Kreisfläche berechnen - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Die Kreisfläche zu berechnen gehört zu den grundlegenden Themen der Geometrie in der Mathematik. Du brauchst dieses Wissen, wenn Du zum Beispiel den Flächeninhalt einer runden Tischplatte, eines kreisförmigen Beetes, einer Pizza, einer Uhr, eines Kreisdiagramms oder eines runden Spielfeldes bestimmen möchtest. In diesem aiMOOC lernst Du, was Radius, Durchmesser, Kreiszahl Pi und Flächeninhalt bedeuten, wie Du die Formel für die Kreisfläche verwendest und wie Du typische Aufgaben sicher löst.

Die wichtigste Formel lautet:

$A=\pi \cdot r^2$

Dabei bedeutet $A$ der Flächeninhalt der Kreisfläche, $r$ der Radius des Kreises und $\pi$ die Kreiszahl Pi. Häufig wird für $\pi$ der gerundete Wert $\mathrm{3,14}$ verwendet. Bei genaueren Berechnungen kannst Du auf dem Taschenrechner die Pi-Taste benutzen.

Grundbegriffe am Kreis

Kreis, Kreislinie und Kreisfläche

Ein Kreis besteht im Alltag oft scheinbar aus einer runden Fläche. Mathematisch wird jedoch genau unterschieden: Die Kreislinie ist nur der Rand des Kreises. Die Kreisfläche ist die gesamte Fläche innerhalb dieser Kreislinie. Wenn Du den Flächeninhalt eines Kreises berechnest, bestimmst Du also, wie groß diese innere Fläche ist.

Ein Kreis besitzt einen Mittelpunkt. Alle Punkte auf der Kreislinie haben denselben Abstand von diesem Mittelpunkt. Genau dieser Abstand heißt Radius. Der Radius ist deshalb eine zentrale Größe bei der Berechnung der Kreisfläche.

Radius und Durchmesser

Der Radius $r$ ist die Strecke vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie. Der Durchmesser $d$ ist die Strecke von einem Punkt der Kreislinie durch den Mittelpunkt bis zum gegenüberliegenden Punkt der Kreislinie. Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius:

$d=2r$

Daraus folgt:

$r=\frac{d}{2}$

Diese Beziehung ist besonders wichtig, weil viele Aufgaben den Durchmesser angeben, die Formel für die Kreisfläche aber den Radius benötigt.

Kreiszahl Pi

Die Kreiszahl Pi wird mit dem griechischen Buchstaben $\pi$ geschrieben. Sie beschreibt das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser. Für jeden Kreis gilt:

$\pi =\frac{U}{d}$

Die Zahl $\pi$ beginnt mit $\mathrm{3,14159...}$ und hat unendlich viele Nachkommastellen. In der Schule rechnest Du häufig mit $\pi \approx \mathrm{3,14}$. Der Taschenrechner liefert meist einen genaueren Wert.

Die Formel für die Kreisfläche

Die Grundformel

Die Formel für den Flächeninhalt einer Kreisfläche lautet:

$A=\pi \cdot r^2$

Das Quadrat beim Radius bedeutet:

$r^2=r\cdot r$

Du multiplizierst also den Radius mit sich selbst und anschließend mit $\pi$. Wenn der Radius zum Beispiel $5\text{cm}$ beträgt, rechnest Du:

$A=\pi \cdot 5^2$

$A=\pi \cdot 25$

$A\approx \mathrm{3,14}\cdot 25=\mathrm{78,5}$

Der Flächeninhalt beträgt also ungefähr $\mathrm{78,5}{\text{cm}}^2$.

Warum steht der Radius im Quadrat?

Der Flächeninhalt ist eine zweidimensionale Größe. Deshalb wird er in Quadratzentimetern, Quadratmetern oder anderen Flächeneinheiten angegeben. Wenn der Radius in Zentimetern gemessen wird, entsteht beim Quadrieren eine Einheit in Quadratzentimetern:

$\text{cm}\cdot \text{cm}={\text{cm}}^2$

Das Quadrat in der Formel passt also zur Bedeutung der Fläche. Eine Fläche beschreibt immer, wie viele Einheitsquadrate in eine Figur hineinpassen.

Anschauliche Erklärung mit Kreissektoren

Die Formel $A=\pi \cdot r^2$ lässt sich anschaulich verstehen, indem man den Kreis in viele gleich große Kreissektoren zerlegt. Diese schmalen Teile sehen wie kleine Tortenstücke aus. Legt man sie abwechselnd aneinander, entsteht eine Form, die immer mehr einem Rechteck ähnelt.

