Dreiecke · Gleichseitig, gleichschenklig oder rechtwinklig

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Dreiecke · Gleichseitig, gleichschenklig oder rechtwinklig

Fach	Mathematik
Klassen	8–13
Thema	Dreiecke erkennen, benennen und berechnen

Lernbereiche

1. Geometrie
2. Dreieck
3. Winkel
4. Winkelsumme
5. Umfang
6. Satz des Pythagoras

Einleitung

Ein Dreieck hat drei Seiten, drei Ecken und drei Innenwinkel. Du kannst Dreiecke nach ihren Seitenlängen und nach ihren Winkeln ordnen.

Zwei Grundregeln:

1. Winkelsumme: α + β + γ = 180°
2. Umfang: U = a + b + c

Bezeichnungen am Dreieck

Die Eckpunkte heißen A, B und C. Die gegenüberliegenden Seiten heißen a, b und c. Die Winkel heißen α, β und γ.

Gleichseitiges Dreieck

Alle drei Seiten sind gleich lang. Alle drei Winkel sind 60° groß.

Gleichschenkliges Dreieck

Mindestens zwei Seiten sind gleich lang. Sie heißen Schenkel. Die dritte Seite heißt Basis. Die beiden Basiswinkel sind gleich groß.

Rechtwinkliges Dreieck

Ein Winkel ist 90° groß. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Es gilt der Satz des Pythagoras: a² + b² = c², wenn c die Hypotenuse ist.

Ein Dreieck kann mehrere Eigenschaften zugleich haben. Ein Dreieck mit den Winkeln 45°, 45° und 90° ist zum Beispiel gleichschenklig und rechtwinklig.

Video: Planet Schule

Datei:Gleichseitige, gleichschenklige und rechtwinklige Dreiecke - kolleg24 Mathematik.webm Video: ARD/kolleg24, Lizenz CC BY-SA 4.0. Folge 022 im YouTube-Kanal von Planet Schule suchen

Aufgaben zum Video

1. Bezeichnungen am Dreieck: Pausiere bei der Beschriftung. Zeichne ein Dreieck und trage A, B, C, a, b, c, α, β und γ ein.
2. Dreiecksarten: Erstelle zwei Spalten: „Einteilung nach Seiten“ und „Einteilung nach Winkeln“. Notiere die Arten aus dem Video.
3. Umfang berechnen: Rechne die Videoaufgabe nach: a = 12 m, b = 16 m und U = 48 m. Bestimme c.
4. Winkel berechnen: Eine Leiter bildet mit dem Boden einen Winkel von 72,5°. Wand und Boden stehen senkrecht. Berechne den Winkel zwischen Leiter und Wand.
5. Mehrfachzuordnung: Erkläre mit einer Skizze, warum ein Dreieck zugleich gleichschenklig und rechtwinklig sein kann.

Zusatzvideo

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie viele Seiten hat ein Dreieck? (Drei) (!Zwei) (!Vier) (!Fünf)

Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck? (180 Grad) (!90 Grad) (!270 Grad) (!360 Grad)

Was gilt für ein gleichseitiges Dreieck? (Alle drei Seiten sind gleich lang) (!Nur eine Seite ist festgelegt) (!Ein Winkel ist immer 90 Grad) (!Alle Seiten sind verschieden lang)

Wie groß ist jeder Winkel im gleichseitigen Dreieck? (60 Grad) (!30 Grad) (!45 Grad) (!90 Grad)

Was kennzeichnet ein gleichschenkliges Dreieck? (Mindestens zwei Seiten sind gleich lang) (!Alle Seiten sind verschieden lang) (!Es hat immer drei rechte Winkel) (!Sein Umfang ist immer 180)

Was kennzeichnet ein rechtwinkliges Dreieck? (Ein Innenwinkel ist 90 Grad) (!Alle Innenwinkel sind 90 Grad) (!Zwei Innenwinkel sind größer als 90 Grad) (!Es hat keine Hypotenuse)

Wo liegt die Hypotenuse? (Gegenüber dem rechten Winkel) (!Direkt im rechten Winkel) (!Nur im gleichseitigen Dreieck) (!Außerhalb des Dreiecks)

Wie berechnet man den Umfang eines Dreiecks? (Man addiert die drei Seitenlängen) (!Man addiert nur zwei Winkel) (!Man multipliziert alle Winkel) (!Man teilt die längste Seite durch drei)

Welche Winkel hat ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck? (45 Grad 45 Grad und 90 Grad) (!60 Grad 60 Grad und 60 Grad) (!30 Grad 30 Grad und 120 Grad) (!90 Grad 90 Grad und 0 Grad)

