Horner-Schema - Nullstellen berechnen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Mit dem Horner-Schema kannst Du eine vermutete Nullstelle schnell prüfen. Gleichzeitig teilst Du ein Polynom durch einen Linearfaktor. Das Verfahren ist eine kurze Form der Polynomdivision.

Der Graph zeigt ein Polynom dritten Grades mit drei Nullstellen. An einer Nullstelle gilt $p(x)=0$.

Lernziele

Du kannst nach diesem aiMOOC:

1. Koeffizienten richtig in das Horner-Schema eintragen.
2. eine mögliche Nullstelle prüfen.
3. aus dem Restwert erkennen, ob die Zahl eine Nullstelle ist.
4. das kleinere Restpolynom weiter lösen.

Video: Horner-Schema erklärt

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Aufgaben zum Video

1. Beobachtungsauftrag: Schreibe beim Ansehen die Rechenschritte in der richtigen Reihenfolge auf.
2. Pause-Aufgabe: Stoppe das Video vor einem Rechenschritt und berechne ihn selbst.
3. Merksatz: Formuliere in einem Satz, was der letzte Wert im Schema bedeutet.
4. Fehlende Potenz: Notiere, was Du tun musst, wenn im Polynom zum Beispiel kein $x^2$-Term vorkommt.
5. Vergleich: Vergleiche Deinen Rechenweg mit dem Lösungsweg im Video und verbessere mögliche Fehler.

So funktioniert das Horner-Schema

Gegeben ist:

$p(x)=x^3-6x^2+11x-6$

Da der höchste Koeffizient $1$ ist, sind die ganzzahligen Teiler von $-6$ mögliche Nullstellen. Wir testen $x=1$.

Schritt	1	-6	11	-6
Testwert 1	↓	1	-5	6
Ergebnis	1	-5	6	0

Rechenregel: Erste Zahl herunterziehen. Dann immer multiplizieren und addieren.

Der letzte Wert ist $0$. Also ist $x=1$ eine Nullstelle. Die anderen Ergebnisse bilden das Restpolynom:

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

Damit sind die Nullstellen:

$x_1=1,x_2=2,x_3=3$

Das Restpolynom ist quadratisch. Du kannst es durch Faktorisierung, die pq-Formel oder die Mitternachtsformel lösen.

Wichtige Regeln

1. Lücke im Polynom: Fehlt eine Potenz, trägst Du den Koeffizienten $0$ ein.
2. Restwert: Ist der letzte Wert $0$, wurde eine Nullstelle gefunden.
3. Linearfaktor: Zur Nullstelle $a$ gehört der Faktor $x-a$.
4. Grad: Nach dem Abspalten eines Linearfaktors sinkt der Grad um eins.

Das Bild zeigt eine einfache und eine mehrfache Nullstelle. Beide haben den Funktionswert null.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist eine Nullstelle eines Polynoms? (Ein x-Wert mit Funktionswert null) (!Ein x-Wert mit Funktionswert eins) (!Der höchste Koeffizient) (!Der y-Achsenabschnitt)

Welche Zahlen werden zuerst in das Horner-Schema eingetragen? (Die Koeffizienten des Polynoms) (!Die Exponenten des Polynoms) (!Nur die Nullstellen) (!Die Punkte des Graphen)

Was trägst Du bei einer fehlenden Potenz ein? (Null) (!Eins) (!Den Testwert) (!Ein Fragezeichen)

Welche Zahlen sind Kandidaten für ganzzahlige Nullstellen eines normierten Polynoms? (Teiler des konstanten Glieds) (!Nur positive Zahlen) (!Nur gerade Zahlen) (!Die Exponenten)

Was bedeutet ein Restwert von null? (Die getestete Zahl ist eine Nullstelle) (!Das Polynom hat keine Nullstelle) (!Der Testwert war zu groß) (!Alle Koeffizienten sind null)

Wie verändert sich der Grad nach dem Abspalten eines Linearfaktors? (Er wird um eins kleiner) (!Er wird um eins größer) (!Er bleibt immer gleich) (!Er wird automatisch null)

Welcher Linearfaktor gehört zur Nullstelle a? (x minus a) (!x plus a) (!a minus x hoch zwei) (!x mal a)

Welche Zahl ist eine Nullstelle von x hoch drei minus sechs x hoch zwei plus elf x minus sechs? (Eins) (!Null) (!Vier) (!Fünf)

Welches Restpolynom entsteht beim Testwert eins im Beispiel? (x hoch zwei minus fünf x plus sechs) (!x hoch zwei plus fünf x plus sechs) (!x hoch drei minus fünf x plus sechs) (!x minus sechs)

