Schnittpunkte von Parabeln mit den Koordinatenachsen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion. In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du ihre Schnittpunkte mit der x-Achse und der y-Achse findest.

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du:

1. Nullstellen als Schnittpunkte mit der x-Achse erklären und berechnen.
2. Den y-Achsen-Schnittpunkt bestimmen.
3. Mit der Diskriminante entscheiden, ob eine Parabel die x-Achse zweimal, einmal oder gar nicht trifft.
4. Ergebnisse als Punkte im Koordinatensystem angeben.

Lernbereiche

1. Mathematik
2. Algebra
3. Quadratische Funktionen
4. Koordinatensystem
5. Nullstellen

Das Wichtigste

Eine quadratische Funktion hat die Form $f(x)=a{x}^2+bx+c$ mit $a\ne 0$.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Auf der x-Achse gilt immer $y=0$. Deshalb setzt Du:

$f(x)=0$

Die Lösungen heißen Nullstellen. Zu einer Nullstelle $x_1$ gehört der Punkt $S_1(x_1|0)$. Eine Parabel kann zwei, einen oder keinen reellen Schnittpunkt mit der x-Achse haben.

Datei:Gleichung2.png

Beispiel: $f(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)$

Daraus folgen $x_1=-1$ und $x_2=2$. Die Schnittpunkte sind $S_1(-1|0)$ und $S_2(2|0)$.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Auf der y-Achse gilt immer $x=0$. Setze also $x=0$ ein:

$f(0)=c$

Der Schnittpunkt ist $S_y(0|c)$. Im Beispiel $f(x)=x^2-x-2$ gilt $S_y(0|-2)$.

Datei:Quadratic roots.svg

Die Diskriminante

Für $a{x}^2+bx+c=0$ heißt $D=b^2-4ac$ Diskriminante.

1. $D>0$: zwei Schnittpunkte mit der x-Achse.
2. $D=0$: ein Berührpunkt und eine doppelte Nullstelle.
3. $D<0$: kein reeller Schnittpunkt mit der x-Achse.

Lernvideo

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Fortfahren Ausblenden

Das Video von Planet Schule zeigt die Schnittpunkte mit beiden Koordinatenachsen.

Aufgaben zum Video

1. Video-Notizen: Schreibe die beiden Regeln „Für die x-Achse gilt …“ und „Für die y-Achse gilt …“ auf.
2. Nullstellen im Video: Notiere, warum Schnittpunkte mit der x-Achse Nullstellen heißen.
3. Drei Fälle: Zeichne kleine Skizzen für zwei, einen und keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
4. Beispiel aus dem Video: Wähle eine gezeigte Funktion und notiere den Rechenweg in eigenen Worten.
5. Transfer nach dem Video: Bestimme für $f(x)=x^2-x-2$ alle Achsenschnittpunkte und prüfe sie am Graphen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Koordinate ist bei einem Punkt auf der x-Achse immer null? (Die y-Koordinate) (!Die x-Koordinate) (!Beide Koordinaten) (!Keine Koordinate)

Wie bestimmst Du den Schnittpunkt mit der y-Achse? (Du setzt x gleich null) (!Du setzt y gleich eins) (!Du setzt x gleich eins) (!Du setzt a gleich null)

Warum setzt man für Schnittpunkte mit der x-Achse f von x gleich null? (Weil dort die y-Koordinate null ist) (!Weil dort die x-Koordinate null ist) (!Weil jede Parabel durch den Ursprung geht) (!Weil der Scheitel immer dort liegt)

Was bedeutet eine positive Diskriminante? (Es gibt zwei reelle Nullstellen) (!Es gibt genau eine reelle Nullstelle) (!Es gibt keine reelle Nullstelle) (!Die Parabel ist eine Gerade)

Was bedeutet die Diskriminante null? (Es gibt eine doppelte Nullstelle) (!Es gibt zwei verschiedene Nullstellen) (!Es gibt keine Nullstelle) (!Der y-Achsen-Schnittpunkt ist null)

Was bedeutet eine negative Diskriminante? (Es gibt keine reelle Nullstelle) (!Es gibt zwei reelle Nullstellen) (!Es gibt eine doppelte Nullstelle) (!Die Funktion ist linear)

Welche Nullstellen hat f von x gleich x Quadrat minus vier? (Minus zwei und zwei) (!Null und vier) (!Minus vier und vier) (!Nur zwei)

Wie viele reelle Nullstellen hat f von x gleich x Quadrat plus eins? (Keine) (!Eine) (!Zwei) (!Drei)

Wo schneidet f von x gleich zwei x Quadrat minus drei x plus fünf die y-Achse? (Im Punkt null fünf) (!Im Punkt fünf null) (!Im Punkt null minus drei) (!Im Punkt zwei fünf)

Wie viele Schnittpunkte kann eine Parabel höchstens mit der x-Achse haben? (Zwei) (!Einen) (!Drei) (!Unendlich viele)

