Pythagoras, Euklid und Thales - Sätze am Dreieck

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

In diesem aiMOOC lernst Du vier wichtige Sätze für das rechtwinklige Dreieck kennen: den Satz des Pythagoras, den Kathetensatz, den Höhensatz des Euklid und den Satz des Thales. Du übst, den passenden Satz auszuwählen und einfache Aufgaben zu lösen.

Die Sätze tragen die Namen berühmter Gelehrter. Viele geometrische Kenntnisse waren jedoch schon in verschiedenen alten Kulturen bekannt.

Das rechtwinklige Dreieck

Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn ein Winkel genau 90° groß ist. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.

In diesem Kurs gilt:

Zeichen	Bedeutung
a und b	Katheten
c	Hypotenuse
h	Höhe auf die Hypotenuse
p und q	Abschnitte der Hypotenuse

Dabei gilt immer: p + q = c.

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras gilt nur in einem rechtwinkligen Dreieck:

a² + b² = c²

Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.

Beispiel: Sind a = 3 cm und b = 4 cm, dann gilt c² = 9 cm² + 16 cm² = 25 cm². Also ist c = 5 cm.

Sätze des Euklid

Euklid beschrieb wichtige Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck.

Kathetensatz

Die Höhe teilt die Hypotenuse c in die Abschnitte p und q. Dabei gilt:

a² = c · p

b² = c · q

Der Abschnitt p gehört zur Kathete a. Der Abschnitt q gehört zur Kathete b.

Höhensatz

Für die Höhe h auf der Hypotenuse gilt:

h² = p · q

Beispiel: Bei c = 25 cm, p = 9 cm und q = 16 cm erhältst Du:

a = 15 cm, b = 20 cm und h = 12 cm.

Satz des Thales

Beim Satz des Thales ist eine Seite des Dreiecks der Durchmesser eines Kreises. Liegt der dritte Eckpunkt auf dem Kreis, dann ist der Winkel an diesem Punkt ein rechter Winkel.

Kurz gesagt: Jeder Winkel im Halbkreis ist 90° groß.

Mit dem Satz des Thales kannst Du ein rechtwinkliges Dreieck erzeugen. Danach kannst Du den Satz des Pythagoras oder die Sätze des Euklid anwenden.

Zusammenhang der Sätze

Die Sätze ergänzen sich:

Satz	Wofür wird er genutzt?
Satz des Thales	Erzeugt oder erkennt einen rechten Winkel im Halbkreis.
Satz des Pythagoras	Verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.
Kathetensatz	Verbindet eine Kathete mit der Hypotenuse und einem Hypotenusenabschnitt.
Höhensatz	Verbindet die Höhe mit den beiden Hypotenusenabschnitten.

Aus den beiden Kathetensätzen folgt der Satz des Pythagoras:

a² + b² = c · p + c · q = c · (p + q) = c · c = c²

Video: Pythagoras, Euklid und Thales

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Aufgaben zum Video

1. Formelsammlung: Schreibe beim Ansehen die Formeln zum Satz des Pythagoras, zum Kathetensatz und zum Höhensatz auf.
2. Skizze: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck aus dem Video und beschrifte a, b, c, h, p und q.
3. Satz des Thales: Erkläre nach dem Video in einem Satz, warum im Halbkreis ein rechter Winkel entsteht.
4. Vergleich: Notiere zu jedem Satz, welche Größen miteinander verbunden werden.
5. Rechenweg: Stoppe das Video bei einer Rechnung, rechne sie selbst und vergleiche anschließend.
6. Zusammenhang: Erkläre, wie der Satz des Thales und der Satz des Pythagoras in einer gemeinsamen Aufgabe benutzt werden können.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

In welcher Dreiecksart gilt der Satz des Pythagoras? (In einem rechtwinkligen Dreieck) (!In jedem gleichseitigen Dreieck) (!In jedem spitzwinkligen Dreieck) (!Nur in einem gleichschenkligen Dreieck)

Welche Formel gehört zum Satz des Pythagoras? (a² + b² = c²) (!a + b = c²) (!a² − b² = c) (!a · b = c²)

Wie heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel? (Hypotenuse) (!Kathete) (!Höhe) (!Durchmesser)

Wie lang ist die Hypotenuse bei Kathetenlängen 3 cm und 4 cm? (5 cm) (!6 cm) (!7 cm) (!12 cm)

Welche Formel ist ein Kathetensatz? (a² = c · p) (!a² = p · q) (!c² = a · p) (!h² = c · p)

Welche Formel gehört zum Höhensatz? (h² = p · q) (!h = p + q) (!h² = c · q) (!h = a + b)

Wie hängen p, q und c zusammen? (p + q = c) (!p · q = c) (!p − q = c) (!p² + q² = c)

Wie groß ist ein Winkel im Halbkreis nach dem Satz des Thales? (90 Grad) (!45 Grad) (!60 Grad) (!180 Grad)

