Formeln für Volumen und Oberfläche - Körper

Dieses Quiz als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Ein geometrischer Körper ist eine Figur im dreidimensionalen Raum. Er hat eine Ausdehnung in drei Richtungen: Länge, Breite und Höhe. Beim Rechnen mit Körpern begegnen Dir zwei besonders wichtige Größen: das Volumen und der Oberflächeninhalt. Das Volumen beschreibt, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Die Oberfläche beschreibt, wie groß alle Außenflächen zusammen sind.

Beim Lernen der Formeln ist es wichtig, nicht nur auswendig zu lernen. Du sollst verstehen, warum die Formeln funktionieren. Viele Formeln entstehen aus einfachen Ideen: Grundfläche mal Höhe, Flächen addieren, Körper zerlegen oder Körper mit bekannten Formen vergleichen. In diesem aiMOOC lernst Du die wichtigsten Formeln für Würfel, Quader, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel kennen und wendest sie auf Alltagssituationen an.

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Grundbegriffe

Volumen

Das Volumen wird häufig mit dem Buchstaben $V$ abgekürzt. Es gibt an, wie viel Raum ein Körper ausfüllt. Wenn Du Dir einen Körper aus kleinen Einheitswürfeln vorstellst, zählt das Volumen, wie viele dieser Würfel hineinpassen.

Typische Einheiten für das Volumen sind $m{m}^3$, $c{m}^3$, $d{m}^3$ und $m^3$. In Alltagssituationen wird außerdem oft mit Liter gerechnet. Dabei gilt: $1d{m}^3=1l$.

Merksatz: Ein Volumen wird in Kubikeinheiten angegeben, weil drei Längenrichtungen beteiligt sind.

Oberfläche

Die Oberfläche eines Körpers ist die Summe aller Außenflächen. Der Oberflächeninhalt wird häufig mit $O$ bezeichnet. Bei Körpern mit ebenen Flächen addierst Du die Flächeninhalte der einzelnen Seiten. Bei runden Körpern unterscheidest Du oft zwischen Grundfläche und Mantelfläche.

Typische Einheiten für die Oberfläche sind $m{m}^2$, $c{m}^2$, $d{m}^2$ und $m^2$.

Merksatz: Eine Oberfläche wird in Quadrateinheiten angegeben, weil Flächen zweidimensional sind.

Grundfläche, Mantelfläche und Höhe

Viele Körper kannst Du mit der Idee Grundfläche mal Höhe verstehen. Die Grundfläche ist die Fläche, auf der ein Körper stehen kann. Die Höhe ist der senkrechte Abstand von der Grundfläche zur gegenüberliegenden Fläche oder Spitze. Die Mantelfläche besteht aus den seitlichen Flächen eines Körpers.

Beim Prisma und beim Zylinder ist die Volumenidee besonders einfach: Eine gleichbleibende Grundfläche wird in die Höhe gezogen. Bei Pyramide und Kegel kommt der Faktor $\frac{1}{3}$ dazu, weil sie im Vergleich zum passenden Prisma oder Zylinder nur ein Drittel des Volumens haben.

Formelzeichen und Bedeutungen

Zeichen	Bedeutung	Typische Einheit
$V$	Volumen	$c{m}^3$, $m^3$, Liter
$O$	Oberflächeninhalt	$c{m}^2$, $m^2$
$M$	Mantelfläche	$c{m}^2$, $m^2$
$G$	Grundflächeninhalt	$c{m}^2$, $m^2$
$U_G$	Umfang der Grundfläche	$cm$, $m$
$h$	Höhe	$cm$, $m$
$a,b,c$	Kantenlängen bei Quader oder Würfel	$cm$, $m$
$r$	Radius eines Kreises oder einer Kugel	$cm$, $m$
$d$	Durchmesser	$cm$, $m$
$s$	Seitenhöhe oder Mantellinie bei Kegel und Pyramide	$cm$, $m$

Formelübersicht für wichtige Körper

Körper	Volumenformel	Oberflächenformel	Erklärung der Idee
Würfel	$V=a^3$	$O=6a^2$	Ein Würfel hat drei gleiche Kantenrichtungen und sechs gleiche quadratische Flächen.
Quader	$V=a\cdot b\cdot c$	$O=2ab+2ac+2bc$	Beim Quader werden Länge, Breite und Höhe multipliziert; gegenüberliegende Flächen sind gleich groß.
Prisma	$V=G\cdot h$	$O=2G+M$ mit $M=U_G\cdot h$	Eine Grundfläche wird gleichmäßig in die Höhe verschoben.
Zylinder	$V=\pi r^{2}h$	$O=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)$	Zwei Kreisflächen und ein rechteckig abwickelbarer Mantel bilden die Oberfläche.
Pyramide	$V=\frac{1}{3}Gh$	$O=G+M$	Eine Pyramide hat im Vergleich zum passenden Prisma ein Drittel des Volumens.
Kegel	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$	$O=\pi r^2+\pi rs=\pi r(r+s)$	Ein Kegel hat eine Kreisgrundfläche und eine gekrümmte Mantelfläche.
Kugel	$V=\frac{4}{3}\pi r^3$	$O=4\pi r^2$	Alle Punkte der Kugeloberfläche haben denselben Abstand vom Mittelpunkt.

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Würfel und Quader

Würfel

Ein Würfel besitzt sechs gleiche quadratische Flächen, zwölf gleich lange Kanten und acht Ecken. Wenn die Kantenlänge $a$ beträgt, ist das Volumen $a\cdot a\cdot a$. Deshalb schreibt man kurz $a^3$.

Die Oberfläche besteht aus sechs gleichen Quadraten. Ein Quadrat hat den Flächeninhalt $a^2$. Daher gilt $O=6a^2$.

Beispiel: Hat ein Würfel die Kantenlänge $a=4cm$, dann ist $V=4^3=64c{m}^3$ und $O=6\cdot 4^2=96c{m}^2$.

Quader

Ein Quader besitzt sechs rechteckige Flächen. Gegenüberliegende Flächen sind gleich groß. Deshalb besteht die Oberfläche aus drei Flächenpaaren: Vorder- und Rückseite, linke und rechte Seite sowie Ober- und Unterseite.

Für einen Quader mit den Kantenlängen $a$, $b$ und $c$ gilt: $V=a\cdot b\cdot c$. Die Oberfläche lautet: $O=2ab+2ac+2bc$.

Beispiel: Ein Quader ist $5cm$ lang, $3cm$ breit und $4cm$ hoch. Dann gilt $V=5\cdot 3\cdot 4=60c{m}^3$. Die Oberfläche ist $O=2\cdot 5\cdot 3+2\cdot 5\cdot 4+2\cdot 3\cdot 4=94c{m}^2$.

Prisma und Zylinder

Prisma

Ein Prisma hat zwei gleiche und parallele Grundflächen. Die Seitenflächen bilden den Mantel. Die Grundfläche kann zum Beispiel ein Dreieck, Viereck, Fünfeck oder Sechseck sein. Entscheidend ist: Die Form der Grundfläche bleibt über die ganze Höhe gleich.

Die Volumenformel lautet $V=G\cdot h$. Du multiplizierst also den Inhalt der Grundfläche mit der Höhe des Körpers. Für die Oberfläche gilt $O=2G+M$. Wenn das Prisma gerade ist, kannst Du den Mantel mit $M=U_G\cdot h$ berechnen.

Beispiel: Ein dreieckiges Prisma hat eine Grundfläche von $12c{m}^2$ und eine Höhe von $8cm$. Dann gilt $V=12\cdot 8=96c{m}^3$.

Zylinder

Ein Zylinder ist wie ein Prisma mit kreisförmiger Grundfläche. Er besitzt zwei gleiche Kreisflächen und eine Mantelfläche. Wenn Du die Mantelfläche eines geraden Zylinders abwickelst, erhältst Du ein Rechteck. Eine Seite dieses Rechtecks ist die Höhe $h$, die andere Seite ist der Kreisumfang $2\pi r$.

Die Kreisgrundfläche ist $G=\pi r^2$. Deshalb gilt für das Volumen $V=\pi r^{2}h$. Die Oberfläche besteht aus zwei Kreisflächen und dem Mantel: $O=2\pi r^2+2\pi rh$.

Beispiel: Ein Zylinder hat $r=3cm$ und $h=10cm$. Dann ist $V=\pi \cdot 3^2\cdot 10=90\pi c{m}^3$. Die Oberfläche ist $O=2\pi \cdot 3^2+2\pi \cdot 3\cdot 10=78\pi c{m}^2$.

Pyramide und Kegel

Pyramide

Eine Pyramide besitzt eine Grundfläche und eine Spitze. Die Seitenflächen sind Dreiecke. Die Volumenformel lautet $V=\frac{1}{3}Gh$. Sie ähnelt der Volumenformel eines Prismas, wird aber durch drei geteilt.

Für die Oberfläche addierst Du die Grundfläche und alle Seitenflächen: $O=G+M$. Bei einer regelmäßigen quadratischen Pyramide mit Grundkante $a$ und Seitenhöhe $s$ kann der Mantel mit $M=2as$ berechnet werden, weil vier gleiche Dreiecke zur Mantelfläche gehören.

Beispiel: Eine quadratische Pyramide hat eine Grundkante $a=6cm$ und eine Höhe $h=9cm$. Die Grundfläche ist $G=36c{m}^2$. Das Volumen ist $V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 9=108c{m}^3$.

Kegel

Ein Kegel besitzt eine Kreisgrundfläche und eine Spitze. Er ist dem Zylinder ähnlich, hat aber nur ein Drittel des Volumens des passenden Zylinders mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe.

Das Volumen lautet $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$. Die Oberfläche besteht aus der Kreisgrundfläche und der Mantelfläche. Für einen geraden Kreiskegel gilt $O=\pi r^2+\pi rs$. Dabei ist $s$ die Seitenhöhe oder Mantellinie. Wenn $r$ und $h$ bekannt sind, kannst Du $s$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen: $s=\sqrt{r^2+h^2}$.

Beispiel: Ein Kegel hat $r=4cm$ und $h=9cm$. Dann gilt $V=\frac{1}{3}\pi \cdot 4^2\cdot 9=48\pi c{m}^3$.

Kugel

Eine Kugel besitzt keine Kanten, keine Ecken und keine ebenen Flächen. Alle Punkte der Kugeloberfläche haben denselben Abstand vom Mittelpunkt. Dieser Abstand heißt Radius.

Für das Volumen gilt $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. Für die Oberfläche gilt $O=4\pi r^2$. Die Kugel ist besonders interessant, weil sie bei gleichem Volumen eine sehr kleine Oberfläche besitzt. Deshalb sind kugelähnliche Formen in Natur und Technik häufig effizient.

Beispiel: Eine Kugel hat den Radius $r=5cm$. Dann gilt $V=\frac{4}{3}\pi \cdot 5^3=\frac{500}{3}\pi c{m}^3$ und $O=4\pi \cdot 5^2=100\pi c{m}^2$.

Formeln verstehen statt auswendig lernen

Die Grundflächen-Idee

Die wichtigste Idee für viele Volumenformeln lautet: Grundfläche mal Höhe. Wenn ein Körper in jeder Höhe denselben Querschnitt besitzt, dann kann man ihn als Stapel gleicher Flächen auffassen. Das gilt für Quader, Prismen und Zylinder.

Bei Pyramiden und Kegeln nimmt der Querschnitt zur Spitze hin kleiner zu. Deshalb ist ihr Volumen nur ein Drittel des passenden Körpers mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe.

Die Oberflächen-Idee

Für die Oberfläche fragst Du immer: Welche Außenflächen sieht man? Bei eckigen Körpern addierst Du alle Flächeninhalte. Bei runden Körpern musst Du zwischen Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche unterscheiden. Die Mantelfläche lässt sich oft durch ein Netz oder eine Abwicklung besser verstehen.

Bei zusammengesetzten Körpern darfst Du innere Kontaktflächen nicht zur Oberfläche zählen. Wenn zwei Körper zusammenkleben, verschwinden die gemeinsamen Berührungsflächen aus der äußeren Oberfläche.

Einheiten prüfen

Eine sehr gute Kontrolle ist der Blick auf die Einheit. Wenn Du am Ende eine Oberfläche berechnest, muss eine Quadrateinheit entstehen. Wenn Du ein Volumen berechnest, muss eine Kubikeinheit entstehen. Wenn in einer Aufgabe verschiedene Einheiten vorkommen, musst Du sie zuerst vereinheitlichen.

Beispiel: $20cm$ und $0,5m$ dürfen nicht direkt miteinander multipliziert werden. Du wandelst zuerst um: $0,5m=50cm$.

Häufige Fehler und Strategien

1. Radius und Durchmesser: Beim Kreis gilt $d=2r$. In den Formeln für Zylinder, Kegel und Kugel steht fast immer der Radius.
2. Einheiten: Oberflächen werden in Quadrateinheiten angegeben, Volumen in Kubikeinheiten.
3. Grundfläche: Beim Prisma und Zylinder ist die Grundfläche nicht immer ein Rechteck; sie kann auch ein Dreieck, Kreis oder Vieleck sein.
4. Mantelfläche: Beim Zylinder ist der Mantel ein Rechteck mit den Seiten $2\pi r$ und $h$.
5. Zusammengesetzter Körper: Zerlege komplizierte Körper in bekannte Teilkörper und ziehe innere Flächen bei der Oberfläche ab.

Rechenplan für Körperaufgaben

1. Skizze: Zeichne den Körper und markiere alle gegebenen Größen.
2. Körpererkennung: Entscheide, ob es ein Würfel, Quader, Prisma, Zylinder, Kegel, eine Pyramide, Kugel oder ein zusammengesetzter Körper ist.
3. Formelwahl: Wähle die passende Formel für Volumen oder Oberfläche.
4. Einheitenumrechnung: Bringe alle Längenangaben in dieselbe Einheit.
5. Einsetzen: Setze die Werte sorgfältig in die Formel ein.
6. Berechnung: Rechne Schritt für Schritt.
7. Kontrolle: Prüfe, ob die Einheit und die Größe des Ergebnisses sinnvoll sind.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt das Volumen eines Körpers? (Den Rauminhalt eines Körpers) (!Die Länge einer Kante) (!Die Farbe eines Körpers) (!Die Anzahl der Ecken)

Welche Einheit passt zu einer Oberfläche? (Quadratmeter) (!Kubikmeter) (!Liter) (!Meter pro Sekunde)

Wie berechnet man das Volumen eines Quaders? (Länge mal Breite mal Höhe) (!Länge plus Breite plus Höhe) (!Sechs mal Kantenlänge) (!Grundfläche plus Mantelfläche)

Welche Aussage passt zur Oberfläche eines Würfels? (Sie besteht aus sechs gleich großen Quadraten) (!Sie besteht aus zwei Kreisen) (!Sie besteht aus einer einzigen Fläche) (!Sie besteht immer aus Dreiecken)

Woraus besteht die Oberfläche eines Zylinders? (Zwei Kreisflächen und eine Mantelfläche) (!Drei Dreiecke und ein Quadrat) (!Nur aus einer Kreisfläche) (!Aus sechs Rechtecken)

Welche Grundidee steckt hinter der Volumenformel eines Prismas? (Grundfläche mal Höhe) (!Mantelfläche mal Radius) (!Kantenlänge plus Höhe) (!Oberfläche geteilt durch Umfang)

Warum steht bei Pyramide und Kegel ein Drittel in der Volumenformel? (Sie haben ein Drittel des passenden Prismas oder Zylinders) (!Sie haben immer drei Kanten) (!Sie bestehen immer aus drei Flächen) (!Sie werden immer dreimal gedreht)

Welche Größe braucht man beim Kegel für die Mantelfläche? (Die Seitenhöhe) (!Die Diagonale des Würfels) (!Die Anzahl der Ecken) (!Die Breite eines Rechtecks)

Welche Aussage beschreibt die Kugeloberfläche richtig? (Alle Oberflächenpunkte sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt) (!Eine Kugel hat zwölf Kanten) (!Eine Kugel hat zwei Grundflächen) (!Eine Kugel besteht aus Rechtecken)

Was hilft beim Berechnen zusammengesetzter Körper besonders? (In einfache Teilkörper zerlegen) (!Alle Flächen doppelt zählen) (!Einheiten ignorieren) (!Immer nur die größte Kante verwenden)

Memory

Volumen	Rauminhalt
Oberfläche	Außenflächeninhalt
Mantelfläche	Seitlicher Flächenanteil
Grundfläche	Ausgangsfläche
Höhe	Senkrechter Abstand
Radius	Abstand zur Kreismitte
Prisma	Gleiche parallele Grundflächen
Kugel	Gleicher Abstand zum Mittelpunkt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Formelidee
Würfel	Kante hoch drei
Quader	Länge mal Breite mal Höhe
Prisma	Grundfläche mal Höhe
Zylinder	Kreisgrundfläche mal Höhe
Pyramide	Ein Drittel der Grundfläche mal Höhe
Kegel	Ein Drittel der Kreisgrundfläche mal Höhe
Kugel	Vier Drittel mal Pi mal Radius hoch drei

Kreuzworträtsel

Volumen	Wie nennt man den Rauminhalt eines Körpers?
Mantel	Wie heißt die seitliche Fläche eines Zylinders oder Kegels?
Radius	Welche Strecke führt vom Kreismittelpunkt zum Rand?
Quader	Welcher Körper hat sechs rechteckige Flächen?
Prisma	Welcher Körper hat zwei gleiche parallele Grundflächen?
Oberflaeche	Wie nennt man den Inhalt aller Außenflächen eines Körpers?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein geometrischer Körper nimmt einen Raum ein und besitzt eine . Das beschreibt den Rauminhalt. Eine Oberfläche wird in angegeben. Ein Volumen wird in angegeben. Beim Quader multiplizierst Du Breite und Höhe. Beim Prisma ist die entscheidende Idee mal Höhe. Beim Zylinder ist die Grundfläche ein . Bei Pyramide und Kegel steht ein vor der Volumenformel. Die Mantelfläche des Kegels braucht die . Die Kugel besitzt einen festen Abstand vom zur Oberfläche.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Körper-Steckbrief: Wähle einen Alltagsgegenstand, der wie ein Würfel, Quader, Zylinder, Kegel oder eine Kugel aussieht, und beschreibe seine Eigenschaften mit Fachbegriffen.
2. Formel-Kartei: Erstelle Lernkarten mit je einem Körper, einer Skizze, der Volumenformel, der Oberflächenformel und einem kurzen Merksatz.
3. Einheiten-Safari: Suche in Deiner Umgebung Beispiele für Quadrat- und Kubikeinheiten und erkläre, warum die Einheit zur Situation passt.
4. Schätzaufgabe: Schätze die Maße eines quaderförmigen Gegenstands, berechne sein ungefähres Volumen und überprüfe Deine Schätzung durch Messen.

Standard

1. Modellbau: Baue aus Papier ein Netz für einen Quader, einen Zylinder oder eine Pyramide und berechne anschließend die verwendete Oberfläche.
2. Rechenweg-Video: Erstelle ein kurzes Erklärvideo, in dem Du eine Formel nicht nur anwendest, sondern ihre Grundidee erklärst.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Lösung zu einer Körperaufgabe und erkläre genau, an welcher Stelle der Denkfehler liegt.
4. Vergleichsaufgabe: Vergleiche zwei Körper mit ähnlichem Volumen und untersuche, welcher Körper die größere Oberfläche besitzt.

Schwer

1. Zusammengesetzter Körper: Entwirf ein kleines Gebäude aus mehreren Quadern, Zylindern oder Pyramiden und berechne Volumen und äußere Oberfläche.
2. Optimierung: Untersuche, wie sich die Oberfläche verändert, wenn ein quaderförmiger Körper bei gleichem Volumen unterschiedliche Kantenlängen bekommt.
3. Beweisidee: Entwickle eine anschauliche Erklärung dafür, warum Pyramide und Kegel ein Drittel des passenden Prismas oder Zylinders als Volumen besitzen.
4. Nachhaltige Verpackung: Entwickle eine Verpackung für ein Produkt und begründe mathematisch, wie Materialverbrauch und Volumen zusammenhängen.

Lernkontrolle

1. Formelentscheidung: Du erhältst drei verschiedene Körperbeschreibungen ohne Bild. Begründe jeweils, welche Formel Du auswählst und warum andere Formeln nicht passen.
2. Einheitenanalyse: Erkläre anhand eines Beispiels, warum eine Rechnung mit gemischten Einheiten zu einem falschen Ergebnis führen kann.
3. Maßstab: Ein Körper wird in allen Längen verdoppelt. Erkläre, wie sich Oberfläche und Volumen verändern und begründe den Unterschied.
4. Verpackungsproblem: Zwei Verpackungen haben dasselbe Volumen, aber unterschiedliche Formen. Entscheide, welche vermutlich weniger Material benötigt, und begründe mit der Oberfläche.
5. Fehlerkorrektur: Eine Person berechnet bei einem Zylinder mit dem Durchmesser statt mit dem Radius. Beschreibe den Fehler und korrigiere den Lösungsweg.
6. Transferaufgabe: Entwickle eine eigene Sachaufgabe zu einem zusammengesetzten Körper und löse sie mit Skizze, Formelwahl, Rechnung und Ergebnisprüfung.

Lernnachweis

1. Begriffsverständnis: Du kannst erklären, was Volumen, Oberfläche, Grundfläche, Mantelfläche, Radius und Höhe bedeuten.
2. Formelkompetenz: Du kannst die passenden Formeln für Würfel, Quader, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel auswählen.
3. Rechenweg: Du kannst Werte korrekt einsetzen, Zwischenschritte nachvollziehbar darstellen und Ergebnisse mit passenden Einheiten angeben.
4. Darstellung: Du kannst Körper skizzieren, gegebene Größen eintragen und Netze oder Teilflächen zur Oberflächenberechnung nutzen.
5. Transfer: Du kannst Körper aus Alltag und Technik mathematisch modellieren und in bekannte Teilkörper zerlegen.
6. Reflexion: Du kannst typische Fehler erkennen, erklären und vermeiden.

Links

Formeln für Volumen und Oberfläche Volumen Oberfläche Grundfläche Mantelfläche Würfel Quader Prisma Zylinder Pyramide Kegel Kugel Radius Einheit Maßstab