Die Höhe dieses angenäherten Rechtecks ist ungefähr der Radius $r$. Die Länge ist ungefähr die Hälfte des Kreisumfangs. Da der Kreisumfang $U=2\pi r$ ist, beträgt die halbe Umfangslänge $\pi r$. Der Flächeninhalt des Rechtecks ist dann:

$A=\text{Länge}\cdot \text{Höhe}$

$A=\pi r\cdot r$

$A=\pi r^2$

So wird deutlich, warum die Formel für die Kreisfläche aus der Multiplikation von $\pi$ und $r^2$ besteht.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Aufgabe mit gegebenem Radius lösen

Wenn der Radius gegeben ist, kannst Du direkt mit der Formel arbeiten.

1. Radius notieren: Schreibe den gegebenen Radius mit Einheit auf.
2. Formel einsetzen: Setze den Radius in $A=\pi \cdot r^2$ ein.
3. Potenz berechnen: Berechne zuerst $r^2$.
4. Multiplikation mit Pi: Multipliziere das Ergebnis mit $\pi$.
5. Flächeneinheit angeben: Schreibe das Ergebnis in einer quadratischen Einheit, zum Beispiel ${\text{cm}}^2$.

Beispiel:

Ein Kreis hat den Radius $r=4\text{cm}$.

$A=\pi \cdot 4^2$

$A=\pi \cdot 16$

$A\approx \mathrm{3,14}\cdot 16=\mathrm{50,24}$

Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $\mathrm{50,24}{\text{cm}}^2$.

Aufgabe mit gegebenem Durchmesser lösen

Wenn der Durchmesser gegeben ist, musst Du zuerst den Radius berechnen.

Beispiel:

Ein Kreis hat den Durchmesser $d=12\text{cm}$.

Zuerst berechnest Du den Radius:

$r=\frac{d}{2}$

$r=\frac{12}{2}=6$

Dann berechnest Du die Kreisfläche:

$A=\pi \cdot 6^2$

$A=\pi \cdot 36$

$A\approx \mathrm{3,14}\cdot 36=\mathrm{113,04}$

Der Flächeninhalt beträgt ungefähr $\mathrm{113,04}{\text{cm}}^2$.

Aufgabe mit Flächeninhalt rückwärts lösen

Manchmal ist der Flächeninhalt gegeben und Du sollst den Radius bestimmen. Dann musst Du die Formel umstellen.

Aus

$A=\pi \cdot r^2$

wird zunächst

$r^2=\frac{A}{\pi }$

Dann ziehst Du die Quadratwurzel:

$r=\sqrt{\frac{A}{\pi }}$

Beispiel:

Eine Kreisfläche hat den Flächeninhalt $A=\mathrm{78,5}{\text{cm}}^2$.

$r=\sqrt{\frac{\mathrm{78,5}}{\mathrm{3,14}}}$

$r=\sqrt{25}$

$r=5$

Der Radius beträgt also $5\text{cm}$.

Einheiten und Runden

Die richtige Flächeneinheit

Bei Flächen ist die Einheit immer quadriert. Aus Zentimetern werden Quadratzentimeter, aus Metern werden Quadratmetern und aus Millimetern werden Quadratmillimeter.

Beispiele:

1. Zentimeter beim Radius: Ergebnis in ${\text{cm}}^2$.
2. Meter beim Radius: Ergebnis in ${\text{m}}^2$.
3. Millimeter beim Radius: Ergebnis in ${\text{mm}}^2$.

Ein häufiger Fehler ist es, beim Flächeninhalt nur $\text{cm}$ zu schreiben. Das wäre eine Längeneinheit, aber keine Flächeneinheit.

Sinnvoll runden

Da $\pi$ unendlich viele Nachkommastellen besitzt, entstehen bei Kreisflächen häufig Dezimalzahlen. In vielen Schulaufgaben wird angegeben, wie gerundet werden soll, zum Beispiel auf eine Nachkommastelle oder auf zwei Nachkommastellen.

Beispiel:

$A=\mathrm{153,938040...}$

Gerundet auf zwei Nachkommastellen:

$A\approx \mathrm{153,94}$

Gerundet auf eine Nachkommastelle:

$A\approx \mathrm{153,9}$

Gerundet auf ganze Zahlen:

$A\approx 154$

Achte beim Runden darauf, die Einheit nicht zu vergessen.