Wie kann der Satz des Pythagoras aus den Kathetensätzen gewonnen werden? (Durch Addition der beiden Kathetensätze) (!Durch Subtraktion der beiden Kathetensätze) (!Durch Verdopplung des Höhensatzes) (!Durch Halbierung der Hypotenuse)

Welcher Satz hilft beim Zeichnen eines rechten Winkels mit einem Halbkreis? (Satz des Thales) (!Höhensatz) (!Kathetensatz) (!Sinussatz)

Memory

Satz des Pythagoras	a² + b² = c²
Kathetensatz	a² = c · p
Höhensatz	h² = p · q
Satz des Thales	Winkel im Halbkreis ist recht
Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Kathete	Seite am rechten Winkel
Durchmesser	Strecke durch den Kreismittelpunkt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Satz des Pythagoras	Beziehung zwischen den drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks
Kathetensatz	Beziehung zwischen Kathete, Hypotenuse und Hypotenusenabschnitt
Höhensatz	Beziehung zwischen Höhe und Hypotenusenabschnitten
Satz des Thales	Rechter Winkel im Halbkreis
Umkehrung des Pythagoras	Prüfung, ob ein Dreieck rechtwinklig ist

Kreuzworträtsel

Hypotenuse	Wie heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel?
Kathete	Wie heißt eine Seite, die am rechten Winkel liegt?
Höhensatz	Welcher Satz verbindet h, p und q?
Pythagoras	Nach wem ist die Formel a² plus b² gleich c² benannt?
Thales	Nach wem ist der Satz über den Winkel im Halbkreis benannt?
Durchmesser	Welche Kreisstrecke wird beim Satz des Thales zur Dreiecksseite?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Dreieck mit einem Winkel von 90 Grad ist .

Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt .

Beim Satz des Pythagoras gilt .

Die Höhe auf der Hypotenuse teilt diese in .

Beim Höhensatz gilt .

Ein Winkel im Halbkreis ist nach Thales .

Aus der Addition der Kathetensätze folgt der Satz des .

Bei Kathetenlängen 3 cm und 4 cm ist die Hypotenuse lang.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffe am Dreieck: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck und beschrifte Katheten, Hypotenuse und rechten Winkel.
2. Formelkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit den vier Sätzen.
3. Dreieckssuche: Finde drei rechtwinklige Formen in Deiner Umgebung und fotografiere oder skizziere sie.
4. Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.

Standard

1. Pythagoras-Modell: Baue ein 3-4-5-Dreieck aus Papier, Schnur oder Holzstäben.
2. Thaleskreis: Zeichne mit Zirkel und Lineal einen Halbkreis und konstruiere darin drei verschiedene rechtwinklige Dreiecke.
3. Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Video, in dem Du einen der vier Sätze erklärst.
4. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Rechnung und erkläre, an welcher Stelle der Fehler liegt.

Schwer

1. Beweisidee: Zeige mit Flächen oder ausgeschnittenen Quadraten, warum a² + b² = c² gilt.
2. Verbindung der Sätze: Entwickle eine Aufgabe, bei der zuerst der Satz des Thales und danach der Satz des Pythagoras gebraucht wird.
3. Vermessungsprojekt: Bestimme indirekt eine schwer erreichbare Länge und dokumentiere Dein mathematisches Modell.
4. Satzvergleich: Erstelle ein Lernplakat, das Voraussetzungen, Formeln und Anwendungen aller vier Sätze gegenüberstellt.

Lernkontrolle

1. Satzwahl: Ein Dreieck enthält eine unbekannte Seite. Erkläre anhand der gegebenen Größen, welchen Satz Du auswählst und warum.
2. Transfer auf einen Kreis: Ein Dreieck liegt in einem Halbkreis. Begründe zuerst den rechten Winkel und berechne anschließend eine fehlende Seite.
3. Herleitung: Leite den Satz des Pythagoras aus den beiden Kathetensätzen und der Beziehung p + q = c her.
4. Fehler beurteilen: Eine Person verwendet a² + b² = c² in einem nicht rechtwinkligen Dreieck. Erkläre das Problem und nenne eine notwendige Prüfung.
5. Modellieren: Entwickle für eine Leiter an einer Wand eine passende Skizze, benenne die Größen und stelle eine Gleichung auf.
6. Mehrere Lösungswege: Löse eine Aufgabe einmal mit dem Satz des Pythagoras und einmal mithilfe der Sätze des Euklid. Vergleiche beide Wege.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. ein rechtwinkliges Dreieck sicher beschriften,
2. Hypotenuse, Katheten, Höhe sowie p und q unterscheiden,
3. die vier Sätze richtig formulieren,
4. den passenden Satz für eine Aufgabe auswählen,
5. fehlende Längen korrekt berechnen,
6. Rechenwege mit Einheiten aufschreiben,
7. Zusammenhänge zwischen Thales, Pythagoras und Euklid erklären,
8. eine Anwendung oder Konstruktion verständlich präsentieren.

Links

Pythagoras, Euklid und Thales - Sätze am Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras Kathetensatz Höhensatz des Euklid Satz des Thales Hypotenuse Kathete Kreis Geometrie