. Der Kurs ist für Mathematik in Klasse 8–13 geeignet.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du ein rechtwinkliges Dreieck erkennen, Hypotenuse und Katheten benennen, die Formel a² + b² = c² anwenden und einfache Sachaufgaben lösen.

Das rechtwinklige Dreieck

Der rechte Winkel wird oft durch ein kleines Quadrat markiert. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Der Satz des Thales

Beim Satz des Thales liegt ein Dreieck in einem Halbkreis. Die Seite auf dem Durchmesser ist die Hypotenuse. Der Winkel am Halbkreisbogen ist ein rechter Winkel.

Der Satz des Pythagoras

Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt:

a² + b² = c²

Dabei sind a und b die Katheten. c ist die Hypotenuse.

Die Formel bedeutet auch: Die Flächen der beiden kleinen Quadrate sind zusammen so groß wie die Fläche des großen Quadrats.

Eine Seite berechnen

Sind die Katheten 3 cm und 4 cm lang, dann gilt: 3² + 4² = 5². Die Hypotenuse ist 5 cm lang.

Fehlt eine Kathete, stellst Du um: a² = c² − b². Danach ziehst Du die Quadratwurzel.

Die Umkehrung

Du kannst prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Ordne die Seiten so, dass c die längste Seite ist. Gilt a² + b² = c², dann ist das Dreieck rechtwinklig.

Anwendungen

Der Satz hilft bei Diagonalen, Leitern, Dächern, Entfernungen und Konstruktionen.

Beispiel Leiter: Eine 4 m lange Leiter steht 1,2 m von einer Wand entfernt. Die Höhe ist √(4² − 1,2²) ≈ 3,82 m.

Vertiefung für Klasse 11–13

Im rechtwinkligen Dreieck gelten zusätzlich der Höhensatz des Euklid h² = p · q und der Kathetensatz des Euklid a² = c · q sowie b² = c · p.

Ein geometrischer Beweis zeigt: Werden passende Teilflächen neu angeordnet, bleibt die Gesamtfläche gleich. Daraus folgt a² + b² = c².

Video: Planet Schule

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Das Video Mathe Basics: Satz des Pythagoras: Rechtwinklige Dreiecke stammt von Planet Schule. Der Anbieter kennzeichnet die kolleg24-Videos als frei nutzbar unter CC BY-SA 4.0.

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Aufgaben zum Video

1. Rechter Winkel: Stoppe das Video nach der ersten Erklärung. Zeichne das gezeigte Dreieck und markiere den rechten Winkel.
2. Seitenbezeichnungen: Notiere, wo Hypotenuse und Katheten liegen.
3. Satz des Thales: Erkläre mit einem Satz, wie im Halbkreis ein rechter Winkel entsteht.
4. Flächenmodell: Beschreibe, was die drei Quadrate über den Dreiecksseiten zeigen.
5. Rechenweg: Schreibe einen Rechenweg aus dem Video vollständig auf.
6. Alltagsbezug: Erfinde eine eigene Aufgabe zu Leiter, Dach oder Diagonale und löse sie.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie groß ist der rechte Winkel? (90 Grad) (!45 Grad) (!60 Grad) (!180 Grad)

Wie heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel? (Hypotenuse) (!Kathete) (!Radius) (!Diagonale)

Welche Formel ist der Satz des Pythagoras? (a² + b² = c²) (!a + b = c) (!a² − b² = c²) (!a · b = c²)

Wann darf der Satz des Pythagoras direkt angewendet werden? (Bei einem rechtwinkligen Dreieck) (!Bei jedem Viereck) (!Bei jedem Kreis) (!Bei jedem Dreieck)

Welche Seite ist in der Formel meist c? (Die Hypotenuse) (!Die kürzeste Kathete) (!Der Durchmesser) (!Die Höhe)

Wie lang ist die Hypotenuse bei Katheten von 3 cm und 4 cm? (5 cm) (!6 cm) (!7 cm) (!12 cm)

Was machst Du nach dem Berechnen von c²? (Die Quadratwurzel ziehen) (!Durch zwei teilen) (!Mit c multiplizieren) (!Den Umfang bilden)

Welche Seite ist im rechtwinkligen Dreieck am längsten? (Die Hypotenuse) (!Die erste Kathete) (!Die zweite Kathete) (!Alle Seiten sind gleich lang)

Was zeigt der Satz des Thales? (Ein Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel) (!Jeder Kreis ist ein Dreieck) (!Alle Dreiecke sind gleichseitig) (!Jede Hypotenuse ist ein Radius)

Welche Seitenlängen bilden ein rechtwinkliges Dreieck? (5 cm, 12 cm und 13 cm) (!2 cm, 3 cm und 4 cm) (!4 cm, 4 cm und 4 cm) (!5 cm, 5 cm und 8 cm)