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Radius und Durchmesser verwechseln

Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von Radius und Durchmesser. Wenn in der Aufgabe der Durchmesser steht, darfst Du ihn nicht direkt in die Formel $A=\pi \cdot r^2$ einsetzen. Du musst ihn zuerst halbieren.

Falsch bei $d=10\text{cm}$ wäre:

$A=\pi \cdot 10^2$

Richtig ist:

$r=\frac{10}{2}=5$

$A=\pi \cdot 5^2$

Radius nicht quadrieren

Ein weiterer Fehler besteht darin, nur $\pi \cdot r$ zu rechnen. Das wäre nicht die Kreisfläche. Die korrekte Formel lautet:

$A=\pi \cdot r^2$

Das Quadrieren ist wichtig, weil es sich um eine Fläche handelt.

Umfang und Fläche verwechseln

Der Umfang beschreibt die Länge der Kreislinie. Die Fläche beschreibt den Inhalt im Inneren des Kreises.

Für den Umfang gilt:

$U=2\pi r$

Für die Fläche gilt:

$A=\pi r^2$

Beide Formeln enthalten $\pi$ und $r$, haben aber unterschiedliche Bedeutungen.

Anwendungen im Alltag

Runde Gegenstände berechnen

Kreisflächen begegnen Dir häufig im Alltag. Wenn Du die Fläche eines runden Teppichs, einer Pizza, eines Deckels, einer Uhr oder eines runden Gartenteichs berechnen möchtest, brauchst Du die Kreisflächenformel. Dabei ist es wichtig, zuerst zu klären, ob Du den Radius oder den Durchmesser kennst.

Beispiel Pizza:

Eine Pizza hat einen Durchmesser von $30\text{cm}$. Der Radius beträgt also $15\text{cm}$.

$A=\pi \cdot 15^2$

$A=\pi \cdot 225$

$A\approx \mathrm{706,86}$

Die Pizza hat ungefähr $\mathrm{706,86}{\text{cm}}^2$ Fläche.

Kreisflächen vergleichen

Beim Vergleichen von Kreisflächen darfst Du nicht nur auf den Durchmesser schauen. Wenn der Radius verdoppelt wird, vervierfacht sich die Fläche.

Beispiel:

Kreis 1 hat $r=3\text{cm}$.

$A_1=\pi \cdot 3^2=9\pi$

Kreis 2 hat $r=6\text{cm}$.

$A_2=\pi \cdot 6^2=36\pi$

Da $36\pi$ viermal so groß ist wie $9\pi$, ist die zweite Kreisfläche viermal so groß. Das ist ein wichtiger Zusammenhang zwischen Längenmaßstab und Flächenmaßstab.

Kreisfläche in zusammengesetzten Figuren

In vielen Aufgaben besteht eine Figur aus mehreren Teilflächen. Manchmal musst Du eine Kreisfläche addieren oder von einer anderen Fläche abziehen. Solche Aufgaben heißen zusammengesetzte Flächen.

Beispiel:

Ein quadratisches Schild hat eine Seitenlänge von $20\text{cm}$. In der Mitte ist ein kreisförmiges Loch mit Radius $5\text{cm}$. Die verbleibende Fläche berechnest Du so:

$A_{\text{Quadrat}}=20\cdot 20=400$

$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot 5^2=25\pi \approx \mathrm{78,5}$

$A_{\text{Rest}}=400-\mathrm{78,5}=\mathrm{321,5}$

Die verbleibende Fläche beträgt ungefähr $\mathrm{321,5}{\text{cm}}^2$.

Merksatz

Die Kreisfläche berechnest Du mit:

$A=\pi \cdot r^2$

Du brauchst immer den Radius. Ist der Durchmesser gegeben, halbierst Du ihn zuerst. Das Ergebnis einer Kreisflächenberechnung hat immer eine Flächeneinheit wie ${\text{cm}}^2$, ${\text{m}}^2$ oder ${\text{mm}}^2$.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel berechnet den Flächeninhalt eines Kreises? (A gleich Pi mal Radius zum Quadrat) (!A gleich zwei mal Pi mal Radius) (!A gleich Pi mal Durchmesser) (!A gleich Radius plus Durchmesser)

Was ist der Radius eines Kreises? (Der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie) (!Die Länge der gesamten Kreislinie) (!Die Fläche innerhalb des Kreises) (!Die Strecke außerhalb des Kreises)

