Integrationsregeln

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Integrationsregeln

Fach: Mathematik Klassenstufe: 10–13 Thema: Integralrechnung, Stammfunktion und wichtige Regeln zum Integrieren

Einleitung

Beim Integrieren suchst Du eine Stammfunktion. Eine Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f$, wenn $F^{\prime }(x)=f(x)$ gilt.

$\int f(x)dx=F(x)+C$

Das $C$ heißt Integrationskonstante. Du kannst Dein Ergebnis prüfen, indem Du es wieder ableitest.

Lernvideo: Integrationsregeln

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Aufgaben zum Video:

1. Videonotizen: Notiere die Namen der Integrationsregeln, die im Video erklärt werden.
2. Pause-Aufgabe: Stoppe vor jeder Beispielrechnung. Rechne zuerst selbst und vergleiche dann.
3. Regelkarte: Schreibe zu jeder Regel eine kurze Erklärung und ein eigenes Beispiel.
4. Integrationskonstante: Achte darauf, wann $+C$ vorkommt. Erkläre seine Bedeutung.
5. Videocheck: Berechne nach dem Video $\int (3x^2+4x-5)dx$ und prüfe durch Ableiten.

Datei:Mathematrix Integrieren Theorie.webm

Die wichtigsten Regeln

Regel	Formel	Beispiel
Potenzregel	$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ für $n\ne -1$	$\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}+C$
Faktorregel	$\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx$	$\int 5x^{2}dx=\frac{5}{3}{x}^3+C$
Summenregel	$\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$	$\int (x^2+2x)dx=\frac{x^3}{3}+x^2+C$
Differenzregel	$\int (f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$	$\int (x^2-1)dx=\frac{x^3}{3}-x+C$
Konstante Funktion	$\int adx=ax+C$	$\int 7dx=7x+C$

Sonderfall und Kontrolle

Für $n=-1$ gilt die Potenzregel nicht. Der wichtige Sonderfall lautet:

$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

Kontrolle: Leite Deine Stammfunktion ab. Du musst wieder den Integranden erhalten.

Vom Integral zur Fläche

Ein bestimmtes Integral kann einen orientierten Flächeninhalt beschreiben. Mit einer Stammfunktion $F$ gilt:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Datei:Mathematrix Integrieren Aufgaben.webm

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist F, wenn F'(x)=f(x) gilt? (Eine Stammfunktion von f) (!Eine Nullstelle von f) (!Eine Gerade durch den Ursprung) (!Eine Konstante ohne Bezug zu f)

Was gehört beim unbestimmten Integral zum Ergebnis? (Die Integrationskonstante C) (!Nur eine natürliche Zahl) (!Immer die Grenze null) (!Immer ein negatives Vorzeichen)

Was ist eine Stammfunktion von x hoch 3? (x hoch 4 durch 4 plus C) (!3x hoch 2 plus C) (!x hoch 2 durch 2 plus C) (!4x hoch 3 plus C)

Was ist eine Stammfunktion von 5x hoch 2? (5x hoch 3 durch 3 plus C) (!10x plus C) (!5x hoch 2 plus C) (!x hoch 3 durch 15 plus C)

Was sagt die Faktorregel? (Ein konstanter Faktor kann vor dem Integral stehen bleiben) (!Jeder Faktor wird zu null) (!Der Faktor wird immer quadriert) (!Der Faktor wird durch x ersetzt)

Was erlaubt die Summenregel? (Summanden einzeln zu integrieren) (!Nur den ersten Summanden zu integrieren) (!Alle Pluszeichen durch Malzeichen zu ersetzen) (!Die Funktion ohne Rechnung abzuleiten)

Was ist eine Stammfunktion der konstanten Funktion 7? (7x plus C) (!7 plus C) (!x hoch 7 plus C) (!7 durch x plus C)

Für welchen Exponenten gilt die übliche Potenzregel nicht? (Minus eins) (!Null) (!Eins) (!Zwei)

Wie prüfst Du eine gefundene Stammfunktion? (Du leitest sie ab) (!Du rundest sie) (!Du setzt immer x gleich null) (!Du vertauschst alle Vorzeichen)

Welche Funktion ist eine Stammfunktion von 2x? (x hoch 2 plus C) (!2 plus C) (!2x hoch 2 plus C) (!x plus C)

