Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Kreuzprodukt und Vektoren aufstellen

Dieser kurze aiMOOC zeigt Dir, wie Du Vektoren aus Punkten aufstellst und das Kreuzprodukt berechnest. Du lernst außerdem, wie ein Normalenvektor entsteht.

Fach	Klassenstufe	Zeit
Mathematik	10–13	etwa 45–90 Minuten

Einleitung

Ein Vektor beschreibt eine Richtung und eine Länge. Im Raum hat er drei Komponenten.

Das Kreuzprodukt verbindet zwei Vektoren. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor. Dieser steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren.

Vektoren aus Punkten aufstellen

Gegeben sind zwei Punkte:

$A (a_{1} | a_{2} | a_{3})$ und $B (b_{1} | b_{2} | b_{3})$ .

Der Vektor von $A$ nach $B$ lautet:

$\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} b_{1} - a_{1} \\ b_{2} - a_{2} \\ b_{3} - a_{3} \end{matrix})$

Merksatz: Endpunkt minus Startpunkt.

Beispiel:

$A (1 | 2 | 0)$ und $B (4 | 1 | 5)$

$\vec{A B} = (\begin{matrix} 4 - 1 \\ 1 - 2 \\ 5 - 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 5 \end{matrix})$

Der umgekehrte Vektor ist:

$\vec{B A} = - \vec{A B} = (\begin{matrix} - 3 \\ 1 \\ - 5 \end{matrix})$

Das Kreuzprodukt

Für

$\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})$

gilt:

$\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})$

Beispiel:

$\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})$ , $\vec{b} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})$

$\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} 2 \cdot 3 - 0 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ - 3 \\ 1 \end{matrix})$

Die Probe gelingt mit dem Skalarprodukt:

$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$

$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$

Damit steht das Ergebnis senkrecht auf beiden Vektoren.

Richtung und Länge

Die Rechte-Hand-Regel zeigt die Richtung des Kreuzprodukts. Vertauschst Du die beiden Vektoren, dreht sich die Richtung um:

$\vec{b} \times \vec{a} = - (\vec{a} \times \vec{b})$

Die Animation zeigt: Sind die Vektoren parallel, ist das Kreuzprodukt der Nullvektor. Bei einem rechten Winkel ist sein Betrag besonders groß.

Der Betrag des Kreuzprodukts ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms:

$A_{Parallelogramm} = | \vec{a} \times \vec{b} |$

Für ein Dreieck gilt:

$A_{Dreieck} = \frac{1}{2} | \vec{a} \times \vec{b} |$

Normalenvektor einer Ebene

Drei Punkte $A$ , $B$ und $C$ bestimmen eine Ebene, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen.

Stelle zuerst zwei Spannvektoren auf:

$\vec{u} = \vec{A B}$

$\vec{v} = \vec{A C}$

Dann berechnest Du:

$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$

Der Vektor $\vec{n}$ ist ein Normalenvektor der Ebene.

Lernvideo

Das folgende Video erklärt das Kreuzprodukt und das Aufstellen von Vektoren:

Aufgaben zum Video

Kreuzprodukt erkennen: Schreibe nach dem Video in einem Satz auf, was das Ergebnis eines Kreuzprodukts ist.
Formel notieren: Pausiere bei der Formel und schreibe alle drei Komponenten sauber ab.
Beispiel nachrechnen: Stoppe vor dem Ergebnis eines Beispiels und rechne selbst weiter.
Senkrechte prüfen: Erkläre, wie Du mit dem Skalarprodukt prüfen kannst, ob das Ergebnis stimmt.
Eigenes Beispiel: Wähle zwei einfache Vektoren und berechne ihr Kreuzprodukt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Ergebnis eines Kreuzprodukts? (Ein Vektor) (!Eine Gerade) (!Immer die Zahl null) (!Ein Punkt)

Wie liegt der Ergebnisvektor zu den beiden Ausgangsvektoren? (Er steht senkrecht auf beiden) (!Er ist immer parallel zu beiden) (!Er liegt immer auf der x-Achse) (!Er hat immer die Länge eins)

Wie lautet der Vektor von A nach B? (Endpunkt minus Startpunkt) (!Startpunkt plus Endpunkt) (!Startpunkt minus Endpunkt) (!Alle Koordinaten werden multipliziert)

Wie lautet die erste Komponente des Kreuzprodukts? (a2 mal b3 minus a3 mal b2) (!a1 mal b1 plus a2 mal b2) (!a3 mal b3 minus a1 mal b1) (!a1 plus a2 plus a3)

Was entsteht beim Kreuzprodukt paralleler Vektoren? (Der Nullvektor) (!Ein Einheitsvektor) (!Ein Punkt) (!Eine Ebene)

Was geschieht beim Vertauschen der beiden Vektoren? (Die Richtung des Ergebnisses kehrt sich um) (!Das Ergebnis bleibt immer gleich) (!Das Ergebnis wird zu einer Zahl) (!Der Betrag wird immer null)