Was musst Du zuerst tun, wenn nur der Durchmesser gegeben ist? (Den Durchmesser halbieren) (!Den Durchmesser verdoppeln) (!Den Durchmesser quadrieren und fertig sein) (!Den Durchmesser von Pi abziehen)

Welche Einheit passt zu einer Kreisfläche? (Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Kilogramm) (!Sekunde)

Welcher gerundete Wert wird für Pi in vielen Schulaufgaben verwendet? (3 Komma 14) (!2 Komma 14) (!3 Komma 41) (!1 Komma 34)

Ein Kreis hat den Radius 6 Zentimeter. Welcher Term passt zur Kreisfläche? (Pi mal 6 zum Quadrat) (!Pi mal 6) (!2 mal Pi mal 6) (!6 geteilt durch Pi)

Ein Kreis hat den Durchmesser 18 Zentimeter. Wie groß ist der Radius? (9 Zentimeter) (!18 Zentimeter) (!36 Zentimeter) (!6 Zentimeter)

Was passiert mit der Kreisfläche, wenn der Radius verdoppelt wird? (Sie vervierfacht sich) (!Sie verdoppelt sich) (!Sie halbiert sich) (!Sie bleibt gleich)

Welche Aussage beschreibt den Unterschied zwischen Umfang und Fläche richtig? (Der Umfang ist die Länge der Kreislinie, die Fläche ist der Inhalt innen) (!Der Umfang ist immer größer als die Fläche) (!Die Fläche ist nur der Rand des Kreises) (!Umfang und Fläche sind dasselbe)

Welche Rechnung ist richtig für einen Kreis mit Radius 5 Zentimeter? (A gleich Pi mal 25) (!A gleich Pi mal 10) (!A gleich 2 mal Pi mal 25) (!A gleich 5 geteilt durch Pi)

Memory

Radius	Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie
Durchmesser	Doppelte Länge des Radius
Pi	Verhältnis von Umfang zu Durchmesser
Kreisfläche	Fläche innerhalb der Kreislinie
Quadratzentimeter	Einheit für eine kleine Fläche
Umfang	Länge der Kreislinie
Mittelpunkt	Punkt mit gleichem Abstand zu allen Randpunkten
Quadratwurzel	Umkehrung des Quadrierens

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Radius	Abstand vom Mittelpunkt zum Kreisrand
Durchmesser	Strecke durch den Mittelpunkt von Rand zu Rand
Pi	Kreiszahl für Kreisberechnungen
Flächeninhalt	Größe der Kreisfläche
Quadrateinheit	Einheit einer Fläche
Umfang	Länge der Kreislinie
Quadrieren	Multiplikation einer Zahl mit sich selbst

Kreuzworträtsel

Radius	Wie heißt der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie?
Durchmesser	Wie heißt die Strecke von Rand zu Rand durch den Mittelpunkt?
Kreiszahl	Wie nennt man Pi in Worten?
Mittelpunkt	Welcher Punkt hat zu allen Punkten der Kreislinie denselben Abstand?
Quadrat	Welche Grundform hilft beim Verstehen von Flächeneinheiten?
Sektor	Wie heißt ein tortenstückartiger Teil eines Kreises?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Kreisfläche ist die Fläche der Kreislinie. Der Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie heißt . Die wichtigste Formel für den Flächeninhalt lautet A gleich Pi mal . Wenn nur der Durchmesser gegeben ist, musst Du ihn zuerst . Die Kreiszahl Pi wird in Schulaufgaben oft mit angenähert. Ein Flächeninhalt wird nicht in Zentimetern, sondern in angegeben. Wenn der Radius verdoppelt wird, wird die Kreisfläche so groß. Beim rückwärtigen Rechnen aus der Fläche brauchst Du die .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Kreis im Klassenzimmer: Suche drei runde Gegenstände im Klassenzimmer oder zu Hause, miss den Durchmesser und berechne jeweils die Kreisfläche.
2. Formelkarte: Gestalte eine übersichtliche Lernkarte zur Formel $A=\pi \cdot r^2$ mit einem Beispiel und einer typischen Fehlerwarnung.
3. Radius und Durchmesser: Zeichne fünf Kreise mit unterschiedlichem Durchmesser und beschrifte jeweils Radius, Durchmesser und Mittelpunkt.
4. Einheiten prüfen: Erstelle eine kleine Tabelle mit Kreisflächenaufgaben in Millimetern, Zentimetern und Metern und achte besonders auf die richtigen Flächeneinheiten.