Welche Gleichung gehört zum Satz des Pythagoras? (a² plus b² gleich c²) (!a plus b gleich c) (!a² minus b² gleich c²) (!a mal b gleich c)

Memory

Gleichseitig	drei gleich lange Seiten
Gleichschenklig	mindestens zwei gleich lange Seiten
Rechtwinklig	ein rechter Winkel
Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Winkelsumme	Summe von 180 Grad
Umfang	Summe aller Seitenlängen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Dreiecksart
Gleichseitiges Dreieck	drei gleich lange Seiten
Gleichschenkliges Dreieck	zwei gleich lange Seiten
Rechtwinkliges Dreieck	ein rechter Winkel
Spitzwinkliges Dreieck	drei spitze Winkel
Stumpfwinkliges Dreieck	ein stumpfer Winkel

Kreuzworträtsel

Dreieck	Welche Figur hat drei Seiten?
Schenkel	Wie heißen die gleich langen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks?
Basis	Wie heißt die dritte Seite eines gleichschenkligen Dreiecks?
Hypotenuse	Wie heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel?
Kathete	Wie heißt eine Seite, die den rechten Winkel bildet?
Winkelsumme	Wie heißt die Summe aller Innenwinkel?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Dreieck besitzt Seiten. Die Summe seiner Innenwinkel beträgt . In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten . Jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks misst . Ein gleichschenkliges Dreieck hat mindestens zwei gleich lange . Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von . Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt . Den Umfang erhältst du durch das aller Seitenlängen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Dreiecke im Alltag: Fotografiere oder zeichne vier dreieckige Formen aus Deiner Umgebung.
2. Dreiecks-Steckbrief: Erstelle je einen kleinen Steckbrief zu gleichseitig, gleichschenklig und rechtwinklig.
3. Geodreieck: Untersuche Dein Geodreieck. Welche Dreiecksarten erkennst Du?
4. Winkelbilder: Zeichne ein spitzwinkliges, ein rechtwinkliges und ein stumpfwinkliges Dreieck.

Standard

1. Dreiecke konstruieren: Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein gleichseitiges Dreieck mit 6 cm Seitenlänge.
2. Erklärplakat: Gestalte ein Plakat, das Dreiecke nach Seiten und Winkeln ordnet.
3. Video-Erklärung: Produziere ein einminütiges Erklärvideo zur Winkelsumme im Dreieck.
4. Fehlersuche: Erfinde drei falsche Aussagen über Dreiecke und korrigiere sie verständlich.

Schwer

1. Beweis der Winkelsumme: Erkläre die Winkelsumme mit einer Parallelen durch einen Eckpunkt.
2. Koordinatengeometrie: Wähle drei Punkte im Koordinatensystem und prüfe über Seitenlängen, welche Dreiecksart entsteht.
3. Modellbau: Baue eine stabile Brückenkonstruktion aus Dreiecken und begründe ihre Form.
4. Dreiecks-Klassifikation: Entwickle ein Flussdiagramm, das ein Dreieck anhand von Seiten und Winkeln einordnet.

Lernkontrolle

1. Entscheiden und begründen: Ein Dreieck hat die Seiten 5 cm, 5 cm und 8 cm. Ordne es nach Seiten ein und begründe Deine Entscheidung.
2. Eigenschaften verbinden: Erkläre, warum jedes gleichseitige Dreieck auch gleichschenklig genannt werden kann, aber nicht jedes gleichschenklige Dreieck gleichseitig ist.
3. Alltag übertragen: Eine Leiter steht an einer senkrechten Wand. Beschreibe, welche Seite des entstehenden Dreiecks die Hypotenuse ist und warum.
4. Fehler analysieren: Jemand behauptet, ein Dreieck könne zwei rechte Innenwinkel haben. Widerlege die Aussage mit der Winkelsumme.
5. Planen und prüfen: Entwirf ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck, gib seine Winkel an und prüfe alle Bedingungen.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. Dreiecke korrekt mit Eckpunkten, Seiten und Winkeln beschriften,
2. Dreiecke nach Seiten und Winkeln einordnen,
3. Winkelsumme und Umfang sicher anwenden,
4. Hypotenuse und Katheten erkennen,
5. Deine Lösung mit Skizze, Rechnung und Begründung darstellen.

OERs zum Thema

1. Planet Schule: Folge 22
2. Planet Schule: Übungen
3. Freies Video auf Wikimedia Commons

Links

Dreieck Gleichseitiges Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Winkelsumme Umfang Satz des Pythagoras