Memory

Nullstelle	x-Wert mit Funktionswert null
y-Achsen-Schnittpunkt	Punkt bei x gleich null
Diskriminante	Term b Quadrat minus vier a c
Doppelte Nullstelle	Berührung der x-Achse
Allgemeine Form	a x Quadrat plus b x plus c
Koordinatenursprung	Punkt null null

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
y gleich null	x-Achse
x gleich null	y-Achse
zwei Schnittpunkte	positive Diskriminante
ein Berührpunkt	Diskriminante null
kein reeller Schnittpunkt	negative Diskriminante

Kreuzworträtsel

Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit dem Funktionswert null?
Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Diskriminante	Welcher Term entscheidet über die Anzahl reeller Nullstellen?
Scheitelpunkt	Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
Koordinatensystem	Worin werden x-Achse, y-Achse und Graph gezeichnet?
Berührpunkt	Wie heißt der einzige x-Achsen-Punkt bei einer doppelten Nullstelle?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Für einen Schnittpunkt mit der x-Achse setzt Du den Funktionswert gleich . Die Lösungen heißen . Für den Schnittpunkt mit der y-Achse setzt Du gleich null. In der allgemeinen Form ist der y-Achsen-Schnittpunkt $S_y(0|c)$, weil $f(0)=$ gilt. Eine positive Diskriminante bedeutet reelle Nullstellen. Bei einer doppelten Nullstelle die Parabel die x-Achse.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Achsen-Regeln: Gestalte eine Karte mit den Regeln $y=0$ für die x-Achse und $x=0$ für die y-Achse.
2. Parabel-Skizzen: Zeichne je eine Parabel mit zwei, einem und keinem Schnittpunkt mit der x-Achse.
3. Punkte ablesen: Zeichne $f(x)=x^2-4$ und lies alle Achsenschnittpunkte ab.
4. Erklär-Audio: Nimm eine einminütige Erklärung zum y-Achsen-Schnittpunkt auf.

Standard

1. Rechenplakat: Erstelle ein Plakat zum Rechenweg für $f(x)=x^2+x-6$.
2. Graph und Rechnung: Berechne die Achsenschnittpunkte von $f(x)=x^2-2x-3$ und prüfe sie digital.
3. Fehler finden: Erkläre den Fehler in der Aussage „Für die x-Achse setzt man x gleich null“.
4. Funktionen vergleichen: Vergleiche $x^2-4$, $x^2$ und $x^2+4$.

Schwer

1. Funktionsdesign: Finde eine quadratische Funktion mit den Nullstellen $-2$ und $3$ und bestimme ihren y-Achsen-Schnittpunkt.
2. Parameter untersuchen: Untersuche für $f_c(x)=x^2+c$, wann zwei, eine oder keine reelle Nullstelle entsteht.
3. Beweisidee: Begründe mithilfe der Symmetrie, warum zwei Nullstellen gleich weit von der Symmetrieachse entfernt liegen.
4. Lernvideo erstellen: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Beispiel, Graph und Probe.

Lernkontrolle

1. Parameterwirkung: Erkläre ohne einzelne Werte auszuprobieren, wie sich die Zahl der x-Achsen-Schnittpunkte von $f_c(x)=x^2+c$ mit $c$ ändert.
2. Rückwärtsaufgabe: Konstruiere eine Normalparabel mit den Nullstellen $-1$ und $4$. Bestimme anschließend den y-Achsen-Schnittpunkt.
3. Fehleranalyse: Eine Person berechnet für $f(x)=x^2-5x+6$ nur $f(0)$ und behauptet, alle Achsenschnittpunkte gefunden zu haben. Erkläre den Denkfehler und verbessere die Lösung.
4. Darstellungen verbinden: Beschreibe, wie Du am Graphen, an der Produktform und an der Diskriminante erkennst, wie viele Nullstellen vorliegen.
5. Sachproblem: Die Höhe eines Balls wird durch $h(t)=-5t^2+10t+1$ beschrieben. Deute $h(0)$ und eine positive Lösung von $h(t)=0$ im Sachzusammenhang.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. die Regeln $y=0$ und $x=0$ sicher anwenden,
2. Nullstellen berechnen und als Punkte angeben,
3. den y-Achsen-Schnittpunkt bestimmen,
4. die Zahl der Nullstellen mit der Diskriminante begründen,
5. Rechnung, Graph und Erklärung miteinander verbinden.

OERs zum Thema

Frei nutzbare Fassung des Lernvideos:

Datei:Schnittpunkte von Parabeln mit den Koordinatenachsen - kolleg24 Mathematik.webm

Wikipedia: Quadratische Funktion

Weitere Übungen: Planet Schule – Übungen zu den Schnittpunkten

Links

Schnittpunkte von Parabeln mit den Koordinatenachsen Quadratische Funktion Parabel Nullstelle Koordinatensystem X-Achse Y-Achse Diskriminante Quadratische Gleichung Mitternachtsformel Scheitelpunkt