Zinseszins - Zinsrechnung mit Herleitung

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Beim Zinseszins bekommst Du nicht nur Zinsen auf das Anfangskapital. Auch frühere Zinsen werden wieder verzinst. Dadurch wächst das Kapital mit der Zeit immer schneller. Das ist ein Beispiel für exponentielles Wachstum.

Zinseszins als Wachstum

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du den Zinsfaktor bestimmen, die Zinseszinsformel herleiten und einfache Aufgaben mit dem Taschenrechner lösen.

Grundlagen

Das Anfangskapital heißt $K_0$. Der Zinssatz heißt $p$ Prozent. Aus ihm entsteht der Zinsfaktor:

$q=1+\frac{p}{100}$

Nach jedem Jahr wird das aktuelle Kapital mit $q$ multipliziert.

Zeichen	Bedeutung
$K_0$	Anfangskapital
$K_n$	Endkapital nach $n$ Perioden
$p$	Zinssatz in Prozent
$q$	Zinsfaktor
$n$	Zahl der Zinsperioden

Wachstum durch Zinseszins

Herleitung der Formel

Nach einer Periode gilt:

$K_1=K_0\cdot q$

Nach zwei Perioden gilt:

$K_2=K_1\cdot q=K_0\cdot q^2$

Nach $n$ Perioden folgt:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{K_n = K_0 \cdot q^n}}

Mit $q=1+\frac{p}{100}$ erhältst Du:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \boxed{K_n = K_0 \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right)^n}}

Der Exponent $n$ zeigt, wie oft mit dem Zinsfaktor multipliziert wird.

Exponentielles Wachstum eines Kapitals

Beispiel

Du legst 1.000 € für drei Jahre zu 5 % pro Jahr an.

$q=1+\frac{5}{100}=\mathrm{1,05}$

$K_3=1000\cdot \mathrm{1,0}{5}^3=\mathrm{1157,625}$

Gerundet besitzt Du nach drei Jahren 1.157,63 €. Die gesamten Zinsen sind $\mathrm{1157,63}-1000=\mathrm{157,63}$ €.

Zeitpunkt	Kapital
Start	1.000,00 €
nach einem Jahr	1.050,00 €
nach zwei Jahren	1.102,50 €
nach drei Jahren	1.157,63 €

Zinseszins bei verschiedener Verzinsungshäufigkeit

Merke

1. Zinsfaktor: $q=1+\frac{p}{100}$
2. Zinseszinsformel: $K_n=K_0\cdot q^n$
3. Zinsbetrag: $Z_n=K_n-K_0$
4. Runden: Rechne möglichst genau und runde erst am Ende.

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Aufgaben zum Video

1. Videoanalyse: Notiere beim Anschauen die Bedeutungen von $K_0$, $K_n$, $p$, $q$ und $n$.
2. Herleitung: Stoppe das Video nach der Herleitung. Schreibe die Schritte von $K_1$ bis $K_n$ mit eigenen Worten auf.
3. Rechenweg: Berechne 800 € bei 4 % Zinsen für fünf Jahre. Vergleiche Deinen Rechenweg mit dem Vorgehen im Video.
4. Erklärung: Begründe, warum die Laufzeit als Exponent in der Formel steht.
5. Fehlerprüfung: Prüfe die Aussage „Beim Zinseszins werden die Zinsen jedes Jahr nur aus dem Anfangskapital berechnet“ und verbessere sie.
6. Mini-Tutorial: Erkläre die Formel in höchstens 60 Sekunden als Audio oder Video.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist der Zinseszinseffekt? (Auch frühere Zinsen werden verzinst) (!Nur das Anfangskapital wird jedes Jahr verzinst) (!Der Zinssatz wird jedes Jahr halbiert) (!Das Kapital bleibt immer gleich)

Wie wird der Zinsfaktor q berechnet? (q gleich 1 plus p geteilt durch 100) (!q gleich p geteilt durch 100) (!q gleich 1 minus p) (!q gleich p mal 100)

Welche Formel berechnet das Endkapital nach n Perioden? (K n gleich K 0 mal q hoch n) (!K n gleich K 0 plus q mal n) (!K n gleich K 0 mal p plus n) (!K n gleich q geteilt durch K 0)

Was bedeutet n in der Zinseszinsformel? (Anzahl der Zinsperioden) (!Höhe des Anfangskapitals) (!Wert des Zinssatzes) (!Betrag der Jahreszinsen)

Welcher Zinsfaktor gehört zu einem Zinssatz von 5 Prozent? (1,05) (!0,05) (!1,5) (!5,00)

Wie groß ist das Kapital nach einem Jahr bei 1.000 Euro und 5 Prozent? (1.050 Euro) (!1.005 Euro) (!1.500 Euro) (!950 Euro)

Wie berechnest Du die gesamten Zinsen nach n Perioden? (Endkapital minus Anfangskapital) (!Endkapital plus Anfangskapital) (!Anfangskapital geteilt durch Laufzeit) (!Zinssatz minus Zinsfaktor)