Memory

Hypotenuse	längste Dreiecksseite
Kathete	Seite am rechten Winkel
Pythagoras	a² plus b² gleich c²
Thales	rechter Winkel im Halbkreis
Quadratwurzel	Umkehrung des Quadrierens
Dreiergruppe	Seitenlängen drei vier fünf
Diagonale	Verbindung gegenüberliegender Ecken

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Rechtwinklige Dreiecke
Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Kathete	Seite am rechten Winkel
Pythagoras	Zusammenhang der drei Seitenlängen
Thales	Rechter Winkel im Halbkreis
Quadratwurzel	Umkehrung des Quadrierens
Diagonale	Strecke zwischen gegenüberliegenden Ecken

Kreuzworträtsel

Hypotenuse	Wie heißt die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck?
Kathete	Wie heißt eine der beiden Seiten am rechten Winkel?
Pythagoras	Nach wem ist der bekannte Lehrsatz benannt?
Thales	Welcher Satz erzeugt einen rechten Winkel im Halbkreis?
Quadrat	Welche Figur liegt im Flächenmodell auf jeder Dreiecksseite?
Wurzel	Welche Rechenoperation folgt auf die Berechnung einer quadrierten Länge?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von . Die Seite gegenüber diesem Winkel heißt . Die beiden anderen Seiten heißen . Für ihre Längen gilt der Satz . Die Hypotenuse ist stets die Seite. Nach dem Berechnen einer quadrierten Länge ziehst Du die . Mit der Umkehrung kannst Du prüfen, ob ein Dreieck ist.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Skizze: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck und beschrifte alle Seiten.
2. Fotospur: Fotografiere drei rechte Winkel in Deiner Umgebung.
3. Kartenmodell: Lege mit Papierquadraten ein Flächenmodell zu a² + b² = c².
4. Erklärsatz: Erkläre den Unterschied zwischen Hypotenuse und Kathete in zwei Sätzen.

Standard

1. Messprojekt: Miss Länge und Breite eines rechteckigen Tisches und berechne seine Diagonale.
2. Leiteraufgabe: Erfinde eine Leiteraufgabe mit sinnvollen Maßen und löse sie.
3. Videoanalyse: Erstelle eine kurze Tabelle mit Begriff, Erklärung und Beispiel aus dem Planet-Schule-Video.
4. Pythagoreisches Tripel: Finde drei verschiedene ganzzahlige Seitenlängen, die den Satz erfüllen.

Schwer

1. Beweis: Erkläre einen Flächenbeweis des Satzes mit einer eigenen Zeichnung.
2. Vermessung: Plane eine Methode, mit der Du auf dem Schulhof einen rechten Winkel abstecken kannst.
3. Modellierung: Untersuche eine Dach-, Rampen- oder Kegelaufgabe und dokumentiere Annahmen, Rechnung und Ergebnis.
4. Vergleich: Vergleiche Satz des Pythagoras, Höhensatz und Kathetensatz an einem gemeinsamen Dreieck.

Lernkontrolle

1. Fehleranalyse: Eine Person setzt bei einem Dreieck die kürzeste Seite als c ein. Erkläre den Fehler und verbessere den Ansatz.
2. Transfer Rechteck: Ein Bildschirm ist 48 cm breit und 27 cm hoch. Entwickle einen Rechenweg für die Diagonale und beurteile, ob eine 55-cm-Tasche passt.
3. Entscheidung: Prüfe, ob ein Dreieck mit den Seiten 7 cm, 24 cm und 25 cm rechtwinklig ist, und begründe Deine Entscheidung.
4. Modellwahl: Eine Leiter lehnt an einer Wand. Erkläre, warum ein rechtwinkliges Dreieck entsteht und welche Größe die Hypotenuse ist.
5. Plausibilität: Bei Katheten von 6 m und 8 m wird für die Hypotenuse 9 m angegeben. Prüfe das Ergebnis ohne bloßes Nachrechnen und begründe.
6. Verknüpfung: Zeige an einem selbst gewählten Beispiel, wie Zeichnung, Formel, Rechnung und Einheit zusammengehören.

Lernnachweis

1. Begriffe: Du verwendest rechter Winkel, Kathete und Hypotenuse sicher.
2. Formel: Du stellst a² + b² = c² nach der gesuchten Seite um.
3. Rechenweg: Du quadrierst, subtrahierst oder addierst und ziehst die Quadratwurzel.
4. Anwendung: Du übersetzt eine Alltagssituation in ein rechtwinkliges Dreieck.
5. Begründung: Du erklärst, warum Dein Ergebnis sinnvoll ist, und gibst die Einheit an.

Lernbereiche

1. Mathematik
2. Geometrie
3. Rechtwinkliges Dreieck
4. Satz des Pythagoras
5. Sekundarstufe I
6. Sekundarstufe II

Links

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