Welche Nullstellen hat das Beispielpolynom? (Eins zwei und drei) (!Null eins und zwei) (!Minus eins zwei und sechs) (!Eins drei und sechs)

Memory

Nullstelle	Funktionswert null
Koeffizienten	Zahlen vor den Potenzen
Horner-Schema	kurze Polynomdivision
Restwert	letzter Wert der Ergebniszeile
Linearfaktor	x minus eingesetzter Wert

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Koeffizienten notieren	erster Schritt
Erste Zahl herunterziehen	Start der Rechnung
Multiplizieren	Testwert mal letztes Ergebnis
Addieren	Spaltenwert plus Produkt
Rest prüfen	Entscheidung über die Nullstelle

Kreuzworträtsel

Horner	Nach wem ist das Schema benannt?
Nullstelle	Wie heißt ein x-Wert mit Funktionswert null?
Koeffizient	Wie heißt eine Zahl vor einer Potenz?
Restwert	Wie heißt der letzte Wert im Schema?
Linearfaktor	Welcher Faktor wird bei einer gefundenen Nullstelle abgespalten?
Polynomdivision	Welches längere Verfahren wird durch das Schema verkürzt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Polynom wird im Horner-Schema durch seine dargestellt. Bei einer fehlenden Potenz trägst Du den Koeffizienten ein. Eine vermutete Nullstelle wird als verwendet. Ist der letzte Wert null, ist die getestete Zahl eine . Die übrigen Werte bilden die Koeffizienten des . Zur Nullstelle a gehört der Linearfaktor . Das Restpolynom hat einen um eins kleineren .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Video-Notizen: Schreibe fünf kurze Schritte aus dem Video auf.
2. Rechenkarte: Erstelle eine Karte mit der Regel „herunterziehen, multiplizieren, addieren“.
3. Beispielrechnung: Prüfe mit dem Horner-Schema, ob $x=2$ eine Nullstelle von $x^3-6x^2+11x-6$ ist.
4. Bildanalyse: Markiere im Bild „Polynomialdeg3.svg“ die sichtbaren Nullstellen und beschreibe sie.

Standard

1. Video-Stopp-Protokoll: Stoppe das Video an drei Stellen, rechne weiter und vergleiche danach.
2. Eigene Aufgabe: Erfinde ein Polynom dritten Grades mit den Nullstellen $1$, $2$ und $4$.
3. Methodenvergleich: Löse eine Aufgabe einmal mit dem Horner-Schema und einmal mit der Polynomdivision.
4. Partnererklärung: Erkläre einer Person, warum eine fehlende Potenz als Koeffizient null eingetragen wird.

Schwer

1. Fehlerdiagnose: Erstelle ein absichtlich falsches Horner-Schema und lasse den Fehler finden.
2. Transferaufgabe: Untersuche $p(x)=2x^3-3x^2-8x+12$ auf ganzzahlige Nullstellen.
3. Digitales Modell: Zeichne ein Polynom und seine Nullstellen mit einer dynamischen Geometriesoftware.
4. Algorithmus: Formuliere das Horner-Schema als klare Schrittfolge oder als Pseudocode.

Lernkontrolle

1. Methodenwahl: Entscheide bei drei Polynomen, ob Horner-Schema, Faktorisierung oder eine quadratische Lösungsformel am günstigsten ist. Begründe.
2. Fehler erklären: In einem Schema wurde eine fehlende Potenz ausgelassen. Erkläre die Folge für alle weiteren Rechenschritte.
3. Zusammenhang darstellen: Zeige an einem Beispiel, wie Nullstelle, Linearfaktor und Restwert zusammenhängen.
4. Modellieren: Konstruiere ein Polynom dritten Grades aus drei vorgegebenen Nullstellen und prüfe eine davon mit dem Horner-Schema.
5. Grenzen beurteilen: Erkläre, warum das Horner-Schema allein nicht immer sofort alle Nullstellen liefert.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig:

1. Du trägst alle Koeffizienten vollständig und in richtiger Reihenfolge ein.
2. Du führst Multiplikation und Addition fehlerfrei aus.
3. Du deutest den Restwert richtig.
4. Du schreibst das Restpolynom korrekt auf.
5. Du erklärst Deinen Rechenweg mit eigenen Worten.

OERs zum Thema

Die Grafik verbindet Nullstellen mit weiteren wichtigen Punkten einer kubischen Funktion.

Links

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