Welche Art von Wachstum beschreibt die Zinseszinsformel? (Exponentielles Wachstum) (!Lineares Wachstum) (!Zufälliges Wachstum) (!Kein Wachstum)

Was unterscheidet Zinseszins von einfacher Verzinsung? (Die gutgeschriebenen Zinsen werden mitverzinst) (!Der Zinssatz wird nicht in Prozent angegeben) (!Das Anfangskapital wird jedes Jahr gelöscht) (!Die Laufzeit spielt keine Rolle)

Wann solltest Du bei einer längeren Rechnung runden? (Erst am Ende) (!Nach jeder einzelnen Multiplikation) (!Vor dem Einsetzen der Werte) (!Noch vor der Berechnung des Zinsfaktors)

Memory

Anfangskapital	Kapital zu Beginn
Endkapital	Kapital nach der Laufzeit
Zinssatz	Prozentangabe pro Periode
Zinsfaktor	Multiplikationsfaktor
Exponent	Anzahl der Perioden
Zinseszins	Zinsen auf frühere Zinsen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Anfangskapital	Kapital zu Beginn
Zinssatz	Angabe in Prozent pro Periode
Zinsfaktor	Faktor für jede Verzinsung
Laufzeit	Zahl der Zinsperioden
Endkapital	Kapital nach allen Perioden

Kreuzworträtsel

Anfangskapital	Wie heißt das Kapital zu Beginn?
Zinsfaktor	Welcher Faktor wird in jeder Periode mit dem Kapital multipliziert?
Zinssatz	Welche Prozentangabe bestimmt die Verzinsung?
Endkapital	Wie heißt das Kapital nach der Laufzeit?
Exponent	Wie heißt die hochgestellte Zahl in der Formel?
Periode	Wie heißt ein einzelner Verzinsungsabschnitt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Das Kapital zu Beginn heißt . Der Zinssatz wird in angegeben. Aus dem Zinssatz wird der berechnet. Bei fünf Prozent ist der Zinsfaktor . Nach jeder Periode wird das aktuelle Kapital mit dem Zinsfaktor . Die Anzahl der Perioden steht als in der Formel. Das Kapital nach der Laufzeit heißt . Beim Zinseszins werden auch frühere verzinst.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffe erklären: Erkläre Anfangskapital, Zinssatz und Endkapital in je einem einfachen Satz.
2. Videonotiz: Schreibe drei wichtige Aussagen aus dem Lernvideo auf.
3. Jahrestabelle: Erstelle für 500 € und 2 % eine Tabelle für vier Jahre.
4. Skizze: Zeichne eine Kurve, die das Wachstum durch Zinseszins zeigt.

Standard

1. Tabellenkalkulation: Berechne mit einer Tabellenkalkulation 1.200 € bei 3 % für zehn Jahre.
2. Angebotsvergleich: Vergleiche 2 % und 3 % Zinsen bei gleichem Anfangskapital und gleicher Laufzeit.
3. Formel erklären: Erkläre die Herleitung von $K_1$ über $K_2$ bis $K_n$.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo mit einem selbst gewählten Beispiel.

Schwer

1. Fehleranalyse: Untersuche den falschen Ansatz $K_n=K_0\cdot q\cdot n$ und erkläre den Denkfehler.
2. Rückwärtsrechnung: Bestimme mit digitalen Hilfsmitteln, wann sich ein Kapital bei 6 % ungefähr verdoppelt.
3. Monatsverzinsung: Entwickle eine Formel für monatliche Verzinsung und vergleiche sie mit jährlicher Verzinsung.
4. Finanzentscheidung: Bewerte ein Sparangebot. Beachte Zinssatz, Laufzeit, Gebühren und Inflation.

Lernkontrolle

1. Angebote vergleichen: Zwei Banken bieten unterschiedliche Zinssätze und Laufzeiten. Entwickle eine begründete Methode, mit der Du beide Angebote fair vergleichst.
2. Graph deuten: Erkläre, warum die Zinseszinskurve anfangs flach und später steiler verläuft.
3. Fehler korrigieren: Eine Person addiert jedes Jahr denselben Zinsbetrag. Zeige, wann das sinnvoll ist und warum es beim Zinseszins nicht reicht.
4. Schulden übertragen: Erkläre, wie der Zinseszinseffekt bei Schulden wirkt und welche Folgen eine lange Laufzeit haben kann.
5. Parameter untersuchen: Beschreibe, wie sich Anfangskapital, Zinssatz und Laufzeit jeweils auf das Endkapital auswirken. Nutze Beispiele.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. die Größen $K_0$, $K_n$, $p$, $q$ und $n$ sicher erklären,
2. den Zinsfaktor korrekt bestimmen,
3. die Zinseszinsformel herleiten und anwenden,
4. Ergebnisse sinnvoll runden und deuten,
5. einen Rechenweg verständlich darstellen,
6. eine neue Sachsituation selbstständig untersuchen.

Links

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