Memory

Stammfunktion	Ableitung ergibt den Integranden
Potenzregel	Exponent um eins erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen
Faktorregel	Konstanter Faktor bleibt erhalten
Summenregel	Summanden getrennt integrieren
Integrationskonstante	Beliebige additive Konstante
Integralzeichen	Langes S als Rechenzeichen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Beschreibung
Potenzregel	Exponent erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen
Faktorregel	Konstante Faktoren können vor dem Integral bleiben
Summenregel	Summanden dürfen einzeln integriert werden
Stammfunktion	Ihre Ableitung ist der Integrand
Integrationskonstante	Sie wird als C geschrieben

Kreuzworträtsel

Stammfunktion	Wie heißt eine Funktion, deren Ableitung der Integrand ist?
Potenzregel	Welche Regel erhöht beim Integrieren den Exponenten?
Faktorregel	Welche Regel behandelt konstante Faktoren?
Summenregel	Welche Regel erlaubt getrenntes Integrieren von Summanden?
Konstante	Welcher Funktionstyp hat überall denselben Wert?
Integralzeichen	Wie heißt das lange S vor dem Integranden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Integrieren suchst Du eine . Ihre Ableitung ergibt den . Bei der Potenzregel wird der Exponent um erhöht. Ein konstanter Faktor kann mit der vor dem Integral bleiben. Summanden dürfen mit der einzeln integriert werden. Beim unbestimmten Integral ergänzt Du die . Zur Kontrolle musst Du das Ergebnis wieder .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Regelplakat: Gestalte ein kleines Plakat mit Potenzregel, Faktorregel und Summenregel.
2. Videokarte: Schreibe drei Merksätze zum Lernvideo auf Karteikarten.
3. Ableitungscheck: Finde eine Stammfunktion zu $f(x)=4x^3$ und prüfe sie.
4. Fehlersuche: Erkläre, warum $\int x^{2}dx=2x+C$ falsch ist.

Standard

1. Eigene Beispiele: Erfinde zu jeder Grundregel eine Aufgabe mit Lösung.
2. Video-Tutorial: Erstelle ein einminütiges Erklärvideo zur Potenzregel.
3. Partnervergleich: Löse $\int (6x^2-4x+3)dx$ und vergleiche Deinen Rechenweg.
4. Graphische Deutung: Zeichne eine Funktion und markiere eine Fläche, die durch ein bestimmtes Integral beschrieben wird.

Schwer

1. Regeln begründen: Erkläre die Potenzregel mithilfe der Ableitungsregel für Potenzen.
2. Sonderfall: Untersuche, warum die Potenzregel bei $n=-1$ nicht funktioniert.
3. Anwendungsmodell: Eine Änderungsrate ist durch $v(t)=3t^2-2t$ gegeben. Bestimme eine passende Bestandsfunktion und deute sie.
4. Aufgabenanalyse: Prüfe eine selbst gewählte Musterlösung aus dem Video oder Unterricht und verbessere unklare Schritte.

Lernkontrolle

1. Regelwahl: Begründe, welche Integrationsregeln Du bei $\int (4x^3-2x+5)dx$ nutzt.
2. Fehlerdiagnose: Eine Person schreibt $\int 3x^{2}dx=3x^3+C$. Erkläre den Fehler und korrigiere ihn.
3. Rückwärtsdenken: Finde zwei verschiedene Stammfunktionen derselben Funktion und erkläre ihren Zusammenhang.
4. Transfer: Eine Geschwindigkeit wird durch $v(t)=2t+1$ beschrieben. Bestimme eine Wegfunktion und erkläre die Rolle des Anfangswerts.
5. Darstellungswechsel: Erkläre mit Worten, Formel und Skizze, wie Ableiten und Integrieren zusammenhängen.
6. Video-Reflexion: Wähle eine Regel aus dem Video und erkläre, wann sie allein nicht ausreicht.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. die Begriffe Stammfunktion, Integrand und Integrationskonstante sicher erklären,
2. Potenzregel, Faktorregel, Summenregel und Differenzregel anwenden,
3. Ergebnisse durch Ableiten prüfen,
4. einfache bestimmte und unbestimmte Integrale unterscheiden,
5. einen Rechenweg verständlich begründen,
6. eine Aufgabe aus dem Lernvideo selbstständig lösen.

Links

Integrationsregeln Integralrechnung Stammfunktion Potenzregel Faktorregel Summenregel Differenzregel Integrationskonstante Bestimmtes Integral Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung