Körperberechnungen mit MediaWiki Math - aiMOOC

Einleitung

Körperberechnungen gehören zur Stereometrie, also zur Geometrie des dreidimensionalen Raums. Du berechnest dabei zum Beispiel das Volumen eines Körpers, seine Oberfläche, seine Mantelfläche oder fehlende Längen wie Höhe, Radius, Durchmesser und Kantenlänge. In diesem aiMOOC lernst Du die wichtigsten Körperformeln kennen, wendest sie auf realistische Aufgaben an und schreibst Formeln korrekt mit der MediaWiki-Erweiterung Math.

Viele Körperberechnungen folgen einer gemeinsamen Idee: Ein Körper besitzt eine Grundfläche, eine Höhe und eine räumliche Ausdehnung. Bei Prismen und Zylindern wird die Grundfläche gleichmäßig in die Höhe gezogen. Bei Pyramiden und Kegeln läuft der Körper zu einer Spitze zusammen. Bei der Kugel hängen alle Berechnungen nur vom Radius ab.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du zentrale geometrische Körper erkennen, ihre Größen unterscheiden und passende Formeln auswählen. Du kannst Volumen, Oberfläche und Mantelfläche berechnen, Einheiten umwandeln, Formeln umstellen und zusammengesetzte Körper in Teilkörper zerlegen. Außerdem kannst Du mathematische Formeln in MediaWiki mit der Erweiterung Math darstellen.

1. Begriffe: Du unterscheidest Kante, Ecke, Fläche, Grundfläche, Deckfläche, Mantel, Oberfläche und Volumen.
2. Formeln: Du wählst für Würfel, Quader, Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel passende Formeln.
3. Einheiten: Du rechnest zwischen Millimeter, Zentimeter, Dezimeter, Meter, Quadratmeter und Kubikmeter sinnvoll um.
4. Modellieren: Du zerlegst Alltagsgegenstände in bekannte Körper und berechnest Näherungswerte.
5. MediaWiki Math: Du setzt Formeln mit <math>...</math> korrekt in Wikitext.

Grundbegriffe der Körperberechnung

Körper, Fläche und Raum

Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Objekt. Er hat eine räumliche Ausdehnung in Länge, Breite und Höhe. Anders als eine zweidimensionale Fläche besitzt ein Körper einen Rauminhalt. Dieser Rauminhalt heißt Volumen und wird häufig mit $V$ bezeichnet. Die gesamte äußere Begrenzung eines Körpers heißt Oberfläche und wird häufig mit $O$ bezeichnet.

Bei vielen Körpern unterscheidet man eine Grundfläche $G$, eine Deckfläche, eine Mantelfläche $M$ und eine Höhe $h$. Die Oberfläche setzt sich dann aus den sichtbaren Außenflächen zusammen. Bei einem Zylinder gilt zum Beispiel: zwei Kreisflächen plus gekrümmter Mantel.

Volumen, Oberfläche und Mantel

Das Volumen beschreibt, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Es wird in Kubikeinheiten angegeben, zum Beispiel ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, ${\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$ oder ${\mathrm{m}}^3$. Die Oberfläche beschreibt, wie groß alle Außenflächen zusammen sind. Sie wird in Quadrateinheiten angegeben, zum Beispiel ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ oder ${\mathrm{m}}^2$. Die Mantelfläche ist der Teil der Oberfläche, der ohne Grund- und Deckfläche bleibt.

Ein guter Merksatz lautet: Volumen füllt, Oberfläche umhüllt. Wenn Du Wasser in einen Behälter füllst, geht es um Volumen. Wenn Du einen Körper anstreichen, bekleben oder verpacken willst, geht es um Oberfläche.

Wichtige Einheiten

Bei Körperberechnungen passieren viele Fehler durch falsche Einheiten. Längen, Flächen und Volumina haben unterschiedliche Dimensionen:

1. Längeneinheit: $\mathrm{m}\mathrm{m}$, $\mathrm{c}\mathrm{m}$, $\mathrm{d}\mathrm{m}$, $\mathrm{m}$
2. Flächeneinheit: ${\mathrm{m}\mathrm{m}}^2$, ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$, ${\mathrm{d}\mathrm{m}}^2$, ${\mathrm{m}}^2$
3. Volumeneinheit: ${\mathrm{m}\mathrm{m}}^3$, ${\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$, ${\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$, ${\mathrm{m}}^3$

Wichtige Umrechnungen sind:

$1{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3=1000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

$1{\mathrm{m}}^3=1000{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3$

$1{\mathrm{d}\mathrm{m}}^3=1\mathrm{l}$

$1{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3=1\mathrm{m}\mathrm{l}$

Achte darauf, dass bei Flächenumrechnungen der Umrechnungsfaktor quadriert wird und bei Volumenumrechnungen kubiert wird. Aus $1\mathrm{m}=100\mathrm{c}\mathrm{m}$ folgt $1{\mathrm{m}}^2=10000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ und $1{\mathrm{m}}^3=1000000{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$.

Rechnen mit der MediaWiki Extension Math

Grundidee

Die MediaWiki-Erweiterung Math stellt mathematische Formeln mit einer LaTeX-ähnlichen Schreibweise dar. Im Wikitext setzt Du Formeln zwischen <math> und </math>. So wird aus <math>V=a^3</math> die Formel $V=a^3$.

Formeln helfen Lernenden, Zusammenhänge klar zu erkennen. In Körperberechnungen sind vor allem Brüche, Potenzen, Wurzeln, $\pi$, Indizes und Näherungszeichen wichtig.

Nützliche Math-Schreibweisen

Ziel	MediaWiki-Schreibweise	Darstellung
Potenz	<math>a^3</math>	$a^3$
Bruch	<math>\frac{1}{3}</math>	$\frac{1}{3}$
Pi	<math>\pi r^2</math>	$\pi r^2$
Quadratwurzel	<math>\sqrt{r^2+h^2}</math>	$\sqrt{r^2+h^2}$
Kubikwurzel	<math>\sqrt[3]{V}</math>	$\sqrt[3]{V}$
Einheit	<math>12\,\mathrm{cm}^3</math>	$12{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$
Näherungswert	<math>\pi \approx 3{,}14</math>	$\pi \approx \mathrm{3,14}$

Variablen in Körperformeln

In Formeln werden häufig diese Variablen verwendet:

Zeichen	Bedeutung	Beispiel
$V$	Volumen	$V=120{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$
$O$	Oberfläche	$O=96{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$
$M$	Mantelfläche	$M=2\pi rh$
$G$	Grundfläche	$G=a\cdot b$
$U_G$	Umfang der Grundfläche	$U_G=2a+2b$
$h$	Höhe	$h=8\mathrm{c}\mathrm{m}$
$r$	Radius	$r=4\mathrm{c}\mathrm{m}$
$d$	Durchmesser	$d=2r$
$s$	Seitenhöhe bei Kegel oder Pyramide	$s=\sqrt{r^2+h^2}$

Formelsammlung für wichtige Körper

Würfel und Quader

Der Würfel ist ein Körper mit sechs gleich großen quadratischen Flächen. Alle Kanten sind gleich lang. Für die Kantenlänge $a$ gilt:

$V=a^3$

$O=6a^2$

Der Quader hat rechteckige Flächen und drei Kantenlängen $a$, $b$ und $c$. Für ihn gilt:

$V=a\cdot b\cdot c$

$O=2ab+2ac+2bc=2(ab+ac+bc)$

Ein Quader ist besonders wichtig, weil viele Alltagsgegenstände näherungsweise Quader sind: Zimmer, Karton, Schrank, Aquarium, Buch oder Paket.

Prisma und Zylinder

Ein Prisma besitzt zwei kongruente, parallele Grundflächen. Die Seitenflächen verbinden die entsprechenden Seiten der Grundflächen. Bei einem geraden Prisma gilt:

$V=G\cdot h$

$M=U_G\cdot h$

$O=2G+M$

Ein Zylinder ist ein Spezialfall mit kreisförmiger Grundfläche. Mit Radius $r$ und Höhe $h$ gilt:

$G=\pi r^2$

$V=\pi r^{2}h$

$M=2\pi rh$

$O=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)$

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Pyramide und Kegel

Eine Pyramide hat eine Grundfläche und eine Spitze. Die Seitenflächen sind Dreiecke. Für jede Pyramide gilt:

$V=\frac{1}{3}G\cdot h$

$O=G+M$

Bei einer geraden quadratischen Pyramide mit Grundkante $a$ und Seitenhöhe $h_s$ gilt:

$G=a^2$

$M=2a{h}_s$

$O=a^2+2a{h}_s$

Ein Kegel hat eine Kreisgrundfläche und eine Spitze. Er ist mit dem Zylinder verwandt. Sein Volumen ist ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe:

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

$M=\pi rs$

$O=\pi r^2+\pi rs=\pi r(r+s)$

Die Seitenhöhe $s$ kann bei einem geraden Kegel mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

$s=\sqrt{r^2+h^2}$

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Kugel

Eine Kugel besteht aus allen Punkten, die höchstens einen bestimmten Abstand vom Mittelpunkt haben. Dieser Abstand heißt Radius $r$. Für die Kugel gilt:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

$O=4\pi r^2$

Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius:

$d=2r$

Die Kugel ist ein besonderer Körper, weil sie keine Kanten, keine Ecken und keine ebene Grundfläche besitzt. In Anwendungen findest Du Kugelformen zum Beispiel bei Bällen, Planeten, Modellen oder runden Tanks.

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Übersichtstabelle

Körper	Volumen	Oberfläche oder Mantel	Typische Anwendung
Würfel	$V=a^3$	$O=6a^2$	Spielwürfel, Würfelmodell
Quader	$V=abc$	$O=2(ab+ac+bc)$	Paket, Zimmer, Aquarium
Prisma	$V=G\cdot h$	$O=2G+U_{G}h$	Dachform, Bauteil, Verpackung
Zylinder	$V=\pi r^{2}h$	$O=2\pi r^2+2\pi rh$	Dose, Rohr, Säule
Pyramide	$V=\frac{1}{3}Gh$	$O=G+M$	Dach, Modell, Denkmal
Kegel	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$	$O=\pi r^2+\pi rs$	Eistüte, Verkehrskegel
Kugel	$V=\frac{4}{3}\pi r^3$	$O=4\pi r^2$	Ball, Planet, Kugeltank

Lösungsstrategien

Schrittfolge für Körperberechnungen

Eine sichere Körperberechnung besteht nicht nur aus dem Einsetzen in eine Formel. Du solltest immer prüfen, was gegeben ist, was gesucht wird und welche Einheit sinnvoll ist.

1. Skizze: Zeichne den Körper oder markiere ihn in einer Abbildung.
2. Gegeben und gesucht: Notiere alle bekannten Größen mit Einheit und die gesuchte Größe.
3. Körperart: Entscheide, ob es ein Quader, Prisma, Zylinder, Kegel, eine Pyramide, eine Kugel oder ein zusammengesetzter Körper ist.
4. Formelwahl: Wähle eine passende Formel für Volumen, Oberfläche oder Mantel.
5. Einsetzen: Setze Zahlen mit Einheiten ein und rechne sorgfältig.
6. Runden: Runde nur am Ende, sofern keine andere Vorgabe genannt wird.
7. Plausibilität: Prüfe, ob Ergebnis und Einheit zur Aufgabe passen.

Zusammengesetzte Körper

Ein zusammengesetzter Körper entsteht aus mehreren einfachen Körpern. Du kannst ihn berechnen, indem Du ihn in bekannte Teilkörper zerlegst. Beim Volumen addierst oder subtrahierst Du die Teilvolumina:

$V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=V_1+V_2+V_3$

oder bei Aussparungen:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle V_{\mathrm{gesamt}}=V_{\mathrm{außen}}-V_{\mathrm{innen}}}

Bei der Oberfläche musst Du besonders aufpassen: Innenflächen, die sich berühren, gehören nicht zur äußeren Oberfläche. Für eine Verpackung zählt nur das, was von außen sichtbar ist. Bei einem zusammengesetzten Körper ist daher oft eine Skizze wichtiger als die Formel.

Formeln umstellen

Viele Aufgaben fragen nicht direkt nach dem Volumen, sondern nach einer fehlenden Länge. Dann musst Du Formeln umstellen. Beim Quader gilt:

$V=abc$

Wenn $c$ gesucht ist, teilst Du durch $ab$:

$c=\frac{V}{ab}$

Beim Zylinder gilt:

$V=\pi r^{2}h$

Wenn $h$ gesucht ist, teilst Du durch $\pi r^2$:

$h=\frac{V}{\pi r^2}$

Wenn $r$ gesucht ist, musst Du die Quadratwurzel ziehen:

$r=\sqrt{\frac{V}{\pi h}}$

Bei der Kugel gilt:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Daraus folgt für den Radius:

$r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$

Ähnlichkeit und Skalierung

Wenn ein Körper in allen Längen mit dem Faktor $k$ vergrößert wird, ändern sich Oberfläche und Volumen unterschiedlich. Längen werden mit $k$ multipliziert, Flächen mit $k^2$ und Volumina mit $k^3$.

$a_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}=k\cdot a_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}$

$O_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}=k^2\cdot O_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}$

$V_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{u}}=k^3\cdot V_{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{t}}$

Das bedeutet: Wird jede Kante verdoppelt, wird die Oberfläche viermal so groß und das Volumen achtmal so groß. Diese Idee ist wichtig bei Modellbau, Architektur, Verpackung und Naturwissenschaften.

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Eine zylindrische Dose hat den Radius $r=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und die Höhe $h=12\mathrm{c}\mathrm{m}$. Gesucht sind Volumen und Oberfläche.

Grundfläche:

$G=\pi r^2=\pi \cdot 4^2=16\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Volumen:

$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 4^2\cdot 12=192\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3\approx \mathrm{603,19}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

Oberfläche:

$O=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi \cdot 4^2+2\pi \cdot 4\cdot 12=128\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\approx \mathrm{402,12}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Die Dose fasst also etwa $603{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$. Für ihr vollständiges Blechmaterial benötigt man ohne Überlappungen etwa $402{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

Beispiel 2: Mantel und Oberfläche eines Kegels

Ein gerader Kegel hat $r=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $h=4\mathrm{c}\mathrm{m}$. Zunächst brauchst Du die Seitenhöhe:

$s=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{c}\mathrm{m}$

Mantelfläche:

$M=\pi rs=\pi \cdot 3\cdot 5=15\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\approx \mathrm{47,12}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Oberfläche:

$O=\pi r^2+\pi rs=\pi \cdot 3^2+15\pi =24\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^2\approx \mathrm{75,40}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$

Das Beispiel zeigt, dass Du beim Kegel häufig zuerst eine Hilfsgröße berechnen musst.

Beispiel 3: Zusammengesetzter Körper aus Quader und Halbzylinder

Ein Spielgerät besteht aus einem Quader und einem darauf liegenden Halbzylinder. Für das Volumen berechnest Du zuerst den Quader und dann den halben Zylinder. Danach addierst Du die Ergebnisse:

$V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=V_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}+\frac{1}{2}{V}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}$

Wenn der Quader die Maße $10\mathrm{c}\mathrm{m}$, $6\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $4\mathrm{c}\mathrm{m}$ hat, gilt:

$V_{\mathrm{Q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=10\cdot 6\cdot 4=240{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

Liegt darauf ein Halbzylinder mit Radius $r=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ und Länge $l=10\mathrm{c}\mathrm{m}$, dann gilt:

$\frac{1}{2}{V}_{\mathrm{Z}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=\frac{1}{2}\pi r^{2}l=\frac{1}{2}\pi \cdot 3^2\cdot 10=45\pi {\mathrm{c}\mathrm{m}}^3\approx \mathrm{141,37}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

Gesamtvolumen:

$V_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=240+45\pi \approx \mathrm{381,37}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^3$

Bei der Oberfläche müsste man zusätzlich prüfen, welche Flächen aneinanderliegen und deshalb nicht außen sichtbar sind.

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Häufige Fehler und wie Du sie vermeidest

Fehler bei Einheiten

Ein häufiger Fehler ist das Mischen von Einheiten. Wenn eine Länge in Zentimetern und eine andere in Metern angegeben ist, musst Du zuerst umrechnen. Rechne niemals $2\mathrm{m}$ direkt mit $30\mathrm{c}\mathrm{m}$, ohne eine gemeinsame Einheit zu wählen.

Fehler bei Oberfläche und Mantel

Bei Verpackungs- und Anstrichaufgaben wird oft die Oberfläche gesucht. Bei offenen Gefäßen fehlt jedoch eine Fläche. Bei einer offenen Dose ohne Deckel wäre die Oberfläche:

$O=\pi r^2+2\pi rh$

Bei einer geschlossenen Dose gilt dagegen:

$O=2\pi r^2+2\pi rh$

Fehler durch zu frühes Runden

Wenn Du mit $\pi$ rechnest, solltest Du möglichst lange mit dem Taschenrechnerwert oder mit dem Symbol $\pi$ weiterrechnen. Runde erst am Ende. Dadurch vermeidest Du Rundungsfehler.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel beschreibt das Volumen eines Quaders mit den Kantenlängen a, b und c? (V = a · b · c) (!V = 2 · a · b) (!V = a + b + c) (!V = 6 · a²)

Welche Formel beschreibt die Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge a? (O = 6 · a²) (!O = a³) (!O = 4 · a) (!O = 2 · a²)

Welche Grundfläche hat ein gerader Zylinder? (Kreis) (!Dreieck) (!Quadrat) (!Trapez)

Welcher Faktor kommt in der Volumenformel eines Kegels im Vergleich zum passenden Zylinder vor? (ein Drittel) (!ein Halb) (!zwei Drittel) (!das Doppelte)

Welche Formel beschreibt die Oberfläche einer Kugel mit Radius r? (O = 4 · π · r²) (!O = π · r² · h) (!O = 6 · r²) (!O = 2 · π · r · h)

Wie berechnet man das Volumen eines geraden Prismas? (Grundfläche mal Höhe) (!Umfang mal Höhe) (!Mantel mal Grundfläche) (!Oberfläche mal Höhe)

Wie viele Kubikdezimeter sind ein Kubikmeter? (1000 dm³) (!100 dm³) (!10 dm³) (!10000 dm³)

Was ist bei der Oberfläche eines zusammengesetzten Körpers besonders wichtig? (Nur äußere sichtbare Flächen zählen) (!Alle inneren Berührungsflächen werden mitgezählt) (!Volumen und Oberfläche sind immer gleich) (!Man darf keine Teilkörper bilden)

Was passiert mit dem Volumen eines Körpers, wenn alle Längen verdoppelt werden? (Es wird achtmal so groß) (!Es wird zweimal so groß) (!Es wird viermal so groß) (!Es bleibt gleich)

Womit werden Formeln in der MediaWiki Extension Math eingeschlossen? (mit math Tags) (!mit table Tags) (!mit category Tags) (!mit gallery Tags)

Memory

Volumen	Rauminhalt
Oberfläche	äußere Begrenzung
Mantel	Seitenfläche
Radius	halber Durchmesser
Prisma	Grundfläche mal Höhe
Kegel	ein Drittel Zylinder
Kugel	alle Randpunkte gleich weit

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Würfel	sechs gleiche Quadrate
Quader	rechteckige Seitenflächen
Zylinder	kreisförmige Grundfläche
Kegel	Kreisgrundfläche und Spitze
Kugel	alle Oberflächenpunkte gleich weit entfernt

Kreuzworträtsel

Quader	Welcher Körper hat sechs rechteckige Flächen?
Zylinder	Welcher Körper hat zwei kongruente Kreisflächen und einen gekrümmten Mantel?
Radius	Wie nennt man den Abstand vom Mittelpunkt eines Kreises zum Rand?
Mantel	Wie nennt man die Seitenfläche eines Zylinders oder Kegels ohne Grundfläche?
Volumen	Welche Größe beschreibt den Rauminhalt eines Körpers?
Kugel	Welcher Körper hat alle Oberflächenpunkte im gleichen Abstand vom Mittelpunkt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Körperberechnungen untersuchen geometrische Körper im Raum und berechnen ihren .

Das Volumen eines Prismas ergibt sich aus Grundfläche mal .

Die Oberfläche eines Körpers besteht aus seinen äußeren .

Bei einem Zylinder ist die Grundfläche ein .

Das Volumen von Pyramide und Kegel enthält den Faktor .

Bei einer Kugel hängen Volumen und Oberfläche nur vom ab.

Wer Formeln in MediaWiki schreibt, setzt sie in Tags.

Beim Vergrößern aller Längen mit Faktor k wächst das Volumen mit .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Körper-Steckbrief: Wähle einen Körper aus Deiner Umgebung, zum Beispiel Dose, Karton oder Ball, und beschreibe ihn mit den Begriffen Grundfläche, Mantel, Oberfläche und Volumen.
2. Formelplakat: Gestalte ein übersichtliches Plakat zu Würfel, Quader, Zylinder, Kegel und Kugel mit je einer Skizze und den wichtigsten Formeln.
3. Einheiten-Check: Erstelle zehn eigene Umrechnungsaufgaben zu Längen, Flächen und Volumina und löse sie mit Rechenweg.
4. Math-Schreibweise: Schreibe fünf Körperformeln in MediaWiki-Math-Schreibweise und prüfe, ob sie verständlich dargestellt werden.

Standard

1. Modellvermessung: Vermesse drei Gegenstände im Klassenraum, nähere sie durch geometrische Körper an und berechne jeweils Volumen und Oberfläche.
2. Verpackungsanalyse: Untersuche eine Verpackung und entscheide, welche Flächen für das Material zählen und welche nicht sichtbar sind.
3. Formel umstellen: Erstelle ein Aufgabenblatt, bei dem nicht das Volumen, sondern Radius, Höhe oder Kantenlänge gesucht ist.
4. Zusammengesetzter Körper: Zeichne einen Körper aus mindestens zwei Teilkörpern und berechne sein Gesamtvolumen.

Schwer

1. Optimierung: Vergleiche zwei zylindrische Dosen mit gleichem Volumen und untersuche, welche Dose die kleinere Oberfläche hat.
2. Architekturmodell: Entwirf ein kleines Gebäude aus Quadern, Prismen und Zylindern, berechne das Volumen und schätze die zu streichende Außenfläche.
3. Skalierungsprojekt: Wähle ein Modell im Maßstab und erkläre mit Rechnungen, wie sich Längen, Flächen und Volumina beim Vergrößern verändern.
4. Mathematische Erklärung: Erkläre schriftlich, warum Pyramide und Kegel bei gleicher Grundfläche und Höhe jeweils ein Drittel des passenden Prismas oder Zylinders als Volumen haben.

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Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Verpackung: Eine Firma möchte Material sparen. Vergleiche zwei Verpackungsformen mit gleichem Volumen und begründe, welche Form weniger Oberfläche benötigt.
2. Fehleranalyse: In einer Lösung wurden Zentimeter und Meter gemischt. Finde den Fehler, korrigiere die Rechnung und erkläre, warum die Einheit das Ergebnis verändert.
3. Modellierung: Ein Trinkglas wird als Zylinder angenähert. Beurteile, welche Annahmen sinnvoll sind und wie stark das echte Glas vom Modell abweichen kann.
4. Zusammengesetzte Körper: Zerlege einen Körper aus Bild oder Beschreibung in Teilkörper, beschreibe Deinen Lösungsweg und begründe, welche Flächen bei der Oberfläche nicht mitzählen.
5. Formelumstellung: Leite aus der Volumenformel des Zylinders eine Formel für den Radius her und erkläre jeden Umformungsschritt.
6. Skalierung: Ein Spielzeug wird in dreifacher Größe gebaut. Erkläre, warum Materialbedarf und Rauminhalt nicht beide nur dreimal so groß werden.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis kannst Du ein eigenes Mini-Projekt zu Körperberechnungen erstellen. Es soll eine Skizze, Messwerte, eine begründete Körperauswahl, mindestens zwei Berechnungen, eine Einheitenprüfung und eine kurze Reflexion enthalten. Besonders überzeugend ist Dein Lernnachweis, wenn Du die Formeln mit <math>...</math> notierst und erklärst, warum Deine Ergebnisse realistisch sind.

1. Dokumentation: Beschreibe Dein Objekt, Deine Messmethode und Deine Annahmen.
2. Rechenweg: Zeige alle Formeln, eingesetzten Werte, Einheiten und Ergebnisse.
3. Reflexion: Beurteile, wo Dein Modell vereinfacht und wie genau Dein Ergebnis vermutlich ist.
4. Präsentation: Stelle Deine Lösung so dar, dass andere Lernende Deine Schritte nachvollziehen können.

Links

Körperberechnungen Geometrischer Körper Stereometrie Volumen Oberfläche Mantelfläche Grundfläche Würfel Quader Prisma Zylinder Pyramide Kegel Kugel Satz des Pythagoras MediaWiki Math

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026

Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.

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