Standard

1. Pizza-Vergleich: Vergleiche zwei Pizzen mit unterschiedlichen Durchmessern und erkläre, warum eine doppelt so große Durchmesserangabe nicht nur doppelt so viel Fläche bedeutet.
2. Kreisfläche im Alltag: Fotografiere oder skizziere einen runden Gegenstand aus Deinem Alltag und berechne seinen Flächeninhalt möglichst realistisch.
3. Rechenweg erklären: Schreibe eine Musterlösung für eine Aufgabe mit gegebenem Durchmesser und erkläre jeden Schritt in ganzen Sätzen.
4. Zusammengesetzte Figur: Entwirf eine Figur aus einem Rechteck und einem Halbkreis und berechne die gesamte Fläche.

Schwer

1. Formel begründen: Erkläre mit einer Skizze aus Kreissektoren, warum aus einem Kreis näherungsweise ein Rechteck mit der Fläche $\pi r^2$ entstehen kann.
2. Rückwärtsaufgabe: Erfinde eine Aufgabe, bei der der Flächeninhalt gegeben ist und der Radius sowie der Durchmesser berechnet werden müssen.
3. Maßstab und Kreisfläche: Untersuche an drei Beispielen, wie sich die Kreisfläche verändert, wenn der Radius verdoppelt, verdreifacht oder halbiert wird.
4. Projekt Kreisgarten: Plane ein kreisförmiges Blumenbeet mit Randweg. Berechne die bepflanzte Fläche, die Wegfläche und den Materialbedarf für eine einfache Umrandung.

Lernkontrolle

1. Modellieren mit Kreisflächen: Ein runder Tisch soll mit einer Tischdecke bedeckt werden, die überall 15 Zentimeter überhängt. Entwickle einen Rechenweg, mit dem Du die benötigte Stofffläche bestimmst.
2. Fehleranalyse Kreisfläche: Eine Person setzt bei einem Durchmesser von 20 Zentimetern direkt 20 in die Formel $A=\pi r^2$ ein. Erkläre den Fehler und korrigiere die Lösung.
3. Vergleich von Kreisflächen: Zwei Kreise haben Radien von 4 Zentimetern und 8 Zentimetern. Erkläre ohne nur Zahlen einzusetzen, warum die zweite Fläche viermal so groß ist.
4. Alltagsentscheidung Pizza: Eine kleine Pizza hat 24 Zentimeter Durchmesser, eine große Pizza 32 Zentimeter Durchmesser. Vergleiche die Flächen und beurteile, welche Pizza bei unterschiedlichen Preisen günstiger sein könnte.
5. Zusammengesetzte Flächen beurteilen: Ein quadratisches Metallblech enthält ein kreisförmiges Loch. Beschreibe, wie Du die verbleibende Fläche berechnest, und erkläre, welche Angaben Du dafür benötigst.
6. Formeltransfer: Übertrage Dein Wissen über die Kreisfläche auf einen Halbkreis und einen Viertelkreis. Entwickle passende Formeln und begründe sie.

Lernnachweis

Bearbeite für Deinen Lernnachweis eine vollständige Anwendungsaufgabe zur Kreisfläche. Wähle einen realen runden Gegenstand, miss den Durchmesser, berechne den Radius, bestimme den Flächeninhalt mit $A=\pi r^2$ und erkläre Deinen Rechenweg schriftlich. Ergänze eine Skizze mit Beschriftung von Mittelpunkt, Radius und Durchmesser. Prüfe am Ende, ob Deine Einheit eine Flächeneinheit ist und ob Dein gerundetes Ergebnis sinnvoll wirkt.

Links

Kreisfläche berechnen Kreis Kreisfläche Flächeninhalt Radius Durchmesser Kreiszahl Pi Kreisumfang Kreissektor Quadratwurzel Flächeneinheit Zusammengesetzte Fläche

Zusammenfassung

Die Kreisfläche ist der Flächeninhalt innerhalb der Kreislinie. Für ihre Berechnung brauchst Du den Radius. Die Grundformel lautet $A=\pi \cdot r^2$. Wenn der Durchmesser gegeben ist, bestimmst Du zuerst mit $r=\frac{d}{2}$ den Radius. Das Ergebnis wird immer in einer Flächeneinheit angegeben. Besonders wichtig ist, Umfang und Fläche nicht zu verwechseln: Der Umfang beschreibt die Länge des Randes, die Fläche den Inhalt im Inneren des Kreises.