Was beschreibt der Betrag des Kreuzprodukts geometrisch? (Die Fläche des aufgespannten Parallelogramms) (!Den Umfang des Parallelogramms) (!Den Abstand zum Ursprung) (!Das Volumen einer Kugel)

Was ist das Kreuzprodukt von eins null null und null eins null? (Der Vektor null null eins) (!Der Vektor eins eins null) (!Der Vektor null null null) (!Die Zahl eins)

Wie prüfst Du einen berechneten Normalenvektor? (Beide Skalarprodukte müssen null sein) (!Seine Komponenten müssen gleich sein) (!Seine Länge muss eins sein) (!Alle Komponenten müssen positiv sein)

Wie erhältst Du einen Normalenvektor aus zwei Spannvektoren? (Durch ihr Kreuzprodukt) (!Durch ihre Summe) (!Durch ihren Mittelwert) (!Durch das Quadrieren jeder Komponente)

Memory

Ortsvektor	Lage eines Punktes vom Ursprung aus
Verbindungsvektor	Endpunkt minus Startpunkt
Kreuzprodukt	Senkrechter Ergebnisvektor
Betrag	Länge eines Vektors
Normalenvektor	Steht senkrecht auf einer Ebene
Nullvektor	Ergebnis bei parallelen Ausgangsvektoren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Rechenschritt
Endpunkt minus Startpunkt	Vektor aus zwei Punkten
a2 mal b3 minus a3 mal b2	Erste Komponente
a3 mal b1 minus a1 mal b3	Zweite Komponente
a1 mal b2 minus a2 mal b1	Dritte Komponente
Zwei Skalarprodukte gleich null	Probe des Ergebnisvektors

Kreuzworträtsel

Vektor	Was ist das Ergebnis eines Kreuzprodukts?
Orthogonal	Welches Wort bedeutet senkrecht?
Normalenvektor	Welcher Vektor steht senkrecht auf einer Ebene?
Parallelogramm	Welche Fläche beschreibt der Betrag des Kreuzprodukts?
Nullvektor	Was entsteht beim Kreuzprodukt paralleler Vektoren?
Rechtshandregel	Welche Regel zeigt die Richtung des Kreuzprodukts?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Vektorpfeil: Zeichne einen Vektor in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
Verbindungsvektor: Wähle zwei Punkte und berechne den Vektor vom ersten zum zweiten Punkt.
Videonotizen: Notiere fünf wichtige Begriffe aus dem Lernvideo.
Merkplakat: Gestalte ein kleines Plakat mit dem Satz „Endpunkt minus Startpunkt“.

Standard

Kreuzprodukt berechnen: Berechne das Kreuzprodukt von zwei selbst gewählten Vektoren.
Rechte-Hand-Regel: Erstelle ein Foto oder eine Zeichnung, die die Regel erklärt.
Normalenvektor bestimmen: Wähle drei Punkte und bestimme einen Normalenvektor ihrer Ebene.
Flächeninhalt: Berechne mit einem Kreuzprodukt die Fläche eines Parallelogramms.

Schwer

Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video mit einem vollständig gerechneten Beispiel.
Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Kreuzprodukt-Rechnung und erkläre den Fehler.
Dreiecksfläche: Bestimme aus drei Raumpunkten die Fläche des entstehenden Dreiecks.
GeoGebra-Modell: Stelle zwei Vektoren und ihren senkrechten Ergebnisvektor digital dar.

Lernkontrolle

Rechenweg begründen: Erkläre, warum beim Verbindungsvektor der Startpunkt vom Endpunkt abgezogen wird.
Reihenfolge untersuchen: Berechne $\vec{a} \times \vec{b}$ und $\vec{b} \times \vec{a}$ . Vergleiche beide Ergebnisse und deute den Unterschied.
Ebene beschreiben: Begründe, warum das Kreuzprodukt zweier Spannvektoren als Normalenvektor genutzt werden kann.
Fläche übertragen: Entwickle einen Rechenweg, mit dem Du aus drei Punkten die Fläche eines Dreiecks im Raum bestimmst.
Ergebnis prüfen: Eine Person erhält einen Ergebnisvektor, dessen Skalarprodukt mit einem Ausgangsvektor nicht null ist. Erkläre, was daraus folgt und wie die Rechnung verbessert wird.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

einen Vektor aus zwei Punkten korrekt aufstellen kannst,
ein Kreuzprodukt sicher berechnen kannst,
die Richtung des Ergebnisvektors erklären kannst,
eine Rechnung mit dem Skalarprodukt prüfen kannst,
einen Normalenvektor und einen Flächeninhalt bestimmen kannst,
Deinen Rechenweg verständlich dokumentierst.

OERs zum Thema

Links

Kreuzprodukt und Vektoren aufstellen

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.